Mathematik verstehen.Genau das Thema, das du gerade brauchst.

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Den Logarithmus als Umkehroperation des Potenzierens deuten, Produkt-, Quotienten- und Potenzregel für Logarithmen sicher anwenden sowie ein Logarithmengesetz aus Potenzgesetzen nachvollziehbar begründen können.

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Die absolute Abweichung eines Mess- oder Näherungswertes von einem Referenzwert berechnen und mit Einheit interpretieren sowie den relativen Fehler als Anteil beziehungsweise Prozentwert bestimmen und im Sachkontext beurteilen können.

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Das Stellenwertprinzip verschiedener Zahlensysteme erklären, Zahlen zwischen Stellenwertsystemen umwandeln, Festkomma- und Gleitkommadarstellungen ineinander überführen sowie Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren können.

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Positive und negative Zahlen sowie null auf der Zahlengeraden darstellen, vergleichen und ordnen, Betrag und Gegenzahl unterscheiden und Rechnungen mit Vorzeichen schrittweise und sicher ausführen können.

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Die vier Grundrechenarten sicher ausführen, Rechenreihenfolge und Klammern beachten, das Distributivgesetz korrekt anwenden und Ergebnisse durch Überschlag oder Umkehraufgabe kontrollieren können.

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Brüche und Dezimalzahlen darstellen, vergleichen und ineinander umwandeln, Brüche vollständig kürzen oder passend erweitern und die vier Grundrechenarten mit Brüchen in ausführlichen Rechenschritten anwenden können.

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Potenzen als verkürzte Schreibweise wiederholter Multiplikation deuten, negative Basen korrekt behandeln, einfache Potenzregeln anwenden und Quadratwurzeln als nichtnegative Umkehroperation zum Quadrieren bestimmen oder abschätzen können.

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Dezimalzahlen stellenwertgerecht lesen, vergleichen, addieren und subtrahieren, mit Zehnerpotenzen vervielfachen oder teilen, sinnvoll runden und Ergebnisse durch einen passenden Überschlag auf Plausibilität prüfen können.

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Bestandteile von Termen erkennen, Texte schrittweise in Terme übersetzen, gleichartige Glieder sicher zusammenfassen sowie einfache Klammern ausmultiplizieren und gemeinsame Faktoren ausklammern können.

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Vorgegebene Werte vollständig und mit geeigneten Klammern in Terme, Formeln und einfache Funktionsschreibweisen einsetzen, die Rechenreihenfolge beachten und Ergebnisse einschließlich Einheiten verständlich deuten können.

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Einfache lineare Gleichungen durch einzeln notierte Äquivalenzumformungen lösen, jede Operation nach einem Schrägstrich auf beiden Seiten ausführen, nach jedem Schritt vereinfachen und die Lösung durch eine Probe prüfen können.

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Einfache Formeln durch einzeln notierte Äquivalenzumformungen nach einer gewünschten Variablen umstellen, die Zielvariable systematisch isolieren, notwendige Voraussetzungen beachten und das Ergebnis durch Rückeinsetzen kontrollieren können.

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Verhältnisse mit gleichen Einheiten bilden und vereinfachen, proportionale und antiproportionale Zuordnungen unterscheiden sowie passende Dreisatzaufgaben mit einer übersichtlichen Tabelle und sichtbaren Rechenschritten lösen können.

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Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz sicher unterscheiden, jede der drei Größen mithilfe einer Prozenttabelle bestimmen sowie Zu- und Abnahmen, Endwerte und Prozentpunkte im Kontext korrekt deuten können.

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Längen, Flächen, Volumina, Massen, Zeiten und Geldbeträge sicher in passende Einheiten umrechnen, unterschiedliche Stellenwertfaktoren beachten und Einheiten in vollständigen Rechnungen konsequent mitführen können.

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Maßstäbe der Form 1:n verstehen, Zeichnungs- und Wirklichkeitslängen nach Vereinheitlichung der Einheiten ineinander umrechnen, einen Maßstab bestimmen und Ergebnisse auf Karten, Plänen und Modellen plausibel deuten können.

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Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem sicher eintragen und ablesen, Achsen, Ursprung, Skalierung und Quadranten unterscheiden, Wertetabellen als Punkte darstellen und einfache Graphen im jeweiligen Kontext deuten können.

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Umfang, Flächeninhalt, Oberflächeninhalt und Volumen sicher unterscheiden, grundlegende Formeln für ebene Figuren und einfache Körper schrittweise anwenden, zusammengesetzte Figuren zerlegen und Einheiten korrekt mitführen können.

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Sachaufgaben strukturiert lesen, gegebene und gesuchte Größen mit Einheiten ordnen, ein passendes mathematisches Modell wählen, jeden Rechenschritt nachvollziehbar notieren und das Ergebnis mit Probe und Antwortsatz im Kontext deuten können.

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Primzahlen erkennen, Teiler natürlicher Zahlen systematisch bestimmen, Teilbarkeit mithilfe von Division und einfachen Teilbarkeitsregeln prüfen sowie natürliche Zahlen vollständig in Primfaktoren zerlegen und die Zerlegung durch Rückmultiplikation kontrollieren können.

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Fehlerquellen in Mess- und Näherungssituationen erkennen, Messwerte mit absoluten und relativen Fehlern darstellen, mögliche Werteintervalle bestimmen und Unsicherheiten bei Berechnungen mithilfe vorgegebener Fehlerfortpflanzungsregeln weiterführen, Ergebnisfehler abschätzen, vergleichen und im Kontext interpretieren können.

