Grenzwerte und Stetigkeit

Kompetenzcode: AN 5.1

Bereich: Analysis

Ein Grenzwert beschreibt nicht unbedingt, welcher Wert gerade vorliegt. Er beschreibt, welchem Wert sich etwas immer weiter nähert.

Diese Idee braucht man an vielen Stellen:

• bei Folgen,
• bei Funktionsgraphen,
• bei der Ableitung,
• beim bestimmten Integral,
• bei langfristigen Modellen.

Der wichtigste Gedanke lautet:

Wir beobachten die Entwicklung in der Nähe oder auf lange Sicht. Der Zielwert kann dabei erreicht werden, muss aber nicht erreicht werden.

1. Annäherung und Grenzwert

Die Schreibweise

$$\lim_{x\to a}f(x)=L$$

bedeutet:

Wenn sich $x$ der Stelle $a$ nähert, dann nähert sich $f(x)$ dem Wert $L$.

Die beiden Bewegungen lassen sich sichtbar beschriften:

$$\underbrace{x\to a}_{\text{Eingabe nähert sich}} \qquad\Longrightarrow\qquad \overbrace{f(x)\to L}^{\text{Ausgabe nähert sich}}.$$

Dabei wird nicht zuerst gefragt, was genau bei $x=a$ passiert. Man betrachtet Werte beliebig nahe bei $a$.

2. Grenzwerte von Folgen

Eine Folge ist eine geordnete Liste von Zahlen:

$$a_1,a_2,a_3,\ldots$$

Die Zahl $a_n$ ist das Folgenglied an der Stelle $n$.

Konvergente Folge

Eine Folge heißt konvergent, wenn sich ihre Folgenglieder für große $n$ einem festen reellen Wert nähern.

Man schreibt

$$\lim_{n\to\infty}a_n=L.$$

Beispiel

Für

$$a_n=2+\frac1n$$

entsteht:

In einer grafischen Darstellung liegen die Punkte $(n\mid a_n)$ für große $n$ immer näher an der waagrechten Linie $y=2$. Allgemein deutet eine Annäherung an $$ auf den Grenzwert hin.

Der Anteil $\frac1n$ wird immer kleiner. Deshalb gilt

$$\lim_{n\to\infty}\left(2+\frac1n\right)=2.$$

Die Folgenglieder sind nie genau $2$. Trotzdem ist $2$ der Grenzwert.

Einfache Grenzwerte bestimmen

Für eine Konstante $c$ und eine positive ganze Zahl $k$ gilt:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{c}{n^k}=0.$$

Damit kann man einfache Folgen sofort untersuchen:

$$\lim_{n\to\infty}\left(5-\frac{3}{n^2}\right)=5-0=5.$$

Bei einem Bruch aus Polynomen in $n$ kann man durch die höchste vorkommende Potenz teilen. Zum Beispiel:

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{3n+1}{n+4} &=\lim_{n\to\infty}\frac{3+\frac1n}{1+\frac4n}\\ &=\frac{3+0}{1+0}\\ &=3. \end{aligned}$$

3. Divergente Folgen erkennen

Eine Folge heißt divergent, wenn sie sich keinem festen reellen Wert nähert.

Das kann auf verschiedene Arten geschehen.

Unbeschränktes Wachstum

$$a_n=n$$

wird immer größer. Man schreibt beschreibend $a_n\to+\infty$. Die Folge besitzt aber keinen endlichen reellen Grenzwert.

Dauerndes Wechseln

$$a_n=(-1)^n$$

wechselt zwischen $1$ und $-1$. Sie nähert sich keinem einzelnen Wert.

Wichtig

$\infty$ ist keine gewöhnliche Zahl. Die Schreibweise $a_n\to\infty$ beschreibt ein unbeschränktes Verhalten und keinen endlichen Grenzwert.

