Optimierung unter Nebenbedingungen

Kompetenzcode: AN 5.2

Bereich: Analysis

Bei einer Optimierungsaufgabe soll eine Größe so groß oder so klein wie möglich werden.

Typische Fragen sind:

• Welcher Flächeninhalt ist maximal?
• Welche Kosten sind minimal?
• Welche Abmessungen sind am günstigsten?
• Welcher Abstand ist am kleinsten?

Dabei dürfen die Größen nicht beliebig gewählt werden. Eine zusätzliche Vorgabe schränkt die Möglichkeiten ein. Diese Vorgabe heißt Nebenbedingung.

Optimieren unter einer Nebenbedingung bedeutet: Unter allen zulässigen Möglichkeiten die beste auswählen.

1. Die zwei Bedingungen auseinanderhalten

Fast jede Aufgabe enthält zwei verschiedene mathematische Aussagen.

Hauptbedingung oder Zielfunktion

Die Hauptbedingung beschreibt die Größe, die optimiert werden soll.

Bei einem Rechteck mit Seitenlängen (x) und (y) ist der Flächeninhalt

$$\underbrace{A=x\cdot y}_{\text{Hauptbedingung}} \longrightarrow \max.$$

Der Zusatz „$\longrightarrow\max$“ bedeutet: Dieser Ausdruck soll möglichst groß werden.

Nebenbedingung

Die Nebenbedingung beschreibt die feste Vorgabe.

Hat das Rechteck den Umfang (20), dann gilt

$$\overbrace{2x+2y=20}^{\text{Nebenbedingung}}.$$

Die Nebenbedingung sagt nicht, was maximal wird. Sie sagt nur, welche Paare ((x,y)) erlaubt sind.

2. Variablen und zulässige Werte festlegen

Bevor gerechnet wird, muss klar sein, wofür die Variablen stehen.

Im Rechteckbeispiel gilt:

$$x=\text{erste Seitenlänge}, \qquad y=\text{zweite Seitenlänge}.$$

Längen müssen positiv sein. Aus (y=10-x) folgt daher

$$x>0 \qquad\text{und}\qquad 10-x>0.$$

Somit sind nur Werte mit

$$0<x<10$$

zulässig.

Der zulässige Bereich ist wichtig. Eine rechnerisch gefundene Stelle außerhalb dieses Bereichs kann keine Lösung der Sachaufgabe sein.

3. Warum wird auf eine Variable reduziert?

Die bekannte Extremwertrechnung untersucht normalerweise eine Funktion mit einer unabhängigen Variablen.

Die Hauptbedingung

$$A=x\cdot y$$

enthält zunächst zwei Variablen. Die Nebenbedingung verbindet aber (x) und (y). Deshalb kann eine Variable durch die andere ausgedrückt werden.

Aus

$$2x+2y=20$$

folgt schrittweise

$$\begin{aligned} 2y&=20-2x,\\ y&=10-x. \end{aligned}$$

Jetzt wird (y) in die Hauptbedingung eingesetzt:

$$\begin{aligned} A&=x\cdot y,\\ A(x)&=x\cdot(10-x),\\ A(x)&=-x^2+10x. \end{aligned}$$

Damit ist aus einer Funktion mit zwei Größen eine Zielfunktion mit einer Variablen geworden.

$$\underbrace{A(x,y)=x\cdot y}_{\text{zwei Variablen}} \quad\xrightarrow{\;y=10-x\;}\quad \overbrace{A(x)=-x^2+10x}^{\text{eine Variable}}.$$

4. Das Extremum der reduzierten Zielfunktion bestimmen

Für eine innere Extremstelle wird die erste Ableitung gleich null gesetzt.

Im Rechteckbeispiel:

$$A(x)=-x^2+10x$$ $$A'(x)=-2x+10.$$

Notwendige Bedingung:

$$\begin{aligned} A'(x)&=0,\\ -2x+10&=0,\\ x&=5. \end{aligned}$$

Die Gleichung (A'(x)=0) liefert zunächst nur eine Kandidatenstelle. Ob dort wirklich ein Maximum oder Minimum liegt, muss noch geprüft werden.

