Wichtig: Mehrere verschiedene Eingaben dürfen denselben Ausgang besitzen.
2. Funktion und Nichtfunktion im Vergleich
Funktion
a ───→ 1
b ───→ 1
c ───→ 2
Jeder Eingang besitzt genau einen Pfeil. Dass a und b beide zum Ausgang 1 führen, ist erlaubt.
Keine Funktion
┌──→ 1
a ────┤
└──→ 2
Der Eingang a besitzt zwei verschiedene Ausgänge. Die Zuordnung ist nicht eindeutig.
Entscheidende Frage: Hat jede einzelne Eingabe genau einen Ausgang?
3. Mehrere Eingaben dürfen denselben Ausgang haben
Die konstante Funktion
f(x)=3
ordnet jeder zulässigen Eingabe den Wert 3 zu.
x
f(x)
−2
3
0
3
1
3
5
3
Das ist eine Funktion. Jede einzelne Eingabe besitzt genau einen Funktionswert.
Auch bei
f(x)=x2
gilt beispielsweise
f(−2)=4undf(2)=4.
Dass zwei Eingaben denselben Ausgang 4 haben, verletzt die Funktionsbedingung nicht.
4. Tabellen und Pfeildiagramme prüfen
Pfeildiagramm
Von jedem Element der Eingabemenge muss genau ein Pfeil ausgehen.
ein Pfeil: in Ordnung
zwei oder mehr Pfeile: keine Funktion
kein Pfeil: auf der angegebenen Eingabemenge keine Funktion
Tabelle
Suche gleiche Eingabewerte.
Funktion
x
y
1
4
2
4
3
5
Mehrere Eingaben dürfen denselben Ausgang 4 besitzen.
Keine Funktion
x
y
1
4
2
5
1
7
Zur Eingabe x=1 gehören die verschiedenen Ausgänge 4 und 7.
Doppelte Tabellenzeile
x
y
1
4
2
5
1
4
Die Zeile (1∣4) steht doppelt in der Tabelle. Das ist überflüssig, aber die Zuordnung bleibt eindeutig und damit funktional.
5. Graphen mit dem Vertikallinientest prüfen
Der Vertikallinientest gilt nur für grafische Darstellungen im Koordinatensystem:
Schneidet irgendeine senkrechte Linie die dargestellte Kurve mehr als einmal, ist die Darstellung kein Funktionsgraph x↦y.
Beispiele
Eine Parabel y=x2 ist ein Funktionsgraph.
Die waagrechte Gerade y=3 ist ein Funktionsgraph.
Ein Kreis ist kein Funktionsgraph x↦y.
Die senkrechte Gerade x=3 ist kein Funktionsgraph x↦y.
Bei einem Kreis gibt es für viele x-Werte einen oberen und einen unteren y-Wert. Eine senkrechte Linie schneidet den Kreis daher zweimal.
Nicht verwechseln: Waagrechte Geraden sind Funktionsgraphen. Senkrechte Geraden sind keine Funktionsgraphen x↦y.
6. Formeln und Definitionsbereiche
Eine Formel beschreibt nur dann eine Funktion auf einer angegebenen Eingabemenge, wenn sie für jede zulässige Eingabe genau einen Ausgang liefert.
Eindeutige Formel
y=5−x
Für jedes reelle x entsteht genau ein Wert y. Daher liegt eine Funktion vor.
Nicht eindeutige Beziehung
y2=x
Für positive x gibt es im Allgemeinen zwei mögliche Werte:
y=xodery=−x.
Als Zuordnung x↦y ist diese Beziehung keine Funktion.
Der Definitionsbereich entscheidet mit
f(x)=x
ist auf
D=[0;∞)
eine Funktion.
Die Aussage „Jeder reellen Zahl wird ihre positive Quadratwurzel zugeordnet“ beschreibt auf R hingegen keine Funktion, weil negative reelle Zahlen keinen reellen Ausgang besitzen.
7. Kontexte müssen genau formuliert sein
Bei Alltagssituationen muss klar sein, welche Eingabe und welcher Ausgang betrachtet werden und unter welchen Bedingungen die Zuordnung gilt.
