Renten- und Kreditrechnung

Kompetenzcode: FA 9.2

Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Eine Rente ist eine Folge gleich hoher Zahlungen $R$ in gleichen Zeitabständen. Jede Zahlung muss auf denselben Bewertungszeitpunkt auf- oder abgezinst werden. Deshalb beruhen Rentenformeln auf geometrischen Reihen.

1. Zahlungszeitpunkte und Rentenformeln

Mit $q=1+i$ und $n$ Zahlungen gelten bei gleicher Renten- und Zinsperiode:

$$E_{\mathrm{nach}}=R\frac{q^n-1}{q-1},\qquad E_{\mathrm{vor}}=qE_{\mathrm{nach}},$$ $$B_{\mathrm{nach}}=R\frac{q^n-1}{q-1}\frac1{q^n},\qquad B_{\mathrm{vor}}=qB_{\mathrm{nach}}.$$

Nachschüssig bedeutet Zahlung am Periodenende, vorschüssig am Periodenanfang.

Beispiel 1: Zahlungsstrom unterscheiden

Zahlungen bei $t=1,2,3$ sind nachschüssig. Zahlungen bei $t=0,1,2$ sind vorschüssig. Die vorschüssige Reihe liegt um eine Periode früher und besitzt daher am selben Endzeitpunkt den Faktor $q$ mehr.

Beispiel 2: Nachschüssiger Endwert

Fünf jährliche Zahlungen zu $1\,000\,\text{EUR}$, $i=3\,\%$:

$$E_{\mathrm{nach}}=1\,000\frac{1{,}03^5-1}{0{,}03}\approx5\,309{,}14\,\text{EUR}.$$

Beispiel 3: Vorschüssiger Endwert

$$E_{\mathrm{vor}}=1{,}03\cdot5\,309{,}14\approx5\,468{,}41\,\text{EUR}.$$

Beispiel 4: Barwerte

Für dieselben Daten gilt

$$B_{\mathrm{nach}}=\frac{5\,309{,}14}{1{,}03^5}\approx4\,579{,}71\,\text{EUR},$$ $$B_{\mathrm{vor}}=1{,}03\cdot4\,579{,}71\approx4\,717{,}10\,\text{EUR}.$$

2. Fehlende Rentengrößen und Umwandlungen

Beispiel 5: Ratenhöhe bestimmen

Ein nachschüssiger Endwert von $20\,000\,\text{EUR}$ soll in acht Jahren bei $2{,}5\,\%$ entstehen:

$$R=20\,000\frac{0{,}025}{1{,}025^8-1}\approx2\,289{,}35\,\text{EUR}.$$

Beispiel 6: Laufzeit oder Zinssatz

Steht $n$ oder $i$ in der Rentengleichung, wird die Gleichung mit Logarithmen beziehungsweise numerisch gelöst. Das Ergebnis muss anschließend in der ursprünglichen Formel geprüft werden. Ein nicht ganzzahliges $n$ ist bei vollständigen Zahlungen sachlich auf die nächste erforderliche Rate zu beziehen.

Beispiel 7: Rentenumwandlung

Eine Zahlungsreihe wird nicht durch bloßes Addieren umgewandelt. Man wählt einen Stichtag, berechnet den Bar- oder Endwert der alten Rente und setzt diesen Wert dem Bar- oder Endwert der neuen Rente gleich. So bleiben beide Zahlungsströme finanziell äquivalent.

Beispiel 8: Schuldkonvertierung

Schulden $3\,000\,\text{EUR}$ heute und $5\,000\,\text{EUR}$ in zwei Jahren sollen bei $4\,\%$ durch eine Zahlung in einem Jahr ersetzt werden:

$$X=3\,000\cdot1{,}04+\frac{5\,000}{1{,}04} \approx7\,927{,}69\,\text{EUR}.$$

Alle Beträge wurden auf $t=1$ übertragen.

3. Effektivzinssatz und Angebotsvergleich

Der Effektivzinssatz ist jener periodische Satz, bei dem der Barwert aller Auszahlungen gleich dem Barwert aller Einzahlungen ist. Gebühren und abweichende Zahlungszeitpunkte werden dadurch mitberücksichtigt.

Beispiel 9: Effektivzinssatz deuten

Ein Kredit zahlt heute $10\,000\,\text{EUR}$ aus und verlangt vier nachschüssige Jahresraten zu $2\,820\,\text{EUR}$. Der Effektivzinssatz erfüllt

$$10\,000=2\,820\frac{1-(1+i)^{-4}}{i}.$$

Eine numerische Lösung ergibt $i\approx0{,}04998=5{,}00\,\%$. Ein zusätzlicher Nominalsatz allein wäre für diesen Zahlungsstrom nicht aussagekräftig. Für den Vergleich gleichartiger Angebote sind außerdem Laufzeit, Restschuld, Sondertilgung und Gesamtbelastung relevant.

4. Annuitätenschuld und Tilgungsplan

Bei einer Annuitätenschuld bleibt die Gesamtzahlung $A$ konstant:

$$A=K_0\frac{i}{1-q^{-n}}.$$

In Periode $t$ gilt

$$Z_t=K_{t-1}i,\qquad T_t=A-Z_t,\qquad K_t=K_{t-1}-T_t.$$

Beispiel 10: Annuität berechnen

Für $K_0=20\,000\,\text{EUR}$, $i=4\,\%$, $n=5$ gilt

$$A=20\,000\frac{0{,}04}{1-1{,}04^{-5}}\approx4\,492{,}54\,\text{EUR}.$$

Beispiel 11: Erste zwei Tilgungsperioden

Mit sinkender Restschuld sinkt der Zinsanteil und steigt der Tilgungsanteil.

Beispiel 12: Spar- und Kreditangebote beurteilen

Zwei Angebote werden auf identische Einzahlungs- beziehungsweise Auszahlungszeitpunkte gebracht. Danach vergleicht man Barwert oder Endwert, Effektivzinssatz, Gesamtzahlungen und Restschuld. Ein niedriger Ratenbetrag kann wegen längerer Laufzeit zu einer höheren Gesamtbelastung führen.

Typische Fehler

• Vorschüssig und nachschüssig unterscheiden sich um genau eine Zinsperiode.
• Rentenperiode und Zinsperiode müssen übereinstimmen oder zuvor umgerechnet werden.
• Gebühren werden beim Effektivvergleich als eigener Zahlungsstrom behandelt.
• Im Tilgungsplan werden Zinsen von der Restschuld vor der Zahlung berechnet.
• Rundungsabweichungen können bei der letzten Rate ausgeglichen werden.

Merksätze

• Erst Zeitachse und Bewertungszeitpunkt, dann Formel.
• Finanzielle Äquivalenz bedeutet gleicher Wert am selben Stichtag.
• Die Annuität bleibt konstant, ihre Aufteilung in Zins und Tilgung verändert sich.
• Angebote werden über vollständige Zahlungsströme verglichen.