Zum HauptinhaltTheorie wird geladen …
Vierecke und Vielecke | LerncoachMG 4.6
Vierecke und Vielecke
Lies die Erklärung in Ruhe durch und nutze anschließend die Schrittlisten, um das Vorgehen sicher anzuwenden.
Passend für
Mathematische Grundlagen8 Schrittlistenonline lernen
Vierecke und Vielecke
Kompetenzcode: MG 4.6
Vierecke begegnen dir überall: bei Fenstern, Fliesen, Schildern, Dächern oder Spielfeldern.
In diesem Kapitel lernst du,
- Rechteck und Quadrat anhand ihrer Eigenschaften zu unterscheiden,
- Parallelogramm, Raute, Trapez und Drachenviereck zu erkennen,
- den Flächeninhalt eines Parallelogramms zu berechnen,
- den Flächeninhalt eines Trapezes zu berechnen,
- die Winkelsumme eines Vielecks zu bestimmen.
1. Was ist ein Viereck?
Ein Viereck besitzt
- vier Seiten,
- vier Eckpunkte,
- vier Innenwinkel.
Die Summe der vier Innenwinkel beträgt immer
360
MG 4.6 - Rechteck und Quadrat unterscheiden
Rechteck und Quadrat anhand von rechten Winkeln, Seitenlängen und Parallelität sicher unterscheiden.
- 1
Vier rechte Winkel prüfen
Erkennen, dass sowohl Rechteck als auch Quadrat vier 90°-Winkel besitzen.
- 2
Gegenseiten beim Rechteck prüfen
Gegenüberliegende Seiten als gleich lang und parallel erkennen.
- 3
Vier gleiche Seiten prüfen
Erkennen, dass beim Quadrat alle vier Seiten gleich lang sind.
- 4
Quadrat als besonderes Rechteck deuten
Verstehen, dass jedes Quadrat die Rechteck-Eigenschaften erfüllt.
- 5
Viereck korrekt benennen
Aus den gegebenen Eigenschaften Rechteck oder Quadrat auswählen.
MG 4.6 - Parallelogramm erkennen
Ein Parallelogramm anhand zweier Paare paralleler und gleich langer Gegenseiten erkennen.
Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben.
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
∘
.
Viele Vierecke besitzen zusätzliche Eigenschaften. Genau diese Eigenschaften helfen dir beim Erkennen.
2. Rechteck und Quadrat unterscheiden
Rechteck
Ein Rechteck besitzt vier rechte Winkel:
90∘,90∘,90∘,90∘. Außerdem sind jeweils die gegenüberliegenden Seiten
Für die Seitenlängen a und b gilt daher:
a,b,a,b. Quadrat
Ein Quadrat besitzt ebenfalls vier rechte Winkel.
Zusätzlich sind aber alle vier Seiten gleich lang:
a=a=a=a. Das Quadrat ist also ein besonderes Rechteck.
Merke:
Rechteck: vier rechte Winkel.
Quadrat: vier rechte Winkel und vier gleich lange Seiten.
Beispiel
Ein Viereck hat vier rechte Winkel. Zwei Seiten sind 6cm lang und zwei Seiten 4cm.
Rechteck Sind dagegen alle vier Seiten 5cm lang und alle Winkel 90∘, dann ist es ein
Quadrat.
3. Parallelogramm erkennen
Ein Parallelogramm besitzt zwei Paare paralleler gegenüberliegender Seiten.
a∥c b∥d. Außerdem sind gegenüberliegende Seiten gleich lang.
Auch gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
Ein Parallelogramm muss keine rechten Winkel besitzen.
Tipp: Lass dich nicht von einer schrägen Zeichnung täuschen. Entscheidend sind die parallelen Seiten.
4. Raute erkennen
Eine Raute besitzt vier gleich lange Seiten:
a=b=c=d. Außerdem sind jeweils gegenüberliegende Seiten parallel.
Eine Raute kann wie ein „schräges Quadrat“ aussehen.