4. Grenzwerte von Funktionen

Bei einer Funktion untersucht man, welchem Wert sich $f(x)$ nähert, wenn sich $x$

• einer bestimmten Stelle $a$,
• von links oder rechts der Stelle $a$,
• oder unbegrenzt großen beziehungsweise kleinen Werten

nähert.

Grenzwert aus einem Graphen ablesen

Für $x\to a$ verfolgt man den Graphen zuerst von links und danach von rechts bis nahe an die Stelle $a$. Entscheidend ist die Höhe, der sich der Graph nähert. Ein eingezeichneter einzelner Punkt bei $x=a$ wird dabei zunächst nicht verwendet.

Für $x\to+\infty$ betrachtet man den Verlauf weit rechts, für $x\to-\infty$ weit links. Der Graph kann sich

• einer festen Höhe nähern,
• unbegrenzt nach oben oder unten entwickeln,
• oder ohne eindeutigen Zielwert schwanken.

Eine Wertetabelle unterstützt dieselbe Untersuchung. Werte knapp links und rechts von $a$ beziehungsweise für betragsmäßig große $x$-Werte machen das Grenzverhalten sichtbar.

Direkte Einsetzung

Bei einfachen stetigen Funktionen darf man für den Grenzwert direkt einsetzen.

Für

$$f(x)=x^2+3x$$

gilt daher

$$\lim_{x\to2}(x^2+3x)=2^2+3\cdot2=10.$$

Wenn direkte Einsetzung $\frac00$ ergibt

Der Ausdruck $\frac00$ ist kein Ergebnis. Er zeigt nur, dass der Term zuerst vereinfacht werden muss.

Beispiel:

$$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}.$$

Direktes Einsetzen ergibt $\frac00$. Durch Faktorisieren erhält man für $x\neq1$:

$$\frac{x^2-1}{x-1} =\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} =x+1.$$

Nun lässt sich der Grenzwert bestimmen:

$$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1} =\lim_{x\to1}(x+1) =2.$$

Der ursprüngliche Bruch ist bei $x=1$ nicht definiert. Sein Grenzwert kann trotzdem existieren.

5. Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert

Eine Stelle muss von beiden Seiten untersucht werden.

Von links schreibt man

$$\lim_{x\to a^-}f(x).$$

Von rechts schreibt man

$$\lim_{x\to a^+}f(x).$$

Für eine innere Stelle des Definitionsbereichs existiert der beidseitige Grenzwert $\lim_{x\to a}f(x)$ genau dann, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und gleich sind:

$$\boxed{ \lim_{x\to a^-}f(x) = \lim_{x\to a^+}f(x) =L }$$

Beispiel eines Sprungs

Nähert sich der Graph von links dem Wert $1$, von rechts aber dem Wert $3$, dann gilt

$$\lim_{x\to a^-}f(x)=1 \qquad\text{und}\qquad \lim_{x\to a^+}f(x)=3.$$

Weil $1\neq3$, existiert an dieser Stelle kein beidseitiger Grenzwert.

Liegt $a$ am Rand eines Definitionsintervalls, wird nur von der Seite geprüft, die zum Intervall gehört. Am linken Rand betrachtet man also den rechtsseitigen, am rechten Rand den linksseitigen Grenzwert.

6. Grenzwert und Funktionswert sind verschieden

Diese zwei Fragen dürfen nicht vermischt werden:

1. Welchem Wert nähert sich $f(x)$, wenn $x\to a$?
2. Welchen Wert hat die Funktion genau bei $x=a$?

Der Grenzwert betrachtet die Umgebung der Stelle. Der Funktionswert betrachtet die Stelle selbst.

Deshalb sind folgende Situationen möglich:

7. Stetigkeit an einer Stelle

Eine Funktion $f$ ist an einer inneren Stelle $x=a$ stetig, wenn alle drei Bedingungen erfüllt sind:

1. $f(a)$ ist definiert.
2. $\lim_{x\to a}f(x)$ existiert.
3. Grenzwert und Funktionswert stimmen überein.

