Primzahlen und Teilbarkeit

Kompetenzcode: MG 2.5

Zahlen lassen sich oft als Produkt kleinerer Zahlen schreiben. Zum Beispiel gilt

$$12=3\cdot4=2\cdot6.$$

Dabei begegnen uns drei wichtige Begriffe:

• Teiler teilen eine Zahl ohne Rest.
• Primzahlen haben genau zwei positive Teiler.
• Bei einer Primfaktorzerlegung wird eine Zahl vollständig in Primzahlen zerlegt.

In diesem Kapitel lernst du Schritt für Schritt,

1. Primzahlen zu erkennen,
2. alle Teiler einer natürlichen Zahl zu bestimmen,
3. Teilbarkeit sicher zu prüfen,
4. eine Zahl in Primfaktoren zu zerlegen.

Merke: Für Primzahlen und Primfaktorzerlegungen betrachten wir natürliche Zahlen größer als $1$.

1. Was bedeutet „teilbar“?

Betrachten wir zuerst

$$\frac{20}{5}=4.$$

Das Ergebnis ist eine natürliche Zahl. Es bleibt kein Rest.

Deshalb sagen wir:

$$\boxed{20\text{ ist durch }5\text{ teilbar.}}$$

Gleichzeitig ist $5$ ein Teiler von $20$, denn

$$20=5\cdot4.$$

Nun betrachten wir

$$20:6.$$

Bei einer Division mit Rest gilt

$$20=3\cdot6+2.$$

Es bleibt der Rest $2$. Deshalb ist $20$ nicht durch $6$ teilbar.

Merke: Eine Zahl $a$ ist durch eine von $0$ verschiedene Zahl $b$ teilbar, wenn bei $a:b$ kein Rest übrig bleibt.

Beispiel: Teilbarkeit direkt prüfen

Ist $42$ durch $7$ teilbar?

$$\frac{42}{7}=6.$$

Es bleibt kein Rest. Also gilt

$$\boxed{42\text{ ist durch }7\text{ teilbar.}}$$

Ist $42$ durch $8$ teilbar?

Es gilt

$$42=5\cdot8+2.$$

Der Rest ist $2$. Daher gilt

$$\boxed{42\text{ ist nicht durch }8\text{ teilbar.}}$$

2. Was ist ein Teiler?

Ein Teiler einer natürlichen Zahl teilt diese Zahl ohne Rest.

Nehmen wir die Zahl $12$. Wir suchen alle Möglichkeiten, $12$ als Produkt zweier natürlicher Zahlen zu schreiben:

$$12=1\cdot12,$$ $$12=2\cdot6,$$ $$12=3\cdot4.$$

Damit haben wir alle Faktorenpaare gefunden. Die positiven Teiler von $12$ sind daher

$$\boxed{1,2,3,4,6,12}.$$

Als Teilermenge können wir schreiben:

$$\boxed{T(12)=\{1,2,3,4,6,12\}}.$$

Warum treten Teiler oft paarweise auf?

Wenn

$$24=3\cdot8,$$

ist sowohl $3$ als auch $8$ ein Teiler von $24$.

Deshalb ist es praktisch, Teiler als Faktorenpaare zu suchen.

3. Alle Teiler systematisch bestimmen

Bestimmen wir alle Teiler von $36$.

Wir beginnen mit $1$ und suchen der Reihe nach Faktorenpaare:

$$36=1\cdot36,$$ $$36=2\cdot18,$$ $$36=3\cdot12,$$ $$36=4\cdot9,$$ $$36=6\cdot6.$$

Danach würden sich die Paare nur noch umdrehen. Zum Beispiel ist $9\cdot4$ dasselbe Faktorenpaar wie $4\cdot9$.

Also lautet die Teilermenge:

$$\boxed{T(36)=\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}}.$$

Tipp: Schreibe zuerst die Faktorenpaare auf. So übersiehst du viel seltener einen Teiler.

Beispiel: Teiler von $30$

$$30=1\cdot30,$$ $$30=2\cdot15,$$ $$30=3\cdot10,$$ $$30=5\cdot6.$$

Damit gilt

$$\boxed{T(30)=\{1,2,3,5,6,10,15,30\}}.$$

4. Teilbarkeit schneller prüfen: Teilbarkeitsregeln

Bei kleinen Zahlen kannst du eine Division durchführen. Bei großen Zahlen helfen Teilbarkeitsregeln.

