Normalvektoren in R²

Interaktive Visualisierung

Normalvektoren in R²

Der Richtungsvektor zeigt entlang der Geraden. Ein Normalvektor steht senkrecht auf ihr.

Gegeben

P = (1|2)

d = (3|-2)

n = (2|3)

Normalvektor wählen

Auch Vielfache eines Normalvektors stehen senkrecht auf derselben Geraden.

Orthogonalitätsprüfung

d · n = 3 · 2 + -2 · 3 = 0

d · n = 0 → d ⟂ n

Richtungsvektor → Normalvektor

Aus d = (3|-2) erhält man zum Beispiel n = (2|3).

Komponenten vertauschen und bei einer Komponente das Vorzeichen ändern.

Normalvektorform

n · (X − P) = 0

Für jeden Punkt X der Geraden steht X − P senkrecht auf n.

Allgemeine Geradengleichung

2x + 3y = 8

Bei ax + by = c ist n = (a|b) ein Normalvektor.

Merke: Ein Normalvektor steht senkrecht auf der Geraden. Deshalb ist sein Skalarprodukt mit jedem Richtungsvektor der Geraden gleich null.

Ein Normalvektor steht senkrecht auf einer Geraden und damit auch senkrecht auf jedem Richtungsvektor dieser Geraden.

Arbeitsplan: Ausgangsdarstellung erkennen → Normalvektor bilden oder ablesen → $\vec X$ als Koordinatenvektor schreiben → zeilenweise anschreiben → Zielform aufstellen → Ergebnis kontrollieren.

Orientierung im Themenverbund

Normalvektoren im Mittelpunkt

Im Mittelpunkt stehen Normalvektoren in $\mathbb{R}^2$ :

zu einem Richtungsvektor einen Normalvektor aufstellen,
einen Normalvektor aus einer Geradengleichung ablesen,
Orthogonalität verständig prüfen,
Normalvektoren zur Beschreibung und Umformung von Geraden einsetzen,
die geometrische Bedeutung als senkrechte Richtung interpretieren.

Normalform, Koordinatenform und Parameterform werden verwendet, soweit sie das verständige Einsetzen und Interpretieren des Normalvektors unterstützen.

Weitere Anwendungen

Punktlage in Halbebenen und Punkt-Geraden-Abstand bauen auf dem sicheren Umgang mit Normalvektoren und Geradengleichungen auf und werden anschließend als Anwendungen behandelt.

Orthogonale Vektoren und Normalvektoren

Für zwei von null verschiedene Vektoren gilt:

\vec n\perp\vec r \quad\Longleftrightarrow\quad \vec n\cdot\vec r=0.

Eine Gerade mit Richtungs- und Normalvektor

Normalvektor aus einem Richtungsvektor bilden

Ist

\vec r=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix},

dann erhält man einen Normalvektor in zwei kurzen Schritten:

Koordinaten vertauschen: Aus $(a,b)$ wird $(b,a)$ .
Ein Vorzeichen ändern: Daraus wird zum Beispiel $(b,-a)$ oder $(- b,$ .

\vec n_1=\begin{pmatrix}b\\-a\end{pmatrix}, \qquad \vec n_2=\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}.

Beispiel

\vec r=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \vec n=\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}.

Kontrolle:

\vec r\cdot\vec n =3\cdot(-2)+2\cdot3=0.

Merke: Auch jedes von null verschiedene Vielfache von $\vec n$ ist wieder ein Normalvektor.

Drei mögliche Normalvektoren

\vec r=\begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}

passen zum Beispiel

\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix}-2\\-5\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix}6\\15\end{pmatrix}.

Fehlende Koordinate

Für welchen Wert von $x$ ist

\vec n=\begin{pmatrix}x\\3\end{pmatrix}

ein Normalvektor zu

\vec r=\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}?

Zeilenweise gerechnet:

\begin{aligned} \vec r\cdot\vec n&=0,\\ 6x+2\cdot3&=0,\\ 6x&=-6,\\ x&=-1. \end{aligned}

Normalvektor aus der Koordinatenform ablesen

Eine Gerade in Koordinatenform lautet

g:\quad ax+by=c.

Die von $x$ und $y$ bilden einen Normalvektor:

\vec n=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}.

Beispiel

g:\quad3x-2y=7 \quad\Longrightarrow\quad \vec n=\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}.

Ein passender Richtungsvektor ist etwa

\vec r=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix},

denn $3\cdot2+(-2)\cdot3=0$ .

Normalform einer Geraden

Ist $P=(p_1\mid p_2)$ ein Punkt auf der Geraden und $\vec n$ ein Normalvektor, dann gilt:

g:\quad(\vec X-\vec P)\cdot\vec n=0.

