Kreise, Kugeln und Kegelschnitte

Kompetenzcode: AG 3.7

Bereich: Algebra und Geometrie

Kreise und Kugeln entstehen aus einer einfachen Abstandsidee: Alle Punkte besitzen denselben Abstand von einem festen Mittelpunkt. Kegelschnitte erweitern diese Idee zu einer Familie wichtiger Kurven. Auf dieser Seite werden Gleichungen nicht nur erkannt, sondern Schritt für Schritt in geometrische Aussagen übersetzt.

Der wichtigste Grundsatz lautet: Erst die Gleichung in eine erkennbare Form bringen, dann Mittelpunkt, Radius, Lage oder Kurventyp ablesen.

1. Die Kreisgleichung aus dem Abstand gewinnen

Ein Kreis mit Mittelpunkt

$$M=(a,b)$$

und Radius $r>0$ besteht aus allen Punkten $P=(x,y)$, deren Abstand von $M$ gleich $r$ ist:

$$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r.$$

Nach dem Quadrieren erhält man die Mittelpunktform:

$$\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}.$$

Das Vorzeichen in der Klammer ist beim Ablesen besonders wichtig:

$$(x-3)^2 \Longrightarrow a=3, \qquad (y+2)^2=(y-(-2))^2 \Longrightarrow b=-2.$$

Eine Gleichung der Form

$$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$$

wird durch quadratische Ergänzung in Mittelpunktform gebracht. Bei einem achsenparallelen Kreis haben $x^2$ und $y^2$ denselben Koeffizienten und dasselbe Vorzeichen; ein $xy$-Term fehlt.

Beispiel 1: Kreis erkennen, Mittelpunkt und Radius bestimmen

Untersuche

$$x^2+y^2-6x+4y-12=0.$$

Schritt 1: Gleichartige Terme gruppieren.

$$(x^2-6x)+(y^2+4y)=12.$$

Schritt 2: Beide Quadrate ergänzen.

Für den $x$-Teil wird $9$ ergänzt, für den $y$-Teil $4$:

$$x^2-6x+9=(x-3)^2,$$ $$y^2+4y+4=(y+2)^2.$$

Damit die Gleichung äquivalent bleibt, werden dieselben Zahlen rechts addiert:

$$(x-3)^2+(y+2)^2=12+9+4=25.$$

Schritt 3: Geometrische Daten ablesen.

$$M=(3,-2), \qquad r=\sqrt{25}=5.$$

Kontrolle: Einsetzen von $M$ in die ursprüngliche Gleichung ergibt

$$3^2+(-2)^2-6\cdot3+4\cdot(-2)-12 =9+4-18-8-12=-25.$$

Der Mittelpunkt liegt erwartungsgemäß nicht auf dem Kreis. Zur Kontrolle der Umformung wird daher besser ein Kreispunkt verwendet, etwa $P=(8,-2)$:

$$8^2+(-2)^2-6\cdot8+4\cdot(-2)-12 =64+4-48-8-12=0.$$

Die Gleichung beschreibt tatsächlich den Kreis mit $M=(3,-2)$ und $r=5$.

2. Kreisgleichung aufstellen und Punkte prüfen

Sind Mittelpunkt und Radius gegeben, werden sie direkt in die Mittelpunktform eingesetzt. Für einen Punkt $P=(x_P,y_P)$ entscheidet die Größe

$$d^2=(x_P-a)^2+(y_P-b)^2$$

über seine Lage:

• $d^2=r^2$: Punkt liegt auf dem Kreis,
• $d^2<r^2$: Punkt liegt im Inneren,

Mit den Quadraten lässt sich die Lage ohne unnötiges Wurzelziehen vergleichen.

