Investitionsrechnung

Kompetenzcode: FA 9.3

Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Dynamische Investitionsrechnung berücksichtigt nicht nur die Höhe, sondern auch den Zeitpunkt von Zahlungen. Eine Zahlung heute ist wegen möglicher Verzinsung mehr wert als derselbe Betrag später.

1. Rückflüsse und Zahlungsstrom

Mit Einnahmen $E_t$ und Ausgaben $A_t$ einer Periode gilt

$$R_t=E_t-A_t.$$

Die Anschaffungsauszahlung $A_0$ wird bei $t=0$ mit negativem Vorzeichen erfasst.

Beispiel 1: Rückfluss bestimmen

Im dritten Jahr entstehen Einnahmen von $12\,000\,\text{EUR}$ und laufende Ausgaben von $7\,500\,\text{EUR}$. Daher

$$R_3=12\,000-7\,500=4\,500\,\text{EUR}.$$

Beispiel 2: Zahlungsstrom notieren

Eine Maschine kostet $10\,000\,\text{EUR}$ und liefert die Rückflüsse $3\,000$, $3\,500$, $4\,000$ und $2\,500\,\text{EUR}$. Der Zahlungsstrom lautet

$$(-10\,000;\ 3\,000;\ 3\,500;\ 4\,000;\ 2\,500).$$

2. Kapitalwertmethode

Bei Kalkulationszinssatz $i$ ist der Kapitalwert

$$C_0=-A_0+\sum_{t=1}^{n}\frac{R_t}{(1+i)^t}.$$

Er misst den Wertzuwachs gegenüber einer Alternativanlage zum Kalkulationszinssatz.

Beispiel 3: Kapitalwert berechnen

Für den Zahlungsstrom aus Beispiel 2 und $i=6\,\%$ gilt

$$\begin{aligned} C_0={}&-10\,000+\frac{3\,000}{1{,}06} +\frac{3\,500}{1{,}06^2} +\frac{4\,000}{1{,}06^3} +\frac{2\,500}{1{,}06^4}\\ \approx{}&1\,283{,}89\,\text{EUR}. \end{aligned}$$

Beispiel 4: Kapitalwert interpretieren

• $C_0>0$: Die Investition übertrifft die geforderte Verzinsung.
• $C_0=0$: Sie erreicht genau die Kalkulationsverzinsung.
• : Sie unterschreitet die geforderte Verzinsung.

Der positive Wert aus Beispiel 3 spricht unter den Modellannahmen für die Investition.

Beispiel 5: Zwei Investitionen vergleichen

Bei gleichen Laufzeiten und gleichem Risiko ist die Investition mit dem größeren Kapitalwert vorteilhafter. Haben Projekte unterschiedliche Größen, Laufzeiten oder Risiken, müssen diese Unterschiede zusätzlich berücksichtigt werden; ein bloßer Prozentvergleich ersetzt den Kapitalwert nicht.

3. Interner Zinssatz

Der interne Zinssatz $i_{\mathrm{intern}}$ erfüllt

$$0=-A_0+\sum_{t=1}^{n}\frac{R_t}{(1+i_{\mathrm{intern}})^t}.$$

Er ist somit eine Nullstelle der Kapitalwertfunktion.

Beispiel 6: Internen Zinssatz bestimmen

Für den Zahlungsstrom aus Beispiel 2 liefert eine numerische Nullstellensuche

$$i_{\mathrm{intern}}\approx0{,}11542=11{,}54\,\%.$$

Da $11{,}54\,\%>6\,\%$, stimmt die Entscheidung mit dem positiven Kapitalwert bei $6\,\%$ überein.

Beispiel 7: Technologie sinnvoll einsetzen

Man definiert $C_0(i)$, sucht eine Nullstelle im wirtschaftlich sinnvollen Bereich und prüft das Ergebnis durch Einsetzen. Bei Zahlungsströmen mit mehreren Vorzeichenwechseln können mehrere interne Zinssätze auftreten; dann ist die Kennzahl nicht eindeutig und der Kapitalwertvergleich vorzuziehen.

4. Modifizierter interner Zinssatz

Der modifizierte interne Zinssatz nimmt an, dass positive Rückflüsse bis zum Ende mit einem realistischen Wiederveranlagungszinssatz $i_w$ angelegt werden. Ihr Endwert ist

$$E=\sum_{t=1}^{n}R_t(1+i_w)^{n-t}.$$

Dann gilt

$$A_0(1+i_{\mathrm{mod}})^n=E,\qquad i_{\mathrm{mod}}=\sqrt[n]{\frac{E}{A_0}}-1.$$

Beispiel 8: Wiederveranlagten Endwert berechnen

Für die Rückflüsse aus Beispiel 2, $n=4$ und $i_w=3\,\%$:

$$E=3\,000\cdot1{,}03^3+3\,500\cdot1{,}03^2+4\,000\cdot1{,}03+2\,500 =13\,611{,}33\,\text{EUR}.$$

Beispiel 9: Modifizierten internen Zinssatz

$$i_{\mathrm{mod}}=\sqrt[4]{\frac{13\,611{,}33}{10\,000}}-1 \approx0{,}08013=8{,}01\,\%.$$

Er liegt unter dem gewöhnlichen internen Zinssatz, weil die Rückflüsse nur zu $3\,\%$ wiederveranlagt werden.

5. Entscheidung begründen

Beispiel 10: Kennzahlen gemeinsam deuten

Eine Investition hat bei $i=7\,\%$ einen Kapitalwert von $900\,\text{EUR}$, einen internen Zinssatz von $10{,}5\,\%$ und einen modifizierten internen Zinssatz von $8{,}2\,\%$. Alle drei Kennzahlen sprechen für das Projekt, weil der Kapitalwert positiv und beide Renditekennzahlen größer als sind.

Beispiel 11: Rangfolgekonflikt

Projekt A kann den höheren Kapitalwert, Projekt B den höheren internen Zinssatz besitzen. Bei gegenseitig ausschließenden Projekten und gegebenem Kalkulationszinssatz ist der Kapitalwert regelmäßig das geeignetere absolute Entscheidungskriterium, sofern Risiko und Laufzeit vergleichbar sind.

Beispiel 12: Modellgrenzen

Die Rechnung berücksichtigt nur die angesetzten Zahlungsströme und Zinssätze. Technisches Risiko, Unsicherheit der Rückflüsse, Liquidität, strategischer Nutzen und unterschiedliche Nutzungsdauern müssen außerhalb der reinen Kennzahl begründet ergänzt werden.

Typische Fehler

• $A_0$ erhält als Auszahlung bei $t=0$ ein negatives Vorzeichen.
• Jeder Rückfluss wird mit seiner eigenen Periodenzahl abgezinst.
• Der interne Zinssatz ist kein frei gewählter Kalkulationszinssatz.
• Mehrere Vorzeichenwechsel können mehrere oder keine wirtschaftlich sinnvolle Nullstelle erzeugen.
• Prozentkennzahlen und absolute Kapitalwerte beantworten unterschiedliche Fragen.

Merksätze

• Kapitalwert bedeutet Wertzuwachs am Zeitpunkt null.
• Interner Zinssatz bedeutet Nullstelle der Kapitalwertfunktion.
• Der modifizierte interne Zinssatz macht eine Wiederveranlagungsannahme sichtbar.
• Eine Entscheidung braucht Kennzahl, Vergleichsmaßstab und Modellgrenzen.