Verändere die vier Einträge. Das graue Einheitsquadrat wird durch die Matrix in das blaue Parallelogramm überführt.
A = ((1, 0,5), (0, 1))
Determinante1
Flächenfaktor1
Orientierungerhalten
Die Matrix ist umkehrbar. Ein Flächenstück wird mit dem Faktor 1 skaliert.
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Matrizenrechnung
Kompetenzcode: AG 5.1
Bereich: Algebra und Geometrie
Eine Matrix ist mehr als ein rechteckiger Zahlenblock: Sie speichert Daten so, dass Zeilen, Spalten und Eintraege eine feste Bedeutung haben. Erst diese Bedeutung entscheidet, welche Rechnung sinnvoll ist und wie ein Ergebnis interpretiert werden muss.
Die wichtigste Gewohnheit bei Matrizen lautet: Vor dem Rechnen Dimensionen und Bedeutung notieren.
Diese Seite baut das Thema in fuenf Denkstufen auf:
Matrix lesen und Daten strukturieren,
elementweise rechnen,
Matrixprodukte als Zeile-mal-Spalte verstehen,
Determinante und Inverse deuten,
Anwendungen und Gozintographen modellieren.
1. Eine Matrix lesen
Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten hat die Dimension
So gehst du vor
Schrittlisten
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
AG 5.1 - Matrizen lesen und Daten strukturieren
Dimension, Zeilen, Spalten und Eintraege sicher bestimmen und fachbezogene Daten mit eindeutiger Zeilen- und Spaltenbedeutung anordnen.
1
Matrix als Datenanordnung erkennen
Die rechteckige Zahlenanordnung als Matrix identifizieren und ihre Bezeichnung uebernehmen.
2
Zeilen zaehlen
Die waagrechten Zahlenreihen bestimmen; ihre Anzahl ist die erste Dimensionszahl.
3
Spalten zaehlen
Die senkrechten Zahlenreihen bestimmen; ihre Anzahl ist die zweite Dimensionszahl.
4
Eintrag a_ij ablesen
Zuerst Zeile i und danach Spalte j aufsuchen und den dort stehenden Wert uebernehmen.
5
Datenbedeutung festlegen
Explizit notieren, welche Objekte die Zeilen und welche Merkmale oder Objekte die Spalten darstellen.
6
Eintrag im Kontext deuten
Einen Matrixeintrag mit Zeilenobjekt, Spaltenobjekt, Wert und gegebenenfalls Einheit als Satz formulieren.
Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben.
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
Der Eintrag aij steht in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte. Der erste Index nennt immer die Zeile, der zweite die Spalte.
Beispiel 1: Dimension und Eintraege ablesen
Gegeben ist
A=(40−1572).
Schritt 1: Zeilen zaehlen. Es gibt 2 Zeilen.
Schritt 2: Spalten zaehlen. Es gibt 3 Spalten.
Damit ist A eine 2×3-Matrix.
Schritt 3: Eintraege lesen.
a12=−1,a23=2,a21=0.
Bei a23 geht man zuerst in Zeile 2, dann in Spalte 3.
Zeilen- und Spaltenvektoren
Eine 1×n-Matrix ist ein Zeilenvektor, eine m×1-Matrix ein Spaltenvektor:
z=(251),s=251
Die Zahlen sind gleich, aber die Dimensionen sind verschieden. Das ist bei der Multiplikation entscheidend.
2. Daten sinnvoll in einer Matrix strukturieren
Vor jeder Datenmatrix werden Zeilen- und Spaltenbedeutung festgelegt. Die Beschriftungen gehoeren gedanklich zur Matrix, auch wenn in der Rechnung nur die Zahlenmatrix steht.
Beispiel 2: Verkaufsdaten ordnen
Ein Betrieb verkauft die Produkte P1,P2,P3 in den Filialen Nord und Sued:
Filiale
P1
P2
P3
Nord
12
8
15
Sued
9
11
6
Wir waehlen:
Zeilen = Filialen,
Spalten = Produkte.
Dann lautet die Datenmatrix
V=(129811156).
Die Dimension 2×3 bedeutet in diesem Kontext: 2 Filialen und 3 Produkte. Der Eintrag v23=6 bedeutet: Die Filiale Sued verkauft 6 Einheiten von P3.
