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Lies die Erklärung in Ruhe durch und nutze anschließend die Schrittlisten, um das Vorgehen sicher anzuwenden.
Statistische Kennzahlen fassen viele Einzelwerte in wenigen aussagekräftigen Zahlen zusammen. Eine Kennzahl beantwortet aber immer nur eine bestimmte Frage. Deshalb müssen Lage und Streuung gemeinsam betrachtet werden.
Zentrales Ziel: Daten ordnen, passende Lage- und Streuungsmaße berechnen und die Kennzahlen gemeinsam im Kontext interpretieren.
Für Median, Quartile und Boxplot müssen die Daten aufsteigend geordnet sein:
So gehst du vor
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
Begriffe, Zeichen, Größen und Voraussetzungen der Kompetenz systematisch klären.
Ordne die Aufgabe dem passenden mathematischen Thema zu.
Notiere Werte, , Einheiten und Bedingungen übersichtlich.
Formuliere die zentralen Begriffe in eigenen Worten.
Kontrolliere Definitionsbereich, Modellannahmen und zulässige Werte.
Schreibe auf, was berechnet, entschieden oder interpretiert werden soll.
Entscheide zwischen Text, Tabelle, Graph, oder Skizze.
Digitales Werkzeug
Wichtige Befehle und ihre Verwendung zu diesem Thema.
Diese Übersicht ist von der Tutor-Zusammenfassung getrennt. Die Befehle dienen zur Darstellung, Kontrolle und Untersuchung; die mathematische Entscheidung muss vorher nachvollzogen werden.
Nächster Schritt
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
Beispiel:
wird geordnet zu:
Dabei ist die Anzahl aller Werte. Im Beispiel gilt:
Das arithmetische Mittel wird meist kurz Mittelwert genannt.
Schülernah:
Beispiel:
Der Mittelwert wirkt wie ein Ausgleichspunkt der Daten.
Die Abweichungen vom Mittelwert ergeben zusammen :
Kommt ein Wert mehrfach vor, kann mit den absoluten Häufigkeiten gerechnet werden.
Damit:
Allgemein:
Dabei ist die absolute Häufigkeit des Wertes .
Der Median teilt die geordneten Daten in eine untere und eine obere Hälfte.
Der mittlere Wert ist:
Es gibt zwei mittlere Werte. Daher:
Merksatz: Vor der Bestimmung des Medians müssen die Daten immer geordnet werden.
Der Modalwert ist der Wert mit der größten absoluten Häufigkeit.
Beispiel:
Daher:
Es kann auch mehrere Modalwerte geben:
Hier sind und gleich häufig. Es gibt zwei Modalwerte.
Sind alle Werte gleich häufig, gibt es keinen eindeutigen Modalwert.
Vergleiche:
Datensatz A:
Datensatz B:
Für A gilt:
und:
Für B gilt:
und:
Der Ausreißer zieht den Mittelwert stark nach oben. Der Median bleibt unverändert.
Folgerung: Bei starken Ausreißern ist der Median häufig aussagekräftiger als der Mittelwert.
Das Minimum ist der kleinste, das Maximum der größte Wert.
Die Spannweite lautet:
Schülernah:
Beispiel:
Damit:
Die Spannweite verwendet nur zwei Werte und reagiert daher stark auf Ausreißer.
Quartile teilen geordnete Daten in vier Bereiche.
Wir verwenden im Lerncoach folgende Methode:
Beispiel:
Der Median ist:
Untere Hälfte:
Obere Hälfte:
Der Interquartilsabstand beschreibt die Breite der mittleren der Daten.
Im Beispiel:
Der Interquartilsabstand reagiert weniger stark auf extreme Werte als die Spannweite.
Ein Boxplot zeigt:
Die Box reicht von bis und enthält die mittleren der Daten.
Die Antennen reichen in diesem Lerncoach vom Minimum bis zum Maximum.
Die Varianz beschreibt die mittlere quadrierte Abweichung vom Mittelwert.
Im Lerncoach verwenden wir die empirische Varianz mit dem Divisor :
Die Abweichungen werden quadriert, damit:
Gegeben:
Mittelwert:
Abweichungen:
Quadrate der Abweichungen:
Varianz:
Die Einheit der Varianz ist die quadrierte Einheit der Daten.
Die Standardabweichung ist die aus der Varianz:
Vollständig ausgeschrieben:
Für das Beispiel gilt:
Die Standardabweichung besitzt dieselbe Einheit wie die ursprünglichen Daten.
