Taylor- und Fourierreihen

Kompetenzcode: AN 6.2

Bereich: Analysis

Manche Funktionen sind schwer direkt zu berechnen oder zu untersuchen. Reihen ersetzen sie durch einfachere Bausteine:

• Ein Taylorpolynom verwendet Potenzen von $x-a$ und beschreibt eine glatte Funktion in der Nähe eines Entwicklungspunktes $a$.
• Eine Fourierreihe verwendet Sinus- und Cosinusschwingungen und beschreibt eine periodische Funktion über ganze Perioden.

Leitidee: Taylor nähert lokal mit Potenzen an. Fourier zerlegt periodisch mit Schwingungen.

1. Taylorentwicklung: Eine Funktion in der Nähe von $a$ nachbauen

Ein Polynom lässt sich leicht auswerten. Deshalb ersetzt man eine genügend oft differenzierbare Funktion $f$ nahe bei $a$ durch

$$\boxed{ T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k }$$

oder ausgeschrieben:

$$T_n(x) =f(a) +f'(a)(x-a) +\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.$$

Dabei bedeuten:

Für $k=0$ gilt $f^{(0)}=f$ und $0!=1$.

Warum passen die Ableitungen?

Das Taylorpolynom wird so gebaut, dass am Entwicklungspunkt möglichst viele Eigenschaften übereinstimmen:

$$T_n(a)=f(a), \quad T_n'(a)=f'(a), \quad \ldots, \quad T_n^{(n)}(a)=f^{(n)}(a).$$

Je näher $x$ bei $a$ liegt, desto eher ist eine gute Näherung zu erwarten. Ein höherer Grad kann die Näherung verbessern, garantiert aber nicht überall eine kleine Abweichung.

2. Taylor-Koeffizienten systematisch bestimmen

Schreibt man

$$T_n(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\cdots+c_n(x-a)^n,$$

dann gilt

$$\boxed{c_k=\frac{f^{(k)}(a)}{k!}}.$$

Eine Ableitungstabelle verhindert, dass Ableitungswert, Fakultät oder Potenz vertauscht werden:

3. Beispiel 1: $e^x$ um $a=0$ bis zum Grad 3

Gesucht ist das Taylorpolynom dritten Grades für

$$f(x)=e^x.$$

Schritt 1: Entwicklungspunkt und Grad notieren

$$a=0, \qquad n=3.$$

Schritt 2: Ableitungen bilden

Bei der Exponentialfunktion wiederholt sich die Ableitung:

$$f'(x)=e^x, \qquad f''(x)=e^x, \qquad f'''(x)=e^x.$$

Schritt 3: Bei $a=0$ auswerten

Da $e^0=1$, gilt

$$f(0)=f'(0)=f''(0)=f'''(0)=1.$$

Schritt 4: In die Taylorformel einsetzen

$$\begin{aligned} T_3(x) &=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3\\ &=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}. \end{aligned}$$

Damit lautet das Ergebnis

$$\boxed{T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}}.$$

Schritt 5: $e^{0{,}2}$ näherungsweise berechnen

$$\begin{aligned} e^{0{,}2} &\approx T_3(0{,}2)\\ &=1+0{,}2+\frac{0{,}2^2}{2}+\frac{0{,}2^3}{6}\\ &=1+0{,}2+0{,}02+0{,}001333\ldots\\ &\approx\boxed{1{,}221333}. \end{aligned}$$

Schritt 6: Mit dem tatsächlichen Wert vergleichen

$$e^{0{,}2}\approx1{,}221403.$$

Die absolute Abweichung beträgt ungefähr

$$\left|1{,}221403-1{,}221333\right| \approx\boxed{0{,}000070}.$$

Die Näherung ist gut, weil $0{,}2$ nahe beim Entwicklungspunkt $0$ liegt.

