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Primzahlen und Teilbarkeit | LerncoachMG 2.5
Primzahlen und Teilbarkeit
Lies die Erklärung in Ruhe durch und nutze anschließend die Schrittlisten, um das Vorgehen sicher anzuwenden.
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Ergebnis36 ist keine Primzahl.9 positive Teiler ergeben mehrere Rechtecke.
Teiler auswählen
Primfaktorzerlegung36 = 2² · 3²
6 Reihen mit je 6 Feldern zeigen das Teilerpaar 6 und 6.
Durch 2: jaletzte Ziffer ist gerade
Durch 3: jaZiffernsumme ist durch 3 teilbar
Durch 5: neinendet auf 0 oder 5
Durch 9: jaZiffernsumme ist durch 9 teilbar
Durch 10: neinendet auf 0
Primzahlen und Teilbarkeit
Kompetenzcode: MG 2.5
Zahlen lassen sich oft als Produkt kleinerer Zahlen schreiben. Zum Beispiel gilt
12=3⋅4=2⋅6.
Dabei begegnen uns drei wichtige Begriffe:
- Teiler teilen eine Zahl ohne Rest.
- Primzahlen haben genau zwei positive Teiler.
- Bei einer Primfaktorzerlegung wird eine Zahl vollständig in Primzahlen zerlegt.
In diesem Kapitel lernst du Schritt für Schritt,
- Primzahlen zu erkennen,
- alle Teiler einer natürlichen Zahl zu bestimmen,
MG 2.5 - Primzahl erkennen
Eine natürliche Zahl größer als 1 systematisch auf weitere Teiler prüfen und daraus sicher entscheiden, ob sie eine Primzahl ist.
- 1
Definition prüfen
Zuerst sicherstellen, dass die Zahl größer als 1 ist. Eine Primzahl muss genau zwei positive Teiler besitzen.
- 2
Kleine Teiler testen
Mit 2, 3, 5, 7 und weiteren kleinen Zahlen beginnen und passende Teilbarkeitsregeln verwenden.
- 3
Gefundenen Teiler deuten
Wird ein Teiler außer 1 und der Zahl selbst gefunden, ist die Zahl sofort als nicht prim erkannt.
- 4
Faktorenpaare vollständig ausschließen
So lange prüfen, bis sich mögliche Faktorenpaare nur noch umdrehen würden.
- 5
Ergebnis begründen
Am Ende ausdrücklich angeben, ob genau die Teiler 1 und die Zahl selbst vorhanden sind.
MG 2.5 - Teiler bestimmen
Alle positiven Teiler einer natürlichen Zahl mithilfe geordneter Faktorenpaare vollständig bestimmen.
Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben.
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
Merke: Für Primzahlen und Primfaktorzerlegungen betrachten wir natürliche Zahlen größer als 1.
1. Was bedeutet „teilbar“?
520=4. Das Ergebnis ist eine natürliche Zahl. Es bleibt kein Rest.
20 ist durch 5 teilbar. Gleichzeitig ist 5 ein Teiler von 20, denn
20=5⋅4. Bei einer Division mit Rest gilt
20=3⋅6+2. Es bleibt der Rest 2. Deshalb ist 20 nicht durch 6 teilbar.
Merke: Eine Zahl a ist durch eine von 0 verschiedene Zahl b teilbar, wenn bei a:b kein Rest übrig bleibt.
Beispiel: Teilbarkeit direkt prüfen
Ist 42 durch 7 teilbar?
742=6. Es bleibt kein Rest. Also gilt
42 ist durch 7 teilbar. Ist 42 durch 8 teilbar?
42=5⋅8+2. Der Rest ist 2. Daher gilt
42 ist nicht durch 8 teilbar. 2. Was ist ein Teiler?
Ein Teiler einer natürlichen Zahl teilt diese Zahl ohne Rest.