Zuordnung
Beurteilung
Person ↦ Körpergröße zu einem festgelegten Zeitpunkt
Funktion
Person ↦ alle Telefonnummern
keine Funktion
Stadt ↦ Einwohnerzahl zu einem festgelegten Zeitpunkt
Funktion
Monat ↦ maximale Tagestemperatur an einem festgelegten Ort und in einem festgelegten Jahr
Funktion
Fläche ↦ ein Rechteck mit diesem Flächeninhalt
keine Funktion
Ohne einen festgelegten Zeitpunkt, Ort oder eine zusätzliche Auswahlregel kann eine Zuordnung mehrdeutig sein.
8. Typische Fehler
Fehler 1: „Mehrere Eingaben haben denselben Ausgang.“
Das ist erlaubt. Die Funktionen f(x)=3 und f(x)=x2 zeigen das deutlich.
Fehler 2: „Jeder Ausgang darf nur einmal vorkommen.“
Falsch. Die Funktionsbedingung betrifft die Eingaben: Jede Eingabe muss genau einen Ausgang besitzen.
Fehler 3: „Eine doppelte Tabellenzeile macht die Zuordnung nichtfunktional.“
Falsch. Dieselbe Eingabe mit demselben Ausgang bleibt eindeutig. Problematisch sind verschiedene Ausgänge zur gleichen Eingabe.
Fehler 4: „Jede gezeichnete Kurve ist ein Funktionsgraph.“
Falsch. Ein Kreis besteht den Vertikallinientest nicht.
Fehler 5: „Die Zuordnung ist meistens eindeutig.“
Das genügt nicht. Sie muss für jede zulässige Eingabe eindeutig und vollständig sein.
Fehler 6: „Der Kontext ist auch ohne genaue Bedingungen eindeutig.“
Zeitpunkt, Ort oder weitere Modellbedingungen können entscheidend sein.
9. Sichere Vorgehensweise
Bestimme die Eingabe.
Bestimme die zulässigen Eingaben.
Ermittle zu jeder Eingabe alle möglichen Ausgänge.
Prüfe, ob jede Eingabe genau einen Ausgang besitzt.
Begründe die Entscheidung in einem vollständigen Satz.
Passende Begründungen
Die Zuordnung ist eine Funktion, weil jeder zulässigen Eingabe genau ein Ausgang zugeordnet ist.
Die Zuordnung ist keine Funktion, weil der Eingabe … mehrere verschiedene Ausgänge zugeordnet sind.
Die Zuordnung ist auf der angegebenen Eingabemenge keine Funktion, weil für die Eingabe … kein Ausgang vorhanden ist.
10. Kurz zusammengefasst
Eine Funktion ordnet jeder zulässigen Eingabe genau einen Ausgang zu.
Mehrere Eingaben dürfen denselben Ausgang besitzen.
Eine Eingabe darf nicht mehrere verschiedene Ausgänge besitzen.
Auf der angegebenen Definitionsmenge darf keine Eingabe ohne Ausgang bleiben.
Tabellen, Pfeildiagramme, Formeln, Graphen und Kontexte werden mit demselben Eindeutigkeitskriterium geprüft.
Der Vertikallinientest wird nur bei Graphen verwendet.
Kern der Kompetenz FA 1.1: Sicher entscheiden und mit der Eindeutigkeit der Zuordnung begründen.
7
Entscheidung begründen
Formuliere oder keine Funktion in einem vollständigen Satz mit der entscheidenden Begründung.
FA 1.1 - Pfeildiagramme und Tabellen prüfen
Eindeutigkeit und Vollständigkeit in Pfeildiagrammen und Wertetabellen systematisch untersuchen.
1
Eingabeseite markieren
Bestimme im Pfeildiagramm die Eingabemenge beziehungsweise in der Tabelle die Eingabespalte.
2
Pfeile oder Zeilen sammeln
Ordne jeder einzelnen Eingabe alle zugehörigen Pfeile oder Tabellenzeilen zu.
3
Genau einen Ausgang prüfen
Kontrolliere, ob zu jeder Eingabe genau ein verschiedener Ausgang gehört.
4
Gleiche Ausgänge zulassen
Erkenne, dass verschiedene Eingaben zum selben Ausgang führen dürfen.
5
Doppelte Paare unterscheiden
Dieselbe Eingabe mit demselben Ausgang ist nur eine redundante Wiederholung.
6
Fehlende Zuordnung erkennen
Eine Eingabe ohne Pfeil oder Tabellenwert verhindert eine auf der angegebenen Eingabemenge.
7
Problemstelle nennen
Gib bei einer Nichtfunktion die konkrete Eingabe und ihre verschiedenen oder fehlenden Ausgänge an.
