Algebra und Geometrie13 SchrittlistenPDF verfügbar
Interaktive Visualisierung
Ankathete oder Gegenkathete?
Klicke auf α oder β. Ankathete und Gegenkathete hängen davon ab, welchen Winkel du betrachtest.
Betrachteter Winkel
α
Winkelfunktionen
sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse
cos(α) = Ankathete / Hypotenuse
tan(α) = Gegenkathete / Ankathete
Merke: Die Hypotenuse liegt immer gegenüber dem rechten Winkel. Ankathete und Gegenkathete wechseln ihre Rolle, wenn du vom Winkel α zum Winkel β wechselst.
Sinus, Cosinus und Tangens verbinden in einem rechtwinkeligen Dreieck einen spitzen Winkel mit den Seitenlängen. Entscheidend ist, dass du die Seiten immer zum betrachteten Winkel benennst.
Ein rechtwinkeliges Dreieck besitzt einen Winkel von 90∘. Die Seite gegenüber diesem Winkel heißt Hypotenuse. Sie ist immer die längste Seite.
Die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Ihre genaueren Namen hängen davon ab, welchen spitzen Winkel du betrachtest:
Die Gegenkathete liegt dem betrachteten Winkel gegenüber.
Die Ankathete berührt den betrachteten Winkel und ist nicht die Hypotenuse.
Die Hypotenuse bleibt unabhängig vom betrachteten Winkel dieselbe Seite.
So gehst du vor
Schrittlisten
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
AG 4.1 – Rechtwinkelige Dreiecke Schritt für Schritt auflösen
Skizze anfertigen, Seiten zum Bezugswinkel benennen, die passende trigonometrische auswählen und das Ergebnis kontrollieren.
1
Skizze anfertigen
Zeichne die Situation als rechtwinkeliges Dreieck. Bei einer Textaufgabe überträgst du zuerst alle Angaben aus dem Text in die Skizze.
2
Rechten Winkel und Bezugswinkel markieren
Kennzeichne den Winkel von 90∘ und den spitzen Winkel, auf den sich Gegenkathete und Ankathete beziehen.
3
Gegeben und gesucht notieren
Schreibe die bekannten Größen mit Einheiten und die gesuchte Größe übersichtlich auf.
Digitales Werkzeug
GeoGebra
Wichtige Befehle und ihre Verwendung zu diesem Thema.
GeoGebra eignet sich bei AG 4.1 vor allem zum Zeichnen und Kontrollieren. Die Entscheidung für Sinus, Cosinus oder Tangens soll vorher händisch begründet werden.
Ein rechtwinkeliges Dreieck zeichnen
Gib nacheinander ein:
A=(0,0)
B=(6,0)
C=(6,4)
Vieleck(A,B,C)
Damit entsteht ein rechtwinkeliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei B.
Zuerst beschriften: Markiere vor jeder Rechnung den rechten Winkel, die Hypotenuse und den betrachteten Winkel. Viele Fehler entstehen nur durch vertauschte Seiten.
Der Bezugswinkel entscheidet
Wird statt α der andere spitze Winkel β betrachtet, tauschen Gegenkathete und Ankathete ihre Rollen. Die Hypotenuse bleibt unverändert.
Sinus, Cosinus und Tangens
Für einen spitzen Winkel α im rechtwinkeligen Dreieck gelten:
sin(α)=HypotenuseGegenkathete
cos(α)=HypotenuseAnkathete
tan(α)=AnkatheteGegenkathete
Beteiligte Seiten
Passende Funktion
Gegenkathete und Hypotenuse
Sinus
Ankathete und Hypotenuse
Cosinus
Gegenkathete und Ankathete
Tangens
Beispiel mit einem 6-8-10-Dreieck
Zum Winkel α seien die Gegenkathete 6cm, die Ankathete 8cm und die Hypotenuse 10cm.
sin(α)=106=0,6
cos(α)=108=0,8
tan(α)=86=0,75
Taschenrechner: Stelle den Rechner auf DEG, wenn die Winkel in Grad angegeben sind. Im Modus RAD erhältst du andere Werte.
