und

Im Rahmen dieser Kompetenz gelten

Für eine echte Wachstums- oder Abnahmefunktion gilt zusätzlich

Wichtig: Ein negativer Faktor $b$ gehört nicht zur hier behandelten reellen Exponentialfunktion.

2. Die Wirkung des Parameters $a$

Für beide Grundformen gilt

beziehungsweise

Damit ist $a$

• der Anfangswert,
• der Funktionswert bei $x=0$,
• der $y$-Achsenabschnitt,
• in Sachaufgaben der Bestand zum gewählten Startzeitpunkt.

Wird $a$ bei unverändertem $b$ verdoppelt, verdoppeln sich alle Funktionswerte.

Beispiel

Dann gilt für jedes $x$:

3. Die Wirkung des Faktors $b$

In

ist $b$ der Faktor pro $x$-Einheit.

Denn

Wachstum

Die Funktionswerte werden bei wachsendem $x$ größer.

Abnahme

Die Funktionswerte werden bei wachsendem $x$ kleiner.

Sonderfall

Dann ist

konstant.

4. Prozentänderung und Faktor

Eine Zunahme um $p\,\%$ pro Einheit entspricht dem Faktor

Eine Abnahme um $p\,\%$ pro Einheit entspricht dem Faktor

Umgekehrt erhält man aus $b$ die relative Änderung:

Bei $0<b<1$ ist dieser Wert negativ. Die positive Abnahmerate kann als

angegeben werden.

Beispiele

bedeutet eine Zunahme um $8\,\%$ pro Einheit.

bedeutet eine Abnahme um $27\,\%$ pro Einheit.

5. Die Parameter $a$ und $b$ gemeinsam deuten

Bei

bedeutet

weil zum Zeitpunkt $t=0$ ein Bestand von $500$ Einheiten vorliegt.

Der Faktor

bedeutet eine Zunahme um $6\,\%$ pro Zeiteinheit.

Eine vollständige Deutung nennt immer

• die Bedeutung von $a$,
• die Bedeutung von $b$,
• die Bezugsgröße,
• die Einheit von $x$,
• den Zeitraum, für den der Faktor gilt.

6. Die Wirkung des Parameters $\lambda$

In

ist $a$ ebenfalls der Anfangswert.

Der Parameter $\lambda$ entscheidet über Richtung und Stärke der Entwicklung.

Wachstum

Abnahme

Sonderfall

Dann ist

konstant.

Je größer $|\lambda|$ ist, desto stärker ist die Veränderung pro Einheit.

7. Zusammenhang zwischen $b$ und $\lambda$

Die beiden Formen

und

sind gleichwertig, wenn

beziehungsweise

gilt.

Beispiel

liefert

Das entspricht einer Zunahme um ungefähr

pro Einheit.

8. Gleiche Funktion in zwei Formen

Gegeben ist

Mit

kann dieselbe Funktion geschrieben werden als

Näherungsweise gilt

Daher:

Die Graphen beider Darstellungen stimmen überein.

9. Parameter aus einer Tabelle bestimmen

Bei gleichen $x$-Abständen von $1$ gilt

und

Beispiel

Daraus folgt

und

Also lautet die Funktion

Für die natürliche Form gilt

10. Parameter aus zwei Punkten bestimmen

Sind zwei Punkte

gegeben, dann gilt für

zunächst

Daraus folgt

Danach wird $a$ mit einem der Punkte bestimmt:

Beispiel

Anschließend:

Damit gilt

11. Parameter am Graphen erkennen

Am Graphen kann man zunächst qualitativ erkennen:

• Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse liefert $a$.
• Ein wachsender Graph spricht für $b>1$ beziehungsweise $\lambda>0$.
• Ein fallender Graph spricht für $0<b<1$ beziehungsweise $\lambda<0$.
• Ein stärker gekrümmter Verlauf weist auf eine stärkere relative Änderung hin.

Für einen exakten Faktor werden geeignete Punkte oder eine Wertetabelle benötigt.

12. Die Zeiteinheit gehört zum Parameter

Ein Faktor ist immer an eine Schrittweite gebunden.

ist nicht dasselbe wie

Für einen Zeitraum von $k$ Einheiten gilt der Faktor

In der natürlichen Form gilt entsprechend

Darum müssen die Einheit von $x$ und die Bedeutung des Parameters gemeinsam angegeben werden.

13. Parameteränderungen vergleichen

Nur $a$ wird verändert

Die Wachstums- oder Abnahmerichtung bleibt gleich. Alle Funktionswerte werden mit demselben Verhältnis skaliert.

Nur $b$ wird verändert

Der Anfangswert bleibt gleich. Die Veränderung pro Einheit wird schwächer oder stärker.

