Dann schreibt man:

Dabei zählt $X$ die Anzahl der Treffer.

2. Bedeutung von $n$, $p$, $k$ und $n-k$

Beispiel: Eine Maschine produziert fünf Teile. Jedes Teil ist mit Wahrscheinlichkeit $0{,}2$ fehlerhaft. $X$ zählt die fehlerhaften Teile.

Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit für genau zwei fehlerhafte Teile:

3. Die Binomialformel als Gesamtbild

Die Formel besteht aus drei Faktoren. Jeder Faktor beantwortet eine eigene Frage:

4. Linke Seite: $P(X=k)$

bedeutet:

Wahrscheinlichkeit für genau $k$ Treffer.

Beispiel:

ist die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Treffer. Nicht gemeint sind höchstens zwei oder mindestens zwei Treffer.

5. Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$

zählt, auf wie viele Arten die $k$ Treffer auf die $n$ Versuche verteilt werden können.

Bei fünf Versuchen und genau zwei Treffern sind beispielsweise möglich:

und weitere Anordnungen.

Insgesamt gilt:

Am Taschenrechner:

5  nCr  2  =

6. Der Faktor $p^k$

beschreibt die Wahrscheinlichkeit der $k$ Treffer.

Bei:

gilt:

7. Der Faktor $(1-p)^{n-k}$

ist die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer.

Bei $p=0{,}2$ gilt:

Bei fünf Versuchen und genau zwei Treffern bleiben:

Nichttreffer. Daher:

8. Wahrscheinlichkeit einer festen Trefferfolge

Betrachte zunächst nur die feste Reihenfolge:

Ihre Wahrscheinlichkeit beträgt:

Zusammengefasst:

Diese Rechnung beschreibt nur eine bestimmte Anordnung der Treffer.

9. Warum alle drei Faktoren multipliziert werden

Die feste Folge $TTNNN$ ist nur eine der möglichen Anordnungen. Insgesamt gibt es:

Anordnungen mit genau zwei Treffern.

Daher:

In Worten:

Wahrscheinlichkeit einer festen Folge mal Anzahl aller passenden Anordnungen.

10. Vollständiges Beispiel

Eine Maschine produziert fünf Teile. Jedes Teil ist mit Wahrscheinlichkeit $0{,}2$ fehlerhaft. $X$ zählt die fehlerhaften Teile.

Gesucht:

Zuordnung:

Ansatz:

Berechnung:

In Prozent:

Deutung:

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei der fünf Teile fehlerhaft sind, beträgt $20{,}48\,\%$.

11. Faktor-für-Faktor-Kontrolle

Vor dem Rechnen wird geprüft:

12. Typischer Fehler: $p$ und $1-p$ vertauschen

Ist „Treffer“ als fehlerhaftes Teil definiert und gilt:

dann ist:

die Wahrscheinlichkeit für ein fehlerfreies Teil.

Vor jeder Rechnung wird notiert:

13. Typischer Fehler: Exponenten vertauschen

Für genau $k$ Treffer gilt:

Für die verbleibenden $n-k$ Nichttreffer gilt:

Die Exponenten müssen gemeinsam wieder $n$ ergeben:

14. Randfälle

Kein Treffer

Für $k=0$ gilt:

Da $\binom{n}{0}=1$ und $p^0=1$, folgt:

Nur Treffer

Für $k=n$ gilt:

15. Taschenrechner: Einzelwahrscheinlichkeit

Je nach Modell heißt die direkte Funktion beispielsweise:

binompdf

oder:

Binomial PD

Die Eingabereihenfolge ist meist:

n, p, k

Beispiel:

binompdf(5, 0.2, 2)

Ergebnis:

Die genaue Tastenfolge hängt vom Taschenrechnermodell ab. Ansatz und Bedeutung der Größen werden trotzdem immer notiert.