Nehmen wir die Zahl 12. Wir suchen alle Möglichkeiten, 12 als Produkt zweier natürlicher Zahlen zu schreiben:
12=1⋅12, 12=2⋅6, 12=3⋅4. Damit haben wir alle Faktorenpaare gefunden. Die positiven Teiler von 12 sind daher
1,2,3,4,6,12. Als Teilermenge können wir schreiben:
T(12)={1,2,3,4,6,12}. Warum treten Teiler oft paarweise auf?
24=3⋅8, ist sowohl 3 als auch 8 ein Teiler von 24.
Deshalb ist es praktisch, Teiler als Faktorenpaare zu suchen.
3. Alle Teiler systematisch bestimmen
Bestimmen wir alle Teiler von 36.
Wir beginnen mit 1 und suchen der Reihe nach Faktorenpaare:
36=1⋅36, 36=2⋅18, 36=3⋅12, 36=4⋅9, 36=6⋅6. Danach würden sich die Paare nur noch umdrehen. Zum Beispiel ist 9⋅4 dasselbe Faktorenpaar wie 4⋅9.
Also lautet die Teilermenge:
T(36)={1,2,3,4,6,9,12,18,36}.
Tipp: Schreibe zuerst die Faktorenpaare auf. So übersiehst du viel seltener einen Teiler.
Beispiel: Teiler von 30
30=1⋅30, 30=2⋅15, 30=3⋅10, 30=5⋅6. T(30)={1,2,3,5,6,10,15,30}.
4. Teilbarkeit schneller prüfen: Teilbarkeitsregeln
Bei kleinen Zahlen kannst du eine Division durchführen. Bei großen Zahlen helfen Teilbarkeitsregeln.
Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine der Ziffern
0,2,4,6,8 endet auf 6. Also ist 3476 durch 2 teilbar.
Für die Teilbarkeit durch 3 verwenden wir die Ziffernsumme.
Die Ziffernsumme erhältst du, indem du alle Ziffern addierst.
471⇒4+7+1=12. Da 12 durch 3 teilbar ist, ist auch 471 durch 3 teilbar.
Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die Zahl aus ihren letzten zwei Ziffern durch 4 teilbar ist.
1316⇒16. Da 16 durch 4 teilbar ist, ist auch 1316 durch 4 teilbar.
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0 oder 5 ist.
735und1240 sind beide durch 5 teilbar.
Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie gleichzeitig durch 2 und durch 3 teilbar ist.
ist gerade und daher durch 2 teilbar. Außerdem gilt
also ist 234 auch durch 3 teilbar. Damit ist 234 durch 6 teilbar.
Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die Zahl aus ihren letzten drei Ziffern durch 8 teilbar ist.
4120⇒120. 120=15⋅8, ist 4120 durch 8 teilbar.
Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 9 teilbar ist.
729⇒7+2+9=18. Da 18 durch 9 teilbar ist, ist auch 729 durch 9 teilbar.
Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0 ist.
ist durch 10 teilbar.
Übersicht
5. Was ist eine Primzahl?
Betrachten wir zuerst die Zahl 6:
T(6)={1,2,3,6}. Sie besitzt vier positive Teiler.
Die Zahl 7 besitzt dagegen nur
T(7)={1,7}. Sie hat genau zwei positive Teiler. Deshalb ist 7 eine Primzahl.
Merke: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die genau zwei positive Teiler besitzt: 1 und die Zahl selbst.
Die ersten Primzahlen sind
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,… Die Zahl 1 besitzt nur einen positiven Teiler, nämlich 1.
Eine Primzahl muss aber genau zwei verschiedene positive Teiler besitzen.
1 ist keine Primzahl. 2 besitzt genau die beiden Teiler 1 und 2. Daher ist 2 eine Primzahl.
Gleichzeitig ist 2 gerade. Jede größere gerade Zahl ist ebenfalls durch 2 teilbar und besitzt dadurch mehr als zwei Teiler.
