Integrationsregeln für elementare Funktionen

Kompetenzcode: AN 4.4

Bereich: Analysis

Beim Integrieren wird zu einer gegebenen Funktion eine Stammfunktion gesucht. Entscheidend ist zuerst die Grundform des Integranden. Danach werden konstante Faktoren, Summen und lineare innere Funktionen berücksichtigt.

Die Leitfrage lautet:

Welche bekannte Funktion ergibt beim Ableiten wieder den gegebenen Integranden?

1. Stammfunktion und unbestimmtes Integral

Eine Funktion $F$ heißt Stammfunktion von $f$, wenn

$$F'(x)=f(x)$$

gilt.

Das unbestimmte Integral bezeichnet die Menge aller Stammfunktionen:

$$\boxed{ \int f(x)\,dx=F(x)+C }$$

Dabei ist $C\in\mathbb{R}$ eine beliebige Konstante. Sie ist notwendig, weil beim Ableiten jede Konstante verschwindet.

Beispiel

Für

$$f(x)=e^x$$

ist

$$F(x)=e^x+C$$

eine Stammfunktion, denn

$$F'(x)=e^x.$$

2. Faktorregel, Summenregel und Regelauswahl

Faktorregel

Ein konstanter Faktor bleibt beim Integrieren erhalten:

$$\boxed{ \int k\cdot f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx = kF(x)+C }$$

Summenregel

Summen und Differenzen werden gliedweise integriert:

$$\boxed{ \int \left(f(x)\pm g(x)\right)\,dx = F(x)\pm G(x)+C }$$

Es wird nur eine Integrationskonstante am Ende benötigt.

Die Grundform erkennen

Nach der Auswahl der Grundstammfunktion wird geprüft, ob der Integrand einen konstanten Faktor, eine Summe oder eine lineare innere Funktion enthält.

3. Exponentialfunktionen integrieren

Natürliche Exponentialfunktion

Da die Ableitung von $e^x$ wieder $e^x$ ist, gilt:

$$\boxed{ \int e^x\,dx=e^x+C }$$

Beispiel

$$\int 5e^x\,dx=5e^x+C$$

Allgemeine Exponentialfunktion

Für $a>0$ und $a\neq 1$ gilt:

$$\boxed{ \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln(a)}+C }$$

Der Faktor $\frac{1}{\ln(a)}$ gleicht aus, dass

$$\left(a^x\right)'=a^x\ln(a)$$

gilt.

Beispiel

$$\int 3\cdot 2^x\,dx = \frac{3\cdot 2^x}{\ln(2)}+C$$

4. Kehrwert- und Logarithmusfunktionen integrieren

Diese drei Grundformen sehen ähnlich aus, besitzen aber verschiedene Stammfunktionen.

Kehrwertfunktion

Auf jedem Intervall, das $0$ nicht enthält, gilt:

$$\boxed{ \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C }$$

Der Betrag ist notwendig, weil $\frac{1}{x}$ sowohl für positive als auch für negative $x$ definiert ist. Eine Stammfunktion wird jeweils auf einem Intervall betrachtet, das die Definitionslücke bei $x=0$ nicht überschreitet.

Beispiel

$$\int \frac{4}{x}\,dx = 4\ln|x|+C$$

Natürliche Logarithmusfunktion

Für $x>0$ gilt:

$$\boxed{ \int \ln(x)\,dx = x\ln(x)-x+C }$$

Die Kontrollableitung zeigt:

$$\begin{aligned} \left(x\ln(x)-x\right)' &=\ln(x)+x\cdot\frac1x-1\\ &=\ln(x). \end{aligned}$$

