Dezimalzahlen, Runden und Überschlagen

Dezimalzahlen beruhen auf dem Stellenwertsystem. Jede Stelle hat einen festen Wert. Das Komma trennt den ganzzahligen Teil vom Nachkommateil.

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1. Dezimalzahlen lesen

Die Zahl

$$37{,}405$$

besteht aus:

• $3$ Zehnern,
• $7$ Einern,
• $4$ Zehnteln,
• $0$ Hundertsteln,
• $5$ Tausendsteln.

Damit gilt:

$$37{,}405 =30+7+0{,}4+0{,}005.$$

Nullen am Ende des Nachkommateils verändern den Wert nicht:

$$4{,}7=4{,}70=4{,}700.$$

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2. Dezimalzahlen vergleichen

Zuerst werden fehlende Nachkommastellen mit Nullen ergänzt. Danach wird von links nach rechts verglichen.

Beispiel

$$3{,}8 \qquad\text{und}\qquad 3{,}75$$

Es wird geschrieben:

$$3{,}80 \qquad\text{und}\qquad 3{,}75.$$

• Einer: gleich,
• Zehntel: $8>7$.

Daher gilt:

$$3{,}8>3{,}75.$$

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3. Dezimalzahlen addieren und subtrahieren

Gleiche Stellenwerte müssen untereinander stehen. Deshalb werden die Kommas untereinander angeordnet.

Ausführliches Beispiel: Subtraktion

$$12{,}75-3{,}8$$

Die zweite Zahl wird als $3{,}80$ geschrieben:

$$\begin{array}{r} 12{,}75\\ -\;3{,}80\\ \hline 8{,}95 \end{array}$$

Als Rechenschritte:

$$\begin{aligned} 12{,}75-3{,}8 &=12{,}75-3{,}80 &&\text{fehlende Hundertstel ergänzen}\\ &=8{,}95. \end{aligned}$$

Kontrolle durch Überschlag

$$12{,}75\approx13, \qquad 3{,}8\approx4.$$ $$13-4=9.$$

Das genaue Ergebnis $8{,}95$ liegt nahe bei $9$.

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4. Mit $10$, $100$ und $1000$ multiplizieren

Beim Multiplizieren mit einer Zehnerpotenz wird jede Ziffer in einen höheren Stellenwert verschoben.

$$4{,}382\cdot10=43{,}82,$$ $$4{,}382\cdot100=438{,}2,$$ $$4{,}382\cdot1000=4382.$$

Die häufige Kurzbeschreibung „Das Komma wandert“ ist nur eine Merkhilfe. Fachlich genauer ist: Die Ziffern wechseln ihre Stellenwerte.

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5. Durch $10$, $100$ und $1000$ dividieren

Beim Dividieren durch eine Zehnerpotenz wird jede Ziffer in einen niedrigeren Stellenwert verschoben.

$$438{,}2:10=43{,}82,$$ $$438{,}2:100=4{,}382,$$ $$438{,}2:1000=0{,}4382.$$

Fehlende Stellen werden mit Nullen ergänzt.

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6. Runden

Beim Runden werden zwei Stellen betrachtet:

1. die Stelle, auf die gerundet werden soll,
2. die unmittelbar folgende Stelle.

• Folgeziffer $0$, $1$, $2$, $3$ oder $4$: abrunden.
• Folgeziffer $5$, $6$, , oder : aufrunden.

Ausführliches Beispiel: auf Hundertstel runden

$$7{,}486$$

• Hundertstelstelle: $8$,
• nächste Stelle: $6$,
• wegen $6\ge5$ wird die Hundertstelstelle um $1$ erhöht.

$$7{,}486\approx7{,}49.$$

Das Näherungszeichen $\approx$ zeigt, dass die gerundete Zahl nicht exakt gleich der Ausgangszahl ist.

Beispiel: auf Zehntel runden

$$5{,}43\approx5{,}4.$$

Die Hundertstelziffer ist $3$. Daher bleibt die Zehntelziffer unverändert.

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7. Sinnvolle Rundungsgenauigkeit

Die passende Genauigkeit hängt vom Zusammenhang ab.

• Geldbeträge werden meist auf Cent gerundet.
• Längen können je nach Messung auf Meter, Zentimeter oder Millimeter gerundet werden.
• Eine Anzahl von Personen wird nicht als Dezimalzahl angegeben.

Ein Ergebnis ohne Angabe der gewünschten Genauigkeit sollte nicht unnötig stark gerundet werden.

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8. Überschlagen

Beim Überschlag werden Zahlen so gerundet, dass eine einfache Ersatzrechnung entsteht.

Ausführliches Beispiel: Produkt

$$19{,}8\cdot4{,}97$$

Zuerst wird überschlagen:

$$19{,}8\approx20, \qquad 4{,}97\approx5.$$ $$20\cdot5=100.$$

Das genaue Ergebnis lautet:

$$19{,}8\cdot4{,}97=98{,}406.$$

$98{,}406$ liegt nahe bei $100$. Die Größenordnung ist plausibel.

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9. Überschlag bei Addition und Division

Addition

$$398{,}7+204{,}9 \approx400+200 =600.$$

Das genaue Ergebnis $603{,}6$ passt zum Überschlag.

Division

$$598:19{,}8 \approx600:20 =30.$$

Ein genaues Ergebnis in der Nähe von $30$ ist plausibel.

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10. Typische Fehler

• Dezimalzahlen werden bei Addition oder Subtraktion rechtsbündig statt stellenrichtig angeordnet.
• Eine endständige Null wird fälschlich als Wertänderung verstanden.
• Bei Division durch $10$ wird in die falsche Richtung verschoben.
• Beim Runden wird nicht die unmittelbar folgende Ziffer betrachtet.
• Das Gleichheitszeichen wird statt des Näherungszeichens verwendet.
• Ein Überschlag wird so grob gewählt, dass er keine brauchbare Kontrolle mehr liefert.

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11. Zusammenfassung

• Dezimalzahlen werden über ihre Stellenwerte gelesen und verglichen.
• Bei Addition und Subtraktion stehen die Kommas untereinander.
• Multiplikation und Division mit Zehnerpotenzen verändern die Stellenwerte der Ziffern.
• Beim Runden entscheidet die unmittelbar folgende Stelle.
• Ein Überschlag prüft die Größenordnung des genauen Ergebnisses.