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Entwicklungsmodelle des Zählens, typische Zählstrategien und grundlegende Zählprinzipien fachlich erklären sowie beobachtetes Zählverhalten von Kindern passenden Entwicklungsständen, Strategien und Prinzipien zuordnen können.

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Materialien und Aktivitäten zu Formen, Mustern und räumlichen Strukturen fachlich beschreiben und hinsichtlich ihres Lernpotenzials bewerten, die Entwicklung visuell-räumlicher Fähigkeiten erklären sowie Muster, räumliche Orientierung und Symmetrie mit geeigneten Modellen und Lerngelegenheiten anschaulich vermitteln können.

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Die Bedeutung von Sortieren und Klassifizieren für frühe mathematische Lernprozesse erklären, beide Tätigkeiten fachlich unterscheiden, Seriation als Herstellung einer Reihenfolge nach einem Merkmal beschreiben und daraus geeignete Aktivitäten für das pädagogische Berufsfeld entwickeln können.

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Frühkindliche Grunderfahrungen mit Zeitdauer, zeitlicher Abfolge und Rhythmus fachlich beschreiben, ihre Bedeutung für die frühe mathematische Entwicklung erklären und pädagogische Lerngelegenheiten zu diesen Bereichen auf Grundlage des theoretischen Hintergrunds reflektieren können.

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Frühkindliche Erfahrungen mit Zufall, Häufigkeiten und unterschiedlichen Chancen beschreiben, geeignete Aktivitäten mit wiederholten Zufallsvorgängen planen oder durchführen, Beobachtungen strukturiert festhalten und Ergebnisse fachlich nachvollziehbar darstellen und präsentieren können.

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Für vorgegebene mathematische Lerninhalte fachlich geeignete Modelle der Lernbegleitung entwickeln, mathematisch orientierte Lernspiele zielgerichtet konzipieren und Anschauungsmaterialien so gestalten, dass mathematische Strukturen korrekt, verständlich und lernförderlich sichtbar werden.

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Die drei binomischen Formeln an ihrer Struktur erkennen, sicher zum Ausmultiplizieren anwenden und geeignete quadratische Terme mithilfe der binomischen Formeln rückwärts faktorisieren können.

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In Sachaufgaben eine geeignete unbekannte Größe festlegen, lineare Gleichungen aus dem Text aufstellen und lösen sowie die Lösung im Kontext deuten und durch eine Probe überprüfen können.

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Ungleichheitszeichen sicher unterscheiden, einfache lineare Ungleichungen durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division lösen, beim Umformen mit negativen Zahlen den notwendigen Zeichenwechsel beachten und die Lösungsmenge auf der Zahlengeraden darstellen können.

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Prozentuelle Erhöhungen und Verringerungen erkennen und berechnen, den neuen Wert sowie den Ausgangswert nach einer Prozentänderung bestimmen und mehrere aufeinanderfolgende Prozentänderungen mit Änderungsfaktoren korrekt berechnen und deuten können.

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Kapital, Zinssatz und Zinsen unterscheiden, Jahreszinsen berechnen, Kapital beziehungsweise Zinssatz aus den jeweils gegebenen Größen bestimmen und das Endkapital nach einer einjährigen Verzinsung berechnen und deuten können.

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Geschwindigkeit als Weg pro Zeit deuten und berechnen, Weg beziehungsweise Zeit aus den jeweils gegebenen Größen bestimmen, Geschwindigkeitseinheiten umrechnen und zusammengesetzte Größen in Sachzusammenhängen verständlich interpretieren können.

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Ähnliche Figuren erkennen, entsprechende Seiten und Winkel zuordnen, den Ähnlichkeitsfaktor bestimmen und fehlende Längen mit Verhältnisgleichungen berechnen können.

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Den Satz des Pythagoras in ebenen rechtwinkeligen Dreiecken verstehen, Hypotenuse oder Kathete berechnen und auf Rechtecke, Quadrate und Sachaufgaben anwenden können.

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Rechtwinkelige Dreiecke in Quadern und Würfeln erkennen, Flächen- und Raumdiagonalen schrittweise berechnen und räumliche Aufgaben in zwei ebene Pythagoras-Schritte zerlegen können.

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Winkelarten unterscheiden, Winkel messen und zeichnen, Neben- und Scheitelwinkel berechnen, Winkelbeziehungen an parallelen Geraden nutzen sowie die Winkelsummen in Dreieck und Viereck anwenden können.

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Dreiecke nach Seiten und Winkeln klassifizieren, fehlende Innenwinkel berechnen, Höhen erkennen und einzeichnen sowie Umfang und Flächeninhalt eines Dreiecks bestimmen können.

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Rechteck und Quadrat unterscheiden, Parallelogramm, Raute, Trapez und Drachenviereck erkennen, Flächeninhalte von Parallelogramm und Trapez berechnen sowie die Innenwinkelsumme eines Vielecks bestimmen können.

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Radius und Durchmesser unterscheiden und ineinander umrechnen, Kreisumfang und Kreisfläche berechnen sowie Kreisbogen und Kreissektor erkennen und im Zusammenhang mit dem Mittelpunktswinkel deuten können.

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Achsensymmetrie erkennen und Symmetrieachsen bestimmen, Figuren an Geraden spiegeln, Punktsymmetrie erkennen sowie Figuren verschieben und um ein Zentrum drehen können.