2 die einzige gerade Primzahl. 6. Primzahlen sicher erkennen
Um zu entscheiden, ob eine Zahl eine Primzahl ist, suchen wir nach einem Teiler außer 1 und der Zahl selbst.
Beispiel: Ist 37 eine Primzahl?
Wir prüfen mögliche kleine Teiler.
Nein, denn 37 ist ungerade.
Die Ziffernsumme 10 ist nicht durch 3 teilbar.
Nein, denn 37 ist nicht durch 4 teilbar.
Nein, denn die letzte Ziffer ist weder 0 noch 5.
Nein, denn 37 ist nicht einmal durch 2 teilbar.
7⋅7=49>37. Ab hier müssten sich Faktorenpaare nur noch umdrehen. Wenn 37 zusammengesetzt wäre, hätten wir also bereits einen kleineren Teiler finden müssen.
Wir haben keinen gefunden. Deshalb besitzt 37 nur die Teiler 1 und 37.
37 ist eine Primzahl. Gegenbeispiel: Ist 51 eine Primzahl?
Wir prüfen die Teilbarkeit durch 3:
Da 6 durch 3 teilbar ist, ist auch 51 durch 3 teilbar.
51=3⋅17. Damit besitzt 51 weitere Teiler und ist keine Primzahl.
51 ist keine Primzahl. Eine natürliche Zahl größer als 1, die keine Primzahl ist, nennt man zusammengesetzte Zahl.
7. Was sind Primfaktoren?
Ein ist eine Zahl, die in einer Multiplikation vorkommt.
42=6⋅7. Hier sind 6 und 7 Faktoren.
Ein Primfaktor ist ein Faktor, der zusätzlich eine Primzahl ist.
Die Zahl 7 ist bereits prim. Die Zahl 6 können wir noch zerlegen:
42=2⋅3⋅7. Nun sind alle Faktoren Primzahlen. Die Primfaktoren von 42 sind also 2, 3 und 7.
8. Primfaktorzerlegung mit einem Faktorbaum
Bei einer Primfaktorzerlegung zerlegen wir eine Zahl so lange, bis nur noch Primzahlen als Faktoren übrig bleiben.
Das folgende Beispiel zeigt die Zahl 84:
Aus dem Faktorbaum lesen wir ab:
84=2⋅2⋅3⋅7. Gleiche Faktoren können wir als Potenz schreiben:
222⋅2=22. Daher lautet die Primfaktorzerlegung
84=22⋅3⋅7.
Merke: Eine Zerlegung ist erst dann eine Primfaktorzerlegung, wenn jeder Faktor eine Primzahl ist.
9. Primfaktorzerlegung durch wiederholtes Dividieren
Eine zweite Methode ist das wiederholte Dividieren durch Primzahlen.
Wir zerlegen wieder 84. Beginne mit der kleinsten Primzahl, durch die die aktuelle Zahl teilbar ist:
84422171/2/2/3/7 Die verwendeten Primzahlen sind
84=2⋅2⋅3⋅7=22⋅3⋅7. Beispiel: 180 zerlegen
18090451551/2/2/3/3/5 2,2,3,3,5 180=2⋅2⋅3⋅3⋅5. Gleiche Primfaktoren fassen wir zusammen:
222⋅2⋅323⋅35. Damit lautet die Primfaktorzerlegung
180=22⋅32⋅5. 10. Woran erkenne ich, dass die Zerlegung fertig ist?
72=8⋅9. Diese Zerlegung ist richtig, aber noch keine Primfaktorzerlegung, denn 8 und 9 sind keine Primzahlen.
8=2⋅2⋅2 72=2⋅2⋅2⋅3⋅3. Jetzt sind alle Faktoren Primzahlen. Also
72=23⋅32. 11. Die Primfaktorzerlegung kontrollieren
Eine Primfaktorzerlegung lässt sich einfach prüfen: Multipliziere alle Primfaktoren wieder miteinander.
