Matrizenrechnung

Kompetenzcode: AG 5.1

Bereich: Algebra und Geometrie

Eine Matrix ist mehr als ein rechteckiger Zahlenblock: Sie speichert Daten so, dass Zeilen, Spalten und Eintraege eine feste Bedeutung haben. Erst diese Bedeutung entscheidet, welche Rechnung sinnvoll ist und wie ein Ergebnis interpretiert werden muss.

Die wichtigste Gewohnheit bei Matrizen lautet: Vor dem Rechnen Dimensionen und Bedeutung notieren.

Diese Seite baut das Thema in fuenf Denkstufen auf:

1. Matrix lesen und Daten strukturieren,
2. elementweise rechnen,
3. Matrixprodukte als Zeile-mal-Spalte verstehen,
4. Determinante und Inverse deuten,
5. Anwendungen und Gozintographen modellieren.

1. Eine Matrix lesen

Eine Matrix mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten hat die Dimension

$$m\times n.$$

Allgemein schreibt man

$$A=(a_{ij})=(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \mathrm{⋮}& \mathrm{⋮}& \ddots & \mathrm{⋮}\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & \end{array}$$

Der Eintrag $a_{ij}$ steht in der $i$-ten Zeile und der $j$-ten Spalte. Der erste Index nennt immer die Zeile, der zweite die Spalte.

Beispiel 1: Dimension und Eintraege ablesen

Gegeben ist

$$A= \begin{pmatrix} 4&-1&7\\ 0&5&2 \end{pmatrix}.$$

Schritt 1: Zeilen zaehlen. Es gibt $2$ Zeilen.

Schritt 2: Spalten zaehlen. Es gibt $3$ Spalten.

Damit ist $A$ eine $2\times3$-Matrix.

Schritt 3: Eintraege lesen.

$$a_{12}=-1, \qquad a_{23}=2, \qquad a_{21}=0.$$

Bei $a_{23}$ geht man zuerst in Zeile $2$, dann in Spalte $3$.

Zeilen- und Spaltenvektoren

Eine $1\times n$-Matrix ist ein Zeilenvektor, eine $m\times1$-Matrix ein Spaltenvektor:

$$z=\begin{pmatrix}2&5&1\end{pmatrix}, \qquad s=\begin{pmatrix}2\\5\\1\end{pmatrix}.$$

Die Zahlen sind gleich, aber die Dimensionen sind verschieden. Das ist bei der Multiplikation entscheidend.

2. Daten sinnvoll in einer Matrix strukturieren

Vor jeder Datenmatrix werden Zeilen- und Spaltenbedeutung festgelegt. Die Beschriftungen gehoeren gedanklich zur Matrix, auch wenn in der Rechnung nur die Zahlenmatrix steht.

Beispiel 2: Verkaufsdaten ordnen

Ein Betrieb verkauft die Produkte $P_1,P_2,P_3$ in den Filialen Nord und Sued:

Wir waehlen:

• Zeilen = Filialen,
• Spalten = Produkte.

Dann lautet die Datenmatrix

$$V= \begin{pmatrix} 12&8&15\\ 9&11&6 \end{pmatrix}.$$

Die Dimension $2\times3$ bedeutet in diesem Kontext: 2 Filialen und 3 Produkte. Der Eintrag $v_{23}=6$ bedeutet: Die Filiale Sued verkauft $6$ Einheiten von ${}_{}$.

Eine Matrix ohne Zeilen- und Spaltenbedeutung ist im Sachkontext unvollstaendig.