Kurz:

$$\boxed{ \underbrace{\lim_{x\to a^-}f(x)}_{\text{von links}} = \underbrace{\lim_{x\to a^+}f(x)}_{\text{von rechts}} = \underbrace{f(a)}_{\text{an der Stelle}} }$$

Anschaulich kann man sagen:

In der unmittelbaren Umgebung von $a$ gibt es keinen Sprung, keine Lücke und keine Polstelle.

Der Satz „Man kann den Graphen ohne Absetzen zeichnen“ ist eine gute erste Vorstellung. Für eine genaue Prüfung verwendet man aber die drei Bedingungen. An einem Randpunkt genügt entsprechend der Grenzwert von der im Intervall vorhandenen Seite.

8. Typische Unstetigkeitsstellen

Behebbare Lücke

Der Grenzwert existiert, aber die Funktion ist an der Stelle nicht oder falsch definiert.

Beispiel:

$$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$$

hat bei $x=1$ eine Lücke und den Grenzwert $2$. Definiert man zusätzlich $f(1)=2$, wird die Lücke geschlossen.

Sprungstelle

Der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert sind verschieden. Ein einzelner Funktionswert kann den Sprung nicht beheben.

Polstelle

Die Funktionswerte wachsen auf mindestens einer Seite betragsmäßig unbegrenzt. Bei

$$f(x)=\frac{1}{x-1}$$

liegt bei $x=1$ eine Polstelle vor.

9. Stetigkeit im Kontext

Ob eine Unstetigkeit sinnvoll ist, hängt vom Modell ab.

Stetiges Modell

Eine idealisierte Temperaturfunktion verändert sich meist ohne plötzliche Sprünge. Kleine Zeitänderungen führen zu kleinen Temperaturänderungen.

Unstetiges Modell

Ein Eintrittspreis kann ab dem 18. Geburtstag sprunghaft von einem Jugendpreis auf einen Erwachsenenpreis wechseln. Ein Sprung kann hier sachlich richtig sein.

Modellprüfung

Eine Unstetigkeit ist nicht automatisch ein Rechenfehler. Man fragt:

• Beschreibt der Sprung einen echten Wechsel der Regel?
• Ist eine Lücke nur durch fehlende Daten entstanden?
• Ist eine Polstelle im Sachkontext überhaupt sinnvoll?

10. Differenzierbarkeit grafisch beurteilen

Eine Funktion ist an einer Stelle differenzierbar, wenn dort eine eindeutige endliche Tangentensteigung vorhanden ist.

Grafisch problematisch sind insbesondere:

• Sprünge,
• Lücken,
• Polstellen,
• Ecken und Knicke,
• Spitzen,
• Stellen mit senkrechter Tangente, wenn eine endliche Ableitung verlangt wird.

Wichtiger Zusammenhang

$$\boxed{ \text{differenzierbar bei }a \quad\Longrightarrow\quad \text{stetig bei }a }$$

Ist eine Funktion an einer Stelle unstetig, kann sie dort nicht differenzierbar sein.

Die Umkehrung gilt aber nicht:

$$\boxed{ \text{stetig bei }a \quad\not\Longrightarrow\quad \text{differenzierbar bei }a }$$

Beispiel:

$$f(x)=|x|$$

ist bei $x=0$ stetig. Der Graph besitzt dort aber einen Knick. Die Steigung von links ist $-1$, die Steigung von rechts ist $1$. Deshalb ist die Funktion dort nicht differenzierbar.

11. Ein vollständiges Beispiel zur Stetigkeit

Gegeben ist

$$f(x)= \begin{cases} x+1, & x<2,\\ 5, & x=2,\\ 3x-3, & x>2. \end{cases}$$

Prüfe die Stetigkeit bei $x=2$.