4. Beispiel 2: $\sin x$ um $a=0$ bis zum Grad 5

Gesucht ist ein Taylorpolynom fünften Grades für

$$f(x)=\sin x.$$

Schritt 1: Ableitungsfolge aufschreiben

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =\sin x,}\\ {\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =\cos x,}\\ {\displaystyle f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =-\sin x,}\\ {\displaystyle f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =-\cos x,}\\ {\displaystyle f^{(4)}(x)}& {\displaystyle =\sin x,}\\ {\displaystyle }\end{array}$$

Schritt 2: Bei $0$ auswerten

Mit $\sin0=0$ und $\cos0=1$ erhält man

$$0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1.$$

Schritt 3: Koeffizienten einsetzen

$$\begin{aligned} T_5(x) &=0+1\cdot x+\frac{0}{2!}x^2 +\frac{-1}{3!}x^3 +\frac{0}{4!}x^4 +\frac{1}{5!}x^5\\ &=\boxed{x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}}. \end{aligned}$$

Nur ungerade Potenzen bleiben übrig. Das passt dazu, dass $\sin x$ eine ungerade Funktion ist.

Schritt 4: $\sin(0{,}5)$ approximieren

Der Winkel wird im Bogenmaß eingesetzt:

$$\begin{aligned} \sin(0{,}5) &\approx T_5(0{,}5)\\ &=0{,}5-\frac{0{,}5^3}{6}+\frac{0{,}5^5}{120}\\ &=0{,}5-0{,}020833\ldots+0{,}000260\ldots\\ &\approx\boxed{0{,}479427}. \end{aligned}$$

Der tatsächliche Wert ist ungefähr $0{,}479426$. Die Abweichung beträgt nur rund

$$\boxed{0{,}0000015}.$$

5. Beispiel 3: Entwicklung um einen Punkt $a\neq0$

Nun wird

$$f(x)=\ln x$$

um $a=1$ bis zum Grad 3 entwickelt.

Schritt 1: Ableitungen bestimmen

$$f'(x)=\frac1x, \qquad f''(x)=-\frac1{x^2}, \qquad f'''(x)=\frac2{x^3}.$$

Schritt 2: Bei $a=1$ auswerten

$$f(1)=0, \qquad f'(1)=1, \qquad f''(1)=-1, \qquad f'''(1)=2.$$

Schritt 3: Taylorpolynom aufstellen

$$\begin{aligned} T_3(x) &=0+1\cdot(x-1) +\frac{-1}{2!}(x-1)^2 +\frac{2}{3!}(x-1)^3\\ &=\boxed{(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{3}}. \end{aligned}$$

Wichtig: Bei $a=1$ stehen Potenzen von $(x-1)$, nicht Potenzen von $x$.

Schritt 4: $\ln(1{,}2)$ approximieren

Hier ist $x-1=0{,}2$:

$$\begin{aligned} \ln(1{,}2) &\approx0{,}2-\frac{0{,}2^2}{2}+\frac{0{,}2^3}{3}\\ &=0{,}2-0{,}02+0{,}002666\ldots\\ &\approx\boxed{0{,}182667}. \end{aligned}$$

Der tatsächliche Wert ist ungefähr $0{,}182322$. Somit ist

$$\left|0{,}182667-0{,}182322\right| \approx\boxed{0{,}000345}.$$

6. Taylor-Näherungen sinnvoll beurteilen

Eine Näherung ist nicht allein deshalb gut, weil ein Taylorpolynom verwendet wurde. Prüfe immer:

1. Liegt $x$ nahe beim Entwicklungspunkt $a$?
2. Ist die Funktion im betrachteten Bereich genügend oft differenzierbar?
3. Ist der gewählte Grad für die gewünschte Genauigkeit ausreichend?
4. Ist ein Vergleich mit einem genaueren Technologie-Wert möglich?