Deutung: Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Werte eng beisammenliegen. Eine große Standardabweichung bedeutet eine stärkere Streuung.
Datensatz A:
Datensatz B:
Beide besitzen:
Für A:
Für B:
Die Lage ist gleich, die Streuung aber sehr verschieden.
Nicht alle Werte müssen gleich stark gewichtet werden.
Beispiel: Eine Note zählt doppelt, eine andere dreifach.
Beispiel:
Gewichte dürfen nicht ignoriert werden.
Eine vollständige Interpretation verbindet Lage und Streuung.
Beispiel:
Beide Klassen erreichen im Mittel dieselbe Punktezahl. In Klasse B ist die Standardabweichung jedoch größer. Die Ergebnisse der Klasse B schwanken daher stärker um den gemeinsamen Mittelwert.
Eine gute Deutung nennt:
Median und Quartile beziehen sich auf Positionen in der geordneten Liste.
Bei einer Häufigkeitstabelle muss jeder Wert mit seiner absoluten Häufigkeit multipliziert werden.
Ein einzelner extremer Wert kann den Mittelwert stark verschieben.
Die Spannweite verwendet nur Minimum und Maximum.
Die Varianz besitzt eine quadrierte Einheit. Die Standardabweichung besitzt dieselbe Einheit wie die Daten.
Aus wird erst durch die Quadratwurzel .
Zwei Datensätze können denselben Mittelwert besitzen und trotzdem sehr unterschiedlich verteilt sein.
Prüfe, ob alle Angaben korrekt übertragen wurden.
Text, Tabelle, Graph und Formel miteinander verbinden und ihre jeweilige Aussage deuten.
Beschreibe zunächst nur, was direkt gegeben ist.
Ordne Achsen, Spalten, und Einheiten eindeutig zu.
Lies charakteristische Werte oder Beziehungen ab.
Bestimme, welche Darstellung hergestellt werden soll.
Übertrage die Informationen schrittweise und vollständig.
Begründe, warum beide Darstellungen dasselbe beschreiben.
Prüfe ausgewählte Werte in beiden Darstellungen.
Ein passendes Rechen- oder Analyseverfahren auswählen, durchführen und dokumentieren.
Nutze ein Verfahren, das besonders zu „Lage- und Streuungsmaße unterscheiden“ passt.
Setze Zahlen und mit korrekten Vorzeichen und Klammern ein.
Dokumentiere äquivalente oder begründete Rechenschritte.
Berechne sorgfältig und vermeide vorzeitiges Runden.
Kontrolliere Größenordnung, Vorzeichen und Definitionsbereich.
Gib exakte und gegebenenfalls sinnvoll gerundete Werte an.
Setze das Ergebnis ein oder verwende ein unabhängiges Kriterium.
Mathematische Ergebnisse in vollständigen Sätzen mit Einheiten, Bezugsgrößen und Gültigkeitsbereich erklären.
Benenne, welche mathematische Größe berechnet wurde.
Ordne die sachlich passende Einheit zu.
Erkläre, auf welche Ausgangsgröße, Zeit oder Situation sich das Ergebnis bezieht.
Formuliere Zunahme, Abnahme, Richtung oder Lage.
Prüfe, für welche Werte und Bedingungen die Aussage gilt.
Formuliere eine klare Antwort auf die Ausgangsfrage.
Vergleiche die Aussage mit Alltag, Skizze oder Datenlage.
Ergebnisse durch Probe, Gegenrechnung, Graph, Einheit und Modellkritik absichern.
Kontrolliere , oder Wahrscheinlichkeiten rechnerisch.
Vergleiche mit Tabelle, Graph oder Skizze.
Prüfe, ob Einheit und Dimension zum Ergebnis passen.
Schließe unzulässige Werte und Scheinlösungen aus.
Teste einen einfachen oder extremen Fall.
Vergleiche den Rechenweg mit bekannten Fehlerquellen.
Gib Rechnung, Ergebnis und Deutung übersichtlich an.
Die absolute Häufigkeit eines Merkmalswerts bestimmen.
Bestimme den Wert oder die Kategorie, deren absolute Häufigkeit gesucht wird.
Prüfe jede Beobachtung genau einmal.
Erhöhe den Zähler jedes Mal um 1, wenn der gesuchte Merkmalswert vorkommt.
Gleiche Werte werden so oft gezählt, wie sie tatsächlich auftreten.
Gib die erhaltene Anzahl als ganze Zahl an.
Die absolute Häufigkeit darf nicht größer als die Gesamtzahl der Beobachtungen sein.