Von links

$$\lim_{x\to2^-}f(x)=2+1=3.$$

Von rechts

$$\lim_{x\to2^+}f(x)=3\cdot2-3=3.$$

Die einseitigen Grenzwerte stimmen überein. Daher gilt

$$\lim_{x\to2}f(x)=3.$$

Funktionswert

$$f(2)=5.$$

Entscheidung

$$\lim_{x\to2}f(x)=3\neq5=f(2).$$

Die Funktion ist bei $x=2$ nicht stetig. Es liegt eine behebbare Lücke mit einem falsch gesetzten Einzelwert vor. Würde man $f(2)=3$ definieren, wäre die Funktion dort stetig.

12. Grenzwerte mit Technologie untersuchen

Ein elektronisches Hilfsmittel kann Graphen, Wertetabellen und Grenzwerte anzeigen. Der mathematische Blick bleibt trotzdem wichtig.

Sinnvoller Ablauf:

1. Stelle und Definitionsbereich prüfen.
2. Werte knapp links und rechts der Stelle untersuchen.
3. Graph auf Lücke, Sprung oder Polstelle prüfen.
4. Grenzwert berechnen oder technologisch bestimmen.
5. Funktionswert getrennt auswerten.
6. Erst dann über Stetigkeit entscheiden.

Bei großen $x$-Werten hilft eine Wertetabelle, das langfristige Verhalten zu vermuten. Einzelne Tabellenwerte sind aber noch kein Beweis für einen Grenzwert.

13. Typische Fehler

Fehler 1: Grenzwert und Funktionswert gleichsetzen

$\lim_{x\to a}f(x)$ kann existieren, obwohl $f(a)$ fehlt oder einen anderen Wert hat.

Fehler 2: Nur eine Seite betrachten

Für einen beidseitigen Grenzwert müssen linke und rechte Seite übereinstimmen.

Fehler 3: $\frac00$ als Ergebnis angeben

$\frac00$ ist unbestimmt. Der Funktionsterm muss vereinfacht oder anders untersucht werden.

Fehler 4: $\infty$ wie eine Zahl behandeln

Unbeschränktes Wachstum beschreibt ein Verhalten. Es ist kein endlicher Grenzwert.

Fehler 5: Stetigkeit mit Differenzierbarkeit verwechseln

Differenzierbarkeit garantiert Stetigkeit. Eine stetige Funktion kann aber einen Knick besitzen und dort nicht differenzierbar sein.

Fehler 6: Eine Unstetigkeit im Modell immer als falsch bewerten

Ein Sprung kann einen echten Tarif-, Schalt- oder Regelwechsel beschreiben.

14. Allgemeiner Arbeitsplan

Folge untersuchen

1. Einige Folgenglieder berechnen oder aus der Darstellung lesen.
2. Langfristige Entwicklung erkennen.
3. Einen möglichen Zielwert vermuten.
4. Bei einfachen Termen rechnerisch bestätigen.
5. Als konvergent oder divergent einordnen.

Stetigkeit prüfen

1. Definitionsbereich und Stelle $a$ prüfen.
2. Linksseitigen Grenzwert bestimmen.
3. Rechtsseitigen Grenzwert bestimmen.
4. Beide Grenzwerte vergleichen.
5. Funktionswert $f(a)$ bestimmen.
6. Mit $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ entscheiden.

Differenzierbarkeit grafisch prüfen

1. Zuerst auf Stetigkeit achten.
2. Graph an der Stelle vergrößert betrachten.
3. Nach Knick, Spitze oder senkrechter Tangente suchen.
4. Prüfen, ob von links und rechts dieselbe endliche Tangentensteigung entsteht.

Merksätze

• Ein Grenzwert beschreibt eine Annäherung.
• Eine Folge konvergiert nur dann, wenn sie sich einem festen reellen Wert nähert.
• Für einen beidseitigen Funktionsgrenzwert müssen linke und rechte Seite übereinstimmen.
• Grenzwert und Funktionswert sind verschiedene Begriffe.
• Stetigkeit bei $a$ bedeutet $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.