Eine Matrix ohne Zeilen- und Spaltenbedeutung ist im Sachkontext unvollstaendig.
3. Addition, Subtraktion und Skalarmultiplikation
3.1 Matrizen addieren und subtrahieren
Zwei Matrizen duerfen nur addiert oder subtrahiert werden, wenn sie dieselbe Dimension haben. Dann wird eintragsweise gerechnet:
A±B=(aij±bij).
Beispiel 3: Zwei Monatswerte addieren
A=(129811156),B=(108712139).
Beide Matrizen haben die Dimension 2×3. Daher:
A+B=(12+109+88+711+1215+136+=(221715232815).
Jeder Ergebniseintrag bezieht sich weiterhin auf dieselbe Filiale und dasselbe Produkt.
Beispiel 4: Veraenderung mit einer Differenzmatrix
Die Differenz B−A beschreibt die Veraenderung vom ersten zum zweiten Monat:
B−A=(−2−1−11−23).
Der Eintrag 3 an Position (2,3) bedeutet: In der Filiale Sued wurden im zweiten Monat 3 Einheiten von P3 mehr verkauft.
Eine 2×3-Matrix und eine 3×2-Matrix duerfen nicht addiert werden. Gleiche Anzahl an Eintraegen reicht nicht; ihre Positionen muessen dieselbe Bedeutung haben.
3.2 Eine Matrix mit einer Zahl multiplizieren
Bei der Multiplikation mit einem Skalar k∈R wird jeder Eintrag mit k multipliziert:
kA=(kaij).
Beispiel 5: Prognose um 10 Prozent erhoehen
Eine Prognosematrix lautet
P=(40203050).
Eine Erhoehung um 10% entspricht dem 1,1:
1,1P=(44223355).
Die Dimension bleibt 2×2.
4. Matrixmultiplikation: Warum Zeile mal Spalte?
Die Multiplikation zweier Matrizen ist nicht elementweise. Sie verknuepft Informationen: Jede Zeile der ersten Matrix wird mit jeder Spalte der zweiten Matrix kombiniert.
Sind
A eine m×p-MatrixundB eine p×n-Matrix,
dann ist das Produkt definiert und besitzt die Dimension
Am×pBp×n=Cm×n.
Die inneren Dimensionenp muessen gleich sein; die aeusseren Dimensionenm und n werden zur Dimension des Ergebnisses.
Fuer den Eintrag in Zeile i, Spalte j gilt:
cij=ai1b1j+ai2b2j+⋯+aipbpj=k=1∑paikbkj.
Beispiel 6: Multiplizierbarkeit und Ergebnisdimension pruefen
Gegeben sind die Dimensionen
A:2×3,B:3×4.
Die inneren Zahlen 3 und 3 stimmen ueberein. Also ist AB definiert und hat die Dimension
AB:2×4.
Fuer BA waeren die Dimensionen
(3×4)(2×3).
Die inneren Zahlen 4 und 2 stimmen nicht ueberein. Daher ist BA nicht definiert.
Beispiel 7: Ein vollstaendiges Matrixprodukt
A=(14203−1),B=20−2153
Es gilt A:2×3 und B:3×2. Somit ist AB:2×2.
Erste Zeile von A mal erste Spalte von B:
c11=1⋅2+2⋅0+3⋅(−2)=−4.
Erste Zeile mal zweite Spalte:
c12=1⋅1+2⋅5+3⋅3=20.
Zweite Zeile mal erste Spalte:
c21=4⋅2+0⋅0+(−1)⋅(−2)=10.
Zweite Zeile mal zweite Spalte:
c22=4⋅1+0⋅5+(−1)⋅3=1.
Damit:
AB=(−410201).
Beispiel 8: Reihenfolge beachten
Mit
A=(1011),B=(1101)
erhaelt man
AB=(2111),BA=(1112).
Also gilt im Allgemeinen
AB=BA.
Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ. Die Reihenfolge beschreibt oft auch die Reihenfolge von zwei Prozessen.
