Polynomgleichungen bis Grad 4

Kompetenzcode: FA 4.6

Bereich: Funktionale Abhaengigkeiten

Eine Polynomgleichung fragt nach allen Zahlen $x$, fuer die ein Polynom einen bestimmten Wert annimmt. Nach dem Umformen steht sie in der Normalform

$$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=0, \qquad a_n\neq0.$$

Der groesste vorkommende Exponent $n$ ist der Grad. Auf dieser Seite gilt $n\le4$.

Bei Polynomgleichungen gibt es nicht eine einzige Loesungsformel. Der entscheidende Schritt ist, die passende Struktur zu erkennen.

Der verlaessliche Lernweg lautet:

1. alles auf eine Seite bringen,
2. ordnen und den Grad bestimmen,
3. nach einer einfachen Faktorisierung suchen,
4. bei geraden Potenzen substituieren,
5. bei bekannter Nullstelle einen Linearfaktor abspalten,
6. jede Restgleichung loesen und die Loesungsmenge kontrollieren.

1. Polynomgleichung und Grad erkennen

Eine Gleichung ist eine Polynomgleichung, wenn nach dem Umformen nur nichtnegative ganzzahlige Potenzen von $x$ vorkommen. Ausdruecke wie $x^{-1}$, $\sqrt{x}$ oder gehoeren nicht zu einem Polynom.

Beispiel 1: Normalform und Grad bestimmen

Gegeben ist

$$3x^2+7=x^4-2x.$$

Wir bringen alles auf eine Seite und ordnen nach fallenden Exponenten:

$$x^4-3x^2-2x-7=0.$$

Der hoechste Exponent mit einem von null verschiedenen Koeffizienten ist $4$. Es handelt sich um eine Polynomgleichung vierten Grades.

Die fehlende Potenz $x^3$ aendert den Grad nicht. Fuer spaetere Verfahren darf man den Koeffizienten $0$ sichtbar notieren:

$$x^4+0x^3-3x^2-2x-7=0.$$

Beispiel 2: Erst vereinfachen, dann den Grad nennen

$$x^4+2x^3=x^4-5x+1.$$

Auf beiden Seiten steht $x^4$. Nach dem Subtrahieren bleibt

$$2x^3+5x-1=0.$$

Die Gleichung ist daher dritten und nicht vierten Grades. Der Grad wird immer erst nach dem vollstaendigen Zusammenfassen bestimmt.

2. Der Nullproduktsatz als Grundidee

Fuer reelle Zahlen gilt:

$$A\cdot B=0 \quad\Longleftrightarrow\quad A=0\ \text{oder}\ B=0.$$

Darum ist die Produktform so wertvoll. Aus

$$(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_k)=0$$

folgen sofort die Loesungen $x=r_1,r_2,\dots,r_k$.

Der Nullproduktsatz darf nur angewendet werden, wenn auf einer Seite wirklich $0$ und auf der anderen Seite ein Produkt steht.

Beispiel 3: Gemeinsamen Faktor herausheben

$$x^4-5x^2=0.$$

Beide Terme enthalten $x^2$:

$$x^2(x^2-5)=0.$$

Nun gilt

$$x^2=0 \quad\text{oder}\quad x^2-5=0.$$

Damit erhalten wir

$$x=0 \quad\text{oder}\quad x=\pm\sqrt5.$$

Die Loesungsmenge ist

$$L=\{-\sqrt5,0,\sqrt5\}.$$

Die Nullstelle $0$ hat zwar die Vielfachheit $2$, wird in der Loesungsmenge aber nur einmal notiert.

Beispiel 4: Schrittweise faktorisieren

$$x^3-4x=0.$$

Zuerst heben wir $x$ heraus:

$$x(x^2-4)=0.$$

Die Differenz zweier Quadrate zerfaellt weiter:

$$x(x-2)(x+2)=0.$$

Mit dem Nullproduktsatz folgt

$$x=0,\qquad x=2,\qquad x=-2.$$

Also

$$L=\{-2,0,2\}.$$

3. Nullstelle, Linearfaktor und Graph

Fuer ein Polynom $P$ sind die folgenden Aussagen gleichbedeutend:

$$P(r)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad r\ \text{ist Nullstelle} \quad\Longleftrightarrow\quad (x-r)\ \text{ist ein Faktor von }P(x).$$

Grafisch bedeutet $P(r)=0$: Der Punkt $(r,0)$ liegt auf dem Graphen.

Bei einem Faktor $(x-r)^m$ heisst $m$ die Vielfachheit der Nullstelle:

• ungerade Vielfachheit: Der Graph wechselt typischerweise die Seite der $x$-Achse,
• gerade Vielfachheit: Der Graph beruehrt die $x$-Achse und kehrt um.

