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Cosinus als verschobener Sinus | LerncoachFA 6.5
Cosinus als verschobener Sinus
Lies die Erklärung in Ruhe durch und nutze anschließend die Schrittlisten, um das Vorgehen sicher anzuwenden.
Passend für
Funktionale Abhängigkeiten9 SchrittlistenPDF verfügbar
Interaktiver Graphvergleich
Verschiebe sin(x+φ) zum Cosinusgraphen
Verschobener Sinus
sin(φ) ≈ 0
Amplitude
bei beiden A = 1
Periodenlänge
bei beiden T = 2π
Cosinus als verschobener Sinus
Kompetenzcode: FA 6.5
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten
Sinus und Cosinus beschreiben dieselbe Grundschwingung. Sie unterscheiden sich nur durch eine horizontale Verschiebung.
Die zentrale Beziehung lautet
cos(x)=sin(x+
FA 6.5 – Grundbeziehung von Sinus und Cosinus sichern
Charakteristische Werte vergleichen und die zentrale Verschiebungsidentität kennen.
- 1
Grundfunktionen vergleichen
Amplitude, Periode und Startwerte gegenüberstellen.
- 2
Viertelperiode bestimmen
T durch vier als Versatz erkennen.
- 3
Identität notieren
Cosinus x gleich Sinus von x plus Pi halbe verwenden.
- 4
Umkehrung notieren
Sinus x gleich Cosinus von x minus Pi halbe verwenden.
- 5
Kennwert kontrollieren
Die Beziehung an einem bekannten Winkel prüfen.
FA 6.5 – Graphische Verschiebung verstehen
Richtung, Kennpunkte und unveränderte Grapheneigenschaften sicher beschreiben.
- 1
GeoGebra-Übersicht: FA 6.5 – Cosinus als verschobener Sinus
GeoGebra dient zum direkten Vergleich von Sinus und Cosinus.
Grundfunktionen
f(x)=cos(x)
g(x)=sin(x+pi/2)
Die Graphen müssen deckungsgleich sein.
Veränderliche Phase
Lege einen Schieberegler φ an:
h(x)=sin(x+phi)
Bei
phi=pi/2
gilt
h(x)=cos(x)
Charakteristische Punkte
A=(0,cos(0))
B=(0,sin(0+pi/2))
Beide Punkte stimmen überein.
Skalierte Form
p(x)=3*cos(2*x)
q(x)=3*sin(2*x+pi/2)
Auch diese Graphen sind deckungsgleich.
Sinnvolle Arbeitsweise
- Sinus und Cosinus gleichzeitig darstellen.
Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben.
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2π
)
.
Leitidee: Verschiebt man den Sinusgraphen um 2π nach links, entsteht der Cosinusgraph.
1. Sinus und Cosinus im Vergleich
f(x)=sin(x) g(x)=cos(x) Sie unterscheiden sich nur in ihrer horizontalen Lage.
2. Charakteristische Werte
Der Cosinus erreicht seine Werte jeweils um eine Viertelperiode früher als der Sinus.
3. Verschiebung um eine Viertelperiode
Eine Viertelperiode der Grundfunktionen beträgt
4T=42π=2π. Der Cosinusgraph entsteht aus dem Sinusgraphen durch eine Verschiebung um
4. Warum bedeutet Plus eine Verschiebung nach links?
g(x)=sin(x+2π). Der Sinus erreicht sein Maximum normalerweise bei
x=2π. x+2π=2π. Das Maximum liegt nun bei x=0. Der Graph wurde daher nach links verschoben.
5. Zentrale Identität
cos(x)=sin(x+2π). sin(0+2π)=sin(2π)=1=cos(0).
6. Umgekehrte Schreibweise
cos(x)=sin(x+2π) sin(x)=cos(x−2π). Der Sinusgraph entsteht also aus dem Cosinusgraphen durch eine Verschiebung um
7. zuordnen
Die Nullstellen von sin(x) liegen bei ganzzahligen Vielfachen von π:
Die Nullstellen von cos(x) liegen um 2π verschoben:
x=2π+kπ. Damit erkennt man die horizontale Verschiebung direkt an den Nullstellen.
8. Hoch- und Tiefpunkte zuordnen
Für sin(x):
- Hochpunkt bei x=2π,
- Tiefpunkt bei x=23π.
Für cos(x):
- Hochpunkt bei x=0,
- Tiefpunkt bei x=π.
Auch hier beträgt der horizontale Versatz 2π.
9. Werte mit der Identität bestimmen
cos(3π)=sin(3π+2π). 3π+2π=62π+63π= cos(3π)=sin(65π)=21.
10. Graphischer Darstellungswechsel
Um den Cosinusgraphen aus dem Sinusgraphen zu erzeugen:
- charakteristische Sinuspunkte markieren,
- jede x-Koordinate um 2π verkleinern,
- die y-Koordinate unverändert lassen,
- die verschobenen Punkte verbinden.