5. Einheitsmatrix: die Eins der Matrixmultiplikation
Die Einheitsmatrix En ist quadratisch. Auf der Hauptdiagonale stehen Einsen, sonst Nullen:
E2=(1001),E3=100010
Fuer jede passende Matrix A gilt
EmA=AundAEn=A.
Die Groesse der Einheitsmatrix muss zur jeweiligen Seite des Produkts passen.
Beispiel 9: Neutrales Element kontrollieren
A=(35−24).
Dann:
AE2=(35−24)(100(35−24)=A.
6. Determinante und Inverse
Determinante und Inverse sind nur fuer quadratische Matrizen definiert.
6.1 Determinante einer 2×2-Matrix
Fuer
A=(acbd)
gilt
det(A)=ad−bc.
Man multipliziert die Hauptdiagonale a⋅d und zieht das Produkt der Gegendiagonale b⋅c ab.
Beispiel 10: Nicht verschwindende Determinante
A=(3214).
det(A)=3⋅4−1⋅2=12−2=10.
Weil det(A)=0, ist Aregulaer und besitzt eine Inverse.
Beispiel 11: Verschwindende Determinante deuten
B=(2142).
det(B)=2⋅2−4⋅1=0.
Die erste Zeile ist das Doppelte der zweiten. Eine Zeile liefert daher keine neue, unabhaengige Information. Die Matrix ist singulaer und besitzt keine Inverse.
det(A)=0 bedeutet nicht, dass alle Matrixeintraege null sind. Es bedeutet, dass die durch A beschriebene Zuordnung nicht eindeutig rueckgaengig gemacht werden kann.
Bei groesseren quadratischen Matrizen wird die Determinante laut Aufgabenstellung mit einem geeigneten elektronischen Hilfsmittel bestimmt. Vor der Eingabe werden Dimension und Eintraege geprueft; danach wird das Ergebnis inhaltlich eingeordnet.
6.2 Inverse Matrix technologiegestuetzt bestimmen
Die Inverse A−1 erfuellt
AA−1=A−1A=E.
Sie existiert genau dann, wenn A quadratisch und det(A)=0 ist.
Beispiel 12: Inverse eingeben und kontrollieren
Fuer
A=(2111)
liefert ein geeignetes Hilfsmittel
A−1=(1−1−12).
Die Kontrolle erfolgt durch Rueckmultiplikation:
AA−1=(2111)(
Die genaue Tasteneingabe haengt vom verwendeten Hilfsmittel ab. Der mathematische Ablauf bleibt gleich:
Matrix mit richtiger Dimension anlegen,
Eintraege zeilenweise kontrollieren,
Determinante auf Null pruefen,
Inverse berechnen,
durch AA−1=E kontrollieren.
7. Matrixrechnungen im Sachkontext
Im Kontext reicht ein Zahlenblock als Ergebnis nicht aus. Jede Ergebnisdimension und jeder Eintrag muessen gedeutet werden.
Beispiel 13: Umsaetze mit einem Matrixprodukt berechnen
Die Verkaufsmatrix
V=(129811156)
hat Zeilen = Filialen und Spalten = Produkte. Der Preisvektor
p=574
enthaelt die Preise der drei Produkte in Euro.
Die Dimensionen zeigen bereits die Bedeutung:
(2×3)(3×1)=2×1.
Das Ergebnis enthaelt also einen Umsatzwert je Filiale:
Vp=(12⋅5+8⋅7+15⋅49⋅5+11⋅7+6⋅4)=(176146).
Interpretation: Nord erzielt 176Euro, Sued 146Euro. Die Reihenfolge folgt der Zeilenreihenfolge von V.
Beispiel 14: Materialbedarf fuer mehrere Produkte
Die Bedarfsmatrix
M=231142
hat Zeilen = Materialien R1,R2,R3 und Spalten = Produkte P1,P2. Der Produktionsvektor
q=(105)
gibt die geplanten Stueckzahlen an. Dann:
Mq=2⋅10+1⋅53⋅10+4⋅51⋅10+2⋅5=255020
Es werden insgesamt 25 Einheiten von R1, 50 von R2 und 20 von R3 benoetigt.
