Normalvektoren in R²

• zu einem Richtungsvektor einen Normalvektor aufstellen,
• einen Normalvektor aus einer Geradengleichung ablesen,
• Orthogonalität verständig prüfen,
• Normalvektoren zur Beschreibung und Umformung von Geraden einsetzen,
• die geometrische Bedeutung als senkrechte Richtung interpretieren.

Normalform, Koordinatenform und Parameterform werden verwendet, soweit sie das verständige Einsetzen und Interpretieren des Normalvektors unterstützen.

Weitere Anwendungen

Punktlage in Halbebenen und Punkt-Geraden-Abstand bauen auf dem sicheren Umgang mit Normalvektoren und Geradengleichungen auf und werden anschließend als Anwendungen behandelt.

Orthogonale Vektoren und Normalvektoren

Für zwei von null verschiedene Vektoren gilt:

Normalvektor aus einem Richtungsvektor bilden

Ist

dann erhält man einen Normalvektor in zwei kurzen Schritten:

1. Koordinaten vertauschen: Aus $(a,b)$ wird $(b,a)$.
2. Ein Vorzeichen ändern: Daraus wird zum Beispiel $(b,-a)$ oder $(-b,a)$.

Beispiel

Kontrolle:

Merke: Auch jedes von null verschiedene Vielfache von $\vec n$ ist wieder ein Normalvektor.

Drei mögliche Normalvektoren

Zu

passen zum Beispiel

Fehlende Koordinate

Für welchen Wert von $x$ ist

ein Normalvektor zu

Zeilenweise gerechnet:

Normalvektor aus der Koordinatenform ablesen

Eine Gerade in Koordinatenform lautet

Die Koeffizienten von $x$ und $y$ bilden einen Normalvektor:

Beispiel

Ein passender Richtungsvektor ist etwa

denn $3\cdot2+(-2)\cdot3=0$.

Normalform einer Geraden

Ist $P=(p_1\mid p_2)$ ein Punkt auf der Geraden und $\vec n$ ein Normalvektor, dann gilt:

Schritt für Schritt

Gegeben:

1. $\vec X$ und $\vec P$ als Koordinatenvektoren schreiben

2. Normalform einsetzen

3. Skalarprodukt ausmultiplizieren

4. Zur Koordinatenform ordnen

Von der Koordinatenform zur Parameterform

Gegeben ist

Vorgehensweise

1. Normalvektor $\vec n=(a,b)$ ablesen.
2. Einen orthogonalen Richtungsvektor bilden.
3. Einen einfachen Punkt $P$ auf der Geraden bestimmen.
4. Die Parameterform schreiben:

5. Zeilenweises Anschreiben zur Kontrolle.

Beispiel

Normal- und Richtungsvektor:

Für $x=0$ folgt $y=6$. Daher kann $P=(0\mid6)$ verwendet werden.

Zeilenweises Anschreiben:

Von der Parameterform zur Koordinatenform

Gegeben ist

Vorgehensweise

1. $\vec X=(x,y)$ schreiben.
2. Richtungsvektor $\vec r$ ablesen.
3. Normalvektor bilden.
4. Normalform $(\vec X-\vec P)\cdot\vec n=0$ aufstellen.
5. Ausmultiplizieren und zu $ax+by=c$ ordnen.

Beispiel

Ein Normalvektor ist

Zeilenweise lautet die Parameterform

Damit gilt tatsächlich $(1+3t)+3(2-t)=7$.

Parallele und senkrechte Geraden

Parallel

Zwei Geraden in Koordinatenform sind parallel, wenn ihre Normalvektoren Vielfache sind.

Die Geraden sind parallel. Da nicht die gesamte Gleichung mit demselben Faktor vervielfacht wurde, sind sie verschieden.

Senkrecht

Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind. Gleichwertig können ihre Normalvektoren mit dem Skalarprodukt geprüft werden.

Punktlage und Halbebenen

Die Gerade $ax+by=c$ teilt die Ebene in zwei Halbebenen. Für einen Punkt $P=(x_0\mid y_0)$ betrachtet man

• $F(P)=0$: Der Punkt liegt auf der Geraden.
• $F(P)>0$: Der Punkt liegt auf der positiven Seite.
• $F(P)<0$: Der Punkt liegt auf der anderen Seite.

Wichtig: Wird die gesamte Geradengleichung mit $-1$ multipliziert, bleibt die Gerade gleich. Die Bezeichnung der positiven und negativen Seite wechselt jedoch.

Abstand eines Punktes von einer Geraden

Für

und $P=(x_0\mid y_0)$ gilt:

Beispiel

Typische Fehler

• Die Komponenten werden nur vertauscht, aber kein Vorzeichen wird geändert.
• Bei $ax+by=c$ wird ein Vorzeichen des Normalvektors übersehen.
• In der Normalform wird $\vec X$ nicht als $(x,y)$ geschrieben.
• Beim Umformen fehlt das zeilenweise Anschreiben als Kontrolle.
• Beim Abstand wird der Betrag oder die Länge des Normalvektors vergessen.

Zusammenfassung

• Ein Normalvektor steht senkrecht auf der Geradenrichtung.
• Aus $(a,b)$ erhält man etwa $(b,-a)$ oder $(-b,a)$.
• In $ax+by=c$ ist $(a,b)$ ein Normalvektor.
• Die Normalform lautet $(\vec X-\vec P)\cdot\vec n=0$.
• Die Parameterform wird als $g:\vec X=\vec P+t\vec r$ geschrieben.
• Beim Umwandeln hilft das zeilenweise Anschreiben.
• Normalvektoren helfen bei Parallelität, Senkrechtstellung, Halbebenen und Abständen.