Sachaufgaben systematisch lösen und Ergebnisse prüfen
Sachaufgaben verbinden Sprache und Mathematik. Eine vollständige Lösung besteht nicht nur aus einer Zahl. Sie zeigt, wie der Text in Mathematik übersetzt wurde und was das Ergebnis in der Situation bedeutet.
1. Die Sechs-Schritte-Methode
Verstehen: Worum geht es und was wird gefragt?
Ordnen: Was ist gegeben, was ist gesucht und welche Einheit gehört dazu?
Planen: Welches mathematische Modell passt?
Rechnen: Werte geordnet einsetzen und jeden Schritt notieren.
Prüfen: Ergebnis, Einheit und Größenordnung kontrollieren.
Antworten: Einen vollständigen Antwortsatz formulieren.
Diese Reihenfolge verhindert, dass Zahlen wahllos miteinander verrechnet werden.
2. Einen Sachtext erschließen
Beispiel:
„Für Kinokarten bezahlt eine Gruppe . Wie viel kosten Karten, wenn jede Karte gleich viel kostet?“
So gehst du vor
Schrittlisten
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
MG 5.1 – Sachtext erschließen
Diese Schrittliste führt beim Thema Sachaufgaben systematisch lösen und Ergebnisse prüfen durch „Sachtext erschließen“. Jeder Schritt wird einzeln ausgeführt, vollständig notiert und vor dem Weiterrechnen geprüft.
1
Frage lesen
Frage lesen: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Sachtext erschließen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
2
Situation in eigenen Worten wiedergeben
Situation in eigenen Worten wiedergeben: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Sachtext erschließen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
3
Gegebene Angaben markieren
Gegebene Angaben markieren: Kennzeichne den gesuchten Bestandteil direkt in der Aufgabe und begründe die Zuordnung mit einem mathematischen Merkmal aus dem Thema „Sachtext erschließen“.
4
Gesuchte Größe markieren
Gesuchte Größe markieren: Kennzeichne den gesuchten Bestandteil direkt in der Aufgabe und begründe die Zuordnung mit einem mathematischen Merkmal aus dem Thema „Sachtext erschließen“.
5
Einheiten notieren
Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben.
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
Die Frage in eigenen Worten lautet: Gesucht ist der Gesamtpreis für 9 gleich teure Karten.
3. Ein passendes Modell wählen
Mögliche Modelle sind beispielsweise:
eine Grundrechenart,
ein ,
eine ,
ein proportionaler oder antiproportionaler Dreisatz,
eine Prozenttabelle,
eine geometrische Formel,
eine Wertetabelle oder ein Graph.
Für das Kinobeispiel passt ein proportionaler Dreisatz.
Karten
Preis
Rechenschritt
6
72€
gegeben
1
12€
/:6
9
108€
/⋅9
Rechnung:
72€:6=12€,
12€⋅9=108€.
4. Ergebnis prüfen und antworten
Die Richtung ist plausibel: 9 Karten sind mehr als 6 Karten, daher muss der Gesamtpreis größer als 72€ sein.
Rückrechnung:
108€:912€⋅6=12€ je Karte,=72€.
Die Ausgangsangabe wird wieder erreicht.
Antwort:9 Kinokarten kosten insgesamt 108€.
5. Unnötige Angaben erkennen
Nicht jede Zahl in einem Text wird für die Rechnung benötigt.
Beispiel:
„Eine Familie fährt am Samstag um 9 Uhr mit einem Auto, das 5 Sitzplätze hat, eine Strecke von 180km. Der Verbrauch beträgt 6l je 100km. Wie viel Treibstoff wird benötigt?“
Für die Treibstoffrechnung benötigt werden:
Strecke 180km,
Verbrauch 6l je 100km.
Nicht benötigt werden:
Abfahrtszeit,
Anzahl der Sitzplätze.
Eine gute Kontrolle lautet: Für jede verwendete Zahl kann erklärt werden, welche Rolle sie im Modell spielt.
6. Einheiten vor der Rechnung vereinheitlichen
Aufgabe: Ein rechteckiger Garten ist 12m lang und 850cm breit. Wie groß ist seine Fläche?
Zuerst wird die Breite umgerechnet:
850cm=8,5m.
Dann wird die Flächenformel verwendet:
A=a⋅b=12m⋅8,5m=102m2.
Antwort: Der Garten hat einen Flächeninhalt von 102m2.