Ein Quadrat hat vier rechte Winkel.
Eine Raute muss keine rechten Winkel besitzen.
Vergleich
- vier gleich lange Seiten,
- vier rechte Winkel.
- vier gleich lange Seiten,
- gegenüberliegende Seiten parallel,
- Winkel müssen nicht 90∘ sein.
Merke: Jedes Quadrat ist eine Raute. Aber nicht jede Raute ist ein Quadrat.
5. Trapez erkennen
Ein Trapez besitzt ein Paar paralleler gegenüberliegender Seiten.
Diese parallelen Seiten werden häufig mit
a∥c. Die beiden anderen Seiten müssen nicht parallel sein.
Für typische Schulaufgaben erkennst du ein Trapez also an den beiden parallelen Grundseiten.
Die senkrechte Entfernung zwischen diesen parallelen Seiten heißt Höhe:
6. Drachenviereck erkennen
Ein Drachenviereck besitzt zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten.
Wichtig ist das Wort benachbart:
Die gleich langen Seiten liegen jeweils direkt nebeneinander.
Ein Drachenviereck ist häufig achsensymmetrisch.
Vergleich mit der Raute
alle vier Seiten gleich lang je zwei benachbarte Seiten gleich lang.
7. Die wichtigsten Eigenschaften im Überblick
Tipp: Achte beim Erkennen zuerst auf rechte Winkel, dann auf gleich lange Seiten und schließlich auf Parallelität.
8. Flächeninhalt eines Parallelogramms
Für den Flächeninhalt eines Parallelogramms brauchst du
- eine Grundseite,
- die zugehörige Höhe.
Für die Grundseite a und die Höhe ha gilt:
A=a⋅ha. Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite.
Sie ist nicht einfach die schräge Seitenlänge.
9. Beispiel zum Parallelogramm
a=8cm,ha=5cm. Gesucht ist der Flächeninhalt.
A=a⋅ha. A=40cm2.
Merke: Beim Flächeninhalt verwendest du immer eine Quadrateinheit:
cm2,m2,…
10. Warum funktioniert A=a⋅ha?
Stell dir vor, du schneidest an einer Seite des Parallelogramms ein Dreieck ab und setzt es auf der anderen Seite wieder an.
So entsteht ein Rechteck.
- dieselbe Grundseite a,
- dieselbe Höhe ha,
- denselben Flächeninhalt.
A=a⋅ha.
11. Flächeninhalt eines Trapezes
Ein Trapez hat zwei parallele Seiten.
Die Höhe zwischen ihnen heißt
Für den Flächeninhalt gilt:
A=2(a+c)⋅h. Du kannst dir die Formel so merken:
- Addiere die beiden parallelen Seiten.
- Multipliziere mit der Höhe.
- Teile durch 2.
12. Beispiel zum Trapez
a=10cm,c=6cm,h=4cm. A=2(10+6)⋅4. A=216⋅4. A=264. A=32cm2.
13. Warum wird beim Trapez durch 2 geteilt?
Wenn du zwei gleiche Trapeze passend zusammensetzt, entsteht ein Parallelogramm.
Dieses Parallelogramm hat die Grundseite
(a+c)⋅h. Ein einzelnes Trapez ist genau die Hälfte davon.
A=2(a+c)⋅h.
14. Typischer Fehler bei Flächenformeln
Beim Parallelogramm und beim Trapez brauchst du jeweils eine senkrechte Höhe.
Eine schräge Seitenlänge ist nicht automatisch die Höhe.
Achte auf den rechten Winkel:
90∘.
15. Was ist ein Vieleck?
Ein Vieleck ist eine geschlossene Figur aus mehreren geraden Seiten.
- Dreieck: 3 Seiten
- Viereck: 4 Seiten
- Fünfeck: 5 Seiten
- Sechseck: 6 Seiten
- Achteck: 8 Seiten
Für ein Vieleck mit n Seiten sagt man auch:
n-Eck.