Eine horizontale Verschiebung verändert weder Amplitude noch Periodenlänge.
11. Phasenverschiebung im Argument
g(x)=sin(x+φ) ist φ eine Phasenverschiebung im Argument.
- φ>0: Verschiebung nach links,
- φ<0: Verschiebung nach rechts.
φ=2π g(x)=cos(x).
12. Skalierter Cosinus als Sinus
f(x)=acos(bx) acos(bx)=asin(bx+2π). Amplitude und Periodenlänge bleiben gleich:
T=∣b∣2π.
13. Tatsächliche horizontale Verschiebung
asin(bx+2π) kann auch geschrieben werden als
asin(b(x+2bπ)) Die Phasenverschiebung im Argument ist
Die horizontale Verschiebung auf der x-Achse beträgt dagegen
2bπ nach links, wenn b>0.
14. Beispiel mit b=2
f(x)=3cos(2x). f(x)=3sin(2x+2π)=3sin(2(x+4π)). Die tatsächliche horizontale Verschiebung beträgt
15. Gradmaß und Bogenmaß
Die Identität kann auch im Gradmaß formuliert werden:
cos(α)=sin(α+90∘). In der Funktionsanalyse wird meist das Bogenmaß verwendet:
90∘=2π. Gradmaß und Bogenmaß dürfen nicht vermischt werden.
16. Zusammenhang am Einheitskreis
- cos(x) die x-Koordinate,
- sin(x) die y-Koordinate.
Eine Drehung um 2π verschiebt die Rollen der Koordinaten entsprechend. Dadurch wird die Identität
cos(x)=sin(x+2π) geometrisch verständlich.
17. Verschiebung im Kontext
Bei zwei periodischen Größen kann ein zeitlicher oder räumlicher Versatz auftreten.
s(t)=sin(6πt), c(t)=cos(6πt). Die Periodenlänge beträgt
Der horizontale Zeitversatz beträgt
4T=3. Der Cosinusverlauf liegt also um 3 Zeiteinheiten vor dem Sinusverlauf.
18. GeoGebra zur Kontrolle
Grundfunktionen
f(x)=cos(x)
g(x)=sin(x+pi/2)
Die Graphen müssen deckungsgleich sein.
Veränderliche Phase
Mit einem Schieberegler für φ kann beobachtet werden, wann h mit dem Cosinusgraphen übereinstimmt.
19. Arbeitsplan und typische Fehler
Arbeitsplan
- Sinus- und Cosinusfunktion erkennen.
- Charakteristische Punkte vergleichen.
- Verschiebung als Viertelperiode bestimmen.
- Richtung der Verschiebung prüfen.
- Identität
cos(x)=sin(x+2π)
anwenden.
- Bei acos(bx) Amplitude und b unverändert übernehmen.
- Zwischen Phase 2π und horizontalem Versatz 2bπ unterscheiden.
- Grad- oder Bogenmaß klären.
- Ergebnis durch charakteristische Werte kontrollieren.
- Im Kontext Versatz mit Einheit deuten.
Typische Fehler
- Das Pluszeichen wird als Verschiebung nach rechts gedeutet.
- cos(x) wird mit sin(x−2π) verwechselt.
- Amplitude oder Periodenlänge werden durch die Verschiebung verändert.
- Bei acos(bx) wird b vergessen.
- Die Phase 2π wird mit der horizontalen Verschiebung 2bπ verwechselt.
- Gradmaß und Bogenmaß werden gemischt.
- Nur ein einzelner Wert statt des gesamten Graphen wird verglichen.
20. Zusammenfassung
cos(x)=sin(x+2π) sin(x)=cos(x−2π) acos(bx)=asin(bx+2π) Horizontale Verschiebung bei b>0:
2bπ nach links
Merksatz: Cosinus ist Sinus, der um eine Viertelperiode nach links verschoben wurde.
Richtung bestimmen
Plus im Argument als Verschiebung nach links deuten.
2Hochpunkte zuordnen
Pi halbe Versatz sichtbar machen.
3Tiefpunkte zuordnen
Entsprechende Kennpunkte vergleichen.
4Nullstellen vergleichen
Verschobene angeben.
5Invarianten nennen
Amplitude, Periode und Wertebereich unverändert lassen.
FA 6.5 – Cosinus und Sinus umformen
Grundfunktionen und skalierte Ausdrücke sicher ineinander überführen.
- 1
Cosinus als Sinus schreiben
Pi halbe zum Argument addieren.
- 2
Sinus als Cosinus schreiben
Pi halbe vom Argument abziehen.
- 3
Vorfaktor übernehmen
Amplitude unverändert lassen.
- 4
b im Argument erhalten
Horizontale Skalierung nicht verändern.
- 5
Ergebnis kontrollieren
Kennwert oder Graphvergleich verwenden.
FA 6.5 – Phase und horizontale Verschiebung unterscheiden
Bei b ungleich eins die Phase im Argument und den tatsächlichen x-Versatz trennen.