Ohne Einheitenumrechnung wäre das Produkt aus Metern und Zentimetern schwer zu deuten und fehleranfällig.
7. Sinnvoll runden
Gerundet wird erst am Ende der Rechnung. Die Art der Rundung hängt vom Kontext ab.
Eine Länge kann auf Zentimeter gerundet werden.
Geld wird meist auf Cent gerundet.
Eine Anzahl von Bussen muss auf eine ganze Zahl aufgerundet werden, weil ein Teilbus nicht möglich ist.
Beispiel: Für 127 Personen stehen Busse mit je 50 Plätzen zur Verfügung.
127:50=2,54.
Zwei Busse reichen nicht. Daher werden 3 Busse benötigt.
8. Plausibilitätsprüfung
Nach der Rechnung werden folgende Fragen gestellt:
Ist das Vorzeichen sinnvoll?
Muss das Ergebnis größer oder kleiner als die Ausgangswerte sein?
Passt die Größenordnung?
Stimmt die Einheit?
Kann durch Rückrechnung geprüft werden?
Gibt es sachliche Grenzen, etwa ganze Personen oder maximale Füllmengen?
Überschlag
Wenn 6 Karten 72€ kosten, kostet eine Karte ungefähr
72€:6=12€.
Für 9 Karten erwartet man ungefähr
9⋅12€=108€.
Der berechnete Wert passt zum Überschlag.
9. Typische Fehler
Es wird gerechnet, bevor die Frage geklärt ist.
Alle Zahlen des Textes werden verwendet, auch wenn sie unnötig sind.
Ein ungeeignetes Modell wird gewählt.
Einheiten werden gemischt oder weggelassen.
Zwischenschritte fehlen.
Zu früh wird gerundet.
Das Ergebnis wird nicht auf Plausibilität geprüft.
einen Antwortsatz, der die ursprüngliche Frage beantwortet.
Einheiten notieren: Notiere Zahl und Einheit gemeinsam, vereinheitliche nötigenfalls die Einheiten und prüfe, ob die Ergebniseinheit zur gesuchten Größe passt.
6
Unnötige Angaben erkennen
Prüfe für jede Zahl, ob sie für das gewählte Modell gebraucht wird. Eine Angabe ohne erkennbare Rolle wird nicht in die Rechnung übernommen.
7
Ziel als Satz formulieren
Ziel als Satz formulieren: Formuliere eine vollständige Aussage mit Bezug zur Aufgabe. Nenne dabei Zahl, Einheit und die mathematische Bedeutung des Ergebnisses.
MG 5.1 – Mathematisches Modell wählen
Diese Schrittliste führt beim Thema Sachaufgaben systematisch lösen und Ergebnisse prüfen durch „Mathematisches Modell wählen“. Jeder Schritt wird einzeln ausgeführt, vollständig notiert und vor dem Weiterrechnen geprüft.
1
Zusammenhang beschreiben
Zusammenhang beschreiben: Schreibe diesen Bestandteil vollständig und in der vereinbarten mathematischen Form auf. Vorzeichen, Klammern und Einheiten dürfen nicht verloren gehen.
2
Mögliche Verfahren sammeln
Mögliche Verfahren sammeln: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Mathematisches Modell wählen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
3
Passendes Verfahren auswählen
Passendes Verfahren auswählen: Triff die Auswahl anhand der gegebenen Struktur und halte sie sichtbar fest, bevor gerechnet wird. Prüfe, ob sie zum weiteren Vorgehen passt.
4
Wahl begründen
Begründe in einem kurzen Satz, warum das gewählte Verfahren zum Zusammenhang passt, zum Beispiel proportional, Prozentanteil oder Flächenformel.
5
Skizze oder Tabelle anlegen
Skizze oder Tabelle anlegen: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Mathematisches Modell wählen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
6
Formel oder Rechnung notieren
Formel oder Rechnung notieren: Schreibe diesen Bestandteil vollständig und in der vereinbarten mathematischen Form auf. Vorzeichen, Klammern und Einheiten dürfen nicht verloren gehen.
7
Erwartungsrichtung festlegen
Erwartungsrichtung festlegen: Triff die Auswahl anhand der gegebenen Struktur und halte sie sichtbar fest, bevor gerechnet wird. Prüfe, ob sie zum weiteren Vorgehen passt.