Logarithmus zu einer beliebigen Basis

Für $a>0$, $a\neq 1$ und $x>0$ gilt:

$$\log_a(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}.$$

Daher folgt:

$$\boxed{ \int \log_a(x)\,dx = \frac{x\ln(x)-x}{\ln(a)}+C }$$

Beispiel

$$\int \log_2(x)\,dx = \frac{x\ln(x)-x}{\ln(2)}+C, \qquad x>0.$$

5. Trigonometrische Funktionen integrieren

Sinusfunktion

$$\boxed{ \int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C }$$

Das Minuszeichen ist wesentlich, denn

$$\left(-\cos(x)\right)'=\sin(x).$$

Cosinusfunktion

$$\boxed{ \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C }$$

Tangensfunktion

Auf jedem Intervall, auf dem $\cos(x)\neq 0$ gilt, erhält man:

$$\boxed{ \int \tan(x)\,dx = -\ln|\cos(x)|+C }$$

Zur Kontrolle wird die Kettenregel verwendet:

$$\begin{aligned} \left(-\ln|\cos(x)|\right)' &=-\frac{-\sin(x)}{\cos(x)}\\ &=\tan(x). \end{aligned}$$

Die Stammfunktion gilt jeweils nur auf einem Intervall, das keine Nullstelle des Kosinus enthält.

6. Lineare Substitution

Enthält der Integrand eine lineare innere Funktion $ax+b$, kann die Grundstammfunktion angepasst werden.

Sei $F'(u)=f(u)$ und $a\neq 0$. Dann gilt:

$$\boxed{ \int f(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}F(ax+b)+C }$$

Der Faktor $\frac1a$ gleicht die innere Ableitung $a$ aus.

Herleitung mit Substitution

Wir setzen

$$u=ax+b.$$

Dann gilt:

$$du=a\,dx \qquad\Longrightarrow\qquad dx=\frac1a\,du.$$

Damit erhält man:

$$\begin{aligned} \int f(ax+b)\,dx &=\int f(u)\cdot\frac1a\,du\\ &=\frac1a F(u)+C\\ &=\frac1a F(ax+b)+C. \end{aligned}$$

Beispiel 1: Exponentialfunktion

$$\begin{aligned} \int 3e^{2x-1}\,dx &=3\cdot\frac12 e^{2x-1}+C\\ &=\frac32 e^{2x-1}+C. \end{aligned}$$

Beispiel 2: Cosinusfunktion

$$\begin{aligned} \int 5\cos(3x)\,dx &=5\cdot\frac13\sin(3x)+C\\ &=\frac53\sin(3x)+C. \end{aligned}$$

Beispiel 3: Kehrwertfunktion

$$\begin{aligned} \int \frac{1}{4x-3}\,dx &=\frac14\ln|4x-3|+C. \end{aligned}$$

Dabei muss gelten:

$$4x-3\neq 0 \qquad\Longrightarrow\qquad x\neq\frac34.$$

Beispiel 4: Potenz einer linearen Funktion

Für $n\neq -1$ gilt:

$$\boxed{ \int (ax+b)^n\,dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C }$$

Beispielsweise:

$$\int (2x+1)^4\,dx = \frac{(2x+1)^5}{10}+C.$$

7. Mehrere Regeln kombinieren

Beispiel

Gegeben ist

$$\int \left(2e^{3x}+4\cos(x)-\frac{5}{x}\right)\,dx.$$

Zuerst wird die Summe gliedweise integriert. Danach werden die konstanten Faktoren berücksichtigt:

$$\begin{aligned} \int \left(2e^{3x}+4\cos(x)-\frac{5}{x}\right)\,dx &=2\int e^{3x}\,dx +4\int \cos(x)\,dx -5\int \frac1x\,dx\\ &=\frac23 e^{3x}+4\sin(x)-5\ln|x|+C. \end{aligned}$$

Es gilt $x\neq 0$. Die Probe liefert:

$$\left(\frac23 e^{3x}+4\sin(x)-5\ln|x|+C\right)' = 2e^{3x}+4\cos(x)-\frac5x.$$

8. Definitionsbedingungen und Gültigkeitsintervalle

Definitionsbedingungen werden vor dem Integrieren bestimmt. Die gefundene Stammfunktion ist nur dort gültig, wo auch der ursprüngliche Integrand definiert ist.