84=22⋅3⋅7 22⋅3⋅7=4⋅3⋅7=12⋅7=84. Wir erhalten die ursprüngliche Zahl. Die Zerlegung stimmt.
12. Typische Fehler
Fehler 1: 1 als Primzahl ansehen
1 ist eine Primzahl. 1 ist keine Primzahl, denn 1 hat nur einen positiven Teiler. Fehler 2: Eine Zerlegung zu früh beenden
ist noch keine Primfaktorzerlegung, weil 6 und 8 keine Primzahlen sind.
6=2⋅3,8=2⋅2⋅2. 48=24⋅3. Fehler 3: Einen Teiler übersehen
aufzuschreiben, ist unvollständig.
Mit Faktorenpaaren sieht man alle Teiler:
24=1⋅24=2⋅12=3⋅8=4⋅6. T(24)={1,2,3,4,6,8,12,24}. Fehler 4: Teilbarkeit und „kleiner als“ verwechseln
Dass 7<35 gilt, macht 7 noch nicht wegen seiner Größe zu einem Teiler. Entscheidend ist
35=5⋅7. Dagegen gilt zwar auch 8<35, aber 35 lässt sich nicht ohne Rest durch 8 teilen.
Merke: Für Teilbarkeit zählt nur, ob bei der Division ein Rest bleibt.
13. Arbeitspläne
Eine Primzahl erkennen
- Prüfe, ob die Zahl größer als 1 ist.
- Prüfe zuerst kleine mögliche Teiler wie 2, 3, 5, 7, …
- Nutze Teilbarkeitsregeln, wenn sie passen.
- Sobald du einen weiteren Teiler findest, ist die Zahl keine Primzahl.
- Findest du keinen weiteren Teiler, ist die Zahl eine Primzahl.
Alle Teiler bestimmen
- Beginne mit dem Faktorenpaar 1⋅n.
- Prüfe der Reihe nach 2,3,4,….
- Schreibe jedes gefundene Faktorenpaar auf.
- Stoppe, wenn sich die Faktorenpaare nur noch wiederholen würden.
- Sortiere alle gefundenen Teiler der Größe nach.
Teilbarkeit prüfen
- Notiere, durch welche Zahl geteilt werden soll.
- Prüfe, ob eine passende Teilbarkeitsregel vorhanden ist.
- Wende die Regel sorgfältig an.
- Wenn nötig, führe eine Division mit Rest durch.
- Kein Rest bedeutet „teilbar“, ein Rest bedeutet „nicht teilbar“.
Eine Primfaktorzerlegung bestimmen
- Beginne mit der kleinsten passenden Primzahl.
- Teile die Zahl durch diese Primzahl.
- Prüfe das neue Ergebnis wieder auf Teilbarkeit durch kleine Primzahlen.
- Wiederhole, bis 1 erreicht ist.
- Schreibe alle verwendeten Primzahlen als Produkt auf.
- Fasse gleiche Primfaktoren als Potenzen zusammen und kontrolliere durch Rückmultiplikation.
14. Das Wichtigste auf einen Blick
Ein Teiler teilt eine Zahl ohne Rest.
24=6⋅4⇒6 ist ein Teiler von 24. Eine Primzahl ist größer als 1 und besitzt genau zwei positive Teiler:
1und die Zahl selbst. Die Zahl 1 ist keine Primzahl. Die Zahl 2 ist die einzige gerade Primzahl.
Teilbarkeitsregeln helfen dir, Teilbarkeit schnell zu prüfen.
Bei einer Primfaktorzerlegung werden nur Primzahlen miteinander multipliziert:
90=2⋅32⋅5. Die sicherste Kontrolle ist die Rückmultiplikation.
- 1
Mit 1 beginnen
Das erste Faktorenpaar ist immer 1 mal die untersuchte positive natürliche Zahl.