Teilbarkeit durch $2$

Eine Zahl ist durch $2$ teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine der Ziffern

$$0,2,4,6,8$$

ist.

Beispiel:

$$3476$$

endet auf $6$. Also ist $3476$ durch $2$ teilbar.

Teilbarkeit durch $3$

Für die Teilbarkeit durch $3$ verwenden wir die Ziffernsumme.

Die Ziffernsumme erhältst du, indem du alle Ziffern addierst.

Beispiel:

$$471\quad\Rightarrow\quad4+7+1=12.$$

Da $12$ durch $3$ teilbar ist, ist auch $471$ durch $3$ teilbar.

Teilbarkeit durch $4$

Eine Zahl ist durch $4$ teilbar, wenn die Zahl aus ihren letzten zwei Ziffern durch $4$ teilbar ist.

Beispiel:

$$1316\quad\Rightarrow\quad16.$$

Da $16$ durch $4$ teilbar ist, ist auch $1316$ durch $4$ teilbar.

Teilbarkeit durch $5$

Eine Zahl ist durch $5$ teilbar, wenn ihre letzte Ziffer $0$ oder $5$ ist.

Beispiele:

$$735\quad\text{und}\quad1240$$

sind beide durch $5$ teilbar.

Teilbarkeit durch $6$

Eine Zahl ist durch $6$ teilbar, wenn sie gleichzeitig durch $2$ und durch $3$ teilbar ist.

Beispiel:

$$234$$

ist gerade und daher durch $2$ teilbar. Außerdem gilt

$$2+3+4=9,$$

also ist $234$ auch durch $3$ teilbar. Damit ist $234$ durch $6$ teilbar.

Teilbarkeit durch $8$

Eine Zahl ist durch $8$ teilbar, wenn die Zahl aus ihren letzten drei Ziffern durch $8$ teilbar ist.

Beispiel:

$$4120\quad\Rightarrow\quad120.$$

Da

$$120=15\cdot8,$$

ist $4120$ durch $8$ teilbar.

Teilbarkeit durch $9$

Eine Zahl ist durch $9$ teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch $9$ teilbar ist.

Beispiel:

$$729\quad\Rightarrow\quad7+2+9=18.$$

Da $18$ durch $9$ teilbar ist, ist auch $729$ durch $9$ teilbar.

Teilbarkeit durch $10$

Eine Zahl ist durch $10$ teilbar, wenn ihre letzte Ziffer $0$ ist.

Beispiel:

$$1250$$

ist durch $10$ teilbar.

Übersicht

5. Was ist eine Primzahl?

Betrachten wir zuerst die Zahl $6$:

$$T(6)=\{1,2,3,6\}.$$

Sie besitzt vier positive Teiler.

Die Zahl $7$ besitzt dagegen nur

$$T(7)=\{1,7\}.$$

Sie hat genau zwei positive Teiler. Deshalb ist $7$ eine Primzahl.

Merke: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als $1$, die genau zwei positive Teiler besitzt: $1$ und die Zahl selbst.

Die ersten Primzahlen sind

$$\boxed{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,\ldots}$$

Ist $1$ eine Primzahl?

Nein.

Die Zahl $1$ besitzt nur einen positiven Teiler, nämlich $1$.

Eine Primzahl muss aber genau zwei verschiedene positive Teiler besitzen.

Daher gilt

$$\boxed{1\text{ ist keine Primzahl.}}$$

Warum ist $2$ besonders?

$2$ besitzt genau die beiden Teiler $1$ und $2$. Daher ist $2$ eine Primzahl.

Gleichzeitig ist $2$ gerade. Jede größere gerade Zahl ist ebenfalls durch $2$ teilbar und besitzt dadurch mehr als zwei Teiler.

Also ist

$$\boxed{2\text{ die einzige gerade Primzahl.}}$$

6. Primzahlen sicher erkennen

Um zu entscheiden, ob eine Zahl eine Primzahl ist, suchen wir nach einem Teiler außer $1$ und der Zahl selbst.

Beispiel: Ist $37$ eine Primzahl?

Wir prüfen mögliche kleine Teiler.

Durch $2$?

Nein, denn $37$ ist ungerade.

Durch $3$?

$$3+7=10.$$

Die Ziffernsumme $10$ ist nicht durch $3$ teilbar.

Durch $4$?

Nein, denn $37$ ist nicht durch $4$ teilbar.

Durch $5$?

Nein, denn die letzte Ziffer ist weder $0$ noch $5$.