Die einfache praktische Fehlerkontrolle lautet

$$\text{absolute Abweichung} =\left|f(x)-T_n(x)\right|.$$

7. Fourierreihe: Eine periodische Funktion aus Schwingungen zusammensetzen

Eine Funktion mit Periode $T$ erfüllt

$$f(x+T)=f(x).$$

Die Grundkreisfrequenz ist

$$\omega_0=\frac{2\pi}{T}.$$

Eine Fourierreihe hat die Form

$$\boxed{ f(x) \sim \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n\cos(n\omega_0x) +b_n\sin(n\omega_0x) \right) }.$$

Das Zeichen $\sim$ weist darauf hin, dass die Reihe die Funktion darstellt beziehungsweise durch Teilsummen annähert. Die Summanden heißen Harmonische.

Für ein beliebiges Intervall $[x_0,x_0+T]$ einer ganzen Periode gelten

$$\begin{aligned} a_0&=\frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T}f(x)\,dx,\\ a_n&=\frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T}f(x)\cos(n\omega_0x)\,dx,\\ b_n&=\frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T}f(x)\sin(n\omega_0x)\,dx. \end{aligned}$$

Für die häufige Periode $T=2\pi$ wird $\omega_0=1$. Auf $[-\pi,\pi]$ vereinfacht sich daher der Faktor zu .

8. Symmetrie spart Rechenarbeit

Vor dem Integrieren wird die Symmetrie geprüft.

Gerade Funktion

Wenn

$$f(-x)=f(x),$$

dann enthält die Fourierreihe nur Cosinusanteile:

$$b_n=0.$$

Ungerade Funktion

Wenn

$$f(-x)=-f(x),$$

dann enthält die Fourierreihe nur Sinusanteile:

$$a_0=0, \qquad a_n=0.$$

Das ist nicht nur eine Rechenabkürzung, sondern eine wichtige Plausibilitätskontrolle.

9. Beispiel 4: Fourier-Koeffizienten eines einfachen Signals

Gegeben ist die $2\pi$-periodische Funktion

$$f(x)=3+2\cos x-\sin(2x).$$

Obwohl die Darstellung bereits wie eine Fourierreihe aussieht, werden die wesentlichen Koeffizienten mit den Integralen kontrolliert.

Schritt 1: Periode und Grundkreisfrequenz

$$T=2\pi, \qquad \omega_0=1.$$

Schritt 2: Konstantenanteil bestimmen

$$\begin{aligned} a_0 &=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} \left(3+2\cos x-\sin2x\right)\,dx\\ &=\frac1\pi\left(6\pi+0-0\right)\\ &=\boxed{6}. \end{aligned}$$

In der Reihe steht daher $a_0/2=3$.

Schritt 3: Den Cosinus-Koeffizienten $a_1$ bestimmen

$$\begin{aligned} a_1 &=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos x\,dx\\ &=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} \left(3\cos x+2\cos^2x-\sin2x\cos x\right)\,dx\\ &=\frac1\pi\left(0+2\pi-0\right)\\ &=\boxed{2}. \end{aligned}$$

Über eine ganze Periode heben sich unterschiedliche Sinus- und Cosinusschwingungen gegenseitig auf. Das ist die Orthogonalität der Schwingungen.

Schritt 4: Den Sinus-Koeffizienten $b_2$ bestimmen

$$\begin{aligned} b_2 &=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin2x\,dx\\ &=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} \left(3\sin2x+2\cos x\sin2x-\sin^22x\right)\,dx\\ &=\frac1\pi\left(0+0-\pi\right)\\ &=\boxed{-1}. \end{aligned}$$

Alle übrigen Fourier-Koeffizienten sind null. Damit erhält man wieder exakt

$$\boxed{f(x)=3+2\cos x-\sin2x}.$$

Dieses Beispiel ist eine endliche Fourierreihe: Es ist keine weitere Näherung nötig.

