Sachaufgaben systematisch lösen und Ergebnisse prüfen

Sachaufgaben verbinden Sprache und Mathematik. Eine vollständige Lösung besteht nicht nur aus einer Zahl. Sie zeigt, wie der Text in Mathematik übersetzt wurde und was das Ergebnis in der Situation bedeutet.

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1. Die Sechs-Schritte-Methode

1. Verstehen: Worum geht es und was wird gefragt?
2. Ordnen: Was ist gegeben, was ist gesucht und welche Einheit gehört dazu?
3. Planen: Welches mathematische Modell passt?
4. Rechnen: Werte geordnet einsetzen und jeden Schritt notieren.
5. Prüfen: Ergebnis, Einheit und Größenordnung kontrollieren.
6. Antworten: Einen vollständigen Antwortsatz formulieren.

Diese Reihenfolge verhindert, dass Zahlen wahllos miteinander verrechnet werden.

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2. Einen Sachtext erschließen

Beispiel:

„Für $6$ Kinokarten bezahlt eine Gruppe $72\,€$. Wie viel kosten $9$ Karten, wenn jede Karte gleich viel kostet?“

Zuerst wird geordnet:

Die Frage in eigenen Worten lautet: Gesucht ist der Gesamtpreis für $9$ gleich teure Karten.

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3. Ein passendes Modell wählen

Mögliche Modelle sind beispielsweise:

• eine Grundrechenart,
• ein Term,
• eine Gleichung,
• ein proportionaler oder antiproportionaler Dreisatz,
• eine Prozenttabelle,
• eine geometrische Formel,
• eine Wertetabelle oder ein Graph.

Für das Kinobeispiel passt ein proportionaler Dreisatz.

Rechnung:

$$\begin{aligned} 72\,€:6 &=12\,€, \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} 12\,€\cdot9 &=108\,€. \end{aligned}$$

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4. Ergebnis prüfen und antworten

Die Richtung ist plausibel: $9$ Karten sind mehr als $6$ Karten, daher muss der Gesamtpreis größer als $72\,€$ sein.

Rückrechnung:

$$\begin{aligned} 108\,€:9 &=12\,€\text{ je Karte}, \\ 12\,€\cdot6 &=72\,€. \end{aligned}$$

Die Ausgangsangabe wird wieder erreicht.

Antwort: $9$ Kinokarten kosten insgesamt $108\,€$.

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5. Unnötige Angaben erkennen

Nicht jede Zahl in einem Text wird für die Rechnung benötigt.

Beispiel:

„Eine Familie fährt am Samstag um $9$ Uhr mit einem Auto, das $5$ Sitzplätze hat, eine Strecke von $180\,\mathrm{km}$. Der Verbrauch beträgt $6\,\mathrm{l}$ je $100\,\mathrm{km}$. Wie viel Treibstoff wird benötigt?“

Für die Treibstoffrechnung benötigt werden:

• Strecke $180\,\mathrm{km}$,
• Verbrauch $6\,\mathrm{l}$ je $100\,\mathrm{km}$.

Nicht benötigt werden:

• Abfahrtszeit,
• Anzahl der Sitzplätze.

Eine gute Kontrolle lautet: Für jede verwendete Zahl kann erklärt werden, welche Rolle sie im Modell spielt.

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6. Einheiten vor der Rechnung vereinheitlichen

Aufgabe: Ein rechteckiger Garten ist $12\,\mathrm{m}$ lang und $850\,\mathrm{cm}$ breit. Wie groß ist seine Fläche?

Zuerst wird die Breite umgerechnet:

$$850\,\mathrm{cm}=8{,}5\,\mathrm{m}.$$

Dann wird die Flächenformel verwendet:

$$\begin{aligned} A &=a\cdot b \\ &=12\,\mathrm{m}\cdot8{,}5\,\mathrm{m} \\ &=102\,\mathrm{m}^2. \end{aligned}$$

Antwort: Der Garten hat einen Flächeninhalt von $102\,\mathrm{m}^2$.

Ohne Einheitenumrechnung wäre das Produkt aus Metern und Zentimetern schwer zu deuten und fehleranfällig.

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7. Sinnvoll runden

Gerundet wird erst am Ende der Rechnung. Die Art der Rundung hängt vom Kontext ab.

• Eine Länge kann auf Zentimeter gerundet werden.
• Geld wird meist auf Cent gerundet.
• Eine Anzahl von Bussen muss auf eine ganze Zahl aufgerundet werden, weil ein Teilbus nicht möglich ist.

Beispiel: Für $127$ Personen stehen Busse mit je $50$ Plätzen zur Verfügung.

$$\begin{aligned} 127:50 &=2{,}54. \end{aligned}$$

Zwei Busse reichen nicht. Daher werden $3$ Busse benötigt.

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8. Plausibilitätsprüfung

Nach der Rechnung werden folgende Fragen gestellt:

1. Ist das Vorzeichen sinnvoll?
2. Muss das Ergebnis größer oder kleiner als die Ausgangswerte sein?
3. Passt die Größenordnung?
4. Stimmt die Einheit?
5. Kann durch Rückrechnung geprüft werden?
6. Gibt es sachliche Grenzen, etwa ganze Personen oder maximale Füllmengen?

Überschlag

Wenn $6$ Karten $72\,€$ kosten, kostet eine Karte ungefähr

$$72\,€:6=12\,€.$$

Für $9$ Karten erwartet man ungefähr

$$9\cdot12\,€=108\,€.$$

Der berechnete Wert passt zum Überschlag.

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9. Typische Fehler

• Es wird gerechnet, bevor die Frage geklärt ist.
• Alle Zahlen des Textes werden verwendet, auch wenn sie unnötig sind.
• Ein ungeeignetes Modell wird gewählt.
• Einheiten werden gemischt oder weggelassen.
• Zwischenschritte fehlen.
• Zu früh wird gerundet.
• Das Ergebnis wird nicht auf Plausibilität geprüft.
• Ein Antwortsatz fehlt.

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10. Zusammenfassung

Verstehen – Ordnen – Planen – Rechnen – Prüfen – Antworten

Eine vollständige Lösung enthält:

• gegebene und gesuchte Größen,
• ein begründetes Modell,
• nachvollziehbare Rechenschritte,
• Einheiten,
• eine Probe oder Plausibilitätsprüfung,
• einen Antwortsatz, der die ursprüngliche Frage beantwortet.