MG 5.1 – Sachaufgabe rechnen
Diese Schrittliste führt beim Thema Sachaufgaben systematisch lösen und Ergebnisse prüfen durch „Sachaufgabe rechnen“. Jeder Schritt wird einzeln ausgeführt, vollständig notiert und vor dem Weiterrechnen geprüft.
1
Einheiten vereinheitlichen
Einheiten vereinheitlichen: Notiere Zahl und Einheit gemeinsam, vereinheitliche nötigenfalls die Einheiten und prüfe, ob die Ergebniseinheit zur gesuchten Größe passt.
2
Werte geordnet einsetzen
Werte geordnet einsetzen: Ersetze jedes passende Variablenvorkommen durch den zugeordneten Wert. Negative Werte und Brüche werden dabei eingeklammert.
3
Zwischenschritte notieren
Zwischenschritte notieren: Schreibe diesen Bestandteil vollständig und in der vereinbarten mathematischen Form auf. Vorzeichen, Klammern und Einheiten dürfen nicht verloren gehen.
4
Nach jedem Schritt vereinfachen
Nach jedem Schritt vereinfachen: Ordne zusammengehörige Bestandteile, erhalte Vorzeichen und Klammern und führe nur zulässige Vereinfachungen aus.
5
Einheiten mitführen
Einheiten mitführen: Notiere Zahl und Einheit gemeinsam, vereinheitliche nötigenfalls die Einheiten und prüfe, ob die Ergebniseinheit zur gesuchten Größe passt.
6
Endergebnis bestimmen
Endergebnis bestimmen: Kennzeichne den gesuchten Bestandteil direkt in der Aufgabe und begründe die Zuordnung mit einem mathematischen Merkmal aus dem Thema „Sachaufgabe rechnen“.
7
Sinnvoll runden
Sinnvoll runden: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Sachaufgabe rechnen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
MG 5.1 – Ergebnis prüfen
Diese Schrittliste führt beim Thema Sachaufgaben systematisch lösen und Ergebnisse prüfen durch „Ergebnis prüfen“. Jeder Schritt wird einzeln ausgeführt, vollständig notiert und vor dem Weiterrechnen geprüft.
1
Vorzeichen prüfen
Vorzeichen prüfen: Vergleiche den Schritt mit Ausgangsangabe, Größenordnung und Rechenrichtung. Formuliere kurz, warum das Ergebnis möglich oder fehlerhaft ist.
2
Größenordnung überschlagen
Größenordnung überschlagen: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Ergebnis prüfen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
3
Einheit prüfen
Einheit prüfen: Notiere Zahl und Einheit gemeinsam, vereinheitliche nötigenfalls die Einheiten und prüfe, ob die Ergebniseinheit zur gesuchten Größe passt.
4
Rückrechnung durchführen
Rückrechnung durchführen: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Ergebnis prüfen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
5
Kontextgrenzen beachten
Prüfe sachliche Grenzen wie ganze Personen, maximale Füllmengen, positive Längen oder begrenzte Gültigkeitsbereiche.
6
Ergebnis gegebenenfalls korrigieren
Ergebnis gegebenenfalls korrigieren: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Ergebnis prüfen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
7
Prüfaussage formulieren
Prüfaussage formulieren: Vergleiche den Schritt mit Ausgangsangabe, Größenordnung und Rechenrichtung. Formuliere kurz, warum das Ergebnis möglich oder fehlerhaft ist.
MG 5.1 – Antwort verständlich formulieren
Diese Schrittliste führt beim Thema Sachaufgaben systematisch lösen und Ergebnisse prüfen durch „Antwort verständlich formulieren“. Jeder Schritt wird einzeln ausgeführt, vollständig notiert und vor dem Weiterrechnen geprüft.
1
Frage erneut lesen
Frage erneut lesen: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Antwort verständlich formulieren“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
2
Gesuchte Größe nennen
Gesuchte Größe nennen: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Antwort verständlich formulieren“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
3
Zahlenwert einsetzen
Zahlenwert einsetzen: Ersetze jedes passende Variablenvorkommen durch den zugeordneten Wert. Negative Werte und Brüche werden dabei eingeklammert.
4
Einheit ergänzen
Einheit ergänzen: Notiere Zahl und Einheit gemeinsam, vereinheitliche nötigenfalls die Einheiten und prüfe, ob die Ergebniseinheit zur gesuchten Größe passt.