3. Addition, Subtraktion und Skalarmultiplikation

3.1 Matrizen addieren und subtrahieren

Zwei Matrizen duerfen nur addiert oder subtrahiert werden, wenn sie dieselbe Dimension haben. Dann wird eintragsweise gerechnet:

$$A\pm B=(a_{ij}\pm b_{ij}).$$

Beispiel 3: Zwei Monatswerte addieren

$$A= \begin{pmatrix} 12&8&15\\ 9&11&6 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 10&7&13\\ 8&12&9 \end{pmatrix}.$$

Beide Matrizen haben die Dimension $2\times3$. Daher:

$$A+B= \begin{pmatrix} 12+10&8+7&15+13\\ 9+8&11+12&6+9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 22&15&28\\ 17&23&15 \end{pmatrix}.$$

Jeder Ergebniseintrag bezieht sich weiterhin auf dieselbe Filiale und dasselbe Produkt.

Beispiel 4: Veraenderung mit einer Differenzmatrix

Die Differenz $B-A$ beschreibt die Veraenderung vom ersten zum zweiten Monat:

$$B-A= \begin{pmatrix} -2&-1&-2\\ -1&1&3 \end{pmatrix}.$$

Der Eintrag $3$ an Position $(2,3)$ bedeutet: In der Filiale Sued wurden im zweiten Monat $3$ Einheiten von $P_3$ mehr verkauft.

Eine $2\times3$-Matrix und eine $3\times2$-Matrix duerfen nicht addiert werden. Gleiche Anzahl an Eintraegen reicht nicht; ihre Positionen muessen dieselbe Bedeutung haben.

3.2 Eine Matrix mit einer Zahl multiplizieren

Bei der Multiplikation mit einem Skalar $k\in\mathbb R$ wird jeder Eintrag mit $k$ multipliziert:

$$kA=(ka_{ij}).$$

Beispiel 5: Prognose um 10 Prozent erhoehen

Eine Prognosematrix lautet

$$P= \begin{pmatrix} 40&30\\ 20&50 \end{pmatrix}.$$

Eine Erhoehung um $10\,\%$ entspricht dem Faktor $1{,}1$:

$$1{,}1P= \begin{pmatrix} 44&33\\ 22&55 \end{pmatrix}.$$

Die Dimension bleibt $2\times2$.

4. Matrixmultiplikation: Warum Zeile mal Spalte?

Die Multiplikation zweier Matrizen ist nicht elementweise. Sie verknuepft Informationen: Jede Zeile der ersten Matrix wird mit jeder Spalte der zweiten Matrix kombiniert.

Sind

$$A\text{ eine }m\times p\text{-Matrix} \quad\text{und}\quad B\text{ eine }p\times n\text{-Matrix},$$

dann ist das Produkt definiert und besitzt die Dimension

$$\boxed{A_{m\times p}\,B_{p\times n}=C_{m\times n}}.$$

Die inneren Dimensionen $p$ muessen gleich sein; die aeusseren Dimensionen $m$ und $n$ werden zur Dimension des Ergebnisses.

Fuer den Eintrag in Zeile $i$, Spalte $j$ gilt:

$$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{ip}b_{pj} =\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}.$$

Beispiel 6: Multiplizierbarkeit und Ergebnisdimension pruefen

Gegeben sind die Dimensionen

$$A:2\times3, \qquad B:3\times4.$$

Die inneren Zahlen $3$ und $3$ stimmen ueberein. Also ist $AB$ definiert und hat die Dimension

$$AB:2\times4.$$

Fuer $BA$ waeren die Dimensionen

$$(3\times4)(2\times3).$$

Die inneren Zahlen $4$ und $2$ stimmen nicht ueberein. Daher ist $BA$ nicht definiert.

Beispiel 7: Ein vollstaendiges Matrixprodukt

$$A= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&0&-1 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 2&1\\ 0&5\\ -2&3 \end{pmatrix}.$$

Es gilt $A:2\times3$ und $B:3\times2$. Somit ist $AB:2\times2$.