5. Maximum oder Minimum prüfen

Es gibt mehrere sinnvolle Kontrollen.

Zweite Ableitung

$$A''(x)=-2.$$

Da

$$A''(5)=-2<0$$

gilt, liegt bei (x=5) ein lokales Maximum.

Als Merkhilfe:

$$\begin{array}{c|c} f''(x_0)<0 & \text{lokales Maximum}\\ f''(x_0)>0 & \text{lokales Minimum} \end{array}$$

Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung

Wechselt (f') an (x_0)

• von positiv zu negativ, liegt ein Maximum vor;
• von negativ zu positiv, liegt ein Minimum vor.

Funktionswerte vergleichen

Bei einem abgeschlossenen zulässigen Intervall müssen auch die Randwerte geprüft werden. Das größte oder kleinste Ergebnis kann am Rand liegen.

(f'(x)=0) findet innere Kandidaten. Für ein globales Optimum müssen alle zulässigen Kandidaten verglichen werden.

6. Zum Rechteck zurückkehren

Die Rechnung ergab

$$x=5.$$

Gesucht waren aber beide Seitenlängen. Deshalb wird die Nebenbedingung erneut verwendet:

$$\begin{aligned} y&=10-x,\\ y&=10-5,\\ y&=5. \end{aligned}$$

Der maximale Flächeninhalt ist

$$\begin{aligned} A_{\max} &=5\cdot5,\\ &=25. \end{aligned}$$

Vollständiger Antwortsatz

Unter allen Rechtecken mit Umfang (20) besitzt das Quadrat mit Seitenlängen (5) und (5) den größten Flächeninhalt. Dieser beträgt (25) Flächeneinheiten.

Eine vollständige Lösung enthält also:

• alle gesuchten ursprünglichen Größen,
• den optimalen Wert der Zielgröße,
• passende Einheiten,
• einen Bezug zur Fragestellung.

7. Ein Minimum bestimmen

Nicht jede Optimierungsaufgabe sucht ein Maximum.

Gesucht ist ein Punkt ((x,y)) auf der Geraden

$$x+y=10, \qquad x\ge0, \qquad y\ge0,$$

der den kleinsten Abstand zum Ursprung besitzt.

Statt der Wurzel kann das Quadrat des Abstandes minimiert werden:

$$d^2=x^2+y^2\longrightarrow\min.$$

Warum ist das erlaubt? Für nichtnegative Werte werden (d) und ($d^{2}$) an derselben Stelle minimal.

Die Nebenbedingung liefert

$$y=10-x.$$

Damit:

$$\begin{aligned} D(x) &=x^2+(10-x)^2,\\ &=2x^2-20x+100. \end{aligned}$$

Ableiten und null setzen:

$$\begin{aligned} D'(x)&=4x-20,\\ 0&=4x-20,\\ x&=5. \end{aligned}$$

Wegen

$$D''(x)=4>0$$

liegt ein Minimum vor. Aus (y=10-x) folgt (y=5). Der nächstgelegene Punkt ist also ((5\mid5)).

8. Randwerte nicht vergessen

Ist der zulässige Bereich ein abgeschlossenes Intervall ([a;b]), dann besteht die Kandidatenliste aus

1. allen zulässigen inneren Stellen mit (f'(x)=0),
2. Stellen, an denen (f') nicht existiert, die Funktion aber definiert ist,
3. den Randstellen (a) und (b).

Danach werden die Funktionswerte verglichen.

Einfaches Beispiel

Die Funktion

$$g(x)=x$$

hat auf ([0;4]) keine Stelle mit (g'(x)=0). Trotzdem besitzt sie

$$g(0)=0$$

als Minimum und

$$g(4)=4$$

als Maximum. Beide liegen am Rand.

