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Charakteristische Eigenschaften von Exponentialfunktionen | LerncoachFA 5.4
Charakteristische Eigenschaften von Exponentialfunktionen
Lies die Erklärung in Ruhe durch und nutze anschließend die Schrittlisten, um das Vorgehen sicher anzuwenden.
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Funktionale Abhängigkeiten10 SchrittlistenPDF verfügbar
Charakteristische Eigenschaften von Exponentialfunktionen
Kompetenzcode: FA 5.4
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten
Exponentielle Veränderungen besitzen typische Eigenschaften, die sich in Formeln, Tabellen, Graphen und Kontexten wiederfinden.
Leitidee: Bei gleichen Schritten wird mit einem konstanten multipliziert. Bei der natürlichen Exponentialfunktion ist die momentane gleich dem .
1. Die Grundform
Wir betrachten zunächst
f(x)=a⋅b
FA 5.4 – Schritt-Eigenschaft verstehen
Die Beziehung f(x+1)=b·f(x) herleiten, lesen und sicher anwenden.
- 1
Grundform notieren
Mit f(x)=a·bx und b>0 beginnen.
- 2
x durch x+1 ersetzen
Den neuen vollständig ausschreiben.
- 3
Potenz zerlegen
b^(x+1)=·b verwenden.
GeoGebra-Übersicht: FA 5.4 – Charakteristische Eigenschaften von Exponentialfunktionen
GeoGebra dient zur Darstellung und Kontrolle. Die mathematische Begründung bleibt erforderlich.
Schritt-Eigenschaft kontrollieren
f(x)=4*1.3^x
f(2)
f(3)
f(3)/f(2)
Der Quotient muss dem b=1,3 entsprechen.
Andere Schrittweite kontrollieren
f(5)/f(2)
Bei einer Schrittweite von 3 muss der Quotient ergeben.
Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben.
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
x
a>0,b>0. Für eine echte Wachstums- oder Abnahmefunktion gilt zusätzlich
Wichtig: Im hier behandelten reellen Modell darf der Faktor b nicht negativ sein.
2. Die Schritt-Eigenschaft
f(x)=a⋅bx f(x+1)=a⋅bx+1=a⋅bx⋅b=b⋅f(x). f(x+1)=b⋅f(x). Bei einer Erhöhung des Argumentwerts um 1 wird der Funktionswert also mit b multipliziert.
3. Rückwärts rechnen
f(x+1)=b⋅f(x) kann auch rückwärts gerechnet werden:
f(x+1)bf(x+1)=b⋅f(x)/:b=f(x). f(x)=bf(x+1).
4. Wachstum, Abnahme und Sonderfall
Wachstum
f(x+1)>f(x). Abnahme
f(x+1)<f(x). Sonderfall
für alle x. Die Funktion ist konstant.
5. Absolute und relative Änderung
Die absolute Änderung in einem Schritt lautet
f(x+1)−f(x). Mit der Schritt-Eigenschaft erhält man
f(x+1)−f(x)=b⋅f(x)−f(x)=(b−1)⋅f(x). Die absolute Änderung hängt also vom aktuellen Funktionswert ab und ist im Allgemeinen nicht konstant.
Die relative Änderung lautet
f(x)f(x+1)−f(x). f(x)f(x+1)−f(x)=f(x)(b−1)⋅f(x)=b−1. f(x)f(x+1)−f(x)=b−1. Die relative Änderung ist konstant.
6. Prozentuelle Änderung
so ist r die relative Änderung pro Einheit.
p=(b−1)⋅100%. Beispiel Wachstum
(1,08−1)⋅100%=8%. Beispiel Abnahme
(0,75−1)⋅100%=−25%. Der Wert nimmt pro Einheit um 25% ab.
7. Andere Schrittweiten
Wird x nicht um 1, sondern um h erhöht, dann gilt
f(x+h)=a⋅bx+h=a⋅bx⋅bh=b f(x+h)=bh⋅f(x). Der Faktor für einen Schritt der Länge h ist daher bh.
Beispiel
Bei b=1,2 und h=3 gilt
f(x+3)=1,23⋅f(x)=1,728⋅f(x).
8. Die natürliche Exponentialfunktion
Die natürliche Exponentialfunktion lautet
f(x)=ex. Ihre charakteristische Ableitungseigenschaft ist
(ex)′=ex.