Die passende Funktion auswählen
Die richtige Funktion hängt davon ab, welche Seiten bekannt und gesucht sind.
Bestimme Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse zum gegebenen Winkel.
Markiere die bekannte und die gesuchte Seite.
Wähle jene Funktion, in der genau diese beiden Seiten vorkommen.
Beispiel
Gegeben sind α=35∘ und die Hypotenuse h=12cm. Gesucht ist die Gegenkathete g.
Gegenkathete und Hypotenuse kommen im Sinus vor:
sin(35∘)=12g
Nicht raten: Schreibe zuerst das Seitenverhältnis hin. Erst danach setzt du Zahlen ein und formst um.
Eine fehlende Seite berechnen
Gegenkathete gesucht
Gegeben sind α=35∘ und h=12cm.
sin(35∘)=12g
g=12sin(35∘)≈6,88cm
Ankathete gesucht
Gegeben sind α=52∘ und h=9m.
cos(52∘)=9a
a=9cos(52∘)≈5,54m
Hypotenuse gesucht
Gegeben sind α=28∘ und die Gegenkathete g=4,5cm.
sin(28∘)=h4,5
h=sin(28∘)4,5≈9,59cm
Plausibilitätsprüfung: Die Hypotenuse muss länger sein als jede Kathete. Ein Ergebnis mit h<g oder h<a kann nicht stimmen.
Einen Winkel berechnen
Ist ein Seitenverhältnis bekannt, verwendest du die passende Umkehrfunktion:
α=arcsin(…),α=arccos(…),α=arctan(…)
Am Taschenrechner stehen dafür häufig sin−1, cos−1 und tan−1.
Beispiel mit Sinus
Gegeben sind g=7cm und h=11cm.
sin(α)=117
α=arcsin(117)≈39,5∘
Beispiel mit Tangens
Gegeben sind g=5m und a=12m.
tan(α)=125
α=arctan(125)≈22,6∘
Nicht verwechseln:sin−1 bedeutet auf dem Taschenrechner in diesem Zusammenhang die Umkehrfunktion arcsin, nicht den Kehrwert sin1.
Der zweite spitze Winkel
In jedem rechtwinkeligen Dreieck gilt:
α+β=90∘
Daher:
β=90∘−α
Ein Dreieck vollständig auflösen
Ein Dreieck auflösen bedeutet, alle fehlenden Seiten und Winkel zu bestimmen.
Gegeben sind h=15cm und α=40∘.
g=hsin(α)=15sin(40∘)≈9,64cm
a=hcos(α)=15cos(40∘)≈11,49cm
β=90∘−40∘=50∘
Damit sind alle Seiten und Winkel bekannt.
Sachaufgaben
Bei einer Sachaufgabe ist das rechtwinkelige Dreieck oft nicht direkt eingezeichnet. Fertige deshalb zuerst eine Skizze an und übertrage die Größen aus dem Text.
Leiter an einer Wand
Eine 5m lange Leiter bildet mit dem Boden einen Winkel von 68∘. Die gesuchte Höhe ist die Gegenkathete, die Leiter die Hypotenuse.
h=5sin(68∘)≈4,64m
Höhe eines Baumes
Eine Person steht 18m von einem Baum entfernt. Der Höhenwinkel zur Baumspitze beträgt 32∘. Die Augenhöhe beträgt 1,65m.
Zuerst wird die Höhe oberhalb der Augen berechnet:
tan(32∘)=18h1
h1=18tan(32∘)≈11,25m
Danach wird die Augenhöhe addiert:
h≈11,25+1,65=12,90m
Neigungswinkel einer Rampe
Eine Rampe überwindet 0,8m Höhe auf einer waagerechten Länge von 6m.
tan(α)=60,8
α=arctan(60,8)≈7,6∘
Kontrollieren und richtig runden
Rechne möglichst mit ungerundeten Zwischenwerten.