- 1
Phase erkennen
Pi halbe als Zusatz im Argument benennen.
- 2
b ausklammern
Argument in b mal Klammerform schreiben.
- 3
x-Versatz bestimmen
Pi durch zwei b berechnen.
- 4
Richtung prüfen
Bei positivem b nach links verschieben.
- 5
Kennwerte sichern
Amplitude und Periode unverändert kontrollieren.
FA 6.5 – Verschiebung deuten und Fehler vermeiden
Winkelmaß, Einheitskreis und zeitliche oder räumliche Versätze fachlich korrekt erklären.
- 1
Winkelmaß klären
Pi halbe und neunzig Grad nicht vermischen.
- 2
Einheitskreis deuten
x- und y-Koordinate verbinden.
- 3
Zeitversatz bestimmen
Viertelperiode mit Zeiteinheit angeben.
- 4
Raumversatz bestimmen
Viertelperiode mit Längeneinheit angeben.
- 5
Fehler prüfen
Richtung und Vorzeichen durch einen Kennwert kontrollieren.
FA 6.5 – Cosinus als verschobenen Sinus erkennen
Den Zusammenhang cos(x) = sin(x + π/2) erkennen.
- 1
Grundfunktionen notieren
Betrachte sin(x) und cos(x).
- 2
Verschobenen Sinus betrachten
Ersetze x im Sinus durch x+π/2.
- 3
Identität anwenden
Es gilt sin(x+π/2)=cos(x).
- 4
Verschiebungsrichtung deuten
Der x+π/2 entspricht einer Verschiebung des Sinusgraphen um π/2 nach links.
- 5
Graphische Bedeutung verbinden
Der so verschobene Sinusgraph stimmt mit dem Cosinusgraphen überein.
- 6
Zusammenhang formulieren
Beschreibe cos(x) als um π/2 nach links verschobenen Sinus.
FA 6.5 – Sinus- und Cosinusgraph vergleichen
Sinus- und Cosinusgraph hinsichtlich Form und Verschiebung vergleichen.
- 1
Form vergleichen
Beide Graphen besitzen dieselbe glatte periodische Wellenform.
- 2
Amplitude vergleichen
sin(x) und cos(x) besitzen dieselbe Amplitude 1.
- 3
Periode vergleichen
Beide besitzen die Periodenlänge 2π.
- 4
Startlage vergleichen
sin(0)=0, während cos(0)=1 gilt.
- 5
Horizontale Verschiebung erkennen
Der Cosinusgraph entspricht dem Sinusgraphen mit einer Verschiebung um π/2 nach links.
- 6
Vergleich formulieren
Nenne gleiche Form, gleiche Periode und die horizontale Verschiebung als wesentlichen Unterschied.
FA 6.5 – Cosinuswert mit Sinus darstellen
Einen Cosinuswert mithilfe eines entsprechend verschobenen Sinuswerts darstellen.
- 1
Cosinuswert notieren
Starte mit einem Ausdruck cos(x).
- 2
- 3
Argument verschieben
Addiere π/2 zum ursprünglichen Argument.
- 4
Sinusausdruck schreiben
Ersetze den Cosinuswert durch den entsprechenden Sinuswert.
- 5
Bei konkretem x einsetzen
Setze gegebenenfalls den Zahlenwert für x ein und vereinfache das Argument.
- 6
Gleichwertigkeit prüfen
Kontrolliere an einem bekannten Winkel, dass beide Werte übereinstimmen.
FA 6.5 – Passenden verschobenen Graphen zuordnen
Einem Sinusgraphen den passend phasenverschobenen Cosinusgraphen zuordnen.
- 1
Referenzgraph bestimmen
Identifiziere den gegebenen Sinusgraphen und seine charakteristischen Stellen.
- 2
Verschiebung festlegen
Für den zugehörigen Cosinusgraphen ist eine horizontale Verschiebung um π/2 maßgeblich.
- 3
Markante Stelle verfolgen
Vergleiche beispielsweise den Mittelliniendurchgang des Sinus mit dem Hochpunkt des Cosinus.
- 4
Periode und Amplitude prüfen
Beide Graphen müssen bei den Grundfunktionen dieselbe Periode und Amplitude besitzen.
- 5
Kandidaten ausschließen
Verwirf Graphen mit falscher Verschiebungsrichtung oder falscher Wellenlänge.
- 6
Passenden Graphen zuordnen
Wähle den Graphen, der der korrekten phasenverschobenen Cosinuslage entspricht.
bei φ=π/2 Deckungsgleichheit kontrollieren. bei b=1 Phase und horizontale Verschiebung unterscheiden. einen Kennwert rechnerisch prüfen.Wichtig
- GeoGebra arbeitet mit dem Bogenmaß.
- Ein Pluszeichen im Argument verschiebt den Graphen nach links.
- Die reine Verschiebung verändert Amplitude und Periode nicht.
- Das Hilfsmittel ersetzt keine mathematische Begründung.
1
| cos(x) | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 |
6
5π
.