10. Beispiel 5: Fourierreihe einer Rechteckfunktion

Die $2\pi$-periodische Funktion sei in einer Periode definiert durch

$$f(x)= \begin{cases} -1, & -\pi<x<0,\\ 1, & 0<x<\pi. \end{cases}$$

Schritt 1: Symmetrie erkennen

Es gilt $f(-x)=-f(x)$. Die Funktion ist ungerade. Daher folgt sofort

$$a_0=0, \qquad a_n=0.$$

Es müssen nur die Sinus-Koeffizienten $b_n$ berechnet werden.

Schritt 2: Integral mithilfe der Symmetrie vereinfachen

Das Produkt aus den beiden ungeraden Funktionen $f(x)$ und $\sin(nx)$ ist gerade. Daher gilt

$$\begin{aligned} b_n &=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx\\ &=\frac2\pi\int_0^{\pi}\sin(nx)\,dx. \end{aligned}$$

Schritt 3: Integrieren

$$\begin{aligned} b_n &=\frac2\pi \left[-\frac{\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi}\\ &=\frac{2}{\pi n} \left(-\cos(n\pi)+\cos0\right)\\ &=\frac{2}{\pi n} \left(1-(-1)^n\right). \end{aligned}$$

Schritt 4: Gerade und ungerade Indizes unterscheiden

Für gerades $n$ ist $(-1)^n=1$, also

$$b_n=0.$$

Für ungerades $n$ ist $(-1)^n=-1$, also

$$b_n=\frac{4}{\pi n}.$$

Schritt 5: Fourierreihe aufstellen

Nur ungerade Sinusschwingungen bleiben übrig:

$$\boxed{ f(x) \sim \frac4\pi \left( \sin x +\frac13\sin3x +\frac15\sin5x +\frac17\sin7x +\cdots \right) }.$$

Die hohen Harmonischen werden mit dem Faktor $1/n$ zunehmend kleiner.

11. Beispiel 6: Fourier-Teilsummen schrittweise auswerten

Eine Fourier-Teilsumme verwendet nur endlich viele Harmonische. Für die Rechteckfunktion sind die ersten drei sinnvollen Teilsummen

$$\begin{aligned} S_1(x)&=\frac4\pi\sin x,\\ S_3(x)&=\frac4\pi\left(\sin x+\frac13\sin3x\right),\\ S_5(x)&=\frac4\pi\left(\sin x+\frac13\sin3x+\frac15\sin5x\right). \end{aligned}$$

Wir approximieren den Funktionswert bei $x=\pi/4$. Dort ist $f(\pi/4)=1$.

Erste Harmonische

$$\begin{aligned} S_1\left(\frac\pi4\right) &=\frac4\pi\sin\frac\pi4\\ &=\frac4\pi\cdot\frac{\sqrt2}{2}\\ &=\frac{2\sqrt2}{\pi}\\ &\approx\boxed{0{,}9003}. \end{aligned}$$

Erste und dritte Harmonische

Da $\sin(3\pi/4)=\sqrt2/2$, gilt

$$\begin{aligned} S_3\left(\frac\pi4\right) &=\frac4\pi \left( \frac{\sqrt2}{2} +\frac13\cdot\frac{\sqrt2}{2} \right)\\ &=\frac{8\sqrt2}{3\pi}\\ &\approx\boxed{1{,}2004}. \end{aligned}$$

Bis zur fünften Harmonischen

Da $\sin(5\pi/4)=-\sqrt2/2$, folgt

$$\begin{aligned} S_5\left(\frac\pi4\right) &=\frac4\pi \left( \frac{\sqrt2}{2} +\frac13\cdot\frac{\sqrt2}{2} -\frac15\cdot\frac{\sqrt2}{2} \right)\\ &=\frac{34\sqrt2}{15\pi}\\ &\approx\boxed{1{,}0204}. \end{aligned}$$

Die Näherungen liegen abwechselnd unter und über $1$, nähern sich dem Zielwert aber insgesamt an. Mehr Summanden bedeuten nicht, dass jeder einzelne neue Näherungswert monoton besser sein muss.