Runde erst das Endergebnis passend zur Aufgabenstellung.
Schreibe immer eine passende Einheit dazu.
Prüfe, ob die Hypotenuse die längste Seite ist.
Prüfe, ob ein Winkel im rechtwinkeligen Dreieck zwischen 0∘ und 90∘ liegt.
Vergleiche das Ergebnis mit deiner Skizze und der Sachsituation.
Das solltest du können: Du kannst Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse richtig zuordnen, die passende trigonometrische Funktion wählen und damit fehlende Seiten sowie Winkel in rechtwinkeligen Dreiecken und einfachen Sachaufgaben berechnen.
4
Seiten benennen
Bestimme zum Bezugswinkel die Hypotenuse, die Gegenkathete und die Ankathete.
5
Passende Funktion wählen
Wähle Sinus, Cosinus oder Tangens so, dass genau die bekannte und die gesuchte Seite vorkommen.
6
Gleichung aufstellen und umformen
Schreibe zuerst das Seitenverhältnis auf. Setze danach die Werte ein und forme nach der gesuchten Größe um.
7
Berechnen und prüfen
Verwende den Gradmodus, rechne mit ungerundeten Zwischenwerten, runde erst am Ende und kontrolliere Einheit sowie Plausibilität.
AG 4.1 – Hypotenuse erkennen
In einem rechtwinkeligen Dreieck die Hypotenuse bestimmen.
1
Rechten Winkel finden
Bestimme den Winkel mit 90° im Dreieck.
2
Gegenüberliegende Seite suchen
Die Seite gegenüber dem rechten Winkel ist die Hypotenuse.
3
Längste Seite erkennen
In einem rechtwinkeligen Dreieck ist die Hypotenuse zugleich die längste Seite.
4
Bezeichnung zuordnen
Ordne der gefundenen Seite die in der Aufgabe verwendete Seitenbezeichnung zu.
5
Katheten abgrenzen
Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, sind die Katheten.
6
Ergebnis kontrollieren
Prüfe, dass die Hypotenuse den rechten Winkel nicht berührt, sondern ihm gegenüberliegt.
AG 4.1 – Ankathete und Gegenkathete zuordnen
Bezogen auf einen gegebenen Winkel Ankathete und Gegenkathete identifizieren.
1
Bezugswinkel markieren
Bestimme den Winkel, auf den sich Ankathete und Gegenkathete beziehen.
2
Hypotenuse zuerst ausschließen
Identifiziere die Hypotenuse; sie ist weder Ankathete noch Gegenkathete zum betrachteten spitzen Winkel.
3
Gegenkathete bestimmen
Die Seite gegenüber dem Bezugswinkel ist die Gegenkathete.
4
Ankathete bestimmen
Die am Bezugswinkel anliegende Kathete ist die Ankathete.
5
Bezeichnungen notieren
Ordne beiden Katheten ihre konkreten Seitenbezeichnungen zu.
6
Winkelwechsel beachten
Beim Wechsel zum anderen spitzen Winkel tauschen Ankathete und Gegenkathete ihre Rollen.
AG 4.1 – Sinus definieren
Sinus als Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse angeben.
1
Bezugswinkel festlegen
Wähle den betrachteten spitzen Winkel α.
2
Gegenkathete bestimmen
Identifiziere die Seite gegenüber von α.
3
Hypotenuse bestimmen
Identifiziere die Seite gegenüber dem rechten Winkel.
4
Verhältnis bilden
Bilde Gegenkathete dividiert durch Hypotenuse.
5
Definition notieren
Schreibe sin(α)=Gegenkathete/Hypotenuse.