8. Gozintographen und Matrizen
Ein Gozintograph ist ein gerichteter, gewichteter Graph fuer Produktionsbeziehungen. Ein Pfeil
X,k,Y
bedeutet: Fuer eine Einheit von Y werden k Einheiten von X benoetigt. Das englische „goes into“ hilft beim Lesen: X geht in Y ein.
Damit Graph und Matrix eindeutig zusammenpassen, verwenden wir folgende Konvention:
aij=Menge von Teil i, die fuer eine Einheit von Produkt j benoetigt wird.
Also gilt:
Zeile i = eingehendes Teil oder Ausgangsstoff,
Spalte j = aufnehmendes Zwischen- oder Endprodukt,
Pfeil i→j mit Gewicht aij.
Beispiel 15: Gozintograph lesen
Ein Rahmen R benoetigt 4 Holzleisten H und 8 Schrauben S. Ein Tisch T benoetigt 1 Rahmen R und 1 Platte P.
Die Kanten lauten:
H4R,S8R,R1T,P1T.
Mit der Reihenfolge (H,S,R,P,T) besitzt die Verflechtungsmatrix die von Null verschiedenen Eintraege
aH,R=4,aS,R=8,aR,T=1,aP,T=1.
Alle nicht vorhandenen direkten Beziehungen erhalten den Wert 0.
Beispiel 16: Direkten und indirekten Bedarf unterscheiden
Der Graph zeigt direkt: Ein Tisch benoetigt einen Rahmen. Der Rahmen benoetigt wiederum vier Holzleisten und acht Schrauben. Daher benoetigt ein Tisch indirekt ebenfalls vier Holzleisten und acht Schrauben.
Fuer 6 Tische folgt:
6⋅4=24 Holzleisten,6⋅8=48 Schrauben.
Direkter und indirekter Bedarf duerfen nicht verwechselt werden. Ein einzelner Matrixeintrag beschreibt bei der festgelegten Konvention zunaechst nur eine direkte Kante.
Einen Gozintographen aus einem Text erstellen
Alle Rohstoffe, Teile, Zwischen- und Endprodukte als Knoten notieren.
Fuer jede Aussage „k Einheiten X fuer eine Einheit Y“ einen Pfeil X→Y zeichnen.
Den Wert k an die Kante schreiben.
Pfeilrichtung mit „X geht in Y ein“ kontrollieren.
Fuer die Matrix eine feste Knotenreihenfolge festlegen.
Jeden Pfeil in den Eintrag Zeile = Ausgangsteil, Spalte = Zielprodukt uebertragen.
9. Technologie sinnvoll einsetzen
Elektronische Hilfsmittel sind besonders nuetzlich fuer groessere Produkte, Determinanten und inverse Matrizen. Sie ersetzen aber nicht die Strukturpruefung.
Vor jeder Eingabe:
Dimensionen notieren,
Zeilen- und Spaltenbedeutung klaeren,
Multiplizierbarkeit pruefen,
erwartete Ergebnisdimension festlegen.
Nach jeder Ausgabe:
Dimension kontrollieren,
mindestens einen Eintrag von Hand pruefen,
bei einer Inversen AA−1=E testen,
Ergebnis mit Einheit und Bedeutung interpretieren.
10. Haeufige Fehler
Dimension vertauschen: Immer zuerst Zeilen, dann Spalten: m×n.
Indizes vertauschen:aij bedeutet Zeile i, Spalte j.
Matrixprodukt elementweise rechnen: Jeder Ergebniseintrag entsteht aus einer ganzen Zeile und einer ganzen Spalte.
Nur die Anzahl der Eintraege vergleichen: Fuer AB muessen die inneren Dimensionen uebereinstimmen.
Reihenfolge wechseln: Im Allgemeinen ist AB=BA; manchmal ist eines der Produkte sogar undefiniert.
Falsche Ergebnisdimension: Bei (m×p)(p×n) bleibt m×n.
Einheitsmatrix falsch waehlen: Ihre Groesse muss zur entsprechenden Produktseite passen.
det(A)=0 als Nullmatrix missverstehen: Die Matrix kann viele von Null verschiedene Eintraege besitzen und trotzdem singulaer sein.
Technologieausgabe ungeprueft uebernehmen: Ein Eingabefehler kann eine plausibel aussehende, aber falsche Matrix erzeugen.