5
Rundung kenntlich machen
Rundung kenntlich machen: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Antwort verständlich formulieren“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
6
Kontextbedingung nennen
Kontextbedingung nennen: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Antwort verständlich formulieren“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
7
Vollständigen Antwortsatz schreiben
Vollständigen Antwortsatz schreiben: Schreibe diesen Bestandteil vollständig und in der vereinbarten mathematischen Form auf. Vorzeichen, Klammern und Einheiten dürfen nicht verloren gehen.
MG 5.1 – Unwichtige Angaben erkennen
Für die Lösung nicht benötigte Informationen identifizieren.
1
Fragestellung lesen
Bestimme zuerst genau, welche Größe am Ende gesucht ist.
2
Gegebene Informationen markieren
Notiere alle Zahlen und Aussagen aus dem Text.
3
Bezug zur gesuchten Größe prüfen
Frage bei jeder Angabe, ob sie für einen Rechenschritt zur gesuchten Größe benötigt wird.
4
Unnötige Angaben aussortieren
Informationen ohne Einfluss auf den Lösungsweg werden nicht verwendet.
5
Benötigte Angaben sammeln
Halte nur jene Daten fest, die für Modell und Rechnung tatsächlich gebraucht werden.
6
Auswahl prüfen
Kontrolliere, ob die Aufgabe mit den ausgewählten Angaben lösbar bleibt.
MG 5.1 – Passendes Rechenmodell auswählen
Zu einer einfachen Sachsituation eine passende Rechenoperation oder Formel auswählen.
1
Gesuchte Größe bestimmen
Kläre, was berechnet werden soll.
2
Gegebene Größen ordnen
Notiere die relevanten Zahlen mit ihren Bedeutungen und Einheiten.
3
Zusammenhang erkennen
Überlege, ob Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Proportion oder eine bekannte Formel passt.
4
Rechenmodell auswählen
Wähle genau die Rechenoperation oder Formel, die den beschriebenen Zusammenhang abbildet.
5
Modell mit Text vergleichen
Prüfe, ob sich das gewählte Modell in Worten wieder als Aussage des Sachtexts lesen lässt.
6
Ansatz festhalten
Notiere das gewählte Rechenmodell vor der eigentlichen Rechnung.
MG 5.1 – Rechnung aus Sachtext aufstellen
Eine Sachsituation als , oder einfache Formel darstellen.
1
Unbekannte Größe festlegen
Bezeichne die gesuchte Größe bei Bedarf mit einer .
2
Relevante Angaben übernehmen
Nutze nur die für die Lösung notwendigen Zahlen und Beziehungen.
3
Sprachliche Beziehungen übersetzen
Übertrage Wörter wie insgesamt, Unterschied, pro, doppelt oder Anteil in mathematische Operationen.
4
Term oder Gleichung aufbauen
Setze die Teilbeziehungen in der richtigen Reihenfolge zu einem Rechenansatz zusammen.
5
Einheiten beachten
Bringe Größen vor dem Verknüpfen gegebenenfalls in passende Einheiten.
6
Ansatz rückübersetzen
Lies den mathematischen Ausdruck in Worten und kontrolliere, ob er den Sachtext korrekt beschreibt.
MG 5.1 – Einheiten während der Rechnung beachten
Größen vor und während einer Rechnung in passende Einheiten umwandeln.
1
Einheiten aller Größen notieren
Schreibe zu jedem gegebenen Wert die zugehörige Einheit.
2
Kompatibilität prüfen
Nur gleichartige Größen dürfen direkt addiert oder subtrahiert werden.
3
Gemeinsame Einheit wählen
Lege vor der Rechnung eine passende gemeinsame Einheit fest.
4
Werte umrechnen
Wandle alle nötigen Größen mit den korrekten Umrechnungsfaktoren um.
5
Rechnung mit Einheiten durchführen
Behalte im Blick, welche Einheit aus den Rechenoperationen entsteht.
6
Endeinheit prüfen
Kontrolliere, ob die Einheit des Ergebnisses zur gesuchten Sachgröße passt.
MG 5.1 – Ergebnis im Kontext formulieren
Ein rechnerisches Ergebnis als vollständigen Antwortsatz mit Einheit formulieren.
1
Rechenergebnis notieren
Übernimm den berechneten Zahlenwert.
2
Gesuchte Größe wieder aufgreifen
Kläre, was laut Fragestellung mit diesem Wert beantwortet wird.
