Die Umkehrfunktion stellt nun die umgekehrte Frage:
Welcher ursprüngliche x-Wert führte zum Ergebnis 11?
Die Antwort ist:
4.
Eine Umkehrfunktion macht also die Zuordnung einer Funktion wieder rückgängig.
1. Idee der Umkehrfunktion
Ist eine Funktion f eindeutig umkehrbar, wird ihre Umkehrfunktion mit
f−1
bezeichnet.
Es gilt sinngemäß:
xfyf−1x.
Die Umkehrfunktion vertauscht also Eingabe und Ausgabe.
Wenn
f(4)=11,
dann gilt:
f−1(11)=4.
2. f−1 ist nicht der Kehrwert
Die Schreibweise
f−1(x)
bedeutet Umkehrfunktion.
Sie bedeutet nicht:
f(x)1.
Diese beiden Ausdrücke sind im Allgemeinen völlig verschieden.
Beispiel:
f(x)=2x.
Die Umkehrfunktion ist:
f−1(x)=2x.
Der Kehrwert wäre dagegen:
f(x)1=2x1.
Also:
f−1(x)=f(x)1
im Allgemeinen.
3. Wann besitzt eine Funktion eine Umkehrfunktion?
Damit eine Funktion eindeutig umkehrbar ist, darf ein nicht von mehreren verschiedenen Eingabewerten erzeugt werden.
Anders formuliert:
Jeder betrachtete y-Wert darf höchstens einem x-Wert zugeordnet sein.
Eine solche Funktion nennt man injektiv.
4. Beispiel einer umkehrbaren Funktion
Betrachten wir:
f(x)=2x+1.
Für verschiedene x-Werte entstehen verschiedene Funktionswerte.
Zum Beispiel:
f(1)=3,
f(2)=5,
f(3)=7.
Kein Ausgabewert wird doppelt erreicht.
Die Funktion ist auf
R
eindeutig umkehrbar.
5. Beispiel einer nicht eindeutig umkehrbaren Funktion
Betrachten wir:
f(x)=x2
auf
Df=R.
Dann gilt:
f(2)=4
und gleichzeitig:
f(−2)=4.
Der Wert 4 besitzt also zwei mögliche ursprüngliche Eingabewerte.
Wenn man die Zuordnung umkehren wollte, müsste man fragen:
4⟼2
oder
4⟼−2?
Das ist nicht eindeutig.
Deshalb besitzt
f(x)=x2
auf ganz R keine Umkehrfunktion im üblichen Sinn.
6. Definitionsbereich einschränken
Manchmal kann eine zunächst nicht umkehrbare Funktion durch eine geeignete Einschränkung des Definitionsbereichs umkehrbar gemacht werden.
Für
f(x)=x2
wählen wir zum Beispiel:
Df=[0,∞).
Dann ist jeder Funktionswert eindeutig einem nichtnegativen x-Wert zugeordnet.
Die Umkehrfunktion lautet dann:
f−1(x)=x
mit
Df−1=[0,∞).
7. Graphisch auf Umkehrbarkeit prüfen
Auch am Graphen kann man erkennen, ob eine Funktion eindeutig umkehrbar ist.
Dazu denkt man sich waagrechte Geraden.
Schneidet jede waagrechte Gerade den Graphen höchstens einmal, ist die Funktion im betrachteten Bereich eindeutig umkehrbar.
Schneidet eine waagrechte Gerade den Graphen mehrfach, erhält derselbe Funktionswert mehrere verschiedene x-Werte.
Dann ist die Funktion dort nicht eindeutig umkehrbar.
8. Umkehrfunktion algebraisch bestimmen
Betrachten wir:
f(x)=2x+3.
Gesucht ist:
f−1(x).
Wir gehen schrittweise vor.
9. Schritt 1: y=f(x) schreiben
Aus
f(x)=2x+3
machen wir:
y=2x+3.
10. Schritt 2: x und y vertauschen
Da Eingabe und Ausgabe umgekehrt werden, vertauschen wir x und y:
x=2y+3.