FA 1.1 - Graphen mit dem Vertikallinientest prüfen
Grafische Darstellungen als Funktionsgraphen erkennen und den Vertikallinientest korrekt anwenden.
1
Achsenrichtung klären
Lies die waagrechte Achse als Eingabeachse und die senkrechte Achse als Ausgangsachse.
2
Senkrechte Testlinie wählen
Lege gedanklich oder zeichnerisch eine Linie parallel zur y-Achse durch einen x-Wert.
3
Schnittpunkte zählen
Die Schnittpunkte zeigen, wie viele Ausgänge zu dieser Eingabe gehören.
4
Höchstens einen Schnitt prüfen
Mehr als ein Schnittpunkt bei irgendeinem x-Wert bedeutet: kein Funktionsgraph.
5
Waagrechte Gerade beurteilen
Eine waagrechte Gerade wie y=3 besteht den Vertikallinientest.
6
Senkrechte Gerade und Kreis beurteilen
Eine senkrechte Gerade und ein Kreis werden von passenden senkrechten Linien mehrfach getroffen.
7
Grafische Entscheidung begründen
Verbinde den Vertikallinientest ausdrücklich mit der Eindeutigkeit der Zuordnung.
FA 1.1 - Formeln, Definitionsbereiche und Kontexte prüfen
Formeln und Alltagssituationen auf Eindeutigkeit, Vollständigkeit und notwendige Bedingungen untersuchen.
1
Formel nach dem Ausgang lesen
Prüfe, ob die Vorschrift für ein festes x genau einen Wert y liefert.
2
Konkrete Eingabe testen
Setze bei Unsicherheit einen einfachen Wert ein und ermittle alle möglichen Ausgänge.
3
Definitionsbereich beachten
Kontrolliere, ob die Vorschrift für jede zulässige Eingabe überhaupt einen Ausgang besitzt.
4
Beziehung und Funktion unterscheiden
wie y²=x können mehrere y-Werte zulassen, obwohl sie eine mathematische Beziehung beschreiben.
5
Kontextbedingungen markieren
Zeitpunkt, Ort, Jahr oder eine Auswahlregel können für die Eindeutigkeit notwendig sein.
6
Richtung der Zuordnung beachten
Rechteck zu Flächeninhalt kann eindeutig sein, Flächeninhalt zu Rechteck aber nicht.
7
Gültige Entscheidung formulieren
Nenne bei der Begründung auch den betrachteten Definitionsbereich oder die Kontextbedingungen.
FA 1.1 - Typische Fehler erkennen und korrigieren
Häufige Fehlvorstellungen zur Funktionsbedingung anhand gezielter Gegenbeispiele auflösen.
1
Gleiche Ausgänge zulassen
Nutze f(x)=3 als Gegenbeispiel zur falschen Forderung, dass jeder Ausgang nur einmal vorkommen dürfe.
2
Quadratfunktion richtig deuten
f(-2)=f(2)=4 ist erlaubt, weil die beiden Eingaben jeweils nur einen Ausgang haben.
3
Doppelte Tabellenzeile einordnen
Eine identische Wiederholung ist redundant, aber nicht mehrdeutig.
4
Kurve nicht automatisch als Funktion ansehen
Prüfe einen Kreis oder eine seitlich geöffnete Kurve mit senkrechten Testlinien.
5
Waagrecht und senkrecht unterscheiden
y=3 ist ein Funktionsgraph; x=3 ist keiner.
6
Vollständigkeit nicht vergessen
Die Bedingung lautet genau ein Ausgang, nicht nur höchstens ein Ausgang.
7
Abschlusscheck durchführen
Wiederhole die Kernfrage: Hat jede zulässige Eingabe genau einen Ausgang?
FA 1.1 – Eingangs- und Ausgangsgröße erkennen
In einem Zusammenhang die unabhängige und die abhängige Größe bestimmen.
1
Größen im Zusammenhang benennen
Bestimme, welche zwei Größen miteinander in Beziehung stehen.
2
Eingangsgröße suchen
Frage, welche Größe vorgegeben, gewählt oder verändert wird.
3
Ausgangsgröße suchen
Frage, welche Größe sich daraus ergibt oder davon abhängt.
4
Unabhängige Größe zuordnen
Bezeichne die Eingangsgröße als unabhängige .
5
Abhängige Größe zuordnen
Bezeichne die Ausgangsgröße als abhängige beziehungsweise .