Beispiel 2: Gleichung aufstellen und zwei Punkte einordnen

Gegeben sind

$$M=(-1,2) \qquad\text{und}\qquad r=\sqrt{20}.$$

Schritt 1: Mittelpunktform aufstellen.

$$\boxed{(x+1)^2+(y-2)^2=20}.$$

Schritt 2: Punkt $P=(3,4)$ prüfen.

$$(3+1)^2+(4-2)^2=4^2+2^2=16+4=20.$$

Damit gilt

$$P\in k.$$

Schritt 3: Punkt $Q=(0,0)$ prüfen.

$$(0+1)^2+(0-2)^2=1+4=5<20.$$

Also liegt $Q$ im Inneren des Kreises.

Kontrolle: Der Abstand $MP$ ist

$$MP=\sqrt{(3+1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{20}=r.$$

3. Gerade und Kreis: Sekante, Tangente oder Passante

Eine Gerade kann einen Kreis in zwei, einem oder keinem Punkt treffen:

Es gibt zwei zuverlässige Entscheidungswege.

Weg A: Abstand des Mittelpunktes von der Geraden. Für

$$g: Ax+By+C=0$$

und $M=(a,b)$ gilt

$$d(M,g)=\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.$$

Dann wird $d$ mit $r$ verglichen.

Weg B: Einsetzen und Diskriminante. Die Geradengleichung wird in die Kreisgleichung eingesetzt. Es entsteht eine quadratische Gleichung. Für ihre Diskriminante $\Delta$ gilt:

$$\Delta>0 \Rightarrow 2\text{ Schnittpunkte}, \quad \Delta=0 \Rightarrow 1\text{ Berührpunkt}, \quad \Delta<0 \Rightarrow 0\text{ reelle Schnittpunkte}.$$

Beispiel 3: Lage dreier paralleler Geraden bestimmen

Der Kreis besitzt Mittelpunkt $M=(2,-1)$ und Radius $r=3$. Untersuche

$$g_1:y=0, \qquad g_2:y=2, \qquad g_3:y=3.$$

Da die Geraden waagrecht sind, ist ihr Abstand vom Mittelpunkt der vertikale Abstand.

Für $g_1$ gilt

$$d(M,g_1)=|-1-0|=1<3.$$

Also ist $g_1$ eine Sekante.

Für $g_2$ gilt

$$d(M,g_2)=|-1-2|=3=r.$$

Also ist $g_2$ eine Tangente.

Für $g_3$ gilt

$$d(M,g_3)=|-1-3|=4>3.$$

Also ist $g_3$ eine Passante.

Beispiel 4: Schnittpunkte von Gerade und Kreis berechnen

Gegeben sind

$$k:x^2+y^2=25$$

und

$$g:y=x+1.$$

Schritt 1: Geradengleichung einsetzen.

$$x^2+(x+1)^2=25.$$

Schritt 2: Quadratische Gleichung lösen.

$$x^2+x^2+2x+1=25,$$ $$2x^2+2x-24=0.$$

Division durch $2$ liefert

$$x^2+x-12=0.$$

Faktorisieren ergibt

$$(x-3)(x+4)=0.$$

Somit

$$x_1=3 \qquad\text{oder}\qquad x_2=-4.$$

Schritt 3: Zugehörige $y$-Werte berechnen.

$$y_1=3+1=4, \qquad y_2=-4+1=-3.$$

Die Schnittpunkte sind

$$\boxed{S_1=(3,4),\qquad S_2=(-4,-3)}.$$

Kontrolle:

$$3^2+4^2=25, \qquad (-4)^2+(-3)^2=25.$$

Beide Punkte erfüllen außerdem $y=x+1$. Die Gerade ist eine Sekante.

4. Tangente an einen Kreis

Im Berührpunkt $P$ steht die Kreistangente senkrecht auf dem Radius $\overrightarrow{MP}$. Der Radiusvektor ist daher ein Normalvektor der Tangente.

Für

$$M=(a,b) \qquad\text{und}\qquad P=(x_P,y_P)$$

lautet eine Tangentengleichung:

$$\boxed{(x_P-a)(x-x_P)+(y_P-b)(y-y_P)=0}.$$

Diese Formel ist nur sinnvoll, wenn $P$ wirklich auf dem Kreis liegt. Die Punktprobe gehört deshalb immer an den Anfang.