- Der Funktionswert an der Stelle x ist ex.
- Die Tangentensteigung an derselben Stelle ist ebenfalls ex.
- Funktionswert und Ableitungswert sind zahlenmäßig gleich.
9. Funktionswert und Tangentensteigung
An der Stelle x0 liegt der Punkt
P(x0∣ex0) Die Tangentensteigung ist
m=f′(x0)=ex0. Die Tangentengleichung lautet
y=ex0+ex0(x−x0). Beispiel bei x0=0
und die Tangentensteigung beträgt
Die Tangente hat die Gleichung
10. Nicht jede Exponentialfunktion ist ihre eigene Ableitung
g(x)=a⋅eλx g′(x)=a⋅eλx⋅λ=λ⋅g(x). g′(x)=λ⋅g(x). a=1,λ=1 g′(x)=g(x).
11. Relative momentane Änderungsrate
g′(x)=λ⋅g(x) folgt bei g(x)=0:
g(x)g′(x)=λ. Der Parameter λ ist also die konstante relative momentane Änderungsrate.
- λ>0: Wachstum
- λ<0: Abnahme
- λ=0: konstante Funktion
12. Zusammenhang zwischen Schritt und Ableitung
Die beiden charakteristischen Eigenschaften beschreiben dieselbe Grundidee auf unterschiedliche Weise:
Diskrete Betrachtung
f(x+1)=b⋅f(x). In jedem Schritt wird mit demselben Faktor multipliziert.
Momentane Betrachtung
g′(x)=λ⋅g(x). Die momentane Änderung ist proportional zum aktuellen Funktionswert.
Exponentielle Entwicklungen besitzen daher eine konstante relative Änderung.
13. Werte aus der Schritt-Eigenschaft bestimmen
Vorwärts
f(4)=30,b=1,2. f(5)=b⋅f(4)=1,2⋅30=36. Rückwärts
f(5)=36,b=1,2. f(4)=bf(5)=1,236=30.
14. Eigenschaften in Tabellen erkennen
57,5=1,5,7,511,25=1,5,11,2516,875=1,5. Daher gilt für jeden Schritt
f(x+1)=1,5⋅f(x).
15. Kontext und Einheiten
Ist x beispielsweise die Zeit in Tagen und f(x) eine Masse in Milligramm, dann bedeutet
f(x+1)=0,8⋅f(x):
Einen Tag später sind noch 80% der jeweils vorhandenen Masse übrig.
g′(t)=0,03⋅g(t) bedeutet 0,03 eine relative momentane Änderungsrate von
0,03 pro Zeiteinheit. Die Einheit von g′(t) ist dagegen
ZeiteinheitEinheit von g.
16. GeoGebra zur Kontrolle
Für die Schritt-Eigenschaft kann beispielsweise eingegeben werden:
f(x)=4*1.3^x
f(2)
f(3)
f(3)/f(2)
Für die natürliche Exponentialfunktion:
f(x)=exp(x)
Ableitung(f)
Tangente(1,f)
Für eine allgemeine natürliche Exponentialfunktion:
g(x)=5*exp(0.2*x)
Ableitung(g)
Technologie dient zur Kontrolle. Die mathematische Begründung bleibt erforderlich.
17. Arbeitsplan
- Grundform und Voraussetzungen prüfen.
- Die gegebene Eigenschaft erkennen: Schritt oder Ableitung.
- Bei f(x+1) den Faktor b verwenden.
- Bei anderer Schrittweite h den Faktor bh verwenden.
- Absolute und relative Änderung unterscheiden.
- Prozentänderung aus b−1 bestimmen.
- Bei ex Funktionswert und Tangentensteigung gleichsetzen.
- Bei a⋅eλx die Formel g′=λg verwenden.
- Vorzeichen von b−1 oder λ deuten.
- Einheiten und Bezugszeitraum nennen.
- Rechnung durch Einsetzen oder Quotienten kontrollieren.
- Ergebnis im Kontext formulieren.