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Streckensymmetrale und Winkelsymmetrale konstruieren, eine Normale beziehungsweise Parallele durch einen Punkt konstruieren sowie Dreiecke aus gegebenen Seiten und aus Kombinationen von Seiten und Winkeln konstruieren können.

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Kongruente Figuren erkennen und ihre Kongruenz durch Deckungsgleichheit begründen sowie bei Dreiecken die Kongruenzsätze SSS, SWS und WSW sicher anwenden können.

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Prismen und Zylinder erkennen und benennen, ihre Grundflächen, Mantelflächen und Höhen zuordnen sowie Volumen und Oberfläche mithilfe der passenden Formeln berechnen können.

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Oberfläche und Volumen unterscheiden, passende Flächen- und Volumeneinheiten auswählen, fehlende Größen aus Volumenformeln bestimmen sowie Sachaufgaben zu Oberfläche und Volumen schrittweise lösen können.

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Netze von Würfeln und Prismen erkennen, aus Netzen Körper bestimmen und zu Körpern Netze zeichnen sowie Ansichten erkennen und aus mehreren Ansichten räumliche Körper erschließen können.

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Abhängige und unabhängige Größen unterscheiden, Abhängigkeiten zwischen Größen beschreiben, zugehörige Wertepaare angeben und diese im Sachzusammenhang interpretieren können.

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Wertetabellen lesen und vervollständigen, aus Tabellen Graphen erstellen, Werte aus Graphen ablesen, Graphen und Tabellen einander zuordnen sowie Graphen im Sachzusammenhang interpretieren können.

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Direkte Proportionalität in Tabellen und Graphen erkennen, den Proportionalitätsfaktor bestimmen, eine Gleichung der Form y = kx aufstellen und den zugehörigen Graphen zeichnen können.

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Indirekte Proportionalität anhand von Tabellen und Graphen erkennen, Produktgleichheit nutzen, fehlende Werte bestimmen und indirekte Proportionalität im Sachzusammenhang deuten können.

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Lineare Zusammenhänge erkennen, lineare Graphen zeichnen, lineare Gleichungen Graphen zuordnen, lineare Zusammenhänge aus Tabellen erkennen und im Sachzusammenhang interpretieren können.

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Steigung aus einem Graphen und aus zwei Punkten bestimmen, den Achsenabschnitt aus einem Graphen ablesen und Steigung sowie Achsenabschnitt im Sachzusammenhang deuten können.

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Lineare Funktionsgleichungen aus Tabellen, Graphen und zwei Punkten bestimmen sowie gefundene Funktionsgleichungen durch Einsetzen bekannter Punkte prüfen können.

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Merkmal und Merkmalsausprägung unterscheiden, Daten systematisch erfassen und sortieren sowie erhobene Daten als Urliste darstellen können.

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Absolute und relative Häufigkeiten bestimmen, aus Daten eine Häufigkeitstabelle erstellen und Informationen aus einer Häufigkeitstabelle lesen und deuten können.

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Säulen-, Balken-, Linien- und Kreisdiagramme lesen, ein Säulendiagramm erstellen und abhängig von Datenart und Fragestellung eine geeignete Diagrammart auswählen können.

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Arithmetisches Mittel, Median und Modalwert bestimmen, Mittelwert und Median vergleichen und abhängig von Datenart und Fragestellung eine passende Lagekennzahl auswählen können.

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Minimum und Maximum bestimmen, die Spannweite berechnen, unteres und oberes Quartil ermitteln und Quartile im Sachzusammenhang interpretieren können.

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Eine Fünf-Punkte-Zusammenfassung bestimmen, daraus einen Boxplot erstellen, Werte aus einem Boxplot ablesen und mehrere Boxplots sachlich vergleichen können.

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Ungeeignete Skalierungen und irreführende statistische Darstellungen erkennen, Aussagen anhand vorliegender Daten prüfen und statistische Aussagen angemessen formulieren können.

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Zufallsversuche erkennen, mögliche Ergebnisse vollständig angeben und Zufallsversuche mehrfach unter vergleichbaren Bedingungen durchführen und dokumentieren können.

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Den Grundraum eines Zufallsversuchs angeben, Ereignisse als Teilmengen des Grundraums beschreiben und sichere sowie unmögliche Ereignisse erkennen können.

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Absolute und relative Häufigkeiten von Ergebnissen wiederholter Zufallsversuche bestimmen und relative Häufigkeiten zwischen Versuchsreihen sachgerecht vergleichen können.

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Wahrscheinlichkeiten aus relativen Häufigkeiten schätzen, die Schätzung durch viele vergleichbare Versuche verbessern und experimentelle Wahrscheinlichkeiten angemessen interpretieren können.

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Laplace-Versuche anhand gleich wahrscheinlicher Elementarergebnisse erkennen, günstige und mögliche Ergebnisse bestimmen, Laplace-Wahrscheinlichkeiten berechnen und im Kontext deuten können.

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Gegenereignisse korrekt formulieren, ihre Wahrscheinlichkeit mit der Ergänzungsregel berechnen und Gegenereignisse zur Vereinfachung von Wahrscheinlichkeitsrechnungen nutzen können.

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Baumdiagramme zu zweistufigen Zufallsversuchen erstellen, Pfade lesen, Pfadwahrscheinlichkeiten bestimmen, mehrere günstige Pfade zusammenfassen und Ergebnisse im Kontext interpretieren können.