Durch $6$?

Nein, denn $37$ ist nicht einmal durch $2$ teilbar.

Nun gilt bereits

$$7\cdot7=49>37.$$

Ab hier müssten sich Faktorenpaare nur noch umdrehen. Wenn $37$ zusammengesetzt wäre, hätten wir also bereits einen kleineren Teiler finden müssen.

Wir haben keinen gefunden. Deshalb besitzt $37$ nur die Teiler $1$ und $37$.

$$\boxed{37\text{ ist eine Primzahl.}}$$

Gegenbeispiel: Ist $51$ eine Primzahl?

Wir prüfen die Teilbarkeit durch $3$:

$$5+1=6.$$

Da $6$ durch $3$ teilbar ist, ist auch $51$ durch $3$ teilbar.

Tatsächlich gilt

$$51=3\cdot17.$$

Damit besitzt $51$ weitere Teiler und ist keine Primzahl.

$$\boxed{51\text{ ist keine Primzahl.}}$$

Eine natürliche Zahl größer als $1$, die keine Primzahl ist, nennt man zusammengesetzte Zahl.

7. Was sind Primfaktoren?

Ein Faktor ist eine Zahl, die in einer Multiplikation vorkommt.

Zum Beispiel:

$$42=6\cdot7.$$

Hier sind $6$ und $7$ Faktoren.

Ein Primfaktor ist ein Faktor, der zusätzlich eine Primzahl ist.

Die Zahl $7$ ist bereits prim. Die Zahl $6$ können wir noch zerlegen:

$$6=2\cdot3.$$

Damit erhalten wir

$$42=2\cdot3\cdot7.$$

Nun sind alle Faktoren Primzahlen. Die Primfaktoren von $42$ sind also $2$, $3$ und $7$.

8. Primfaktorzerlegung mit einem Faktorbaum

Bei einer Primfaktorzerlegung zerlegen wir eine Zahl so lange, bis nur noch Primzahlen als Faktoren übrig bleiben.

Das folgende Beispiel zeigt die Zahl $84$:

Aus dem Faktorbaum lesen wir ab:

$$84=2\cdot2\cdot3\cdot7.$$

Gleiche Faktoren können wir als Potenz schreiben:

$$\underbrace{2\cdot2}_{2^2}=2^2.$$

Daher lautet die Primfaktorzerlegung

$$\boxed{84=2^2\cdot3\cdot7}.$$

Merke: Eine Zerlegung ist erst dann eine Primfaktorzerlegung, wenn jeder Faktor eine Primzahl ist.

9. Primfaktorzerlegung durch wiederholtes Dividieren

Eine zweite Methode ist das wiederholte Dividieren durch Primzahlen.

Wir zerlegen wieder $84$. Beginne mit der kleinsten Primzahl, durch die die aktuelle Zahl teilbar ist:

$$\begin{aligned} 84& &&/2\\ 42& &&/2\\ 21& &&/3\\ 7& &&/7\\ 1& \end{aligned}$$

Die verwendeten Primzahlen sind

$$2,2,3,7.$$

Also gilt

$$84=2\cdot2\cdot3\cdot7=\boxed{2^2\cdot3\cdot7}.$$

Beispiel: $180$ zerlegen

$$\begin{aligned} 180& &&/2\\ 90& &&/2\\ 45& &&/3\\ 15& &&/3\\ 5& &&/5\\ 1& \end{aligned}$$

Wir haben durch

$$2,2,3,3,5$$

geteilt. Daher

$$180=2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5.$$

Gleiche Primfaktoren fassen wir zusammen:

$$\underbrace{2\cdot2}_{2^2}\cdot\underbrace{3\cdot3}_{3^2}\cdot5.$$

Damit lautet die Primfaktorzerlegung

$$\boxed{180=2^2\cdot3^2\cdot5}.$$

10. Woran erkenne ich, dass die Zerlegung fertig ist?

Betrachten wir

$$72=8\cdot9.$$

Diese Zerlegung ist richtig, aber noch keine Primfaktorzerlegung, denn $8$ und $9$ sind keine Primzahlen.

Wir zerlegen weiter:

$$8=2\cdot2\cdot2$$

und

$$9=3\cdot3.$$

Damit gilt

$$72=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3.$$

Jetzt sind alle Faktoren Primzahlen. Also

$$\boxed{72=2^3\cdot3^2}.$$

11. Die Primfaktorzerlegung kontrollieren

Eine Primfaktorzerlegung lässt sich einfach prüfen: Multipliziere alle Primfaktoren wieder miteinander.