Beispiel 5: Kreistangente mit Normalvektor bestimmen

Der Kreis hat Mittelpunkt

$$M=(2,-1)$$

und Radius $r=5$. Bestimme die Tangente im Punkt

$$P=(5,3).$$

Schritt 1: Punktprobe.

$$(5-2)^2+(3+1)^2=3^2+4^2=25=r^2.$$

Der Punkt liegt auf dem Kreis.

Schritt 2: Radiusvektor als Normalvektor verwenden.

$$\overrightarrow{MP} = \begin{pmatrix} 5-2\\ 3-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}.$$

Damit ist $\vec n=(3,4)$ ein Normalvektor der Tangente.

Schritt 3: Normalenform aufstellen.

$$3(x-5)+4(y-3)=0.$$

Ausmultipliziert:

$$3x-15+4y-12=0,$$ $$\boxed{3x+4y=27}.$$

Schritt 4: Zwei Kontrollen durchführen.

Der Punkt $P$ erfüllt die Tangente:

$$3\cdot5+4\cdot3=27.$$

Außerdem ist der Mittelpunktabstand von der Geraden

$$d(M,t) =\frac{|3\cdot2+4\cdot(-1)-27|}{\sqrt{3^2+4^2}} =\frac{25}{5}=5=r.$$

Die Gerade berührt den Kreis daher tatsächlich in genau einem Punkt.

5. Die Kugelgleichung im Raum

Eine Kugel ist das räumliche Gegenstück zum Kreis. Alle Punkte $P=(x,y,z)$ besitzen denselben Abstand $r$ vom Mittelpunkt $M=(a,b,c)$. Die Mittelpunktform lautet

$$\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2}.$$

Gegenüber der Kreisgleichung kommt lediglich die dritte Koordinate hinzu. Punktprobe und quadratische Ergänzung funktionieren genau gleich.

Beispiel 6: Kugel erkennen und in Mittelpunktform bringen

Untersuche

$$x^2+y^2+z^2-4x+6y-2z-11=0.$$

Schritt 1: Variablenweise gruppieren.

$$(x^2-4x)+(y^2+6y)+(z^2-2z)=11.$$

Schritt 2: Quadratisch ergänzen.

$$x^2-4x+4=(x-2)^2,$$ $$y^2+6y+9=(y+3)^2,$$ $$z^2-2z+1=(z-1)^2.$$

Rechts müssen $4+9+1=14$ ergänzt werden:

$$(x-2)^2+(y+3)^2+(z-1)^2=11+14=25.$$

Damit gilt

$$\boxed{M=(2,-3,1),\qquad r=5}.$$

Kontrolle mit einem Kugelpunkt: Für $P=(7,-3,1)$ ist

$$(7-2)^2+(-3+3)^2+(1-1)^2=25.$$

Beispiel 7: Kugelgleichung aus Mittelpunkt und Radius aufstellen

Gegeben sind

$$M=(-2,1,4) \qquad\text{und}\qquad r=3.$$

Direktes Einsetzen ergibt

$$\boxed{(x+2)^2+(y-1)^2+(z-4)^2=9}.$$

Ausmultipliziert lautet dieselbe Kugelgleichung

$$x^2+y^2+z^2+4x-2y-8z+12=0.$$

Kontrolle der Konstanten:

$$4+1+16-9=12.$$

Die Mittelpunktform ist meist übersichtlicher, die ausmultiplizierte Form eignet sich dagegen gut zum Vergleichen und Umformen.

6. Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel unterscheiden

In geeigneter, achsenparalleler Lage besitzen die vier Kegelschnitte charakteristische Standardformen:

Verschiebungen ersetzen $x$ und $y$ durch $x-a$ beziehungsweise $y-b$. Bei gedrehten Kegelschnitten kann zusätzlich ein $xy$-Term auftreten; solche Fälle werden zweckmäßig mit Technologie dargestellt.