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Parameterdarstellungen von Ebenen erkennen und ihre Stütz- und Spannvektoren ablesen, Ebenen aus einem Punkt und zwei Spannvektoren beziehungsweise aus drei Punkten aufstellen, einen Normalvektor bestimmen sowie Normalvektor- und Koordinatenform einer Ebene angeben können.

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Komplexe Zahlen in Komponentenform und in der Gaußschen Zahlenebene darstellen, mit komplexen Zahlen rechnen, Betrag und Argument bestimmen, zwischen Komponenten- und Polarform wechseln, Rechnungen geometrisch deuten sowie den Fundamentalsatz der Algebra angeben und seine Bedeutung erläutern können.

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Mengen zur Beschreibung mathematischer Sachverhalte verwenden, Element- und Teilmengenbeziehungen mit den passenden Symbolen angeben sowie Vereinigungs-, Schnitt- und Differenzmengen endlicher Mengen bestimmen und die leere Menge korrekt erkennen und notieren können.

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Sinussatz und Cosinussatz für allgemeine Dreiecke angeben und zur Berechnung fehlender Seiten und Winkel verwenden, den Flächeninhalt aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel bestimmen, geeignete Verfahren zum vollständigen Lösen eines Dreiecks auswählen und Ergebnisse im Sachkontext interpretieren können.

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Natürliche, ganze, rationale, irrationale, reelle und komplexe Zahlen unterscheiden und verständig verwenden. Zahlen und vereinfachte Ausdrücke der kleinsten passenden Zahlenmenge zuordnen, Teilmengenbeziehungen beschreiben und reelle Zahlen als Grundlage kontinuierlicher Modelle verwenden. Wissen, dass es Zahlenbereiche über den reellen Zahlen hinaus gibt.

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Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen und Lösbarkeit.

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Einfache Terme und Formeln aus Sachzusammenhängen aufstellen, algebraisch umformen und die verwendeten Größen, Rechenoperationen sowie Ergebnisse im jeweiligen Kontext angemessen deuten können.

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Lineare Gleichungen aus Sachzusammenhängen aufstellen, ihre Bestandteile interpretieren, durch Äquivalenzumformungen lösen und die gefundene Lösung unter Beachtung von Einheit und zulässigem Wertebereich im Kontext deuten können.

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Quadratische Gleichungen in einer Variablen in geeignete Formen umformen und mit passenden Verfahren lösen, die möglichen Lösungsfälle mithilfe der Diskriminante beurteilen sowie Lösungen und Lösungsfälle algebraisch, geometrisch und im Sachzusammenhang deuten können.

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Lineare Ungleichungen aus Sachzusammenhängen aufstellen, interpretieren, durch Äquivalenzumformungen lösen und ihre Lösungsmengen in Mengen-, Intervall- und Zahlengeradendarstellung sowie im Kontext deuten können.

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Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aus Sachzusammenhängen aufstellen, interpretieren und mit Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren lösen, die möglichen Lösungsfälle algebraisch und geometrisch beurteilen sowie Lösungen im Kontext deuten können.

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Vektoren als geordnete Zahlentupel in $\mathbb{R}^2$ und $\mathbb{R}^3$ lesen, darstellen, vergleichen, aus Angaben bestimmen und ihre Komponenten einschließlich Vorzeichen, Einheit und Reihenfolge in unterschiedlichen Sachzusammenhängen verständig deuten können.

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Vektoren in $\mathbb R^2$ und $\mathbb R^3$ geometrisch als Ortsvektoren, freie Pfeile und Verschiebungen deuten, Punkte und Vektoren sicher unterscheiden sowie Verbindungsvektoren, Endpunkte, Mittelpunkte, Richtung und Länge verständig bestimmen und einsetzen können.

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Die komponentenweisen Definitionen von Vektoraddition, Vektorsubtraktion und Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar sowie die Definition des Skalarprodukts kennen, diese Rechenoperationen in $\mathbb R^2$ und $\mathbb R^3$ sicher ausführen und ihre algebraische, geometrische und kontextbezogene Bedeutung verständig deuten können.

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Geraden in $\mathbb R^2$ durch Parameterdarstellungen und parameterfreie Gleichungen sowie Geraden in $\mathbb R^3$ durch Parameterdarstellungen angeben und interpretieren, Punktproben durchführen, Darstellungen in $\mathbb R^2$ ineinander überführen und die Lagefälle schneidend, echt parallel, identisch und im Raum windschief vollständig analysieren können.

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Normalvektoren in $\mathbb R^2$ zu Richtungsvektoren und Geraden aufstellen, Orthogonalität mithilfe des Skalarprodukts prüfen, Geraden in Normal- und Koordinatenform beschreiben und interpretieren sowie Normalvektoren zur Untersuchung von Parallelität, Senkrechtstellung, Punktlagen, Halbebenen und Abständen verständig einsetzen können.

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Definitionen von Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können.

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Definitionen von Sinus und Cosinus für Winkel größer als 90° kennen und einsetzen können.

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Mathematische Aussagen erkennen und ihren Wahrheitswert bestimmen; Aussagen korrekt negieren; Aussagen mit UND und dem einschließenden ODER verknüpfen; Wahrheitstabellen schrittweise erstellen und zusammengesetzte Aussagen damit untersuchen können.

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Lineare Ungleichungen in zwei Variablen als Halbebenen darstellen, den gemeinsamen Lösungsbereich mehrerer Ungleichungen bestimmen, Sachprobleme durch lineare Nebenbedingungen und eine lineare Zielfunktion modellieren, relevante Eckpunkte berechnen, Maximum oder Minimum bestimmen und die optimale Lösung einschließlich besonderer Lösungsfälle im Kontext deuten können.