Die Vielfachheit veraendert nicht die Loesungsmenge, erklaert aber die Form des Graphen.

4. Biquadratische Gleichungen substituieren

Eine biquadratische Gleichung hat die Form

$$ax^4+bx^2+c=0.$$

Es kommen nur gerade Potenzen vor. Mit

$$u=x^2$$

wird daraus die quadratische Gleichung

$$au^2+bu+c=0.$$

Nach dem Loesen in $u$ muss zuruecksubstituiert werden. Fuer reelle $x$ gilt immer $u=x^2\ge0$. Ein negativer $u$-Wert liefert daher keine reelle Loesung.

Beispiel 5: Zwei positive Ruecksubstitutionen

$$x^4-5x^2+4=0.$$

Wir setzen $u=x^2$:

$$u^2-5u+4=0.$$

Faktorisieren liefert

$$(u-1)(u-4)=0,$$

also

$$u_1=1, \qquad u_2=4.$$

Ruecksubstitution:

$$x^2=1\Rightarrow x=\pm1, \qquad x^2=4\Rightarrow x=\pm2.$$

Damit

$$L=\{-2,-1,1,2\}.$$

Beispiel 6: Negativen Substitutionswert verwerfen

$$x^4+3x^2-4=0.$$

Mit $u=x^2$ folgt

$$u^2+3u-4=0$$

und damit

$$(u-1)(u+4)=0.$$

Also $u_1=1$ oder $u_2=-4$. Weil $$, ist fuer reelle unmoeglich. Aus folgt

$$L=\{-1,1\}.$$

Ein haeufiger Fehler waere, aus $x^2=-4$ die reellen Zahlen $\pm2$ zu machen. Die Probe zeigt sofort, dass das nicht stimmt.

5. Einen bekannten Linearfaktor abspalten

Ist eine Nullstelle $r$ bekannt, dann ist $P(x)$ ohne Rest durch $(x-r)$ teilbar. Der Grad sinkt dabei um eins. Zum Abspalten kann man Polynomdivision oder das Horner-Schema verwenden.

Vorher wird die Nullstelle durch Einsetzen geprueft:

$$P(r)=0.$$

Beispiel 7: Linearfaktor aus einem Polynom vierten Grades abspalten

Gegeben ist

$$P(x)=x^4-4x^3-x^2+16x-12$$

und die bekannte Nullstelle $r=1$.

Nullstelle pruefen:

$$P(1)=1-4-1+16-12=0.$$

Also ist $(x-1)$ ein Faktor. Das Horner-Schema mit den Koeffizienten $1,-4,-1,16,-12$ ergibt die Quotientenkoeffizienten

$$1,-3,-4,12$$

und Rest $0$. Damit

$$P(x)=(x-1)(x^3-3x^2-4x+12).$$

Das kubische Restpolynom wird durch Gruppieren faktorisiert:

$$x^3-3x^2-4x+12 =x^2(x-3)-4(x-3) =(x-3)(x^2-4).$$

Weiter gilt

$$x^2-4=(x-2)(x+2).$$

Somit

$$P(x)=(x-1)(x-3)(x-2)(x+2)$$

und

$$L=\{-2,1,2,3\}.$$

Beispiel 8: Der Rest kontrolliert die Division

Fuer

$$Q(x)=2x^3-x^2-8x+4$$

soll $r=2$ geprueft werden:

$$Q(2)=16-4-16+4=0.$$

Das Horner-Schema liefert

$$Q(x)=(x-2)(2x^2+3x-2).$$

Die quadratische Restgleichung faktorisiert zu

$$2x^2+3x-2=(2x-1)(x+2).$$

Also

$$L=\left\{-2,\frac12,2\right\}.$$

Waere der letzte Wert im Horner-Schema nicht $0$, dann waere $r$ keine Nullstelle und $(x-r)$ kein Faktor.

6. Quadratische Restgleichungen loesen

Nach dem Faktorisieren, Substituieren oder Abspalten bleibt oft eine quadratische Gleichung

$$ax^2+bx+c=0, \qquad a\neq0.$$

Sie kann faktorisiert oder mit der quadratischen Loesungsformel geloest werden:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Die Diskriminante

$$D=b^2-4ac$$

zeigt die Zahl reeller Loesungen der Restgleichung:

• $D>0$: zwei verschiedene reelle Loesungen,
• $D=0$: eine reelle Doppelnullstelle,
• $D<0$: keine reelle Loesung.

Beispiel 9: Ein Linearfaktor und keine weiteren reellen Loesungen

$$(x-3)(x^2+4)=0.$$

Aus dem ersten Faktor folgt $x=3$. Fuer $x^2+4=0$ waere $x^2=-4$ noetig; das ist in unmoeglich. Daher

$$L=\{3\}.$$

Der Grad $3$ bedeutet also nicht, dass drei verschiedene reelle Loesungen existieren muessen.