18. Typische Fehler
- f(x+1)=f(x)+b statt f(x+1)=b⋅f(x)
- konstante absolute statt konstanter relativer Änderung behaupten
- bei einer Schrittweite h nur mit b statt mit bh multiplizieren
- bei einer Rückwärtsrechnung mit b multiplizieren statt durch b dividieren
- b<0 im reellen Standardmodell zulassen
- behaupten, jede Exponentialfunktion sei ihre eigene Ableitung
- bei a⋅eλx den Faktor λ in der Ableitung vergessen
- Funktionswert und Ableitungswert ohne Einheiten gleichsetzen
- einen grafisch abgelesenen Näherungswert als exakt angeben
- die relative Änderungsrate mit einer absoluten Änderung verwechseln
19. Zusammenfassung
f(x)=a⋅bx f(x+1)=b⋅f(x) f(x+h)=bh⋅f(x). Die relative Änderung pro Einheit ist
Für die natürliche Exponentialfunktion gilt
(ex)′=ex. g(x)=a⋅eλx g′(x)=λ⋅g(x).
Kontrollfrage: Wird gerade ein Schritt um eine Einheit oder eine momentane Änderung betrachtet?
bx
5Kontext deuten
Den an die jeweilige Schritt- oder Zeiteinheit binden.
FA 5.4 – Schrittweiten und relative Änderung
Andere Schrittweiten, Rückwärtsrechnungen und relative Änderungen beherrschen.
- 1
Schrittweite bestimmen
Zwischen x+1 und x+h unterscheiden.
- 2
Gesamtfaktor bilden
Bei Schrittweite h den bh verwenden.
- 3
Rückwärts rechnen
Durch den passenden dividieren.
- 4
Relative Änderung bestimmen
b−1 berechnen und gegebenenfalls in Prozent umwandeln.
- 5
Absolute Änderung prüfen
(b−1)·f(x) als bestandsabhängige Änderung deuten.
FA 5.4 – e hoch x und Tangenten deuten
Die Eigenschaft (ex)′=ex grafisch und rechnerisch verstehen.
- 1
Funktion erkennen
Den Spezialfall f(x)=ex identifizieren.
- 2
Ableitung notieren
f′(x)=ex verwenden.
- 3
Stelle einsetzen
und Ableitungswert am selben x bestimmen.
- 4
Tangente aufstellen
Punkt-Steigungs-Form benutzen.
- 5
Grafisch kontrollieren
Höhe und am Graphen vergleichen.
FA 5.4 – Proportionale momentane Änderung
Für a·e^(λx) die Beziehung g′=λg anwenden und im Kontext deuten.
- 1
Kettenregel anwenden
Den inneren λ übernehmen.
- 2
- 3
- 4
Vorzeichen deuten
Wachstum, Abnahme oder Konstanz bestimmen.
- 5
Einheit ergänzen
Ableitungswert pro Zeiteinheit formulieren.
FA 5.4 – Ergebnisse kontrollieren und Fehler vermeiden
Eigenschaften durch Quotienten, Einsetzen, Graphen und Einheiten absichern.
- 1
Quotient prüfen
f(x+1)/f(x)=b kontrollieren.
- 2
Schrittweite kontrollieren
Bei h nicht versehentlich nur b verwenden.
- 3
Spezialfall prüfen
Nur ex ist ihre eigene .
- 4
Einheiten vergleichen
Bestand und Änderungsrate nicht gleich benennen.
- 5
Kontextsatz formulieren
, Rate, Bezugszeitraum und Einheit nennen.
FA 5.4 – Multiplikative Änderung erkennen
Erkennen, dass bei gleichen x-Schritten die mit demselben multipliziert werden.
- 1
Gleiche x-Schritte wählen
Vergleiche zu Argumenten, deren Abstand jeweils gleich groß ist.
- 2
Quotienten bilden
Teile jeweils den späteren durch den vorherigen.
- 3
Faktor vergleichen
Bei einer Exponentialfunktion ist dieser Quotient bei gleichen x-Schritten konstant.
- 4
Multiplikative Änderung erkennen
Der konstante Quotient zeigt, dass die Werte nicht um denselben Betrag, sondern mit demselben verändert werden.
- 5
Wachstum oder Abnahme zuordnen
Ein größer als 1 bedeutet Wachstum, ein Faktor zwischen 0 und 1 Abnahme.
- 6
Eigenschaft formulieren
Beschreibe die konstante multiplikative Änderung als charakteristisches Merkmal der Exponentialfunktion.