11. Schritt 3: Nach y auflösen
Nun lösen wir nach y auf:
xx−32x−3=2y+3=2y=y./−3/:2
Damit:
y=2x−3.
12. Schritt 4: Umkehrfunktion anschreiben
Wir erhalten:
f−1(x)=2x−3
Damit ist die Umkehrfunktion bestimmt.
13. Probe durch Rückgängigmachen
Die Ausgangsfunktion lautet:
f(x)=2x+3.
Die Umkehrfunktion lautet:
f−1(x)=2x−3.
Wir setzen f(x) in die Umkehrfunktion ein:
f−1(f(x))=2(2x+3)−3.
Vereinfachen:
f−1(f(x))=22x=x.
Die Umkehrfunktion macht die ursprüngliche Zuordnung tatsächlich rückgängig.
14. Umgekehrte Probe
Wir können auch umgekehrt prüfen:
f(f−1(x)).
Einsetzen:
f(2x−3)=2⋅2x−3+3.
Vereinfachen:
f(f−1(x))=x−3+3=x.
Damit gilt auf den passenden Bereichen:
f−1(f(x))=x
und
f(f−1(x))=x.
15. Zweites Beispiel: Bruchfunktion
Gegeben:
f(x)=2x+1.
Wir schreiben:
y=2x+1.
Vertauschen:
x=2y+1.
Nach y auflösen:
x2x2x−1=2y+1=y+1=y./⋅2/−1
Damit:
f−1(x)=2x−1
16. Beispiel mit eingeschränkter quadratischer Funktion
Gegeben:
f(x)=x2
mit
Df=[0,∞).
Wir schreiben:
y=x2.
Vertauschen:
x=y2.
Nach y auflösen.
Da wegen des ursprünglichen Definitionsbereichs nur
y≥0
relevant ist, gilt:
y=x.
Daher:
f−1(x)=x.
17. Warum nicht ±x?
Aus
x=y2
könnte algebraisch zunächst
y=±x
entstehen.
Aber eine Funktion darf jedem Eingabewert nur einen Funktionswert zuordnen.
Außerdem wurde die ursprüngliche Funktion auf
[0,∞)
eingeschränkt.
Deshalb verwenden wir:
y=x.
18. Graph von Funktion und Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion vertauscht die Rollen von x und y.
Ein Punkt
P(a∣b)
auf dem Graphen von f wird deshalb zum Punkt
P′(b∣a)
auf dem Graphen von f−1.
Beispiel:
Wenn
(2∣7)
auf dem Graphen von f liegt, dann liegt
(7∣2)
auf dem Graphen von f−1.
19. Spiegelung an y=x
Das Vertauschen der Koordinaten
(a∣b)⟶(b∣a)
entspricht geometrisch einer Spiegelung an der Geraden
y=x.
Daher gilt:
Der Graph einer Funktion und der Graph ihrer Umkehrfunktion sind Spiegelbilder an der Geraden y=x.
20. Beispiel zur Spiegelung
Gegeben:
f(x)=2x+3.
Die Umkehrfunktion lautet:
f−1(x)=2x−3.
Ein Punkt des ursprünglichen Graphen ist:
P(1∣5).
Denn:
f(1)=5.
Auf dem Graphen der Umkehrfunktion liegt daher:
P′(5∣1).
Tatsächlich:
f−1(5)=25−3=1.
21. Definitionsmenge und Wertemenge
Eine Funktion besitzt eine Definitionsmenge.
Sie enthält die erlaubten Eingabewerte.
Wir schreiben:
Df.
Außerdem besitzt eine Funktion eine Wertemenge.
Sie enthält die tatsächlich möglichen Ausgabewerte.
Wir schreiben zum Beispiel:
Wf.
22. Beim Umkehren werden die Mengen vertauscht
Da Eingabe und Ausgabe ihre Rollen wechseln, gilt:
Df−1=Wf
und
Wf−1=Df.
Das ist ein zentraler Zusammenhang.