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Kreis- und Kugelgleichungen erkennen, Mittelpunkt und Radius bestimmen sowie Gleichungen aus geometrischen Angaben aufstellen; Punktproben, Lagebeziehungen, Schnittpunkte und Tangenten bearbeiten; Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel anhand geeigneter Gleichungen oder Graphen unterscheiden und Geraden mit Kegelschnitten schneiden beziehungsweise Tangenten in gegebenen Punkten bestimmen können.

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Winkelangaben im Gradmaß und im Bogenmaß sicher erkennen und geometrisch interpretieren; die Beziehung 180 Grad gleich Pi Radiant verstehen; Winkel exakt oder näherungsweise vom Gradmaß in das Bogenmaß und vom Bogenmaß in das Gradmaß umrechnen sowie Ergebnisse durch Größenordnung, Vollwinkel und Taschenrechnereinstellung kontrollieren können.

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Polarkoordinaten eines Punktes als Abstand vom Ursprung und Richtungswinkel erkennen und geometrisch deuten; Punkte sicher von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten und zurück umwandeln; dabei Grad- und Bogenmaß, Quadranten, Achsenpunkte, Ursprung und gleichwertige Winkelangaben korrekt behandeln sowie Ergebnisse durch Vorzeichen, Betrag und Rückrechnung kontrollieren können.

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Matrizen als strukturierte Datenanordnungen erkennen, Dimensionen und Eintraege sicher lesen und Daten sinnvoll anordnen; gleich dimensionierte Matrizen addieren und subtrahieren sowie mit Skalaren multiplizieren; die Multiplizierbarkeit pruefen, Produkte nach dem Zeile-mal-Spalte-Prinzip berechnen und ihre Dimension bestimmen; Einheitsmatrix, Determinante, Singularitaet und technologiegestuetzt bestimmte Inverse verstehen; Matrixrechnungen im Kontext interpretieren sowie Gozintographen lesen, erstellen und mit Matrixdarstellungen verknuepfen koennen.

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Explizite und implizite Geradengleichungen aufstellen und ineinander umformen sowie lineare Kosten-, Erlös- und Gewinnmodelle aus wirtschaftlichen Kontexten bilden, ihre Parameter deuten, Break-even-Punkte bestimmen und die Angemessenheit linearer Modelle beurteilen können.

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Logarithmusfunktionen aus Gleichungen erkennen, ihre Graphen skizzieren, Definitionsmengen bestimmen, typische Eigenschaften und Parametereinflüsse beschreiben, einfache Logarithmusgleichungen lösen sowie Exponentialgleichungen mithilfe von Logarithmen oder bei komplexeren Formen technologieunterstützt lösen und die Ergebnisse überprüfen können.

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Eine Parameterdarstellung als Zuordnung eines Parameters zu den Koordinaten eines Kurvenpunkts verstehen, zu gegebenen Parameterwerten Kurvenpunkte berechnen, parametrisch gegebene ebene Kurven mit elektronischen Hilfsmitteln darstellen und Parameterwerte im jeweiligen Sachkontext interpretieren können.

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Quadratische Funktionen und allgemeine Polynomfunktionen aus geeigneten Bedingungen bestimmen, indem ein passender Funktionsterm angesetzt, die gegebenen Bedingungen in Gleichungen für die unbekannten Koeffizienten übersetzt, das entstehende Gleichungssystem gelöst und die erhaltene Funktionsgleichung kontrolliert wird.

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Aus gegebenen Funktionen Summen-, Differenz-, Produkt- und Quotientenfunktionen unter Beachtung der jeweiligen Definitionsbereiche bilden sowie Funktionen verketten, Funktionsterme von Verkettungen bestimmen und die unterschiedliche Reihenfolge von f∘g und g∘f erkennen können.

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Einfache Gleichungen mit Sinus oder Cosinus rechnerisch lösen, alle innerhalb eines vorgegebenen Intervalls liegenden Lösungen bestimmen und die vollständige Lösungsmenge unter Berücksichtigung der Periodizität in Grad- oder Bogenmaß angeben können.

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Umkehrfunktionen als Rückgängigmachen eindeutiger Zuordnungen verstehen, die Umkehrbarkeit einer Funktion im betrachteten Definitionsbereich prüfen, Umkehrfunktionen algebraisch bestimmen, die Spiegelung der Graphen an y = x deuten und beim Umkehren Definitions- und Wertemenge korrekt vertauschen können.

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Für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann.

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Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen können.

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Zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln können.

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Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte beziehungsweise Wertepaare ermitteln und im Kontext deuten können.

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Eigenschaften von Funktionen erkennen, nennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie und Monotoniewechsel, lokale Extrema, Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten und Achsenschnittpunkte.

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Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen grafisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren können.

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Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können.

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Durch Gleichungen gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten und Funktionswerte ermitteln können.

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Einen Überblick über lineare, Potenz-, Polynom-, Exponential- und trigonometrische Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen und ihre Eignung für Zusammenhänge begründet beurteilen können. Bei den trigonometrischen Funktionen stehen insbesondere Sinus- und Cosinusfunktionen im Mittelpunkt.

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Verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen und zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können.

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Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Wertepaare sowie die Parameter k und d ermitteln und im Kontext deuten können.