Erste Zeile von $A$ mal erste Spalte von $B$:

$$c_{11}=1\cdot2+2\cdot0+3\cdot(-2)=-4.$$

Erste Zeile mal zweite Spalte:

$$c_{12}=1\cdot1+2\cdot5+3\cdot3=20.$$

Zweite Zeile mal erste Spalte:

$$c_{21}=4\cdot2+0\cdot0+(-1)\cdot(-2)=10.$$

Zweite Zeile mal zweite Spalte:

$$c_{22}=4\cdot1+0\cdot5+(-1)\cdot3=1.$$

Damit:

$$AB= \begin{pmatrix} -4&20\\ 10&1 \end{pmatrix}.$$

Beispiel 8: Reihenfolge beachten

Mit

$$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$$

erhaelt man

$$AB= \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&1 \end{pmatrix}, \qquad BA= \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&2 \end{pmatrix}.$$

Also gilt im Allgemeinen

$$\boxed{AB\neq BA}.$$

Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ. Die Reihenfolge beschreibt oft auch die Reihenfolge von zwei Prozessen.

5. Einheitsmatrix: die Eins der Matrixmultiplikation

Die Einheitsmatrix $E_n$ ist quadratisch. Auf der Hauptdiagonale stehen Einsen, sonst Nullen:

$$E_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \qquad E_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$

Fuer jede passende Matrix $A$ gilt

$$E_mA=A \qquad\text{und}\qquad AE_n=A.$$

Die Groesse der Einheitsmatrix muss zur jeweiligen Seite des Produkts passen.

Beispiel 9: Neutrales Element kontrollieren

$$A=\begin{pmatrix}3&-2\\5&4\end{pmatrix}.$$

Dann:

$$AE_2= \begin{pmatrix}3&-2\\5&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&-2\\5&4\end{pmatrix}=A.$$

6. Determinante und Inverse

Determinante und Inverse sind nur fuer quadratische Matrizen definiert.

6.1 Determinante einer $2\times2$-Matrix

Fuer

$$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$$

gilt

$$\boxed{\det(A)=ad-bc}.$$

Man multipliziert die Hauptdiagonale $a\cdot d$ und zieht das Produkt der Gegendiagonale $b\cdot c$ ab.

Beispiel 10: Nicht verschwindende Determinante

$$A=\begin{pmatrix}3&1\\2&4\end{pmatrix}.$$ $$\det(A)=3\cdot4-1\cdot2=12-2=10.$$

Weil $\det(A)\neq0$, ist $A$ regulaer und besitzt eine Inverse.

Beispiel 11: Verschwindende Determinante deuten

$$B=\begin{pmatrix}2&4\\1&2\end{pmatrix}.$$ $$\det(B)=2\cdot2-4\cdot1=0.$$

Die erste Zeile ist das Doppelte der zweiten. Eine Zeile liefert daher keine neue, unabhaengige Information. Die Matrix ist singulaer und besitzt keine Inverse.

$\det(A)=0$ bedeutet nicht, dass alle Matrixeintraege null sind. Es bedeutet, dass die durch $A$ beschriebene Zuordnung nicht eindeutig rueckgaengig gemacht werden kann.

Bei groesseren quadratischen Matrizen wird die Determinante laut Aufgabenstellung mit einem geeigneten elektronischen Hilfsmittel bestimmt. Vor der Eingabe werden Dimension und Eintraege geprueft; danach wird das Ergebnis inhaltlich eingeordnet.

6.2 Inverse Matrix technologiegestuetzt bestimmen

Die Inverse $A^{-1}$ erfuellt

$$AA^{-1}=A^{-1}A=E.$$

Sie existiert genau dann, wenn $A$ quadratisch und $\det(A)\neq0$ ist.

Beispiel 12: Inverse eingeben und kontrollieren

Fuer

$$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$$

liefert ein geeignetes Hilfsmittel

$$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}.$$

Die Kontrolle erfolgt durch Rueckmultiplikation:

$$A{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2-1& -2+2\\ 1-1& -1+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)={}_{}$$

Die genaue Tasteneingabe haengt vom verwendeten Hilfsmittel ab. Der mathematische Ablauf bleibt gleich:

1. Matrix mit richtiger Dimension anlegen,
2. Eintraege zeilenweise kontrollieren,
3. Determinante auf Null pruefen,
4. Inverse berechnen,
5. durch $AA^{-1}=E$ kontrollieren.