23. Beispiel zu Definitions- und Wertemenge
Betrachten wir:
f(x)=x2
mit
Df=[0,∞).
Auch die möglichen Funktionswerte sind:
Wf=[0,∞).
Die Umkehrfunktion lautet:
f−1(x)=x.
Damit:
Df−1=[0,∞)=Wf
und
Wf−1=[0,∞)=Df.
24. Beispiel mit unterschiedlichen Bereichen
Gegeben sei:
f(x)=ex.
Dann gilt:
Df=R
und
Wf=(0,∞).
Die Umkehrfunktion ist die natürliche Logarithmusfunktion:
f−1(x)=lnx.
Daher:
Df−1=(0,∞)
und
Wf−1=R.
Man erkennt:
Df−1=Wf
und
Wf−1=Df.
25. Umkehrbarkeit hängt vom Definitionsbereich ab
Die Frage
Ist diese Funktion umkehrbar?
ist oft unvollständig.
Man muss genauer fragen:
Ist diese Funktion auf dem betrachteten Definitionsbereich umkehrbar?
Beispiel:
f(x)=x2.
Auf
R
ist sie nicht eindeutig umkehrbar.
Auf
[0,∞)
ist sie eindeutig umkehrbar.
Auch auf
(−∞,0]
könnte man sie eindeutig umkehren.
Dann wäre die Umkehrfunktion jedoch:
f−1(x)=−x.
Der gewählte Definitionsbereich ist also entscheidend.
26. Vollständiges Beispiel
Gegeben:
f(x)=3x−6.
Umkehrbarkeit
Die Funktion ist linear mit einer von null verschiedenen .
Verschiedene x-Werte liefern verschiedene Funktionswerte.
Sie ist auf
R
eindeutig umkehrbar.
Umkehrfunktion bestimmen
y=3x−6.
Vertauschen:
x=3y−6.
Nach y auflösen:
xx+63x+6=3y−6=3y=y./+6/:3
Also:
f−1(x)=3x+6.
Definitions- und Wertemengen
Für die Ausgangsfunktion:
Df=R,Wf=R.
Daher:
Df−1=R,Wf−1=R.
Graphische Beziehung
Die beiden Graphen sind Spiegelbilder an
y=x.
27. Typische Fehler
Fehler 1: Umkehrfunktion mit Kehrwert verwechseln
Falsch:
f−1(x)=f(x)1.
Die Umkehrfunktion macht eine Zuordnung rückgängig.
Fehler 2: Nicht auf Umkehrbarkeit prüfen
Nicht jede Funktion besitzt auf ihrem gesamten Definitionsbereich eine eindeutige Umkehrfunktion.
Beispiel:
x2
auf
R.
Fehler 3: Nur x und y vertauschen
Nach dem Vertauschen muss die Gleichung wieder nach y aufgelöst werden.
Fehler 4: Definitionsbereich ignorieren
Bei
f(x)=x2
entscheidet der gewählte Definitionsbereich darüber, ob und welche Umkehrfunktion entsteht.
Fehler 5: Definitions- und Wertemenge nicht vertauschen
Beim Übergang von f zu f−1 gilt:
Df−1=Wf
und
Wf−1=Df.
Fehler 6: Spiegelachse falsch angeben
Funktion und Umkehrfunktion werden an
y=x
gespiegelt.
Nicht an der x-Achse und nicht an der y-Achse.
28. Vorgehensplan: Umkehrbarkeit prüfen
Definitionsbereich beachten.
Prüfen, ob verschiedene x-Werte denselben Funktionswert erzeugen können.
Graphisch prüfen, ob eine waagrechte Gerade den Graphen mehrfach schneiden kann.
Falls nötig, den Definitionsbereich sinnvoll einschränken.
Erst danach eine Umkehrfunktion bestimmen.
29. Vorgehensplan: Umkehrfunktion berechnen
Gegeben:
y=f(x).
Schritt 1
Funktionsgleichung mit y schreiben.
Schritt 2
x und y vertauschen.