Kehrwertfunktion

Für $\frac1x$ gilt:

$$x\neq 0.$$

Die Intervalle $(-\infty,0)$ und $(0,\infty)$ werden getrennt betrachtet.

Logarithmusfunktionen

Für $\ln(x)$ und $\log_a(x)$ muss gelten:

$$x>0.$$

Für die Basis des allgemeinen Logarithmus gilt zusätzlich:

$$a>0 \qquad\text{und}\qquad a\neq 1.$$

Tangensfunktion

Für $\tan(x)$ muss gelten:

$$\cos(x)\neq 0.$$

Lineare innere Funktionen

Bei $f(ax+b)$ werden die Bedingungen der Grundfunktion auf $ax+b$ übertragen. Beispielsweise gilt für $\ln(2x-1)$:

$$2x-1>0 \qquad\Longrightarrow\qquad x>\frac12.$$

9. Typische Fehler

Fehler 1: Integrationskonstante vergessen

Falsch:

$$\int e^x\,dx=e^x.$$

Richtig:

$$\int e^x\,dx=e^x+C.$$

Fehler 2: Faktor der linearen inneren Funktion nicht ausgleichen

Falsch:

$$\int e^{3x}\,dx=e^{3x}+C.$$

Richtig:

$$\int e^{3x}\,dx=\frac13e^{3x}+C.$$

Fehler 3: $\frac1x$ mit $\ln(x)$ verwechseln

Es gilt:

$$\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C,$$

aber:

$$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.$$

Fehler 4: Betrag bei der Kehrwertfunktion vergessen

Die Stammfunktion von $\frac1x$ lautet auf geeigneten Intervallen $\ln|x|+C$, nicht allgemein $\ln(x)+C$.

Fehler 5: Vorzeichen bei der Sinusfunktion vertauschen

$$\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C.$$

Fehler 6: Allgemeine Exponentialfunktion ohne $\ln(a)$ integrieren

$$\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln(a)}+C.$$

Fehler 7: Zu früh algebraisch umformen

Zuerst werden Grundform und äußere Rechenstruktur erkannt. Erst danach werden Faktoren herausgezogen, Summen zerlegt oder lineare Substitutionen durchgeführt.

10. Kontrolle durch Ableiten

Jede Stammfunktion kann unmittelbar überprüft werden:

1. Gefundene Stammfunktion vollständig ableiten.
2. Kettenregel und konstante Faktoren beachten.
3. Das Ergebnis algebraisch mit dem ursprünglichen Integranden vergleichen.
4. Definitionsbedingungen und Gültigkeitsintervalle erneut prüfen.

Beispiel

Für

$$F(x)=\frac{2}{5}\sin(5x)+C$$

gilt:

$$F'(x)=\frac25\cdot 5\cos(5x)=2\cos(5x).$$

Damit ist $F$ eine Stammfunktion von $f(x)=2\cos(5x)$.

11. Allgemeiner Arbeitsplan

1. Definitionsmenge des Integranden bestimmen.
2. Summe oder Differenz gegebenenfalls gliedweise betrachten.
3. Konstante Faktoren vor das Integral ziehen.
4. Grundform des Integranden erkennen.
5. Passende Grundstammfunktion auswählen.
6. Lineare innere Funktion $ax+b$ identifizieren.
7. Den Ausgleichsfaktor $\frac1a$ berücksichtigen.
8. Integrationskonstante ergänzen.

Merksätze

• Integrieren bedeutet, eine Stammfunktion zu finden.
• Die Grundform entscheidet über die Integrationsregel.
• Konstante Faktoren bleiben als Faktoren erhalten.
• Summen und Differenzen werden gliedweise integriert.
• Bei $f(ax+b)$ entsteht der Ausgleichsfaktor $\frac1a$.
• , und besitzen verschiedene Stammfunktionen.