Wenn sich x der Stelle a nähert, dann nähert sich f(x) dem Wert L.
Die beiden Bewegungen lassen sich sichtbar beschriften:
Eingabe na¨hert sichx→a⟹f(x)→LAusgabe n
Dabei wird nicht zuerst gefragt, was genau beix=a passiert. Man betrachtet Werte beliebig nahe bei a.
2. Grenzwerte von Folgen
Eine Folge ist eine geordnete Liste von Zahlen:
a1,a2,a3,…
Die Zahl an ist das Folgenglied an der Stelle n.
Konvergente Folge
Eine Folge heißt konvergent, wenn sich ihre Folgenglieder für große n einem festen reellen Wert nähern.
Man schreibt
n→∞liman=L.
Beispiel
Für
an=2+n1
entsteht:
n
1
2
10
100
1000
an
3
2,5
2
In einer grafischen Darstellung liegen die Punkte (n∣an) für große n immer näher an der waagrechten Linie y=2. Allgemein deutet eine Annäherung an y=L auf den Grenzwert L hin.
Der Anteil n1 wird immer kleiner. Deshalb gilt
n→∞lim(2+n1)=2.
Die Folgenglieder sind nie genau 2. Trotzdem ist 2 der Grenzwert.
Einfache Grenzwerte bestimmen
Für eine Konstante c und eine positive ganze Zahl k gilt:
n→∞limnkc=0.
Damit kann man einfache Folgen sofort untersuchen:
n→∞lim(5−n23)=5−0=5.
Bei einem Bruch aus Polynomen in n kann man durch die höchste vorkommende Potenz teilen. Zum Beispiel:
n→∞limn+43n+1=n→∞lim1+n4
3. Divergente Folgen erkennen
Eine Folge heißt divergent, wenn sie sich keinem festen reellen Wert nähert.
Das kann auf verschiedene Arten geschehen.
Unbeschränktes Wachstum
an=n
wird immer größer. Man schreibt beschreibend an→+∞. Die Folge besitzt aber keinen endlichen reellen Grenzwert.
Dauerndes Wechseln
an=(−1)n
wechselt zwischen 1 und −1. Sie nähert sich keinem einzelnen Wert.
Wichtig
∞ ist keine gewöhnliche Zahl. Die Schreibweise an→∞ beschreibt ein unbeschränktes Verhalten und keinen endlichen Grenzwert.
4. Grenzwerte von
Bei einer Funktion untersucht man, welchem Wert sich f(x) nähert, wenn sich x
einer bestimmten Stelle a,
von links oder rechts der Stelle a,
oder unbegrenzt großen beziehungsweise kleinen Werten
nähert.
Grenzwert aus einem Graphen ablesen
Für x→a verfolgt man den Graphen zuerst von links und danach von rechts bis nahe an die Stelle a. Entscheidend ist die Höhe, der sich der Graph nähert. Ein eingezeichneter einzelner Punkt bei x=a wird dabei zunächst nicht verwendet.
Für x→+∞ betrachtet man den Verlauf weit rechts, für x→−∞ weit links. Der Graph kann sich
einer festen Höhe nähern,
unbegrenzt nach oben oder unten entwickeln,
oder ohne eindeutigen Zielwert schwanken.
Eine Wertetabelle unterstützt dieselbe Untersuchung. Werte knapp links und rechts von a beziehungsweise für betragsmäßig große x-Werte machen das Grenzverhalten sichtbar.
Direkte Einsetzung
Bei einfachen stetigen Funktionen darf man für den Grenzwert direkt einsetzen.
Für
f(x)=x2+3x
gilt daher
x→2lim(x2+3x)=22+3⋅2=10.
Wenn direkte Einsetzung 00 ergibt
Der Ausdruck 00 ist kein Ergebnis. Er zeigt nur, dass der zuerst vereinfacht werden muss.
Beispiel:
x→1limx−1x2−1.
Direktes Einsetzen ergibt 00. Durch Faktorisieren erhält man für x=1:
x−1x2−1=x−1(x−1)(x+1)=x+1.
Nun lässt sich der Grenzwert bestimmen:
x→1limx−1x2−1=x→1lim(x+1)=2.
Der ursprüngliche Bruch ist bei x=1 nicht definiert. Sein Grenzwert kann trotzdem existieren.
5. Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert
Eine Stelle muss von beiden Seiten untersucht werden.