Schritt 3
Nach y auflösen.
Schritt 4
Schreiben:
f−1(x)=…
Schritt 5
Definitions- und Wertemengen vertauschen.
Schritt 6
Bei Bedarf kontrollieren:
f−1(f(x))=x
und
f(f−1(x))=x
auf den jeweils zulässigen Bereichen.
30. Zusammenfassung
Bedeutung
Die Umkehrfunktion macht eine eindeutige Zuordnung rückgängig:
xfyf−1x.
Algebraische Bestimmung
y=f(x)
x und y vertauschen
nach y auflösen
als f−1(x) anschreiben
Graph
Die Graphen von f und f−1 sind Spiegelbilder an
y=x.
Mengen
Df−1=Wf
und
Wf−1=Df.
Merke:
Eine Umkehrfunktion vertauscht Eingabe und Ausgabe.
Deshalb müssen Zuordnung, Graph sowie Definitions- und Wertemenge konsequent umgedreht werden.
1
Definitionsbereich festhalten
Vor der Prüfung klären, auf welchem Bereich die betrachtet wird.
2
Doppelte Ausgabewerte suchen
Prüfen, ob zwei verschiedene Eingaben denselben liefern können.
3
Graphisch prüfen
Kontrollieren, ob eine waagrechte Gerade den Graphen mehr als einmal schneidet.
4
Umkehrbarkeit entscheiden
Nur bei eindeutiger Rückzuordnung eine Umkehrfunktion auf diesem Bereich annehmen.
5
Bereich gegebenenfalls einschränken
Bei geeigneten einen Teil des Definitionsbereichs wählen, auf dem die Zuordnung eindeutig wird.
FA 1.11 - Umkehrfunktion algebraisch bestimmen
Zu einer geeigneten die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion algebraisch bestimmen.
1
Gleichung mit y schreiben
Aus f(x) die y=f(x) bilden.
2
Variablen vertauschen
x und y austauschen, weil Eingabe und Ausgabe ihre Rollen wechseln.
3
Nach y auflösen
Die vertauschte algebraisch nach y umformen.
4
Umkehrfunktion notieren
Den erhaltenen als f⁻¹(x) anschreiben.
5
Ergebnis kontrollieren
Bei Bedarf f⁻¹(f(x)) beziehungsweise f(f⁻¹(x)) auf dem zulässigen Bereich prüfen.
FA 1.11 - Graphen von Funktion und Umkehrfunktion vergleichen
Den Graphen der Umkehrfunktion als Spiegelung des Funktionsgraphen an y = x deuten.
1
Punkt auf f wählen
Einen Punkt (a|b) des ursprünglichen Funktionsgraphen betrachten.
2
Koordinaten vertauschen
Für die Umkehrfunktion den Punkt (b|a) bilden.
3
Spiegelachse erkennen
Das Vertauschen der Koordinaten als Spiegelung an y=x deuten.
4
Graphen vergleichen
Entsprechende Punkte und den Verlauf beider Graphen gegenüberstellen.
5
Symmetrie kontrollieren
Prüfen, ob beide Graphen tatsächlich spiegelbildlich zur Geraden y=x liegen.
FA 1.11 - Definitions- und Wertemenge beim Umkehren zuordnen
Beim Übergang zur Umkehrfunktion Definitionsmenge und Wertemenge korrekt vertauschen.
1
Definitionsmenge von f bestimmen
Festhalten, welche Werte als Eingaben der Ausgangsfunktion erlaubt sind.
2
Wertemenge von f bestimmen
Festhalten, welche Ausgaben die Ausgangsfunktion tatsächlich annehmen kann.
3
Wertemenge zur neuen Definitionsmenge machen
D(f⁻¹)=W(f) verwenden.
4
Definitionsmenge zur neuen Wertemenge machen
W(f⁻¹)=D(f) verwenden.
5
Mit dem Funktionsterm abgleichen
Prüfen, ob der der Umkehrfunktion zu den vertauschten Mengen passt.