16. Winkelsumme eines Vielecks
Ein n-Eck kann von einem Eckpunkt aus in Dreiecke zerlegt werden.
Bei einem Viereck entstehen
Bei einem Fünfeck entstehen
Bei einem Sechseck entstehen
Da jedes Dreieck eine Winkelsumme von
S=(n−2)⋅180∘
- n ... Anzahl der Seiten,
- S ... Summe der Innenwinkel.
17. Winkelsumme eines Fünfecks
S=(n−2)⋅180∘. S=(5−2)⋅180∘. S=3⋅180∘. S=540∘.
18. Winkelsumme eines Achtecks
S=(8−2)⋅180∘. S=6⋅180∘. S=1080∘.
19. Fehlenden Winkel in einem Vieleck bestimmen
Kennst du alle Winkel bis auf einen, kannst du zuerst die gesamte Winkelsumme berechnen.
Beispiel: Fünfeck
Gegeben sind vier Winkel:
100∘,110∘,95∘,120∘. Schritt 1: Winkelsumme berechnen
S=(5−2)⋅180∘=540∘. Schritt 2: aufstellen
100∘+110∘+95∘+120∘+α=540∘. Die bekannten Winkel ergeben:
425∘+αα=540∘=115∘/−425∘ α=115∘.
20. Typische Fehler
Fehler 1: Rechteck und Quadrat nur nach dem Aussehen unterscheiden
Verlasse dich nicht darauf, ob eine Figur „quadratisch aussieht“.
- vier rechte Winkel,
- vier gleich lange Seiten.
Fehler 2: Raute und Drachenviereck verwechseln
alle vier Seiten gleich lang zwei Paare benachbarter Seiten gleich lang
Fehler 3: Schräge Seite als Höhe verwenden
Bei Flächenformeln ist die Höhe immer senkrecht zu den parallelen Seiten.
Fehler 4: Beim Trapez nur eine Grundseite verwenden
Die Trapezformel enthält beide parallelen Seiten:
A=2(a+c)⋅h.
Fehler 5: Winkelsumme mit n⋅180∘ berechnen
S=(n−2)⋅180∘. Denn ein n-Eck wird von einem Eckpunkt aus in n−2 Dreiecke zerlegt.
21. Das Wichtigste auf einen Blick
- vier rechte Winkel,
- gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel.
- vier rechte Winkel,
- vier gleich lange Seiten.
- zwei Paare paralleler Gegenseiten.
- vier gleich lange Seiten.
- ein Paar paralleler Gegenseiten.
- zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten.
A=a⋅ha A=2(a+c)⋅h Winkelsumme eines n-Ecks:
S=(n−2)⋅180∘. - 1
Gegenseiten finden
Je zwei gegenüberliegende Seiten eines Vierecks zuordnen.
- 2
Parallelität prüfen
Zwei Paare paralleler Gegenseiten erkennen.
- 3
Seitenlängen vergleichen
Gegenüberliegende Seiten als gleich lang erkennen.
- 4
Winkelbeziehung beachten
Gegenüberliegende Winkel als gleich groß erkennen.
- 5
Parallelogramm begründen
Die Figur anhand ihrer Eigenschaften und nicht nur nach dem Aussehen einordnen.
MG 4.6 - Raute erkennen
Eine Raute anhand ihrer vier gleich langen Seiten und parallelen Gegenseiten erkennen und vom Quadrat unterscheiden.
- 1
Vier Seiten vergleichen
Vier gleich lange Seiten als zentrale Eigenschaft erkennen.
- 2
Parallele Gegenseiten erkennen
Je zwei gegenüberliegende Seiten als parallel einordnen.
- 3
Winkel nicht voraussetzen
Verstehen, dass eine Raute keine rechten Winkel haben muss.
- 4
Vom Quadrat unterscheiden
Bei vier rechten Winkeln zusätzlich ein Quadrat erkennen.
- 5
Raute korrekt benennen
Die Eigenschaften zur sicheren Klassifikation verwenden.