Nur $\lambda$ wird verändert

Der Anfangswert bleibt gleich. Vorzeichen und Betrag von $\lambda$ bestimmen Richtung und Stärke.

Zwei Funktionen mit demselben $a$ starten im selben Punkt $(0\mid a)$.

14. Kontextbeispiele

Kapital

• $a=2000$: Anfangskapital in Euro
• $b=1{,}025$: Zunahme um $2{,}5\,\%$ pro Jahr

Medikamentenmenge

• $a=80$: Anfangsmenge in Milligramm
• $\lambda=-0{,}18$: exponentielle Abnahme pro Stunde
• äquivalenter Faktor pro Stunde:

Damit bleiben pro Stunde ungefähr $83{,}53\,\%$ erhalten.

15. Typische Fehler

• $a$ wird nicht als Wert bei $x=0$ erkannt.
• Der Faktor $b$ wird mit der Prozentzahl verwechselt.
• Bei einer Abnahme um $20\,\%$ wird $b=0{,}2$ statt $b=0{,}8$ verwendet.
• Ein negativer Faktor $b$ wird zugelassen.
• $b>1$ und $0<b<1$ werden vertauscht.
• Das Vorzeichen von $\lambda$ wird falsch gedeutet.
• $b=e^{\lambda}$ und $\lambda=\ln b$ werden verwechselt.
• Die Zeiteinheit des Faktors fehlt.
• Aus einem ungefähren Graphen wird ein scheinbar exakter Parameter abgelesen.
• Beim Bestimmen aus zwei Punkten wird die Differenz $x_2-x_1$ vergessen.

16. Arbeitsplan

1. Grundform erkennen: $a\cdot b^x$ oder $a\cdot e^{\lambda x}$.
2. Den Definitionsrahmen beachten: $a>0$, $b>0$.
3. $a=f(0)$ als Anfangswert bestimmen.
4. $b$ oder $\lambda$ identifizieren.
5. Wachstum, Abnahme oder Sonderfall erkennen.
6. Faktor und Prozentänderung korrekt umrechnen.
7. Bei Bedarf $b=e^{\lambda}$ oder $\lambda=\ln b$ verwenden.
8. Parameter aus Tabelle, Punkten oder Graph bestimmen.
9. Einheit und Bezugszeitraum angeben.
10. Wirkung einer Parameteränderung beschreiben.
11. Einen Kontrollwert einsetzen.
12. Ergebnis im Kontext vollständig deuten.

17. Zusammenfassung

Für

und

gilt:

und

Die beiden Formen sind durch

verbunden.

Kontrollfrage: Was beschreibt der Anfangswert und was beschreibt die Veränderung pro Einheit?

1. 1

   f von null berechnen

   Potenzen und Exponentialterme mit Exponent null verwenden.

2. 2

   Anfangswert nennen

   a als Bestand zum gewählten Startzeitpunkt formulieren.

3. 3

   Graphbezug herstellen

   Den Punkt null Strich a am Graphen markieren.

4. 4

   Skalierung beschreiben

   Eine Änderung von a verändert alle Funktionswerte proportional.

5. 5

   Einheit ergänzen

   Die Sachgröße und ihre Einheit im Antwortsatz nennen.

Beide Formen vergleichen

b=1.4
lambda=ln(b)
f(x)=6*b^x
g(x)=6*exp(lambda*x)

Die beiden Graphen müssen übereinstimmen.

Parameter aus einer Punktliste schätzen

L={(0,10),(1,15),(2,22.5),(3,33.75)}
TrendExp(L)

Wertetabelle erzeugen

Wertetabelle(f,-3,5,1)

Punkte zur Kontrolle

A=(0,f(0))
B=(1,f(1))

Parameter aus zwei Punkten im CAS

Löse({a*b^1=6,a*b^3=24},{a,b})

Sinnvolle Arbeitsweise

1. Parameter zunächst aus Formel, Tabelle oder Kontext bestimmen.
2. $a$ als Wert bei $x=0$ kontrollieren.
3. $b$ mit $1$ beziehungsweise das Vorzeichen von $\lambda$ prüfen.
4. Funktion mit Schiebereglern darstellen.
5. Parameter einzeln verändern und die Wirkung beschreiben.
6. Tabelle und Graph mit der eigenen Deutung vergleichen.
7. Einheit und Bezugszeitraum im Antwortsatz ergänzen.

Wichtig

• Im reellen Modell gilt $b>0$.
• $b=1$ und $\lambda=0$ liefern einen konstanten Sonderfall.
• TrendExp liefert ein Modell zu einer Punktliste; es ersetzt nicht die Prüfung, ob ein exponentieller Zusammenhang angemessen ist.
• Eine technische Ausgabe ersetzt keine Parameterdeutung.