7. Matrixrechnungen im Sachkontext

Im Kontext reicht ein Zahlenblock als Ergebnis nicht aus. Jede Ergebnisdimension und jeder Eintrag muessen gedeutet werden.

Beispiel 13: Umsaetze mit einem Matrixprodukt berechnen

Die Verkaufsmatrix

$$V= \begin{pmatrix} 12&8&15\\ 9&11&6 \end{pmatrix}$$

hat Zeilen = Filialen und Spalten = Produkte. Der Preisvektor

$$p= \begin{pmatrix} 5\\7\\4 \end{pmatrix}$$

enthaelt die Preise der drei Produkte in Euro.

Die Dimensionen zeigen bereits die Bedeutung:

$$(2\times3)(3\times1)=2\times1.$$

Das Ergebnis enthaelt also einen Umsatzwert je Filiale:

$$Vp= \begin{pmatrix} 12\cdot5+8\cdot7+15\cdot4\\ 9\cdot5+11\cdot7+6\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 176\\146 \end{pmatrix}.$$

Interpretation: Nord erzielt $176\,\text{Euro}$, Sued $146\,\text{Euro}$. Die Reihenfolge folgt der Zeilenreihenfolge von $V$.

Beispiel 14: Materialbedarf fuer mehrere Produkte

Die Bedarfsmatrix

$$M= \begin{pmatrix} 2&1\\ 3&4\\ 1&2 \end{pmatrix}$$

hat Zeilen = Materialien $R_1,R_2,R_3$ und Spalten = Produkte $P_{}$. Der Produktionsvektor

$$q=\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}$$

gibt die geplanten Stueckzahlen an. Dann:

$$Mq= \begin{pmatrix} 2\cdot10+1\cdot5\\ 3\cdot10+4\cdot5\\ 1\cdot10+2\cdot5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\50\\20 \end{pmatrix}.$$

Es werden insgesamt $25$ Einheiten von $R_1$, $50$ von $R_2$ und von benoetigt.

8. Gozintographen und Matrizen

Ein Gozintograph ist ein gerichteter, gewichteter Graph fuer Produktionsbeziehungen. Ein Pfeil

$$X\xrightarrow{,k,}Y$$

bedeutet: Fuer eine Einheit von $Y$ werden $k$ Einheiten von $X$ benoetigt. Das englische „goes into“ hilft beim Lesen: $X$ geht in $Y$ ein.

Damit Graph und Matrix eindeutig zusammenpassen, verwenden wir folgende Konvention:

$$a_{ij}=\text{Menge von Teil }i\text{, die fuer eine Einheit von Produkt }j\text{ benoetigt wird}.$$

Also gilt:

• Zeile $i$ = eingehendes Teil oder Ausgangsstoff,
• Spalte $j$ = aufnehmendes Zwischen- oder Endprodukt,
• Pfeil $i\to j$ mit Gewicht $a_{ij}$.

Beispiel 15: Gozintograph lesen

Ein Rahmen $R$ benoetigt $4$ Holzleisten $H$ und $8$ Schrauben $S$. Ein Tisch $T$ benoetigt $$ Rahmen und Platte .

Die Kanten lauten:

$$H\xrightarrow{4}R, \qquad S\xrightarrow{8}R, \qquad R\xrightarrow{1}T, \qquad P\xrightarrow{1}T.$$

Mit der Reihenfolge $(H,S,R,P,T)$ besitzt die Verflechtungsmatrix die von Null verschiedenen Eintraege

$$a_{H,R}=4, \quad a_{S,R}=8, \quad a_{R,T}=1, \quad a_{P,T}=1.$$

Alle nicht vorhandenen direkten Beziehungen erhalten den Wert $0$.