- 2
Teiler der Reihe nach prüfen
2, 3, 4 und weitere Zahlen geordnet darauf prüfen, ob die Division ohne Rest möglich ist.
- 3
Faktorenpaare notieren
Zu jedem gefundenen Teiler den zugehörigen zweiten aufschreiben, damit beide Teiler erfasst werden.
- 4
Beim Wiederholen stoppen
Aufhören, sobald die Faktorenpaare nur noch in umgekehrter Reihenfolge auftreten würden.
- 5
Teilermenge sortieren
Alle gefundenen positiven Teiler einmalig und der Größe nach geordnet als Teilermenge angeben.
MG 2.5 - Teilbarkeit prüfen
Teilbarkeit durch Division mit Rest und geeignete Teilbarkeitsregeln für kleine Teiler sicher prüfen und begründen.
- 1
Teiler festlegen
Klar notieren, durch welche von 0 verschiedene Zahl die gegebene Zahl geteilt werden soll.
- 2
Passende Regel auswählen
Prüfen, ob für den gewünschten Teiler eine bekannte Teilbarkeitsregel genutzt werden kann.
- 3
Regel sichtbar anwenden
Zum Beispiel letzte Ziffer, letzte zwei oder drei Ziffern oder die Ziffernsumme ausdrücklich berechnen.
- 4
Ergebnis der Regel deuten
Aus der Regel eindeutig folgern, ob die Zahl durch den gewünschten Teiler teilbar ist.
- 5
Bei Bedarf Division mit Rest verwenden
Wenn keine schnelle Regel hilft, die Division durchführen und den möglichen Rest bestimmen.
- 6
Teilbarkeit begründen
Kein Rest bedeutet teilbar; ein Rest größer als 0 bedeutet nicht teilbar.
MG 2.5 - Primfaktorzerlegung bestimmen
Eine natürliche Zahl schrittweise in Primfaktoren zerlegen, gleiche als Potenzen zusammenfassen und das Ergebnis kontrollieren.
- 1
Mit der kleinsten passenden Primzahl beginnen
Zuerst 2, dann 3, dann 5 und weitere Primzahlen auf Teilbarkeit prüfen.
- 2
Durch die Primzahl teilen
Die aktuelle Zahl durch die gefundene Primzahl teilen; bei der Darstellung steht die Divisionsoperation in derselben Zeile wie die Ausgangszahl.
- 3
Mit dem Ergebnis weiterarbeiten
Das Divisionsergebnis erneut auf Teilbarkeit durch kleine Primzahlen prüfen.
- 4
Bis 1 wiederholen
So lange durch Primzahlen teilen, bis als letztes Ergebnis 1 erreicht ist.
- 5
Primfaktoren zusammenfassen
Alle verwendeten Primzahlen als Produkt notieren und gleiche Primfaktoren als Potenzen schreiben.
- 6
Durch Rückmultiplikation prüfen
Die Primfaktoren wieder miteinander multiplizieren. Das Ergebnis muss die ursprüngliche Zahl sein.
MG 2.5 – Teiler einer natürlichen Zahl bestimmen
Die positiven Teiler einer natürlichen Zahl systematisch bestimmen.
- 1
Mit 1 beginnen
Die Zahl 1 ist ein positiver Teiler jeder natürlichen Zahl.
- 2
Teiler paarweise suchen
Prüfe nacheinander kleine natürliche Zahlen d und berechne, ob die Division ohne Rest aufgeht.
- 3
Passenden Partner notieren
Ist d ein Teiler von n, gehört auch n/d zur Teilerliste.
- 4
Bis zur Quadratwurzel prüfen
Es genügt, mögliche kleine Teiler bis ungefähr √n systematisch zu testen.
- 5
Teiler ordnen
Schreibe alle gefundenen positiven Teiler der Größe nach auf.
- 6
Vollständigkeit prüfen
Kontrolliere, dass zu jedem gefundenen kleinen Teiler der passende Teilerpartner enthalten ist.
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