6
Zuordnung prüfen
Formuliere einen Satz der Form: Die Ausgangsgröße hängt von der Eingangsgröße ab.
FA 1.1 – Eindeutige Zuordnung prüfen
Prüfen, ob jedem zulässigen Eingabewert genau ein Ausgabewert zugeordnet ist.
1
Zulässige Eingaben bestimmen
Betrachte alle Eingabewerte, die im gegebenen Zusammenhang erlaubt sind.
2
Ausgaben zuordnen
Prüfe für jeden betrachteten Eingabewert, welche Ausgabe ihm zugeordnet wird.
3
Mehrfachzuordnung suchen
Achte darauf, ob ein und derselbe Eingabewert verschiedene Ausgabewerte erhält.
4
Eindeutigkeit entscheiden
Genau eine Ausgabe pro zulässiger Eingabe erfüllt die Funktionsbedingung.
5
Fehlende Zuordnung beachten
Ist für einen zum betrachteten Definitionsbereich gehörenden Eingabewert keine Ausgabe festgelegt, ist die Zuordnung dort nicht vollständig.
6
Urteil formulieren
Begründe die Entscheidung mit der eindeutigen beziehungsweise nicht eindeutigen Zuordnung.
FA 1.1 – Funktionalen Zusammenhang aus Text erkennen
Entscheiden, ob ein verbal beschriebener Zusammenhang als betrachtet werden kann.
1
Eingangsgröße im Text finden
Bestimme, welche Größe als Ausgangspunkt der Zuordnung dient.
2
Ausgangsgröße im Text finden
Bestimme, welche Größe der Eingabe zugeordnet wird.
3
Regel des Zusammenhangs erfassen
Formuliere, wie sich die Ausgangsgröße aus der Eingangsgröße ergibt.
4
Eindeutigkeit prüfen
Frage, ob zu jeder zulässigen Eingabe genau eine Ausgabe gehört.
5
Mehrdeutige Fälle ausschließen
Wenn dieselbe Eingabe mehrere mögliche Ausgaben haben kann, liegt keine vor.
6
Entscheidung begründen
Formuliere anhand der Textbeschreibung, warum der Zusammenhang funktional oder nichtfunktional ist.
FA 1.1 – Funktionalen Zusammenhang aus Tabelle erkennen
Entscheiden, ob eine tabellarische Zuordnung eine beschreibt.
1
Eingabespalte bestimmen
Erkenne, welche Tabellenspalte die unabhängige Größe enthält.
2
Ausgabespalte bestimmen
Erkenne die zugehörige Spalte der abhängigen Größe.
3
Gleiche Eingaben suchen
Prüfe, ob ein Eingabewert mehrfach vorkommt.
4
Ausgaben vergleichen
Bei mehrfach vorkommender Eingabe müssen die zugehörigen Ausgaben gleich sein.
5
Eindeutigkeit entscheiden
Erhält jede Eingabe genau einen Ausgabewert, beschreibt die Tabelle eine .
6
Urteil begründen
Nenne bei einem Gegenbeispiel ausdrücklich den Eingabewert mit verschiedenen Ausgaben.
FA 1.1 – Funktionalen Zusammenhang aus Graph erkennen
Anhand einer grafischen Darstellung entscheiden, ob eine vorliegt.
1
Graph als Zuordnung lesen
Jeder x-Wert des betrachteten Bereichs ist eine mögliche Eingabe.
2
Senkrechte Prüfgerade denken
Stelle dir zu einem x-Wert eine senkrechte Gerade durch das Koordinatensystem vor.
3
Schnittpunkte zählen
Prüfe, wie oft diese senkrechte Gerade den Graphen trifft.
4
Funktionskriterium anwenden
Für eine darf zu jedem x-Wert höchstens ein Graphpunkt gehören.
5
Gegenbeispiel suchen
Findet eine senkrechte Gerade mehrere Schnittpunkte, beschreibt der Graph keine von x.
6
Urteil formulieren
Begründe die Entscheidung mit der eindeutigen grafischen Zuordnung.
FA 1.1 – Nichtfunktionale Zuordnung begründen
Begründen, warum eine Zuordnung keine beschreibt.
1
Art der Darstellung erkennen
Bestimme, ob die Zuordnung als Text, Tabelle, Graph oder andere Darstellung gegeben ist.
2
Eingabe mit Problem suchen
Finde einen konkreten Eingabewert, bei dem die Funktionsbedingung verletzt wird.
