Diskrete und stetige Verteilungen im Vergleich

Kompetenzcode: WS 3.6

Bereich: Wahrscheinlichkeit und Statistik

Eine Zufallsvariable ordnet jedem Zufallsergebnis eine Zahl zu. Ob ihre möglichen Werte abzählbar oder stetig sind, bestimmt, wie Wahrscheinlichkeiten dargestellt und berechnet werden.

1. Diskrete und stetige Zufallsvariablen

Beispiel 1: Diskrete Zufallsvariable

Die Zahl der fehlerhaften Teile in einer Stichprobe von $20$ Teilen kann nur $0,1,\ldots,20$ sein. Der Wertebereich ist endlich und damit diskret.

Beispiel 2: Stetige Zufallsvariable

Die Füllmenge einer Flasche kann innerhalb eines Messbereichs jeden reellen Wert annehmen. Auch wenn ein Messgerät rundet, wird die zugrunde liegende Größe stetig modelliert.

Beispiel 3: Kontext entscheidet

„Zeit in ganzen Minuten“ ist als erfasste Zählvariable diskret. Die tatsächliche Wartezeit in Sekundenbruchteilen ist stetig. Nicht die Bezeichnung allein, sondern Modell und Messweise entscheiden.

2. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion

Für diskrete $X$ ordnet die Wahrscheinlichkeitsfunktion jedem möglichen Wert eine Masse zu:

$$p_X(x)=P(X=x),\qquad \sum_x p_X(x)=1.$$

Für stetige $X$ liefert eine Dichte $f$ Wahrscheinlichkeiten als Flächen:

$$P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx,\qquad \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1.$$

Die Verteilungsfunktion gilt für beide Typen:

$$F(x)=P(X\le x).$$

Beispiel 4: Diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktion

Für $X\in\{0,1,2\}$ seien $P(X=0)=0{,}2$, $P(X$ und . Dann ist

$$P(X\ge1)=0{,}5+0{,}3=0{,}8.$$

Die drei Balkenhöhen summieren sich zu $1$.

Beispiel 5: Stetige Dichte

Sei $X$ gleichverteilt auf $[0,4]$, also $f(x)=1/4$ in diesem Intervall. Dann

$$P(1\le X\le3)=\int_1^3\frac14\,dx=\frac12.$$

Für einen einzelnen Wert gilt dagegen $P(X=2)=0$. Eine Dichtehöhe ist keine Einzelwahrscheinlichkeit.

Beispiel 6: Verteilungsfunktion lesen

Für die diskrete Verteilung aus Beispiel 4 ist $F(0)=0{,}2$, $F(1)=0{,}7$ und $F(2)=1$. Die springt an den möglichen Werten. Bei einer stetigen Verteilung verläuft ohne solche Massensprünge.

3. Normalapproximation der Binomialverteilung

Für $X\sim\operatorname{Bin}(n,p)$ gelten

$$\mu=np,\qquad \sigma=\sqrt{np(1-p)}.$$

Ist die Binomialverteilung ausreichend breit, wird sie durch $Y\sim N(\mu,\sigma^2)$ angenähert. Im Lerncoach wird dafür die Faustregel $\sigma\ge3$ verwendet. Da $X$ ganzzahlig, aber stetig ist, verbessert die die Näherung.

Beispiel 7: Eignung prüfen

Für $n=100$ und $p=0{,}4$ gilt

$$\mu=40,\qquad \sigma=\sqrt{24}\approx4{,}899\ge3.$$

Die Normalapproximation ist nach der Faustregel geeignet.

Beispiel 8: Ungeeignete Parameter

Für $n=20$ und $p=0{,}1$ ist

$$\sigma=\sqrt{20\cdot0{,}1\cdot0{,}9}\approx1{,}342<3.$$

Die Verteilung ist schmal und deutlich schief. Hier soll die exakte Binomialverteilung verwendet werden.

Beispiel 9: Bereich mit Stetigkeitskorrektur

Für die Daten aus Beispiel 7 wird

$$P(35\le X\le45)\approx P(34{,}5\le Y\le45{,}5).$$

Nach Standardisierung mit $Z=(Y-40)/\sqrt{24}$ ergibt sich näherungsweise

$$P(35\le X\le45)\approx0{,}73843.$$

Der exakte Technologiewert ist $0{,}73857$; die Abweichung beträgt nur etwa $0{,}00014$.

Beispiel 10: Einseitige Ereignisse korrigieren

„Höchstens $45$ Treffer“ wird durch $P(Y\le45{,}5)$ angenähert. „Mindestens $35$ Treffer“ wird durch $P(Y\ge34{,}5)$ angenähert. Die Halbkorrektur umfasst jeweils die vollständigen ganzzahligen Balken.

4. Wirkung von Erwartungswert und Standardabweichung

Beispiel 11: Parameter des Normalgraphen

Erhöht sich $\mu$ bei gleichem $\sigma$, verschiebt sich die Glockenkurve nach rechts. Erhöht sich $\sigma$ bei gleichem $\mu$, wird die Kurve breiter und niedriger; die Gesamtfläche bleibt $1$.

Beispiel 12: Diskret und stetig gemeinsam deuten

Eine Binomialverteilung besteht aus Balken bei ganzzahligen Werten. Die approximierende Normalverteilung verteilt Fläche über ein Kontinuum. Die Stetigkeitskorrektur verbindet beide Darstellungen, indem ein Balken bei $k$ dem Intervall $[k-0{,}5,k+0{,}5]$ zugeordnet wird.

Typische Fehler

• Die Höhe einer Dichte wird als Wahrscheinlichkeit eines Einzelwerts gelesen.
• Bei stetigen Variablen wird $P(X=x)>0$ angenommen.
• Die Normalapproximation wird ohne Eignungsprüfung verwendet.
• Für ganzzahlige Binomialgrenzen fehlt die Stetigkeitskorrektur.
• In $N(\mu,\sigma^2)$ werden Standardabweichung und Varianz verwechselt.

Merksätze

• Diskret: Wahrscheinlichkeiten addieren. Stetig: Flächen integrieren.
• $F(x)=P(X\le x)$ gilt für beide Verteilungstypen.
• Für die Binomialapproximation sind $\mu=np$ und $\sigma =\sqrt{np(}$.