Von links schreibt man
x→a−limf(x).
Von rechts schreibt man
x→a+limf(x).
Für eine innere Stelle des Definitionsbereichs existiert der beidseitige Grenzwert limx→af(x) genau dann, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und gleich sind:
x→a−limf(x)=x→a+limf(x)=L
Beispiel eines Sprungs
Nähert sich der Graph von links dem Wert 1, von rechts aber dem Wert 3, dann gilt
x→a−limf(x)=1undx→a+limf(x)=3.
Weil 1=3, existiert an dieser Stelle kein beidseitiger Grenzwert.
Liegt a am Rand eines Definitionsintervalls, wird nur von der Seite geprüft, die zum Intervall gehört. Am linken Rand betrachtet man also den rechtsseitigen, am rechten Rand den linksseitigen Grenzwert.
6. Grenzwert und Funktionswert sind verschieden
Diese zwei Fragen dürfen nicht vermischt werden:
Welchem Wert nähert sich f(x), wenn x→a?
Welchen Wert hat die Funktion genau bei x=a?
Der Grenzwert betrachtet die Umgebung der Stelle. Der Funktionswert betrachtet die Stelle selbst.
Deshalb sind folgende Situationen möglich:
Situation
Grenzwert
Funktionswert
stetiger Verlauf
existiert
stimmt mit Grenzwert überein
behebbare Lücke
existiert
fehlt oder ist anders definiert
Sprung
beidseitig nicht vorhanden
kann vorhanden sein
Polstelle
oft unbeschränktes Verhalten
nicht definiert
7. Stetigkeit an einer Stelle
Eine Funktion f ist an einer inneren Stelle x=a stetig, wenn alle drei Bedingungen erfüllt sind:
f(a) ist definiert.
limx→af(x) existiert.
Grenzwert und Funktionswert stimmen überein.
Bitte was? Für Stetigkeit müssen drei Dinge zusammenpassen: Die Funktion hat an der Stelle einen Wert, sie nähert sich von links und rechts demselben Wert, und genau dieser Wert steht auch an der Stelle.
Kurz:
von linksx→a−limf(x)=von rechtsx→a=an der Stellef(a)
Anschaulich kann man sagen:
In der unmittelbaren Umgebung von a gibt es keinen Sprung, keine Lücke und keine Polstelle.
Der Satz „Man kann den Graphen ohne Absetzen zeichnen“ ist eine gute erste Vorstellung. Für eine genaue Prüfung verwendet man aber die drei Bedingungen. An einem Randpunkt genügt entsprechend der Grenzwert von der im Intervall vorhandenen Seite.
8. Typische Unstetigkeitsstellen
Behebbare Lücke
Der Grenzwert existiert, aber die Funktion ist an der Stelle nicht oder falsch definiert.
Beispiel:
f(x)=x−1x2−1
hat bei x=1 eine Lücke und den Grenzwert 2. Definiert man zusätzlich f(1)=2, wird die Lücke geschlossen.
Sprungstelle
Der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert sind verschieden. Ein einzelner Funktionswert kann den Sprung nicht beheben.
Polstelle
Die Funktionswerte wachsen auf mindestens einer Seite betragsmäßig unbegrenzt. Bei
f(x)=x−11
liegt bei x=1 eine Polstelle vor.
9. Stetigkeit im Kontext
Ob eine Unstetigkeit sinnvoll ist, hängt vom Modell ab.
Stetiges Modell
Eine idealisierte Temperaturfunktion verändert sich meist ohne plötzliche Sprünge. Kleine Zeitänderungen führen zu kleinen Temperaturänderungen.
Unstetiges Modell
Ein Eintrittspreis kann ab dem 18. Geburtstag sprunghaft von einem Jugendpreis auf einen Erwachsenenpreis wechseln. Ein Sprung kann hier sachlich richtig sein.
Modellprüfung
Eine Unstetigkeit ist nicht automatisch ein Rechenfehler. Man fragt:
Beschreibt der Sprung einen echten Wechsel der Regel?
Ist eine Lücke nur durch fehlende Daten entstanden?
Ist eine Polstelle im Sachkontext überhaupt sinnvoll?
10. Differenzierbarkeit grafisch beurteilen
Eine Funktion ist an einer Stelle differenzierbar, wenn dort eine eindeutige endliche Tangentensteigung vorhanden ist.
