Bei einer gleichbleibenden Annuität sinkt der Zinsanteil. Gleichzeitig wächst der Anteil, der die eigentliche Schuld tilgt.
Monatsrate€ 888
Gesamtzinsen€ 39.773
Restschuld€ 114.040
Rate 12
Zinsen: € 382Tilgung: € 506
Die Rate bleibt gleich. Weil die Restschuld sinkt, werden die Zinsen kleiner und die Tilgung größer.
Restschuldausgewählter Monat
Eine Rente ist eine Folge gleich hoher Zahlungen in gleichen Zeitabständen. Entscheidend ist nicht nur der Betrag, sondern auch der Zahlungszeitpunkt. Deshalb werden alle Zahlungen zuerst auf einer Zeitachse erfasst und anschließend auf denselben Bewertungszeitpunkt auf- oder abgezinst.
Merke: Erst Zahlungsstrom und Bewertungszeitpunkt, dann Formel.
Grafische Zahlungsströme darstellen, ablesen und deuten
Ein grafischer Zahlungsstrom zeigt für jeden Zeitpunkt den Betrag und die Zahlungsrichtung.
Ein Pfeil nach oben steht aus Sicht der betrachteten Person für eine Einzahlung.
Ein Pfeil nach unten steht für eine Auszahlung.
t=0 ist der Startzeitpunkt.
Der Abstand zwischen zwei Markierungen entspricht einer Zinsperiode.
Beispiel: Angaben aus einer Zeitachse lesen
Zeitpunkt
So gehst du vor
Schrittlisten
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
FA 9.2 - Zahlungsstrom aufstellen
Zahlungen, Vorzeichen und Bewertungszeitpunkt einer Renten- oder Kreditaufgabe eindeutig darstellen.
1
Zeitachse zeichnen
Alle Periodengrenzen von t=0 bis zum Endzeitpunkt markieren.
2
Zahlungen eintragen
Beträge mit Vorzeichen am tatsächlichen Zeitpunkt notieren.
3
Rentenart bestimmen
Zahlung am Anfang als vorschüssig, am Ende als nachschüssig einordnen.
4
Zinsperiode prüfen
Zahlungs- und Zinsperioden auf dieselbe Länge bringen.
5
Stichtag wählen
Den gemeinsamen Barwert- oder Endwertzeitpunkt kennzeichnen.
6
Faktoren ergänzen
Jede Zahlung mit der Zahl ihrer Auf- oder Abzinsungsperioden verbinden.
FA 9.2 - Rentenwert berechnen
Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben.
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
Die erste Zahlung erfolgt bei t=1, also am Ende der ersten Periode.
Der Zahlungsstrom ist daher nachschüssig.
Soll der Wert bei t=3 bestimmt werden, werden die Zahlungen um zwei, eine beziehungsweise null Perioden aufgezinst:
E=800q2+800q+800.
Ausklammern macht die geometrische Reihe sichtbar:
E=800(q2+q+1).
Merke: Eine Zeitachse wird finanzmathematisch gedeutet, indem Betrag, Vorzeichen, Zeitpunkt, Periodenabstand und Bewertungszeitpunkt gemeinsam genannt werden.
Rentenformeln nach der Formelsammlung anwenden
Es gelten die Bezeichnungen
Ratenho¨heR,Anzahl der Ratenn,Zinssatzi,Aufzinsungsfaktorq=1+i.
Voraussetzung der Formelsammlung: Rentenperiode und Zinsperiode stimmen überein.
Endwerte
Enach=Rq−1qn−1,Evor=Rq−1qn−1⋅q.
Barwerte
Bnach=Rq−1qn−1⋅qn1,Bvor=Rq−1qn−1⋅qn−11.
Nachschüssig bedeutet Zahlung am Periodenende, vorschüssig Zahlung am Periodenanfang. Die vorschüssige Zahlung liegt jeweils eine Periode früher und wird daher für denselben Endzeitpunkt einmal zusätzlich mit q aufgezinst.
Beispiel: fünf jährliche Zahlungen
Gegeben sind R=1000€, i=3%=0,03, also q=1,03, und n=5.
Nachschüssiger Endwert:
Enach=1000⋅1,03−11,035−1=1000⋅
Vorschüssiger Endwert:
Evor=Enach⋅q=5309,14⋅1,03≈5468,41€.
Nachschüssiger Barwert:
Bnach=Enach⋅q51=5309,
Vorschüssiger Barwert:
Bvor=Bnach⋅q=4579,71⋅1,03≈4717,10€.
Fehlende Rentengrößen und äquivalente Zahlungen bestimmen
Ratenhöhe aus einem Endwert bestimmen
Aus der nachschüssigen Endwertformel wird R mit einer Äquivalenzumformung freigestellt:
EnachR=Rq−1qn−1=Enach:q−1qn−1
Ein Endwert von 20000€ soll mit acht nachschüssigen Jahresraten bei i=2,5% erreicht werden. Damit ist q=1,025.
R=20000⋅1,0258−11,025−1=20000⋅
Laufzeit oder Zinssatz
Steht n oder i in der Rentengleichung, wird die logarithmisch oder technologieunterstützt gelöst. Danach wird der gefundene Wert immer in die ursprüngliche Rentenformel eingesetzt und geprüft.
Renten- und Schuldkonvertierung
Zahlungsströme sind genau dann finanziell äquivalent, wenn sie am selben Stichtag denselben Wert besitzen.
Schulden von 3000€ bei t=0 und 5000€ bei t=2 werden bei 4% durch eine Zahlung X bei t=1 ersetzt:
X=3000⋅1,04+1,045000=3120+4807,69=7927,69€.
Der erste Betrag wird eine Periode aufgezinst, der zweite eine Periode abgezinst. Erst danach dürfen sie addiert werden.
Effektivzinssatz bestimmen und interpretieren
Der Effektivzinssatz ist jener periodische Zinssatz, bei dem der Barwert aller Auszahlungen gleich dem Barwert aller Einzahlungen ist. Gebühren und abweichende Zahlungszeitpunkte werden als eigene Zahlungen berücksichtigt.
Ein Kredit zahlt heute 10000€ aus und verlangt vier nachschüssige Jahresraten zu 2820€.
Zahlungsstrom aufstellen:
10000=2820⋅(1+i)−1(1+i)4−1⋅(1+i)41.
Gleichwertig und kompakter schreiben:
10000=2820⋅i1−(1+i)−4.
Die Gleichung technologieunterstützt lösen:
i≈0,04998=5,00%.
Probe: Der Barwert der vier Raten muss mit diesem Zinssatz wieder ungefähr 10000€ ergeben.
Deutung: Die vollständige Zahlungsfolge entspricht einer jährlichen Gesamtverzinsung von ungefähr 5,00%. Für einen Angebotsvergleich werden zusätzlich Laufzeit, Gesamtzahlungen, Restschuld und Sondertilgungsmöglichkeiten betrachtet.
Annuität und Tilgungsplan Schritt für Schritt berechnen
Bei einer Annuitätenschuld bleibt die Gesamtzahlung A pro Periode konstant. Nach der Struktur des Tilgungsplans gilt