6
Zuordnung prüfen
Kontrolliere, dass im Sinusverhältnis nicht die Ankathete verwendet wurde.
AG 4.1 – Cosinus definieren
Cosinus als Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse angeben.
1
Bezugswinkel festlegen
Wähle den betrachteten spitzen Winkel α.
2
Ankathete bestimmen
Identifiziere die am Winkel α anliegende Kathete.
3
Hypotenuse bestimmen
Identifiziere die Seite gegenüber dem rechten Winkel.
4
Verhältnis bilden
Bilde Ankathete dividiert durch Hypotenuse.
5
Definition notieren
Schreibe cos(α)=Ankathete/Hypotenuse.
6
Zuordnung prüfen
Kontrolliere, dass im Cosinusverhältnis nicht die Gegenkathete verwendet wurde.
AG 4.1 – Tangens definieren
Tangens als Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete angeben.
1
Bezugswinkel festlegen
Wähle den betrachteten spitzen Winkel α.
2
Gegenkathete bestimmen
Identifiziere die Seite gegenüber von α.
3
Ankathete bestimmen
Identifiziere die am Winkel α anliegende Kathete.
4
Verhältnis bilden
Bilde Gegenkathete dividiert durch Ankathete.
5
Definition notieren
Schreibe tan(α)=Gegenkathete/Ankathete.
6
Hypotenuse abgrenzen
Kontrolliere, dass die Hypotenuse im Tangensverhältnis nicht vorkommt.
AG 4.1 – Passende Winkelfunktion auswählen
Anhand gegebener und gesuchter Größen Sinus, Cosinus oder Tangens auswählen.
1
Gegebene Größen markieren
Bestimme, welche Seiten beziehungsweise welcher Winkel bekannt sind.
2
Gesuchte Größe markieren
Bestimme, welche Seite oder welcher Winkel berechnet werden soll.
3
Seiten zum Bezugswinkel zuordnen
Ordne bekannte und gesuchte Seiten als Gegenkathete, Ankathete oder Hypotenuse ein.
4
Sinus prüfen
Wähle Sinus, wenn Gegenkathete und Hypotenuse die relevanten Seiten sind.
5
Cosinus oder Tangens prüfen
Wähle Cosinus bei Ankathete und Hypotenuse beziehungsweise Tangens bei Gegenkathete und Ankathete.
6
Auswahl kontrollieren
Prüfe vor dem Rechnen, dass die gewählte Beziehung genau die gegebenen und gesuchten Größen enthält.
AG 4.1 – Kathete mit Sinus berechnen
Eine unbekannte Kathete mithilfe des Sinus berechnen.
1
Bezugswinkel festlegen
Bestimme den gegebenen Winkel α.
2
Gegenkathete und Hypotenuse zuordnen
Identifiziere die gesuchte Gegenkathete und die bekannte Hypotenuse.
3
Sinusgleichung aufstellen
Schreibe sin(α)=Gegenkathete/Hypotenuse.
4
Nach Gegenkathete umformen
Multipliziere mit der Hypotenuse.
5
Wert berechnen
Berechne Gegenkathete=Hypotenuse·sin(α) im richtigen Winkelmodus.
6
Plausibilität prüfen
Die Kathete muss positiv und kürzer als die Hypotenuse sein.
AG 4.1 – Kathete mit Cosinus berechnen
Eine unbekannte Kathete mithilfe des Cosinus berechnen.
1
Bezugswinkel festlegen
Bestimme den gegebenen Winkel α.
2
Ankathete und Hypotenuse zuordnen
Identifiziere die gesuchte Ankathete und die bekannte Hypotenuse.
3
Cosinusgleichung aufstellen
Schreibe cos(α)=Ankathete/Hypotenuse.
4
Nach Ankathete umformen
Multipliziere mit der Hypotenuse.
5
Wert berechnen
Berechne Ankathete=Hypotenuse·cos(α) im richtigen Winkelmodus.