Grafisch problematisch sind insbesondere:
Sprünge,
Lücken,
Polstellen,
Ecken und Knicke,
Spitzen,
Stellen mit senkrechter Tangente, wenn eine endliche Ableitung verlangt wird.
Wichtiger Zusammenhang
differenzierbar bei a⟹stetig bei a
Ist eine Funktion an einer Stelle unstetig, kann sie dort nicht differenzierbar sein.
Die Umkehrung gilt aber nicht:
stetig bei a⟹differenzierbar bei a
Beispiel:
f(x)=∣x∣
ist bei x=0 stetig. Der Graph besitzt dort aber einen Knick. Die Steigung von links ist −1, die Steigung von rechts ist 1. Deshalb ist die Funktion dort nicht differenzierbar.
11. Ein vollständiges Beispiel zur Stetigkeit
Gegeben ist
f(x)=⎩⎨⎧x+1,5,3x−3,x<2,x=2,x>2.
Prüfe die Stetigkeit bei x=2.
Von links
x→2−limf(x)=2+1=3.
Von rechts
x→2+limf(x)=3⋅2−3=3.
Die einseitigen Grenzwerte stimmen überein. Daher gilt
x→2limf(x)=3.
Funktionswert
f(2)=5.
Entscheidung
x→2limf(x)=3=5=f(2).
Die Funktion ist bei x=2nicht stetig. Es liegt eine behebbare Lücke mit einem falsch gesetzten Einzelwert vor. Würde man f(2)=3 definieren, wäre die Funktion dort stetig.
12. Grenzwerte mit Technologie untersuchen
Ein elektronisches Hilfsmittel kann Graphen, Wertetabellen und Grenzwerte anzeigen. Der mathematische Blick bleibt trotzdem wichtig.
Sinnvoller Ablauf:
Stelle und Definitionsbereich prüfen.
Werte knapp links und rechts der Stelle untersuchen.
Graph auf Lücke, Sprung oder Polstelle prüfen.
Grenzwert berechnen oder technologisch bestimmen.
Funktionswert getrennt auswerten.
Erst dann über Stetigkeit entscheiden.
Bei großen x-Werten hilft eine Wertetabelle, das langfristige Verhalten zu vermuten. Einzelne Tabellenwerte sind aber noch kein Beweis für einen Grenzwert.
13. Typische Fehler
Fehler 1: Grenzwert und Funktionswert gleichsetzen
limx→af(x) kann existieren, obwohl f(a) fehlt oder einen anderen Wert hat.
Fehler 2: Nur eine Seite betrachten
Für einen beidseitigen Grenzwert müssen linke und rechte Seite übereinstimmen.
Fehler 3: 00 als Ergebnis angeben
00 ist unbestimmt. Der Funktionsterm muss vereinfacht oder anders untersucht werden.
Fehler 4: ∞ wie eine Zahl behandeln
Unbeschränktes Wachstum beschreibt ein Verhalten. Es ist kein endlicher Grenzwert.
Fehler 5: Stetigkeit mit Differenzierbarkeit verwechseln
Differenzierbarkeit garantiert Stetigkeit. Eine stetige Funktion kann aber einen Knick besitzen und dort nicht differenzierbar sein.
Fehler 6: Eine Unstetigkeit im Modell immer als falsch bewerten
Ein Sprung kann einen echten Tarif-, Schalt- oder Regelwechsel beschreiben.
14. Allgemeiner Arbeitsplan
Folge untersuchen
Einige Folgenglieder berechnen oder aus der Darstellung lesen.
Langfristige Entwicklung erkennen.
Einen möglichen Zielwert vermuten.
Bei einfachen Termen rechnerisch bestätigen.
Als konvergent oder divergent einordnen.
Stetigkeit prüfen
Definitionsbereich und Stelle a prüfen.
Linksseitigen Grenzwert bestimmen.
Rechtsseitigen Grenzwert bestimmen.
Beide Grenzwerte vergleichen.
Funktionswert f(a) bestimmen.
Mit limx→af(x)=f(a) entscheiden.
Differenzierbarkeit grafisch prüfen
Zuerst auf Stetigkeit achten.
Graph an der Stelle vergrößert betrachten.
Nach Knick, Spitze oder senkrechter Tangente suchen.
Prüfen, ob von links und rechts dieselbe endliche Tangentensteigung entsteht.