Beispiel 8: Vier Gleichungen zuordnen

Ordne die Gleichungen einem Kegelschnitt zu.

a)

$$x^2+y^2=9.$$

Beide Quadratterme haben denselben positiven Koeffizienten. Es ist ein Kreis mit $r=3$.

b)

$$4x^2+9y^2=36.$$

Division durch $36$ ergibt

$$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1.$$

Beide Quadratterme sind positiv, aber verschieden gewichtet. Es ist eine Ellipse mit Halbachsen $3$ und $2$.

c)

$$y^2=8x.$$

Nur $y$ ist quadriert. Es ist eine nach rechts geöffnete Parabel.

d)

$$x^2-4y^2=16.$$

Division durch $16$ ergibt

$$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1.$$

Die Quadratterme haben verschiedene Vorzeichen. Es ist eine Hyperbel.

7. Gerade und Kegelschnitt schneiden

Das rechnerische Prinzip ist dasselbe wie bei Gerade und Kreis:

1. Geradengleichung nach einer Variablen auflösen.
2. In die Kegelschnittgleichung einsetzen.
3. Die entstehende quadratische Gleichung lösen.
4. Zugehörige zweite Koordinaten berechnen.
5. Beide Ausgangsgleichungen kontrollieren.

Je nach Diskriminante entstehen zwei, ein oder kein reeller Schnittpunkt. Bei komplizierten Koeffizienten ist ein Computeralgebrasystem sinnvoll; Ansatz und Deutung bleiben trotzdem sichtbar.

Beispiel 9: Schnittpunkte einer Geraden mit einer Ellipse

Gegeben sind

$$e:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$$

und

$$g:y=\frac{2}{3}x.$$

Schritt 1: Gerade einsetzen.

$$\frac{x^2}{9}+\frac{\left(\frac{2}{3}x\right)^2}{4}=1.$$

Schritt 2: Vereinfachen.

$$\frac{x^2}{9}+\frac{\frac{4}{9}x^2}{4}=1,$$ $$\frac{x^2}{9}+\frac{x^2}{9}=1,$$ $$\frac{2x^2}{9}=1.$$

Damit

$$x^2=\frac{9}{2} \qquad\Longrightarrow\qquad x=\pm\frac{3\sqrt2}{2}.$$

Schritt 3: $y$-Werte berechnen.

$$y=\frac23x \qquad\Longrightarrow\qquad y=\pm\sqrt2.$$

Die Vorzeichen gehören jeweils zusammen. Somit

$$\boxed{ S_1=\left(\frac{3\sqrt2}{2},\sqrt2\right), \qquad S_2=\left(-\frac{3\sqrt2}{2},-\sqrt2\right) }.$$

Kontrolle für $S_1$:

$$\frac{\left(\frac{3\sqrt2}{2}\right)^2}{9} +\frac{(\sqrt2)^2}{4} =\frac{\frac{18}{4}}{9}+\frac24 =\frac12+\frac12=1.$$

8. Tangente an einen Kegelschnitt

Ist ein Kegelschnitt als Funktion $y=f(x)$ gegeben, liefert die Ableitung die Tangentensteigung. Bei einer impliziten Gleichung kann nach $y$ aufgelöst oder implizit differenziert werden.

Für die Ellipse

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

lautet die Tangente im Ellipsenpunkt $P=(x_0,y_0)$:

$$\boxed{\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1}.$$

Die Formel wird in der folgenden Rechnung durch Ableiten bestätigt.

Beispiel 10: Ellipsentangente bestimmen und kontrollieren

Gegeben ist

$$e:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$$

und der Punkt

$$P=\left(\frac{3\sqrt3}{2},1\right).$$

Schritt 1: Punktprobe.

$$\frac{\left(\frac{3\sqrt3}{2}\right)^2}{9}+\frac{1^2}{4} =\frac{\frac{27}{4}}9+\frac14 =\frac34+\frac14=1.$$

Schritt 2: Implizit differenzieren.