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Die Wirkung der Parameter k und d kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können.

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Die Eigenschaften f(x+1)=f(x)+k und den konstanten Differenzenquotienten k=f'(x) kennen und im Kontext deuten können.

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Die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können.

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Direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ f(x)=k·x beschreiben können.

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Verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung gegebene Zusammenhänge als Potenzfunktionen f(x)=a·x^z+b mit z∈ℤ\{0} beziehungsweise z=1/2 erkennen und zwischen den Darstellungsformen wechseln können.

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Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Potenzfunktionen Wertepaare sowie die Parameter a und b ermitteln und im Kontext deuten können.

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Die Wirkung der Parameter a und b bei Potenzfunktionen kennen und die Parameter im Kontext deuten können.

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Indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ f(x)=a/x beziehungsweise f(x)=a·x⁻¹ beschreiben können.

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Typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion erkennen und beschreiben können.

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Zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Polynomzusammenhängen wechseln können.

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Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte sowie aus Tabellen, Graphen und quadratischen Funktionsgleichungen Argumentwerte ermitteln können.

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Den Zusammenhang zwischen dem Grad einer Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen kennen.

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Verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Formel gegebene exponentielle Zusammenhänge erkennen und zwischen den Darstellungsformen wechseln können.

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Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Wertepaare ermitteln und im Kontext deuten können.

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Die Wirkung der Parameter a und b beziehungsweise Lambda kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können.

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Die Eigenschaften f(x+1)=b·f(x) und (e^x)' = e^x kennen, herleiten und in mathematischen sowie sachbezogenen Kontexten deuten können.

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Die Begriffe Halbwertszeit und Verdoppelungszeit kennen, die entsprechenden Zeiten aus Exponentialmodellen berechnen und im Kontext deuten können.

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Die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion anhand von Datenmuster, Parametern, Einheiten, Kontext, Gültigkeitsbereich und Modellgrenzen bewerten können.

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Grafisch oder durch eine Gleichung gegebene Zusammenhänge der Form f(x)=a·sin(bx) als allgemeine Sinusfunktionen erkennen und zwischen Graph und Gleichung wechseln können.

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Aus Graphen und Gleichungen allgemeiner Sinusfunktionen Werte beziehungsweise Wertepaare ermitteln, Punktproben durchführen und Ergebnisse im Kontext deuten können.

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Die Wirkung der Parameter a und b in allgemeinen Sinusfunktionen der Form f(x)=a·sin(bx) kennen, am Graphen unterscheiden und im Kontext deuten können.

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Periodizität als charakteristische Eigenschaft von Sinusfunktionen erkennen, die kleinste positive Periodenlänge bestimmen und im Kontext deuten können.

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Wissen und grafisch verstehen, dass cos(x)=sin(x+pi/2) gilt, und zwischen Phasenverschiebung und horizontaler Verschiebung unterscheiden können.

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Wissen, dass die Ableitung der Sinusfunktion die Cosinusfunktion und die Ableitung der Cosinusfunktion die negative Sinusfunktion ist, und dies grafisch als Steigungszusammenhang deuten können.

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Polynomgleichungen bis zum vierten Grad erkennen und ihren Grad bestimmen; geeignete Gleichungen durch Herausheben oder Faktorisieren auf Nullproduktform zurueckfuehren; biquadratische Gleichungen durch Substitution loesen; nach Kenntnis einer Nullstelle einen Linearfaktor abspalten und die verbleibende Gleichung loesen; aus dem Grad die maximale Zahl reeller Loesungen begruenden und die gefundene Loesungsmenge vollstaendig kontrollieren koennen.

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Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme an einem endlichen Grenzwert erkennen, Sättigungswert, Anfangswert und Änderungsparameter deuten sowie Funktionswerte und Graphen interpretieren; logistisches Wachstum an seinem S-förmigen Verlauf erkennen, seine Parameter und den Wendepunkt deuten sowie Werte berechnen; lineare, exponentielle, beschränkte und logistische Modelle anhand von Daten, Änderungsverhalten und Sachkontext vergleichen, auswählen und hinsichtlich ihres Gültigkeitsbereichs begründet beurteilen können.

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Die Tangensfunktion an Gleichung und charakteristischem Graphen erkennen, ihren Verlauf in einem vorgegebenen Intervall mit getrennten Kurvenästen skizzieren, die Periodenlänge π zur Fortsetzung und zur Bestimmung gleichwertiger Winkel nutzen, Definitionslücken aus cos(x)=0 als senkrechte Asymptoten deuten sowie charakteristische Winkel und Funktionswerte sicher zwischen Grad- und Bogenmaß zuordnen können.

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Sinusschwingungen gleicher Kreisfrequenz aus Amplitude und Phase als Zeiger darstellen, die Zeiger in kartesische Komponenten zerlegen und addieren sowie aus dem Summenzeiger Amplitude und Phase der resultierenden Sinusschwingung bestimmen und die Überlagerung als einzelne allgemeine Sinusfunktion gleicher Frequenz angeben können.

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Logarithmisch skalierte Achsen anhand gleichmäßiger Abstände von Potenzen beziehungsweise Verhältnissen erkennen, positive Werte innerhalb einer Dekade korrekt ablesen und eintragen, gleiche Abstände als gleiche multiplikative Faktoren deuten sowie einfach- und doppeltlogarithmische Darstellungen unterscheiden und zweckmäßig auswählen können.