Für

$$84=2^2\cdot3\cdot7$$

rechnen wir

$$\begin{aligned} 2^2\cdot3\cdot7 &=4\cdot3\cdot7\\ &=12\cdot7\\ &=84. \end{aligned}$$

Wir erhalten die ursprüngliche Zahl. Die Zerlegung stimmt.

12. Typische Fehler

Fehler 1: $1$ als Primzahl ansehen

Falsch:

$$1\text{ ist eine Primzahl.}$$

Richtig:

$$\boxed{1\text{ ist keine Primzahl, denn }1\text{ hat nur einen positiven Teiler.}}$$

Fehler 2: Eine Zerlegung zu früh beenden

$$48=6\cdot8$$

ist noch keine Primfaktorzerlegung, weil $6$ und $8$ keine Primzahlen sind.

Weiter zerlegt gilt

$$6=2\cdot3, \qquad 8=2\cdot2\cdot2.$$

Also

$$\boxed{48=2^4\cdot3}.$$

Fehler 3: Einen Teiler übersehen

Bei $24$ nur

$$1,2,3,24$$

aufzuschreiben, ist unvollständig.

Mit Faktorenpaaren sieht man alle Teiler:

$$24=1\cdot24=2\cdot12=3\cdot8=4\cdot6.$$

Daher

$$\boxed{T(24)=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}}.$$

Fehler 4: Teilbarkeit und „kleiner als“ verwechseln

Dass $7<35$ gilt, macht $7$ noch nicht wegen seiner Größe zu einem Teiler. Entscheidend ist

$$35=5\cdot7.$$

Dagegen gilt zwar auch $8<35$, aber $35$ lässt sich nicht ohne Rest durch $8$ teilen.

Merke: Für Teilbarkeit zählt nur, ob bei der Division ein Rest bleibt.

13. Arbeitspläne

Eine Primzahl erkennen

1. Prüfe, ob die Zahl größer als $1$ ist.
2. Prüfe zuerst kleine mögliche Teiler wie $2$, $3$, $5$, $7$, …
3. Nutze Teilbarkeitsregeln, wenn sie passen.
4. Sobald du einen weiteren Teiler findest, ist die Zahl keine Primzahl.
5. Findest du keinen weiteren Teiler, ist die Zahl eine Primzahl.

Alle Teiler bestimmen

1. Beginne mit dem Faktorenpaar $1\cdot n$.
2. Prüfe der Reihe nach $2,3,4,\ldots$.
3. Schreibe jedes gefundene Faktorenpaar auf.
4. Stoppe, wenn sich die Faktorenpaare nur noch wiederholen würden.
5. Sortiere alle gefundenen Teiler der Größe nach.

Teilbarkeit prüfen

1. Notiere, durch welche Zahl geteilt werden soll.
2. Prüfe, ob eine passende Teilbarkeitsregel vorhanden ist.
3. Wende die Regel sorgfältig an.
4. Wenn nötig, führe eine Division mit Rest durch.
5. Kein Rest bedeutet „teilbar“, ein Rest bedeutet „nicht teilbar“.

Eine Primfaktorzerlegung bestimmen

1. Beginne mit der kleinsten passenden Primzahl.
2. Teile die Zahl durch diese Primzahl.
3. Prüfe das neue Ergebnis wieder auf Teilbarkeit durch kleine Primzahlen.
4. Wiederhole, bis $1$ erreicht ist.
5. Schreibe alle verwendeten Primzahlen als Produkt auf.
6. Fasse gleiche Primfaktoren als Potenzen zusammen und kontrolliere durch Rückmultiplikation.

14. Das Wichtigste auf einen Blick

Ein Teiler teilt eine Zahl ohne Rest.

$$24=6\cdot4 \quad\Rightarrow\quad 6\text{ ist ein Teiler von }24.$$

Eine Primzahl ist größer als $1$ und besitzt genau zwei positive Teiler:

$$1\quad\text{und die Zahl selbst}.$$

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl. Die Zahl $2$ ist die einzige gerade Primzahl.

Teilbarkeitsregeln helfen dir, Teilbarkeit schnell zu prüfen.

Bei einer Primfaktorzerlegung werden nur Primzahlen miteinander multipliziert:

$$\boxed{90=2\cdot3^2\cdot5}.$$

Die sicherste Kontrolle ist die Rückmultiplikation.