16. Genau, höchstens und mindestens

Genau $k$

Wertemenge:

Höchstens $k$

„Höchstens $k$“ bedeutet:

Wertemenge:

Daher:

Mindestens $k$

„Mindestens $k$“ bedeutet:

Wertemenge:

17. Mehr als und weniger als

Mehr als $k$

Wertemenge:

Weniger als $k$

Wertemenge:

Die sprachliche Bedingung wird immer gemeinsam mit der vollständigen Wertemenge angegeben.

18. Gegenwahrscheinlichkeit

„Mindestens ein Treffer“ bedeutet:

Das Gegenereignis lautet:

Daher:

19. Intervallwahrscheinlichkeit

„Mindestens $a$, aber höchstens $b$“ bedeutet:

Wertemenge:

Dann:

20. Säulendiagramm lesen

Ein Säulendiagramm der Binomialverteilung zeigt:

• waagerecht die Trefferanzahl $k$,
• senkrecht die Wahrscheinlichkeit $P(X=k)$.

Eine Säule beantwortet eine Frage der Form:

Ein Bereich wie $P(X\leq2)$ umfasst mehrere Säulen.

21. Erwartungswert der Binomialverteilung

Für

gilt:

Der Erwartungswert gibt die langfristig durchschnittliche Trefferanzahl an.

Beispiel: Bei $n=50$ unabhängigen Versuchen mit $p=0{,}2$ gilt

Passende Deutung:

Bei sehr vielen gleichartigen Wiederholungen sind durchschnittlich etwa $10$ Treffer pro Serie mit $50$ Versuchen zu erwarten.

Der Erwartungswert ist keine Garantie für eine einzelne Serie. Außerdem muss $E(X)$ keine ganze Zahl sein, obwohl $X$ nur ganzzahlige Werte annehmen kann.

Beispiel:

liefert

Das bedeutet nicht, dass $3{,}6$ Treffer auftreten können. Es ist der langfristige Durchschnitt.

22. Varianz der Binomialverteilung

Für eine binomialverteilte Zufallsvariable gilt:

Die Varianz beschreibt die Streuung der Trefferanzahl um den Erwartungswert.

Die drei Faktoren haben eine klare Bedeutung:

Für $p=0$ oder $p=1$ ist die Trefferanzahl sicher festgelegt. Dann gilt:

Bei festem $n$ ist die Varianz für $p=0{,}5$ am größten. Je näher $p$ bei $0$ oder $1$ liegt, desto kleiner wird die Streuung.

23. Standardabweichung der Binomialverteilung

Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz:

Sie beschreibt die typische Streuung der Trefferanzahl um den Erwartungswert und besitzt dieselbe Einheit wie $X$.

Da $X$ eine Trefferanzahl ist, wird $\sigma(X)$ ebenfalls in Treffern angegeben. Die Varianz besitzt entsprechend die Einheit $\text{Treffer}^2$.

Wichtig: Die Standardabweichung ist nicht $n\cdot p\cdot(1-p)$, sondern die Quadratwurzel dieses Ausdrucks.

24. Vollständiges Beispiel zu Lage und Streuung

Eine Maschine produziert Teile. Jedes Teil ist mit Wahrscheinlichkeit $p=0{,}04$ fehlerhaft. Es werden $n=200$ Teile unabhängig betrachtet. $X$ zählt die fehlerhaften Teile.

Damit:

Erwartungswert:

Varianz:

Standardabweichung:

Sachgerechte Deutung:

Langfristig sind durchschnittlich $8$ fehlerhafte Teile pro Gruppe von $200$ Teilen zu erwarten. Die Trefferanzahl streut typischerweise um ungefähr $2{,}77$ fehlerhafte Teile um diesen Erwartungswert.

Die Standardabweichung liefert keine Garantie, dass jede beobachtete Trefferanzahl höchstens $2{,}77$ vom Erwartungswert entfernt ist.