3
Mehrere Ausgaben nachweisen
Zeige, dass derselben Eingabe zwei oder mehr verschiedene Ausgaben zugeordnet werden.
4
Alternativ fehlende Eindeutigkeit beschreiben
Erkläre bei einer verbalen Zuordnung, warum die Ausgabe nicht eindeutig festgelegt ist.
5
Funktionsdefinition anwenden
Eine verlangt zu jeder zulässigen Eingabe genau einen Ausgabewert.
6
Begründung formulieren
Nenne das konkrete Gegenbeispiel und die verletzte Eindeutigkeitsbedingung.
FA 1.1 – Definitionsbereich im Kontext bestimmen
Die im Sachkontext sinnvollen Eingabewerte einer angeben.
1
Eingangsgröße identifizieren
Bestimme die unabhängige Größe und ihre Einheit.
2
Sachliche Mindestwerte prüfen
Beachte Bedingungen wie Nichtnegativität oder einen vorgegebenen Startwert.
3
Sachliche Höchstwerte prüfen
Berücksichtige Kapazitäten, Endzeiten, maximale Längen oder andere Obergrenzen.
4
Art der Werte prüfen
Entscheide, ob nur ganze Werte oder auch Zwischenwerte sinnvoll sind.
5
Intervall beziehungsweise Menge angeben
Beschreibe alle im Kontext zulässigen Eingabewerte.
6
Kontext kontrollieren
Prüfe, dass jeder angegebene Eingabewert in der realen Situation tatsächlich sinnvoll ist.
FA 1.1 – Wertebereich im Kontext beschreiben
Die im Sachkontext möglichen Ausgabewerte einer beschreiben.
1
Ausgangsgröße identifizieren
Bestimme die abhängige Größe und ihre Einheit.
2
Zulässige Eingaben berücksichtigen
Betrachte nur , die aus dem sachlich erlaubten Definitionsbereich entstehen.
3
Mögliche Ausgaben untersuchen
Bestimme kleinste, größte oder sonstige begrenzende Werte, soweit sie aus dem Kontext hervorgehen.
4
Diskrete oder kontinuierliche Werte unterscheiden
Prüfe, ob nur einzelne Werte oder ein ganzer Bereich auftreten können.
5
Wertebereich beschreiben
Gib die möglichen Ausgabewerte als Menge, oder verständliche Bereichsaussage an.
6
Sachliche Plausibilität prüfen
Kontrolliere, dass keine im Kontext unmöglichen Ausgaben enthalten sind.
FA 1.1 – Definitionsmenge einer mathematischen Funktion bestimmen
Für eine gegebene die mathematisch zulässigen Eingabewerte als Definitionsmenge bestimmen.
1
Funktionsterm untersuchen
Prüfe, welche Rechenoperationen im Funktionsterm vorkommen.
2
Nennerbedingungen prüfen
Jeder Nenner muss ungleich 0 sein.
3
Gerade Wurzeln prüfen
Bei reellen geraden muss der Radikand nichtnegativ sein.
4
Logarithmen prüfen
Bei reellen Logarithmen muss das Argument positiv sein; außerdem gelten die Bedingungen an die Basis.
5
Bedingungen gemeinsam erfüllen
Schneide alle einzelnen Einschränkungen zu einer gemeinsamen Definitionsmenge.
6
Definitionsmenge notieren
Gib alle mathematisch zulässigen Eingabewerte in geeigneter Mengen- oder Intervallschreibweise an.
FA 1.1 – Wertemenge einer mathematischen Funktion bestimmen
Für eine gegebene die möglichen als Wertemenge bestimmen oder beschreiben.
1
Definitionsmenge beachten
Betrachte nur Eingaben aus der zulässigen Definitionsmenge.
2
Funktionsverlauf untersuchen
Bestimme, welche Ausgabewerte der tatsächlich erreicht werden.
3
Besondere Werte suchen
Prüfe , Extremwerte, Grenzen oder andere auffällige , soweit sie für die einfache relevant sind.
4
Graphische oder algebraische Information nutzen
Lies den Wertebereich aus Graph, Tabelle oder Funktionsstruktur ab.
5
Nicht erreichte Randwerte beachten
Unterscheide zwischen eingeschlossenen und nur angenäherten Grenzwerten.
6
Wertemenge angeben
Beschreibe alle möglichen mit geeigneter Mengen- oder Intervallschreibweise.