6
Plausibilität prüfen
Die Kathete muss positiv und kürzer als die Hypotenuse sein.
AG 4.1 – Kathete mit Tangens berechnen
Eine unbekannte Kathete mithilfe des Tangens berechnen.
1
Bezugswinkel festlegen
Bestimme den gegebenen Winkel α.
2
Katheten zuordnen
Identifiziere Gegenkathete und Ankathete zum Winkel α.
3
Tangensgleichung aufstellen
Schreibe tan(α)=Gegenkathete/Ankathete.
4
Nach der gesuchten Kathete umformen
Multipliziere oder dividiere so, dass die gesuchte Kathete allein steht.
5
Wert berechnen
Setze die bekannte Kathete und den Winkel ein und berechne die gesuchte Länge.
6
Plausibilität prüfen
Kontrolliere Vorzeichen, Einheit und ob die Seitenlängen zum Winkel passen.
AG 4.1 – Hypotenuse berechnen
Die Hypotenuse mithilfe einer trigonometrischen Beziehung berechnen.
1
Bezugswinkel bestimmen
Bestimme den gegebenen spitzen Winkel und die bekannte Kathete.
2
Passende Funktion wählen
Verwende Sinus bei bekannter Gegenkathete oder Cosinus bei bekannter Ankathete.
3
Verhältnis aufstellen
Schreibe die passende trigonometrische Beziehung mit der Hypotenuse im Nenner.
4
Nach Hypotenuse umformen
Löse die nach der Hypotenuse auf.
5
Wert berechnen
Setze Winkel und Kathetenlänge ein und berechne die Hypotenuse.
6
Plausibilität prüfen
Die Hypotenuse muss größer als jede einzelne Kathete sein.
AG 4.1 – Winkel mit Umkehrfunktion berechnen
Einen Winkel mithilfe der Umkehrfunktion von Sinus, Cosinus oder Tangens bestimmen.
1
Seiten zum Winkel zuordnen
Bestimme die zwei bekannten Seiten relativ zum gesuchten Winkel.
2
Passende Winkelfunktion wählen
Wähle Sinus, Cosinus oder Tangens entsprechend den bekannten Seiten.
3
Verhältnis berechnen
Setze die Seitenlängen ein und bestimme den .
4
Umkehrfunktion anwenden
Berechne α mit arcsin, arccos oder arctan.
5
Winkelmodus prüfen
Stelle sicher, dass das Hilfsmittel Gradmaß verwendet, wenn ein Winkel in Grad gesucht ist.
6
Ergebnis kontrollieren
In einem rechtwinkeligen Dreieck muss der berechnete spitze Winkel zwischen 0° und 90° liegen.
AG 4.1 – Trigonometrisches Ergebnis im Kontext deuten
Eine berechnete Länge oder einen Winkel im Sachkontext interpretieren.
1
Berechnete Größe identifizieren
Bestimme, ob das Ergebnis eine Länge oder ein Winkel ist.
2
Sachgröße zuordnen
Verbinde das mathematische Ergebnis wieder mit der im Text beschriebenen Strecke, Höhe, Entfernung oder Neigung.
3
Einheit ergänzen
Gib das Ergebnis mit der zum Kontext passenden Einheit an.
4
Rundung prüfen
Runde nur so genau, wie es Aufgabe und Sachkontext verlangen.
5
Plausibilität bewerten
Vergleiche den Wert mit bekannten Größen und geometrischen Grenzen.
6
Kontextsatz formulieren
Schreibe einen vollständigen Satz, der die Bedeutung des berechneten Werts erklärt.
Zeichne danach ein passendes Dreieck in GeoGebra.
Vergleiche Winkel und Seitenlängen mit deinem Ergebnis.
Wichtig: GeoGebra dient hier zur Darstellung und Kontrolle. Es ersetzt weder die Seitenzuordnung noch den Rechenweg.