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Zahlenfolgen als geordnete Zuordnungen verstehen, Folgenglieder explizit und rekursiv berechnen, arithmetische und geometrische Folgen erkennen und darstellen sowie Monotonie, Beschränktheit und Grenzverhalten untersuchen können.

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Endliche arithmetische und geometrische Reihen erkennen und berechnen, Partialsummen deuten sowie Konvergenz und Summe unendlicher geometrischer Reihen prüfen und in Anwendungen einsetzen können.

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Schrittweise Prozesse als diskrete dynamische Systeme modellieren, rekursive Zustandsgleichungen aufstellen und iterieren, Gleichgewicht und Stabilität bestimmen sowie lineare Differenzengleichungen erster Ordnung und Diagramme deuten können.

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Einfache, ganzjährige, unterjährige und stetige Verzinsung unterscheiden und berechnen, unbekannte Kenngrößen bestimmen, äquivalente Zinssätze umrechnen sowie ein sachlich passendes Verzinsungsmodell auswählen können.

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Nachschüssige und vorschüssige Renten über Zahlungsströme und geometrische Reihen bewerten, Raten und Laufzeiten bestimmen, Effektivzinssätze deuten, Annuitätenschulden samt Tilgungsplan berechnen sowie Renten, Schulden, Spar- und Kreditangebote äquivalent vergleichen können.

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Rückflüsse bestimmen, Investitionen mit Kapitalwert, internem und modifiziertem internem Zinssatz dynamisch bewerten, die Kennzahlen wirtschaftlich interpretieren und eine nachvollziehbare Investitionsentscheidung begründen können.

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Nennwert, Kupon, Kurs, Barwert und Rendite festverzinslicher Wertpapiere unterscheiden, deren Zahlungsstrom darstellen, Preise an Kuponterminen und Renditen berechnen sowie Ergebnisse prüfen und Wertpapiere wirtschaftlich vergleichen können.

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Absolute und relative beziehungsweise prozentuelle Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können.

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Den Zusammenhang zwischen Differenzenquotient und Differenzialquotient auf Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffs kennen und verbal sowie formal kontextbezogen anwenden können.

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Differenzen- und Differenzialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und Sachverhalte damit beschreiben können.

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Einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel sowie Regeln für $\left(k\cdot f(x)\right)'$ und $\left(f(kx)\right)'$.

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Die Begriffe Ableitungsfunktion und Stammfunktion kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können.

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Den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion beziehungsweise Funktion und Stammfunktion in grafischen Darstellungen erkennen und beschreiben können.

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Eigenschaften von Funktionen mithilfe der Ableitungsfunktion beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung sowie Wendestellen.

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Den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können.

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Einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für konstante Faktoren und lineare innere Skalierung sowie bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können.

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Das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können.

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Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel sicher auswählen und anwenden sowie Exponential-, Logarithmus- und Tangensfunktionen auch in zusammengesetzten Termen ableiten können.

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Zweite und höhere Ableitungen bilden, Tangenten und Steigungswinkel bestimmen sowie Funktionen in der Umgebung einer Stelle durch ihre Tangente lokal linear approximieren, Näherungswerte berechnen, interpretieren und die Güte der Approximation beurteilen können.

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Grundstammfunktionen für Exponential-, Kehrwert-, Logarithmus- und trigonometrische Funktionen auswählen, Faktor- und Summenregel sowie die lineare Substitution anwenden und Ergebnisse durch Ableiten kontrollieren können.

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Nullstellen mit einem Iterationsverfahren näherungsweise bestimmen, geeignete Abbruchkriterien anwenden, bestimmte Integrale mit Trapez-, Kepler- und Simpsonregel approximieren und numerische Ergebnisse mit Technologie sowie durch Plausibilitätskontrollen absichern können.

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Den Integralmittelwert einer Funktion auf einem Intervall mit der Formel bestimmen, als durchschnittlichen Funktionswert deuten und Ergebnisse in Sachzusammenhängen einschließlich Vorzeichen und Einheit verständlich interpretieren können.

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Grenzwerte von Folgen und Funktionen anschaulich, grafisch und bei einfachen Beispielen rechnerisch bestimmen; Konvergenz und Divergenz unterscheiden; Stetigkeit mit einseitigen Grenzwerten und Funktionswert prüfen; typische Unstetigkeitsstellen erkennen sowie Stetigkeit und Differenzierbarkeit richtig miteinander in Beziehung setzen können.

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In Optimierungsaufgaben Zielgröße und Nebenbedingung unterscheiden, die Nebenbedingung nach einer Variablen auflösen, die Zielfunktion auf eine Variable reduzieren, das relevante Maximum oder Minimum einschließlich zulässiger Randwerte bestimmen und die optimale Lösung vollständig in den Sachzusammenhang zurückübersetzen können.

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Angebots-, Nachfrage-, Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen aufstellen, ihre charakteristischen wirtschaftlichen Werte bestimmen und deuten, Preiselastizitäten berechnen, ertragsgesetzliche Kostenverläufe untersuchen sowie Betriebsoptimum, Betriebsminimum, Preisuntergrenzen, Gewinnzone, Deckungsbeitrag, Erlösmaximum, Gewinnmaximum, Cournot-Punkt und Grenzfunktionen sicher miteinander in Beziehung setzen können.

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Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen aus ihren Grenzfunktionen durch Integration und eine Anfangsbedingung rekonstruieren sowie kontinuierliche Zahlungsströme als Ratenfunktionen modellieren, über Zeitintervalle integrieren und den Integralwert mit Grenzen, Vorzeichen und Einheiten wirtschaftlich deuten können.