12. Was geschieht an einer Sprungstelle?

Bei $x=0$ springt die Rechteckfunktion von $-1$ auf $1$. Jede Sinusschwingung und damit jede der obigen Teilsummen hat dort den Wert null:

$$S_N(0)=0.$$

Die Fourierreihe nähert sich an einer Sprungstelle dem Mittelwert der beiden einseitigen Grenzwerte:

$$\frac{-1+1}{2}=0.$$

In der Nähe eines Sprungs bleiben sichtbare Über- und Unterschwinger. Dieses Verhalten heißt Gibbs-Phänomen. Es ist kein Rechenfehler der Teilsumme.

13. Taylor und Fourier nicht verwechseln

14. Berechnung mit Technologie

Ein Computer-Algebra-System kann Ableitungen, Integrale, Taylorpolynome und Fourier-Koeffizienten berechnen. Der mathematische Lösungsweg sollte trotzdem diese Entscheidungen sichtbar machen:

1. Funktion, Entwicklungspunkt und Grad beziehungsweise Periode notieren.
2. Benötigte Ableitungen oder Koeffizientenformeln auswählen.
3. Werte beziehungsweise Integrationsgrenzen korrekt einsetzen.
4. Polynom oder Teilsumme eindeutig aufstellen.
5. Einen Näherungswert berechnen.
6. Mit Graph, Symmetrie, Zielwert oder höherer Ordnung kontrollieren.

Technologie ersetzt nicht die Entscheidung, ob Taylor oder Fourier zum Problem passt.

15. Typische Fehler

Fehler 1: Die Fakultät vergessen

Der Koeffizient des Terms $(x-a)^k$ ist

$$\frac{f^{(k)}(a)}{k!},$$

nicht nur $f^{(k)}(a)$.

Fehler 2: Bei $a\neq0$ Potenzen von $x$ verwenden

Entwickelt wird in Potenzen von $(x-a)$.

Fehler 3: Den Näherungswert als exakten Wert angeben

Im Allgemeinen gilt

$$f(x)\approx T_n(x).$$

Fehler 4: Grad und Anzahl der Ableitungen verwechseln

Für $T_n$ werden die Ableitungen bis zur Ordnung $n$ benötigt.

Fehler 5: Die halbe Konstante in der Fourierreihe übersehen

In der Fourierreihe steht $a_0/2$, nicht $a_0$.

Fehler 6: Über keine ganze Periode integrieren

Die Koeffizientenintegrale werden über ein vollständiges Periodenintervall gebildet.

Fehler 7: Symmetrie nicht nutzen

Bei geraden Funktionen verschwinden die Sinuskoeffizienten, bei ungeraden Funktionen der Konstanten- und die Cosinuskoeffizienten.

Fehler 8: Grad und Harmonischenzahl verwechseln

Taylor verwendet einen Polynomgrad. Fourier verwendet Schwingungsnummern $n$.

16. Arbeitspläne

Taylorpolynom aufstellen und verwenden

1. Entwicklungspunkt $a$ und Grad $n$ notieren.
2. Ableitungen bis $f^{(n)}$ bilden.
3. Alle Ableitungen bei $a$ auswerten.
4. Koeffizienten durch die passenden Fakultäten teilen.
5. Polynom in Potenzen von $$ aufstellen.

Fourierreihe aufstellen und verwenden

1. Periode $T$, Grundkreisfrequenz und Periodenintervall bestimmen.
2. Gerade oder ungerade Symmetrie prüfen.
3. Benötigte Koeffizientenintegrale aufstellen.
4. Integrale schrittweise berechnen und Koeffizienten kontrollieren.
5. Fourierreihe beziehungsweise Teilsumme formulieren.
6. Teilsumme auswerten und Verhalten an glatten Stellen oder Sprüngen deuten.

Merksätze

• Taylor verwendet Ableitungswerte an einem Entwicklungspunkt.
• Der Koeffizient von $(x-a)^k$ ist $f^{(k)}(a)/k!$.