3
Einheit ergänzen
Füge die passende Einheit zum Ergebnis hinzu.
4
Kontextbegriff verwenden
Nenne im Satz die konkrete Größe oder Sache aus der Aufgabe.
5
Vollständigen Satz bilden
Formuliere eine sprachlich vollständige Antwort statt nur einer Zahl.
6
Antwort mit Frage vergleichen
Kontrolliere, ob der Satz tatsächlich die gestellte Frage beantwortet.
MG 5.1 – Ergebnis durch Überschlag prüfen
Die Größenordnung eines Ergebnisses mithilfe eines Überschlags kontrollieren.
1
Ausgangswerte grob runden
Ersetze die wichtigsten Zahlen durch nahe und einfach zu rechnende Werte.
2
Gleiche Rechenstruktur beibehalten
Führe mit den gerundeten Zahlen dieselben wesentlichen Rechenoperationen wie im exakten Ansatz aus.
3
Näherung berechnen
Bestimme eine grobe Größenordnung des Ergebnisses.
4
Mit exaktem Ergebnis vergleichen
Prüfe, ob beide Werte in einer ähnlichen Größenordnung liegen.
5
Starke Abweichung untersuchen
Bei großer Differenz kontrolliere Rechenweg, Komma, Vorzeichen und Einheit.
6
Kontrollergebnis festhalten
Beurteile, ob der exakte Wert durch den Überschlag plausibel gestützt wird.
MG 5.1 – Ergebnis auf Plausibilität prüfen
Beurteilen, ob ein Ergebnis zum Kontext und zu den gegebenen Größen passt.
1
Ergebnis mit Fragestellung verbinden
Prüfe, welche reale Größe der berechnete Wert darstellen soll.
2
Vorzeichen prüfen
Überlege, ob ein negativer, positiver oder nuller Wert im Kontext möglich ist.
3
Größenordnung prüfen
Vergleiche den Wert mit den gegebenen Größen und alltäglichen Erfahrungswerten.
4
Grenzen beachten
Prüfe natürliche Beschränkungen wie maximal 100 %, nichtnegative Längen oder begrenzte Stückzahlen.
5
Einheit kontrollieren
Eine falsche Einheit kann auf einen unpassenden Rechenweg hinweisen.
6
Plausibilitätsurteil formulieren
Begründe kurz, warum das Ergebnis zum Kontext passt oder nicht.
MG 5.1 – Unmögliches Ergebnis erkennen
Mathematisch oder sachlich unmögliche Ergebnisse erkennen und begründen.
1
Ergebnisart bestimmen
Kläre, welche reale Größe oder Anzahl das Resultat darstellen soll.
2
Mathematische Bedingungen prüfen
Achte auf verbotene Division durch 0, negative Werte bei bestimmten Größen oder andere mathematische Einschränkungen.
3
Sachliche Grenzen prüfen
Untersuche, ob das Ergebnis etwa größer als ein mögliches Maximum oder kleiner als ein sinnvolles Minimum ist.
4
Einheit und Werteart prüfen
Bei Stückzahlen können beispielsweise bestimmte Dezimalwerte sachlich unmöglich sein.
5
Widerspruch benennen
Erkläre genau, welche Bedingung das Ergebnis verletzt.
6
Folgerung ziehen
Kennzeichne das Ergebnis als unmöglich und verweise auf den Rechenweg oder die Modellannahme, die überprüft werden muss.
MG 5.1 – Lösungsweg strukturiert dokumentieren
Einen Lösungsweg mit Ansatz, Rechnung, Zwischenergebnissen und Antwort nachvollziehbar darstellen.
1
Fragestellung und Gegebenes festhalten
Notiere kurz, was gesucht und welche relevanten Größen gegeben sind.
2
Ansatz aufschreiben
Zeige die verwendete Formel, oder Rechenidee.
3
Werte einsetzen
Setze die gegebenen Größen nachvollziehbar mit Einheiten ein.
4
Rechnung in sinnvollen Zwischenschritten zeigen
Schreibe so viele Schritte auf, dass der Weg ohne Raten nachvollzogen werden kann.
5
Ergebnis prüfen und kennzeichnen
Führe gegebenenfalls Überschlag oder Plausibilitätsprüfung durch.
6
Antwortsatz formulieren
Schließe den Lösungsweg mit einem vollständigen Satz und passender Einheit ab.