Merksätze
Ein Grenzwert beschreibt eine Annäherung.
Eine Folge konvergiert nur dann, wenn sie sich einem festen reellen Wert nähert.
Für einen beidseitigen Funktionsgrenzwert müssen linke und rechte Seite übereinstimmen.
Grenzwert und Funktionswert sind verschiedene Begriffe.
Stetigkeit bei a bedeutet limx→af(x)=f(a).
Lücke, Sprung und Polstelle sind typische Unstetigkeiten.
Differenzierbarkeit setzt Stetigkeit voraus.
Stetigkeit allein garantiert keine Differenzierbarkeit.
Bei Konvergenz die vollständige Schreibweise mit lim, n gegen unendlich, dem Folgenterm und dem Grenzwert angeben.
AN 5.1 - Funktionsgrenzwert bestimmen
Das Verhalten einer nahe einer Stelle von links und rechts untersuchen, einfache Grenzwerte berechnen und vom unterscheiden.
1
Annäherungsstelle bestimmen
Festhalten, gegen welche Stelle a oder gegen welche Unendlichkeitsrichtung sich x nähert.
2
Definitionsbereich prüfen
Untersuchen, ob der Funktionsterm an der Stelle oder in ihrer Nähe eingeschränkt ist, etwa durch einen Nenner null.
3
Direkte Einsetzung versuchen
Bei einer einfachen stetigen a einsetzen; entsteht 0/0, diesen Ausdruck nur als Hinweis zum Vereinfachen verwenden.
4
Term oder Darstellung untersuchen
Den faktorisieren und kürzen oder Graph und Wertetabelle knapp links und rechts der Stelle auswerten.
5
Beide Seiten vergleichen
Linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert getrennt bestimmen und nur bei Übereinstimmung einen beidseitigen Grenzwert angeben.
6
Grenzwert vom Funktionswert trennen
Den Grenzwert als Verhalten in der Umgebung und f(a) als Wert an der Stelle separat notieren.
AN 5.1 - Stetigkeit pruefen und deuten
Die drei Stetigkeitsbedingungen anwenden, Lücke, Sprung oder Polstelle erkennen und die Bedeutung einer Unstetigkeit im Sachkontext beurteilen.
1
Linken Grenzwert bestimmen
Das Verhalten von f(x) für x-Werte kleiner als a untersuchen und den linksseitigen Grenzwert notieren.
2
Rechten Grenzwert bestimmen
Das Verhalten von f(x) für x-Werte größer als a untersuchen und den rechtsseitigen Grenzwert notieren.
3
Beidseitigen Grenzwert prüfen
Entscheiden, ob beide einseitigen Grenzwerte existieren und denselben Wert besitzen.
4
Funktionswert bestimmen
Den tatsächlich definierten Wert f(a) getrennt aus Funktionsterm, Fallunterscheidung oder Graph ablesen.
5
Stetigkeit entscheiden
Nur dann stetig angeben, wenn linker Grenzwert, rechter Grenzwert und alle übereinstimmen.
6
Art und Bedeutung deuten
Bei Unstetigkeit Lücke, Sprung oder Polstelle benennen und im Sachkontext prüfen, ob dieses Verhalten sinnvoll ist.
AN 5.1 - Differenzierbarkeit grafisch beurteilen
An einem Graphen eine eindeutige endliche Tangentensteigung beurteilen und den Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit korrekt anwenden.
1
Stetigkeit vorprüfen
Liegt eine Lücke, ein Sprung oder eine Polstelle vor, ist die dort sicher nicht differenzierbar.
2
Graph lokal betrachten
Die unmittelbare Umgebung der Stelle vergrößert untersuchen und nach Knick, Spitze oder senkrechter suchen.
3
Steigung von links beurteilen
Beobachten, welcher endlichen Tangentensteigung sich die Sekantensteigungen von links nähern.
4
Steigung von rechts beurteilen
Dasselbe von rechts durchführen und die beiden Richtungen miteinander vergleichen.
5
Differenzierbarkeit entscheiden
Eine eindeutige endliche Tangentensteigung nur dann angeben, wenn die Annäherung von beiden Seiten denselben Wert liefert.
6
Zusammenhang korrekt formulieren
Festhalten: Differenzierbarkeit setzt Stetigkeit voraus; Stetigkeit allein reicht wegen möglicher Knicke oder Spitzen nicht aus.