FA 5.4 – Beziehung f(x + 1) = b · f(x) anwenden
Die charakteristische Schrittbeziehung einer Exponentialfunktion anwenden.
- 1
Funktionsform notieren
Verwende f(x)=a·bx.
- 2
x durch x+1 ersetzen
Schreibe f(x+1)=a·b^(x+1).
- 3
Potenz zerlegen
Nutze b^(x+1)=bx·b.
- 4
Bekannten Funktionsterm erkennen
a·bx ist genau f(x).
- 5
Schrittbeziehung erhalten
Damit gilt f(x+1)=b·f(x).
- 6
Beziehung anwenden
Berechne aus einem bekannten den nächsten durch Multiplikation mit b.
FA 5.4 – Asymptotisches Verhalten beschreiben
Das Annähern einer Exponentialfunktion an die x-Achse beschreiben.
- 1
Funktionsform betrachten
Betrachte zunächst eine Exponentialfunktion der Form f(x)=a·bx ohne vertikale Verschiebung.
- 2
Wachstumsrichtung bestimmen
Prüfe, in welcher Richtung die betragsmäßig kleiner werden.
- 3
Annäherung an 0 erkennen
In dieser Richtung nähern sich die immer weiter dem Wert 0 an.
- 4
x-Achse zuordnen
Der Wert y=0 beschreibt die x-Achse.
- 5
Nicht-Erreichen beachten
Bei a ungleich 0 und b>0 erreicht der Graph die x-Achse nicht.
- 6
Asymptotisches Verhalten formulieren
Beschreibe die x-Achse als horizontale Asymptote der unverschobenen Exponentialfunktion.
FA 5.4 – Ableitung von e^x angeben
Die Eigenschaft [ex]' = ex angeben und verwenden.
- 1
Funktion erkennen
Prüfe, dass die f(x)=ex vorliegt.
- 2
Ableitungsregel erinnern
Für die natürliche Exponentialfunktion gilt f'(x)=ex.
- 3
Ableitung angeben
Schreibe [ex]'=ex.
- 4
Funktionswert und Steigung verbinden
An jeder Stelle x ist die momentane gleich dem ex.
- 5
An einer Stelle anwenden
Für x=x₀ gilt f'(x₀)=e^x₀.
- 6
Ergebnis prüfen
Die bleibt überall positiv, passend zum streng steigenden Graphen von ex.
FA 5.4 – Exponentielle Änderung im Kontext deuten
Den multiplikativen Änderungsprozess einer Exponentialfunktion im Sachkontext erklären.
- 1
Sachgrößen bestimmen
Ordne x und f(x) den Größen des Kontextes zu.
- 2
Änderungsfaktor erkennen
Bestimme, mit welchem sich die Ausgangsgröße pro festem x-Schritt verändert.
- 3
Faktor sachlich deuten
Beschreibe, was eine Multiplikation mit diesem konkret bedeutet.
- 4
Prozentänderung angeben
Übersetze den bei Bedarf in eine prozentuale Zu- oder Abnahme.
- 5
Zeitschritt beziehungsweise Einheit nennen
Gib an, auf welchen Schritt der Änderungsfaktor bezogen ist.
- 6
Kontextsatz formulieren
Beschreibe den exponentiellen Änderungsprozess vollständig mit Größen, und Einheit.
1.33
Natürliche Exponentialfunktion darstellen
bestimmen
GeoGebra liefert wieder ex.
an einer Stelle
Der Berührpunkt besitzt den Funktionswert e, und die Tangentensteigung beträgt ebenfalls e.
Allgemeine natürliche Exponentialfunktion
g(x)=5*exp(0.2*x)
Ableitung(g)
g′(x)=0,2⋅g(x) Sinnvolle Arbeitsweise
- Funktion und Schrittweite lesen.
- Erwartete Eigenschaft händisch notieren.
- Werte oder Ableitung berechnen.
- Quotient beziehungsweise Tangentensteigung kontrollieren.
- Ergebnis mit Einheit und Kontext deuten.
Wichtig
- Im reellen Standardmodell gilt b>0.
- f(x+1)=b⋅f(x) ist eine Multiplikationsregel.
- Nur ex ist exakt ihre eigene Ableitung.
- Für a⋅eλx gilt g′=λg.
- Eine technische Ausgabe ersetzt keine Begründung.
h
⋅
f
(
x
)
.
16,875