25. Gleicher Erwartungswert, unterschiedliche Streuung

Zwei Binomialverteilungen können denselben Erwartungswert, aber unterschiedliche Varianzen und Standardabweichungen besitzen.

Verteilung $A$:

Verteilung $B$:

Beide Verteilungen besitzen dieselbe langfristig durchschnittliche Trefferanzahl. Die Trefferanzahlen von $X_B$ streuen jedoch stärker um $10$.

Merksatz: $E(X)$ beschreibt die Lage. $\operatorname{Var}(X)$ und $\sigma(X)$ beschreiben die Streuung.

26. Plausibilitätskontrollen

• $0\leq P(X=k)\leq1$
• $0\leq k\leq n$
• $k+(n-k)=n$
• $0\leq E(X)=np\leq n$
• $\operatorname{Var}(X)=np(1-p)\geq0$
• $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}\geq0$
• Erwartungswert und Standardabweichung werden in Treffern, die Varianz in $ext{Treffer}^2$ angegeben.
• Treffer und Nichttreffer sind eindeutig definiert.
• Wahrscheinlichkeit, Lage und Streuung werden im Kontext unterschiedlich gedeutet.

27. Arbeitsablauf

Zusammenfassung

• $P(X=k)$ bedeutet genau $k$ Treffer.
• $\binom{n}{k}$ zählt die möglichen Trefferanordnungen.
• $p^k$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit der Treffer.
• $(1-p)^{n-k}$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit der Nichttreffer.
• Die Binomialformel ist: Anzahl der Anordnungen mal Wahrscheinlichkeit einer festen Anordnung.
• Sprachliche Bedingungen werden immer gemeinsam mit ihrer Wertemenge angegeben.
• Für $X\sim B(n,p)$ gilt $E(X)=np$.
• Für $X\sim B(n,p)$ gilt $\operatorname{Var}(X)=np(1-p)$.
• Die Standardabweichung ist $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$.
• Der Erwartungswert beschreibt die Lage, Varianz und Standardabweichung beschreiben die Streuung.
• Gleicher Erwartungswert bedeutet nicht gleiche Standardabweichung.

Binomial(n,p,true)

Beispiel:

Binomial(20,0.1,true)

Die sprachliche Bedingung wird zuerst als vollständige Wertemenge notiert.

3. Erwartungswert berechnen

E = n*p

Beispiel:

n = 50
p = 0.2
E = n*p

Erwartetes Ergebnis:

E = 10

$E(X)$ ist die langfristig durchschnittliche Trefferanzahl, nicht die garantierte Trefferzahl einer einzelnen Serie.

4. Varianz berechnen

V = n*p*(1-p)

Beispiel:

V = 50*0.2*(1-0.2)

Erwartetes Ergebnis:

V = 8

5. Standardabweichung berechnen

sigma = sqrt(V)

Für das Beispiel:

sigma = sqrt(8)

Erwartetes Ergebnis:

sigma ≈ 2.828

Die Standardabweichung wird in Treffern angegeben. Die Varianz besitzt die Einheit $\text{Treffer}^2$.

6. Parameterwirkung untersuchen

Bei festem $n$:

V1 = n*0.1*(1-0.1)
V2 = n*0.5*(1-0.5)
V3 = n*0.9*(1-0.9)

• $p=0{,}1$ und $p=0{,}9$ liefern dieselbe Varianz.
• Bei $p=0{,}5$ ist die Varianz für festes $n$ am größten.

7. Sinnvolle Arbeitsweise

1. Binomialmodell begründen.
2. Treffer, $n$ und $p$ festlegen.
3. Gesuchte Wahrscheinlichkeit oder Kenngröße bestimmen.
4. Formel händisch notieren und einsetzen.
5. GeoGebra zur numerischen Kontrolle verwenden.
6. Ergebnis mit Einheit und Kontext deuten.

Wichtig: GeoGebra ersetzt weder die Modellprüfung noch die sichtbare Einsetzung oder die Unterscheidung zwischen Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Streuung.