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Funktionen mehrerer Variablen nach einer ausgewählten Variablen partiell ableiten, partielle Ableitungen an einem Punkt auswerten, daraus das totale Differential aufstellen und kleine Änderungen sowie maximale Messfehler der Eingangsgrößen schrittweise auf den Funktionswert übertragen und mit Einheit deuten können.

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Glatte Funktionen in der Nähe eines Entwicklungspunktes durch Taylorpolynome beschreiben, deren Koeffizienten aus Ableitungen bestimmen und damit Funktionswerte näherungsweise berechnen sowie periodische Funktionen als Überlagerung von Sinus- und Cosinusschwingungen auffassen, Fourier-Koeffizienten durch Integration bestimmen und Fourier-Teilsummen schrittweise aufstellen und deuten können.

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Diskrete und kontinuierliche Änderungsmodelle unterscheiden, aus Sachzusammenhängen Differenzen- oder Differentialgleichungen aufstellen, separierbare und lineare Differentialgleichungen erster Ordnung lösen, lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten über die charakteristische Gleichung behandeln, Anfangsbedingungen anwenden und Anfangswertprobleme numerisch annähern können.

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Werte aus tabellarischen und elementaren grafischen Darstellungen ablesen, zusammengesetzte Werte ermitteln und im Kontext angemessen interpretieren können.

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Tabellen und einfache statistische Grafiken erstellen und zwischen Darstellungsformen wechseln können.

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Statistische Kennzahlen wie Häufigkeiten, Mittelwert, Median, Modus, Quartile, Spannweite, empirische Varianz und Standardabweichung im Kontext interpretieren und für einfache Datensätze ermitteln können.

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Definition und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und Medians angeben und nutzen, Quartile ermitteln und interpretieren sowie die Wahl einer Kennzahl begründen können.

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Grundraum und Ereignisse in angemessenen Situationen verbal beziehungsweise formal angeben können.

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Relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden können.

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Wahrscheinlichkeit unter der Laplace-Annahme berechnen und interpretieren sowie Additions- und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können.

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Den Binomialkoeffizienten berechnen und interpretieren können.

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Die Begriffe Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung verständig deuten und einsetzen können.

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Die Binomialverteilung als diskretes Modell kennen, Wahrscheinlichkeiten berechnen sowie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung ermitteln und im Kontext deuten können.

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Situationen erkennen und beschreiben können, in denen mit der Binomialverteilung modelliert werden kann.

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Die Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können.

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Qualitative und quantitative Merkmale unterscheiden, nominale, ordinale und metrische Skalen begründet zuordnen, daraus zulässige statistische Auswertungen ableiten sowie das geometrische Mittel positiver Werte und multiplikativer Änderungsfaktoren berechnen und interpretieren können.

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Wahrscheinlichkeiten, Quantile und symmetrische Intervalle einer Normalverteilung bestimmen, Sigma-Regeln anwenden und Ergebnisse im Kontext deuten können.

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Den klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriff für gleichwahrscheinliche Ergebnisse und den statistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff als langfristig stabilisierende relative Häufigkeit erklären, ihre Voraussetzungen vergleichen und für eine Situation einen passenden Modellierungszugang auswählen können.

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Diskrete und stetige Zufallsvariablen unterscheiden, Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichtefunktion und Verteilungsfunktion erklären sowie eine Binomialverteilung bei geeigneten Parametern mit passender Normalverteilung einschließlich Stetigkeitskorrektur approximieren, mit exakten Werten vergleichen und die Wirkung von Erwartungswert und Standardabweichung auf den Normalgraphen deuten können.

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Grundgesamtheit, Stichprobe, unbekannte Parameter und Stichprobenkennzahlen unterscheiden; Lage-, Streuungs- und Anteilsparameter aus Einzel- oder klassierten Daten schätzen; Konfidenzniveau, Signifikanzniveau und Quantile deuten; Konfidenzintervalle für Erwartungswert, Standardabweichung und Anteil rechnerisch beziehungsweise technologieunterstützt bestimmen, interpretieren und hinsichtlich Stichprobenumfang und Intervallbreite beurteilen können.

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Signifikanzniveau und statistische Signifikanz deuten, Referenzwerte mit passenden Konfidenzintervallen vergleichen, statistische und praktische Relevanz unterscheiden, Null- und Alternativhypothesen formulieren, kritische Bereiche oder p-Werte für einfache Tests bestimmen, Testentscheidungen korrekt im Kontext ausdrücken und mögliche Fehlentscheidungen erklären können.

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Bivariate Daten und ihre Punktwolke beschreiben, Residuen und Fehlerquadratsumme bestimmen, die Methode der kleinsten Quadrate erklären, lineare und andere Ausgleichsfunktionen technologieunterstützt ermitteln, ihre Parameter im Kontext deuten, Korrelationskoeffizienten bestimmen und interpretieren, die Modelleignung beurteilen sowie Interpolation und riskantere Extrapolation unterscheiden können.

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Lorenzkurven als kumulierte Konzentrationsdarstellungen erklären, aus geordneten nichtnegativen Daten beziehungsweise Gruppenanteilen erstellen und interpretieren sowie den Gini-Koeffizienten als normierte Abweichung von der Gleichverteilung mit geeigneten Formeln berechnen, vergleichen und im Kontext sachgerecht deuten können.