Kontext verlieren: Ergebniszeilen und -spalten muessen auf die urspruenglichen Beschriftungen zurueckgefuehrt werden.
Pfeil im Gozintographen umdrehen: Der Pfeil zeigt vom benoetigten Teil zum Produkt, in das es eingeht.
11. Arbeitsrezepte
Matrizen addieren oder subtrahieren
Dimensionen beider Matrizen bestimmen.
Nur bei gleicher Dimension fortfahren.
Eintraege mit gleicher Position zusammenfassen.
Vorzeichen sorgfaeltig auswerten.
Ergebnisdimension beibehalten.
Im Kontext einen ausgewaehlten Eintrag deuten.
Matrizen multiplizieren
Dimensionen in der gegebenen Reihenfolge notieren.
Innere Dimensionen vergleichen.
Ergebnisdimension aus den aeusseren Dimensionen festlegen.
Zeile der ersten Matrix und Spalte der zweiten Matrix markieren.
Produkte bilden, addieren und an Position (i,j) eintragen.
Dimension und mindestens einen Eintrag kontrollieren.
Determinante und Inverse
Pruefen, ob die Matrix quadratisch ist.
Bei 2×2: det(A)=ad−bc berechnen.
Bei groesseren Matrizen ein geeignetes Hilfsmittel verwenden.
det(A)=0 oder det(A)=0 deuten.
Nur im regulaeren Fall A−1 bestimmen.
Mit AA−1=E kontrollieren.
Merksaetze
Dimension bedeutet Zeilen mal Spalten.
aij steht in Zeile i, Spalte j.
Addition und Subtraktion sind elementweise und verlangen gleiche Dimensionen.
Beim Produkt muessen die inneren Dimensionen passen; die aeusseren bleiben.
Ein Produkteintrag entsteht durch Zeile mal Spalte.
Im Allgemeinen gilt AB=BA.
Die Einheitsmatrix ist das neutrale Element der Matrixmultiplikation.
det(A)=0 bedeutet: A ist singulaer und nicht invertierbar.
Eine Technologieausgabe wird immer strukturell und inhaltlich kontrolliert.
Beim Gozintographen zeigt der Pfeil vom benoetigten Teil zum aufnehmenden Produkt.
AG 5.1 - Elementweise Matrixoperationen ausfuehren
Gleich dimensionierte Matrizen addieren und subtrahieren sowie eine Matrix mit einem Skalar multiplizieren und Ergebnisse deuten.
1
Operation erkennen
Zwischen Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einem Skalar unterscheiden.
2
Dimensionen pruefen
Bei Addition und Subtraktion bestaetigen, dass beide Matrizen exakt dieselbe Dimension besitzen.
3
Gleiche Positionen zuordnen
Nur Eintraege mit denselben Zeilen- und Spaltenindizes miteinander verknuepfen.
4
Eintraege berechnen
Alle Summen oder Differenzen auswerten beziehungsweise jeden Eintrag mit dem Skalar multiplizieren.
5
Ergebnismatrix anordnen
Die berechneten Werte an ihren urspruenglichen Positionen in einer Matrix gleicher Dimension notieren.
6
Vorzeichen und Kontext pruefen
Negative Differenzen, Skalierungsfaktor und Bedeutung eines ausgewaehlten Ergebniseintrags kontrollieren.
AG 5.1 - Matrizen nach Zeile-mal-Spalte multiplizieren
Multiplizierbarkeit aus den Dimensionen beurteilen, Ergebnisdimension bestimmen und alle Produkteintraege nach dem Zeile-mal-Spalte-Prinzip berechnen.
1
Faktorreihenfolge beibehalten
Die Matrizen in der gegebenen Reihenfolge A mal B notieren, weil ein Vertauschen das Produkt veraendert.
2
Innere Dimensionen vergleichen
Spaltenzahl von A und Zeilenzahl von B vergleichen; nur bei Gleichheit ist AB definiert.
3
Ergebnisdimension bestimmen
Zeilenzahl von A und Spaltenzahl von B als aeussere Dimensionen der Produktmatrix uebernehmen.