$$\frac{2x}{9}+\frac{2y\,y'}{4}=0.$$

Nach $y'$ auflösen:

$$\frac{2y\,y'}4=-\frac{2x}{9},$$ $$y'=-\frac{4x}{9y}.$$

Im Punkt $P$ ist die Steigung

$$m=-\frac{4\cdot\frac{3\sqrt3}{2}}{9\cdot1} =-\frac{2\sqrt3}{3}.$$

Schritt 3: Punkt-Steigungs-Form verwenden.

$$y-1=-\frac{2\sqrt3}{3} \left(x-\frac{3\sqrt3}{2}\right).$$

Ausmultipliziert:

$$y-1=-\frac{2\sqrt3}{3}x+3,$$ $$y=-\frac{2\sqrt3}{3}x+4.$$

Eine äquivalente Normalform ist

$$\boxed{2\sqrt3\,x+3y=12}.$$

Schritt 4: Mit der Ellipsentangentenformel kontrollieren.

$$\frac{\frac{3\sqrt3}{2}\,x}{9}+\frac{1\cdot y}{4}=1.$$

Multiplikation mit $12$ ergibt

$$2\sqrt3\,x+3y=12.$$

Beide Wege führen zur selben Tangente.

9. Häufige Fehler und sichere Kontrollen

Vorzeichen beim Mittelpunkt

Aus $(x+4)^2$ folgt die Mittelpunktkoordinate $-4$, nicht $4$.

Radius statt Radiusquadrat

Aus

$$(x-a)^2+(y-b)^2=49$$

folgt $r=7$, nicht $49$.

Unvollständige Punktprobe

Ein Punkt liegt nur dann auf Kreis, Kugel oder Kegelschnitt, wenn die vollständige linke Seite genau den rechten Wert ergibt.

Tangente ohne Berührpunktprüfung

Vor jeder Tangentenrechnung muss der angegebene Punkt auf der Kurve geprüft werden. Sonst wird eine Gerade zu einem Punkt berechnet, der gar kein Kurvenpunkt ist.

Vorzeichenpaare bei Wurzeln

Bei zwei Schnittpunkten müssen die zugehörigen $x$- und $y$-Werte korrekt gekoppelt werden. Am sichersten wird jeder vollständige Punkt in beide Ausgangsgleichungen eingesetzt.

10. Allgemeiner Arbeitsplan

1. Gleichung ordnen und alle Terme auf eine Seite bringen.
2. Quadratische Terme und mögliche $xy$-Terme vergleichen.
3. Bei Kreis oder Kugel variablenweise quadratisch ergänzen.
4. Mittelpunkt und Radius aus der Mittelpunktform ablesen.
5. Gegebene Punkte durch vollständiges Einsetzen prüfen.
6. Bei Gerade und Kreis zwischen Abstandsweg und Einsetzungsweg wählen.
7. Schnittpunkte aus der entstehenden quadratischen Gleichung berechnen.
8. Vor einer Tangente zuerst den Berührpunkt prüfen.
9. Beim Kreis den Radiusvektor als Normalvektor verwenden.
10. Beim Kegelschnitt die Tangentensteigung durch Ableiten oder eine passende Standardform bestimmen.
11. Alle Ergebnisse in beiden Ausgangsgleichungen kontrollieren.
12. Anzahl der Lösungen geometrisch als Sekante, Tangente oder Passante deuten.

Merksätze

• Kreis und Kugel sind Abstandsmengen zu einem Mittelpunkt.
• Die Mittelpunktform zeigt Mittelpunkt und Radius unmittelbar.
• Quadratische Ergänzung verbindet allgemeine Gleichung und Mittelpunktform.
• Der Vergleich von Mittelpunktabstand und Radius entscheidet die Lage einer Geraden zum Kreis.
• Im Berührpunkt steht die Kreistangente senkrecht auf dem Radius.
• Gleiche Vorzeichen der Quadratterme sprechen für Kreis oder Ellipse, verschiedene Vorzeichen für eine Hyperbel; nur ein Quadratterm kennzeichnet eine Parabel.
• Einsetzungsverfahren und Diskriminante verbinden algebraische Rechnung und geometrische Anzahl der Schnittpunkte.