Geometrische Bedeutung der Normalform

Schritt für Schritt

Gegeben:

P=(2\mid-1), \qquad \vec n=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}.

1. $\vec X$ und $\vec P$ als Koordinatenvektoren schreiben

\vec X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}, \qquad \vec P=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}.

2. Normalform einsetzen

\left( \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix} =0.

3. Skalarprodukt ausmultiplizieren

3(x-2)+4(y+1)=0.

4. Zur Koordinatenform ordnen

3x-6+4y+4=0 \quad\Longrightarrow\quad 3x+4y=2.

Von der Koordinatenform zur Parameterform

Gegeben ist

g:\quad ax+by=c.

Vorgehensweise

Normalvektor $\vec n=(a,b)$ ablesen.
Einen orthogonalen Richtungsvektor bilden.
Einen einfachen Punkt $P$ auf der Geraden bestimmen.
Die Parameterform schreiben:

g:\quad\vec X=\vec P+t\vec r.

Zeilenweises Anschreiben zur Kontrolle.

Beispiel

g:\quad2x+y=6.

Normal- und Richtungsvektor:

\vec n=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}, \qquad \vec r=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}.

Für $x=0$ folgt $y=6$ . Daher kann $P=(0\mid6)$ verwendet werden.

g:\quad \vec X= \begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix} +t \begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}.

Zeilenweises Anschreiben:

\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix} +t \begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}

\begin{aligned} x&=t,\\ y&=6-2t. \end{aligned}

Von der Parameterform zur Koordinatenform

Gegeben ist

g:\quad\vec X=\vec P+t\vec r.

Vorgehensweise

$\vec X=(x,y)$ schreiben.
Richtungsvektor $\vec r$ ablesen.

Beispiel

g:\quad \vec X= \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} +t \begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}.

Ein Normalvektor ist

\vec n=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}.

\left( \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} =0.

(x-1)+3(y-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x+3y=7.

Zeilenweise lautet die Parameterform

\begin{aligned} x&=1+3t,\\ y&=2-t. \end{aligned}

Damit gilt tatsächlich $(1+3t)+3(2-t)=7$ .

Parallele und senkrechte Geraden

Parallel

Zwei Geraden in Koordinatenform sind parallel, wenn ihre Normalvektoren Vielfache sind.

g:\quad2x-3y=5, \qquad h:\quad4x-6y=-1.

\vec n_h= \begin{pmatrix}4\\-6\end{pmatrix} =2 \begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix} =2\vec n_g.

Die Geraden sind parallel. Da nicht die gesamte mit demselben vervielfacht wurde, sind sie verschieden.

Senkrecht

Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind. Gleichwertig können ihre Normalvektoren mit dem Skalarprodukt geprüft werden.

g:\quad2x+y=4, \qquad h:\quad x-2y=3.

\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix} =2-2=0.

Punktlage und Halbebenen

Die Gerade $ax+by=c$ teilt die Ebene in zwei Halbebenen. Für einen Punkt $P=(x_0\mid y_0)$ betrachtet man

F(P)=ax_0+by_0-c.

$F(P)=0$ : Der Punkt liegt auf der Geraden.
$F(P)>0$ : Der Punkt liegt auf der positiven Seite.
$F(P)<0$ : Der Punkt liegt auf der anderen Seite.

Halbebenen und Normalenrichtung

Wichtig: Wird die gesamte Geradengleichung mit $-1$ multipliziert, bleibt die Gerade gleich. Die Bezeichnung der positiven und negativen Seite wechselt jedoch.

Abstand eines Punktes von einer Geraden

Für

g:\quad ax+by=c

und $P=(x_0\mid y_0)$ gilt:

d(P,g)= \frac{|ax_0+by_0-c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.

Der kürzeste Abstand verläuft in Normalenrichtung

Beispiel

g:\quad3x+4y=0, \qquad P=(4\mid1).

d(P,g) = \frac{|3\cdot4+4\cdot1|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{16}{5} =3{,}2.

Typische Fehler

Die Komponenten werden nur vertauscht, aber kein Vorzeichen wird geändert.
Bei $ax+by=c$ wird ein Vorzeichen des Normalvektors übersehen.
In der Normalform wird $\vec X$ nicht als geschrieben.

Zusammenfassung

Ein Normalvektor steht senkrecht auf der Geradenrichtung.
Aus $(a,b)$ erhält man etwa $(b,-a)$ oder $(-b,a)$ .
In $ax+by=c$ ist ein Normalvektor.

Normalvektoren in R²