7. Wie viele reelle Loesungen sind moeglich?

Ein von null verschiedenes Polynom vom Grad $n$ kann hoechstens $n$ verschiedene reelle Nullstellen besitzen. Denn jede verschiedene Nullstelle liefert einen eigenen Linearfaktor und senkt beim Abspalten den Grad um eins.

Fuer $n\le4$ gilt daher:

Das Wort hoechstens ist entscheidend. Ein Polynom vierten Grades kann vier, drei, zwei, eine oder keine verschiedene reelle Nullstelle besitzen.

Beispiel 10: Gleicher Grad, verschiedene Loesungszahlen

Alle folgenden Polynome haben Grad $4$:

$$P_1(x)=(x-3)(x-1)(x+2)(x+4)$$

hat vier verschiedene reelle Nullstellen.

$$P_2(x)=x^4$$

hat nur die reelle Nullstelle $0$, allerdings mit Vielfachheit $4$.

$$P_3(x)=x^4+1$$

hat keine reelle Nullstelle, weil $x^4\ge0$ und daher $x^4+1>0$ fuer alle reellen $x$ gilt.

8. Technologie sinnvoll einsetzen

Ein Computeralgebrasystem kann faktorisieren, Nullstellen naeherungsweise bestimmen oder eine Polynomdivision kontrollieren. Die Ausgabe wird aber erst durch drei Fragen mathematisch verlaesslich:

1. Wurde die Gleichung korrekt als $P(x)=0$ eingegeben?
2. Werden reelle oder komplexe Loesungen angezeigt?
3. Erfuellen alle ausgegebenen Werte die Ausgangsgleichung?

Bei einer beliebigen Gleichung dritten oder vierten Grades ist nicht garantiert, dass Herausheben, eine biquadratische Substitution oder eine vorgegebene Nullstelle sofort sichtbar ist. Dann kann Technologie bei der Nullstellensuche helfen. Die grundlegende Begruendung bleibt: gefundene Nullstelle pruefen, Linearfaktor abspalten, Restgleichung loesen.

9. Haeufige Fehler

• Nicht auf null bringen: Der Nullproduktsatz funktioniert nur bei einem Produkt gleich null.
• Grad zu frueh bestimmen: Zuerst beide Seiten zusammenfassen; hoechste Terme koennen sich aufheben.
• Aus einer Summe einzelne Gleichungen machen: Aus $x^2+4=0$ folgt nicht $x^2=0$ oder .

10. Arbeitsrezepte

Polynomgleichung erkennen

1. Alle Terme auf eine Seite bringen.
2. Klammern aufloesen und gleichartige Terme zusammenfassen.
3. Nach fallenden Exponenten ordnen.
4. Pruefen, ob nur nichtnegative ganzzahlige Exponenten vorkommen.
5. Den hoechsten Exponenten mit Koeffizient ungleich null als Grad nennen.
6. Fehlende Potenzen bei Bedarf mit Koeffizient null ergaenzen.

Durch Faktorisieren loesen

1. Die Gleichung in die Form $P(x)=0$ bringen.
2. Groessten gemeinsamen Faktor aller Terme suchen.
3. Gemeinsamen Faktor herausheben.
4. Verbleibende Faktoren weiter zerlegen.
5. Nullproduktsatz auf jeden Faktor anwenden.
6. Alle Loesungen sammeln und in der Ausgangsgleichung pruefen.

Biquadratische Gleichung loesen

1. Form $ax^4+bx^2+c=0$ erkennen.
2. $u=x^2$ setzen.

Bekannten Linearfaktor abspalten

1. Vorgegebenen Wert $r$ mit $P(r)=0$ pruefen.
2. Den zugehoerigen Faktor $(x-r)$ notieren.
3. Alle Koeffizienten einschliesslich Nullen in richtiger Reihenfolge anschreiben.
4. Polynomdivision oder Horner-Schema durchfuehren.
5. Rest $0$ kontrollieren und Quotientenpolynom loesen.

Vollstaendigkeit der Loesungsmenge pruefen

1. Grad des vereinfachten Polynoms bestimmen.
2. Zahl der gefundenen verschiedenen reellen Loesungen zaehlen.
3. Vielfachheiten getrennt von der Loesungsmenge notieren.
4. Nichtreelle Restloesungen begruendet ausschliessen.
5. Jede reelle Loesung in die Ausgangsgleichung einsetzen.
6. Bestaetigen, dass alle Faktoren oder Restgleichungen bearbeitet wurden.

Merksaetze

• Zuerst Normalform $P(x)=0$, dann Methode waehlen.
• Der Grad ist der hoechste Exponent nach dem Zusammenfassen.
• Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist.
• $P(r)=0$ genau dann, wenn $(x-r)$ ein Linearfaktor ist.