9. Zulässigkeit und Plausibilität prüfen

Nach der Rechnung helfen vier kurze Fragen:

1. Liegt die Stelle im zulässigen Bereich?
2. Erfüllen die ursprünglichen Größen die Nebenbedingung?
3. Wurde wirklich ein Maximum oder Minimum nachgewiesen?
4. Ist das Ergebnis im Sachzusammenhang sinnvoll?

Im Rechteckbeispiel:

$$2\cdot5+2\cdot5=20.$$

Die Nebenbedingung ist erfüllt.

10. Technologie sinnvoll verwenden

Ein CAS oder GeoGebra kann

• die reduzierte Zielfunktion zeichnen,
• die Ableitung bilden,
• Gleichungen wie (A'(x)=0) lösen,
• Extrempunkte bestimmen,
• Funktionswerte vergleichen.

Die Modellierung muss trotzdem selbst erfolgen. Das Werkzeug weiß nicht automatisch,

• welche Größe optimiert werden soll,
• welche Nebenbedingung gilt,
• welcher Bereich zulässig ist,
• was das Ergebnis im Kontext bedeutet.

Ein sinnvoller Technologie-Ablauf lautet:

1. Zielfunktion selbst aufstellen.
2. Zulässigen Bereich angeben.
3. Graph und Extremstelle bestimmen lassen.
4. Ergebnis rechnerisch oder durch Einsetzen prüfen.
5. In einem Antwortsatz deuten.

11. Typische Fehler

Fehler 1: Haupt- und Nebenbedingung vertauschen

Der feste Umfang wird nicht maximiert. Maximiert wird der Flächeninhalt.

Fehler 2: Mit zwei Variablen weiterrechnen

Vor der gewöhnlichen Ableitungsrechnung muss die Zielfunktion auf eine Variable reduziert werden.

Fehler 3: Falsch auflösen

Aus

$$2x+2y=20$$

folgt (y=10-x), nicht (y=20-2x).

Fehler 4: Zulässigen Bereich ignorieren

Negative Längen oder unmögliche Mengen sind keine Lösungen der Sachaufgabe.

Fehler 5: (f'(x)=0) schon als Beweis ansehen

Eine stationäre Stelle ist zunächst nur ein Kandidat. Art des Extremums und Randwerte müssen geprüft werden.

Fehler 6: Nur die Hilfsvariable angeben

Wenn die Aufgabe mehrere ursprüngliche Größen fragt, müssen alle mit der Nebenbedingung zurückberechnet werden.

Fehler 7: Zielwert vergessen

Neben den optimalen Eingangsgrößen ist meist auch der maximale oder minimale Wert der Zielfunktion gefragt.

12. Allgemeiner Arbeitsplan

1. Skizze anfertigen und Variablen erklären.
2. Zulässigen Bereich festlegen.
3. Hauptbedingung beziehungsweise Zielfunktion aufstellen.
4. Nebenbedingung aufstellen.
5. Nebenbedingung nach einer Variablen auflösen.
6. In die Hauptbedingung einsetzen.
7. Reduzierte Zielfunktion vereinfachen.
8. Innere Kandidaten mit (f'(x)=0) bestimmen.
9. Maximum oder Minimum nachweisen.
10. Zulässige Randwerte vergleichen.
11. Ursprüngliche Größen zurückberechnen.
12. Ergebnis mit Einheit und Kontext formulieren.

Merksätze

• Die Hauptbedingung beschreibt die Zielgröße.
• Die Nebenbedingung beschreibt die feste Einschränkung.
• Die Nebenbedingung reduziert die Zielfunktion auf eine Variable.
• Eine Lösung muss im zulässigen Bereich liegen.
• (f'(x)=0) liefert Kandidaten, aber noch keinen vollständigen Nachweis.
• Bei einem abgeschlossenen Intervall gehören die Randwerte zum Vergleich.
• Am Ende werden alle ursprünglichen Größen und der optimale Zielwert angegeben.