MG 4.6 - Trapez erkennen
Ein Trapez anhand eines Paars paralleler gegenüberliegender Seiten erkennen und die Höhe als senkrechten Abstand dieser Seiten deuten.
- 1
Parallele Seiten finden
Ein Paar paralleler gegenüberliegender Seiten erkennen.
- 2
Grundseiten benennen
Die parallelen Seiten zum Beispiel als a und c bezeichnen.
- 3
Andere Seiten unterscheiden
Erkennen, dass die beiden übrigen Seiten für die typische Trapezform nicht parallel sein müssen.
- 4
Höhe erkennen
Den senkrechten Abstand zwischen den parallelen Seiten als h identifizieren.
- 5
Trapez begründen
Die Figur mit der Parallelität der Grundseiten begründen.
MG 4.6 - Drachenviereck erkennen
Ein Drachenviereck anhand zweier Paare gleich langer benachbarter Seiten erkennen und von der Raute unterscheiden.
- 1
Benachbarte Seiten erkennen
Seiten identifizieren, die einen gemeinsamen Eckpunkt besitzen.
- 2
Erstes Seitenpaar prüfen
Ein Paar gleich langer benachbarter Seiten erkennen.
- 3
Zweites Seitenpaar prüfen
Ein zweites Paar gleich langer benachbarter Seiten erkennen.
- 4
Von der Raute unterscheiden
Verstehen, dass bei der Raute alle vier Seiten gleich lang sind.
- 5
Drachenviereck begründen
Die Figur anhand der beiden benachbarten Seitenpaare einordnen.
MG 4.6 - Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnen
Grundseite und zugehörige senkrechte Höhe verwenden, um A = a·ha zu berechnen.
- 1
Grundseite auswählen
Eine Seite als Grundseite a festlegen.
- 2
Zugehörige Höhe erkennen
ha als senkrechten Abstand zur gegenüberliegenden parallelen Seite bestimmen.
- 3
Flächenformel wählen
A = a·ha verwenden.
- 4
Werte einsetzen
Grundseite und zugehörige Höhe korrekt einsetzen.
- 5
Fläche berechnen
Produkt bestimmen und Quadrateinheit angeben.
- 6
Formel verstehen
Parallelogramm gedanklich zu einem flächengleichen Rechteck umformen.
MG 4.6 - Flächeninhalt eines Trapezes berechnen
Die beiden parallelen Seiten und die Höhe in A = (a+c)·h/2 einsetzen und die Fläche bestimmen.
- 1
Parallele Grundseiten erkennen
Die beiden parallelen Seiten a und c identifizieren.
- 2
Höhe bestimmen
Den senkrechten Abstand h zwischen den Grundseiten erkennen.
- 3
- 4
Klammer zuerst berechnen
Die beiden parallelen Seiten addieren.
- 5
Mit Höhe multiplizieren
Die Summe der Grundseiten mit h multiplizieren.
- 6
Durch zwei teilen
Das Ergebnis halbieren und die Quadrateinheit angeben.
MG 4.6 - Winkelsumme eines Vielecks bestimmen
Ein n-Eck in n−2 Dreiecke zerlegen und daraus S = (n−2)·180° für die Innenwinkelsumme verwenden.
- 1
Seitenzahl n bestimmen
Die Anzahl der Seiten des Vielecks feststellen.
- 2
Dreiecksanzahl erkennen
Von einem Eckpunkt aus n−2 Dreiecke erhalten.
- 3
Formel herleiten
Aus n−2 Dreiecken und je 180° die Winkelsumme ableiten.
- 4
Formel anwenden
S = (n−2)·180° mit der Seitenzahl einsetzen.
- 5
Winkelsumme berechnen
Die gesamte Summe der Innenwinkel bestimmen.
- 6
Fehlenden Winkel bestimmen
Bei gegebenen Einzelwinkeln deren Summe von S abziehen; /-Operation in der Ausgangszeile.