Beispiel 16: Direkten und indirekten Bedarf unterscheiden

Der Graph zeigt direkt: Ein Tisch benoetigt einen Rahmen. Der Rahmen benoetigt wiederum vier Holzleisten und acht Schrauben. Daher benoetigt ein Tisch indirekt ebenfalls vier Holzleisten und acht Schrauben.

Fuer $6$ Tische folgt:

$$6\cdot4=24\text{ Holzleisten}, \qquad 6\cdot8=48\text{ Schrauben}.$$

Direkter und indirekter Bedarf duerfen nicht verwechselt werden. Ein einzelner Matrixeintrag beschreibt bei der festgelegten Konvention zunaechst nur eine direkte Kante.

Einen Gozintographen aus einem Text erstellen

1. Alle Rohstoffe, Teile, Zwischen- und Endprodukte als Knoten notieren.
2. Fuer jede Aussage „$k$ Einheiten $X$ fuer eine Einheit $Y$“ einen Pfeil $X\to Y$ zeichnen.
3. Den Wert $k$ an die Kante schreiben.
4. Pfeilrichtung mit „ geht in ein“ kontrollieren.

9. Technologie sinnvoll einsetzen

Elektronische Hilfsmittel sind besonders nuetzlich fuer groessere Produkte, Determinanten und inverse Matrizen. Sie ersetzen aber nicht die Strukturpruefung.

Vor jeder Eingabe:

1. Dimensionen notieren,
2. Zeilen- und Spaltenbedeutung klaeren,
3. Multiplizierbarkeit pruefen,
4. erwartete Ergebnisdimension festlegen.

Nach jeder Ausgabe:

1. Dimension kontrollieren,
2. mindestens einen Eintrag von Hand pruefen,
3. bei einer Inversen $AA^{-1}=E$ testen,
4. Ergebnis mit Einheit und Bedeutung interpretieren.

10. Haeufige Fehler

• Dimension vertauschen: Immer zuerst Zeilen, dann Spalten: $m\times n$.
• Indizes vertauschen: $a_{ij}$ bedeutet Zeile $i$, Spalte $j$.

11. Arbeitsrezepte

Matrizen addieren oder subtrahieren

1. Dimensionen beider Matrizen bestimmen.
2. Nur bei gleicher Dimension fortfahren.
3. Eintraege mit gleicher Position zusammenfassen.
4. Vorzeichen sorgfaeltig auswerten.
5. Ergebnisdimension beibehalten.
6. Im Kontext einen ausgewaehlten Eintrag deuten.

Matrizen multiplizieren

1. Dimensionen in der gegebenen Reihenfolge notieren.
2. Innere Dimensionen vergleichen.
3. Ergebnisdimension aus den aeusseren Dimensionen festlegen.
4. Zeile der ersten Matrix und Spalte der zweiten Matrix markieren.
5. Produkte bilden, addieren und an Position $(i,j)$ eintragen.
6. Dimension und mindestens einen Eintrag kontrollieren.

Determinante und Inverse

1. Pruefen, ob die Matrix quadratisch ist.
2. Bei $2\times2$: $\det(A)=ad-bc$ berechnen.
3. Bei groesseren Matrizen ein geeignetes Hilfsmittel verwenden.
4. $\det(A)=0$ oder deuten.

Merksaetze

• Dimension bedeutet Zeilen mal Spalten.
• $a_{ij}$ steht in Zeile $i$, Spalte $j$.
• Addition und Subtraktion sind elementweise und verlangen gleiche Dimensionen.
• Beim Produkt muessen die inneren Dimensionen passen; die aeusseren bleiben.
• Ein Produkteintrag entsteht durch Zeile mal Spalte.
• Im Allgemeinen gilt $AB\mathrm{\ne }B$.