4
Zeile und Spalte markieren
Fuer cij die gesamte Zeile i aus A und die gesamte Spalte j aus B auswaehlen.
5
Produkte summieren
Passende Komponenten paarweise multiplizieren, alle Teilprodukte addieren und das Ergebnis an Position i,j eintragen.
6
Produkt kontrollieren
Ergebnisdimension bestaetigen und mindestens einen Eintrag unabhaengig erneut mit Zeile-mal-Spalte berechnen.
AG 5.1 - Einheitsmatrix, Determinante und Inverse verwenden
Einheitsmatrizen erkennen, Determinanten bestimmen, Singularitaet deuten und inverse Matrizen technologiegestuetzt berechnen und kontrollieren.
1
Quadratform pruefen
Feststellen, ob gleich viele Zeilen wie Spalten vorliegen; nur dann sind Determinante und Inverse definiert.
2
Einheitsmatrix zuordnen
Die passende quadratische Matrix mit Einsen auf der Hauptdiagonale und Nullen sonst erkennen.
3
Determinante bestimmen
Bei zwei mal zwei ad minus bc berechnen, bei groesseren Matrizen die Eintraege kontrolliert in ein Hilfsmittel eingeben.
4
Regularitaet deuten
Determinante null als singulaer und nicht invertierbar, eine von null verschiedene Determinante als regulaer deuten.
5
Inverse bestimmen
Nur bei einer regulaeren quadratischen Matrix die Inverse mit einem geeigneten technologischen Hilfsmittel berechnen.
6
Inverse kontrollieren
Ausgangsmatrix und Inverse multiplizieren und pruefen, ob die passende Einheitsmatrix entsteht.
AG 5.1 - Matrixrechnungen im Kontext modellieren und deuten
Fachbezogene Daten als Matrizen und Vektoren anordnen, passende Operationen waehlen und Ergebnisdimension, Eintraege und Einheiten interpretieren.
1
Gesuchte Groesse benennen
Festlegen, welche fachliche Groesse berechnet werden soll und welche Einheit sie besitzt.
2
Zeilen und Spalten beschriften
Fuer jede Matrix und jeden Vektor die Reihenfolge und Bedeutung der Daten eindeutig festlegen.
3
Passende Operation waehlen
Aus dem Zusammenhang begruenden, ob Werte zusammengefasst, skaliert oder durch ein Matrixprodukt verknuepft werden.
4
Dimensionen als Plausibilitaet nutzen
Vor der Rechnung aus den Dimensionen ableiten, wie viele und welche Ergebniswerte entstehen muessen.
5
Matrixrechnung ausfuehren
Die gewaehlte Operation exakt berechnen und Einheiten erst nach der Zahlenrechnung passend zuordnen.
6
Ergebnis vollstaendig interpretieren
Jeden relevanten Ergebniswert mit Objekt, Bedeutung, Einheit und gegebenenfalls Reihenfolge in Saetzen deuten.
AG 5.1 - Gozintographen erstellen und mit Matrizen verknuepfen
Produktionsbeziehungen als gerichtete gewichtete Graphen lesen und erstellen sowie Pfeile und Kantengewichte eindeutig in eine Verflechtungsmatrix uebertragen.
1
Knoten identifizieren
Alle Rohstoffe, Teile, Zwischenprodukte und Endprodukte des Produktionsprozesses sammeln.
2
Pfeilrichtung festlegen
Einen Pfeil vom benoetigten Teil zu dem Produkt zeichnen, in das dieses Teil eingeht.
3
Kantengewicht eintragen
Angeben, wie viele Einheiten des Ausgangsteils fuer genau eine Einheit des Zielprodukts benoetigt werden.
4
Knotenreihenfolge fixieren
Vor der Matrixdarstellung eine eindeutige und fuer Zeilen und Spalten identische Reihenfolge notieren.
5
Graph in Matrix uebertragen
Jeden Pfeil i nach j mit seinem Gewicht in Zeile i und Spalte j eintragen; fehlende direkte Kanten werden null.
6
Direkten und indirekten Bedarf pruefen
Einzelne Matrixeintraege als direkten Bedarf lesen und mehrstufige Wege fuer indirekten Gesamtbedarf getrennt verfolgen.