Die relative Häufigkeit eines Merkmalswerts berechnen.
Notiere die Anzahl h der Beobachtungen mit dem gesuchten Merkmalswert.
Bestimme die Gesamtzahl n aller Beobachtungen.
Berechne die relative Häufigkeit als h/n.
Kürze den Bruch oder berechne einen passenden Dezimalwert.
Eine relative Häufigkeit liegt zwischen 0 und 1.
Notiere die relative Häufigkeit beim richtigen Merkmalswert.
Eine relative Häufigkeit als Prozentwert darstellen.
Übernimm die relative Häufigkeit als Bruch oder Dezimalzahl.
Multipliziere die relative Häufigkeit mit 100.
Kennzeichne das Ergebnis mit %.
Runde nur auf die in der Aufgabe verlangte Genauigkeit.
Eine Prozenthäufigkeit liegt zwischen 0 % und 100 %.
Teile den Prozentwert gedanklich durch 100 und vergleiche mit der ursprünglichen relativen Häufigkeit.
Das arithmetische Mittel eines einfachen Datensatzes berechnen.
Schreibe alle Werte des Datensatzes vollständig auf.
Addiere alle Datenwerte zu einer Gesamtsumme.
Zähle, wie viele Datenwerte vorhanden sind.
Teile die Gesamtsumme durch die Anzahl der Werte.
Gib den erhaltenen Durchschnitt mit passender Einheit an.
Das arithmetische Mittel muss zwischen Minimum und Maximum des Datensatzes liegen.
Das arithmetische Mittel unter Berücksichtigung absoluter Häufigkeiten berechnen.
Notiere zu jedem Merkmalswert x seine absolute Häufigkeit h.
Multipliziere jeden Merkmalswert mit seiner Häufigkeit.
Addiere alle erhaltenen Produkte zu einer gewichteten Gesamtsumme.
Addiere alle absoluten Häufigkeiten.
Teile die gewichtete Gesamtsumme durch die Anzahl aller Beobachtungen.
Kontrolliere, dass das Ergebnis zwischen kleinstem und größtem Merkmalswert liegt.
Den Median eines geordneten Datensatzes mit ungerader Anzahl bestimmen.
Bringe alle Werte in aufsteigende Reihenfolge.
Zähle die Anzahl n der Werte und prüfe, dass n ungerade ist.
Bei ungeradem n liegt der Median an Position (n+1)/2.
Lies den Datenwert an dieser Position ab.
Gib den mittleren Wert als Median an.
Links und rechts vom Median müssen gleich viele Datenwerte liegen.
Den Median eines geordneten Datensatzes mit gerader Anzahl bestimmen.
Bringe alle Werte in aufsteigende Reihenfolge.
Zähle die Anzahl n der Werte und prüfe, dass n gerade ist.
Die mittleren Werte stehen an den Positionen n/2 und n/2+1.
Notiere die beiden mittleren Datenwerte.
Addiere die beiden Werte und teile durch 2.
Der Median muss zwischen den beiden mittleren Datenwerten liegen.
Den häufigsten Merkmalswert eines Datensatzes bestimmen.
Zähle, wie oft jeder verschiedene Merkmalswert vorkommt.
Bestimme die höchste vorkommende Häufigkeit.
Der Merkmalswert mit dieser Häufigkeit ist ein Modus.
Haben mehrere Werte dieselbe größte Häufigkeit, gibt es mehrere Modi.
Kommt jeder Wert gleich oft vor, ist kein einzelner Wert häufiger als die anderen.
Notiere den oder die häufigsten Merkmalswerte, nicht die Häufigkeit selbst.
Das untere Quartil eines einfachen geordneten Datensatzes bestimmen.
Bringe den Datensatz in aufsteigende Reihenfolge.
Bestimme zunächst den Median des gesamten Datensatzes.
Betrachte die untere Hälfte nach der in der Aufgabe beziehungsweise im Kurs verwendeten Quartilsregel.
Bestimme den mittleren Wert dieser unteren Datenhälfte.
Dieser Wert ist das erste Quartil Q1.
Q1 darf nicht größer als der Median des Gesamtdatensatzes sein.
Das obere Quartil eines einfachen geordneten Datensatzes bestimmen.
Bringe den Datensatz in aufsteigende Reihenfolge.
Bestimme zunächst den Median des gesamten Datensatzes.
Betrachte die obere Hälfte nach der in der Aufgabe beziehungsweise im Kurs verwendeten Quartilsregel.
Bestimme den mittleren Wert dieser oberen Datenhälfte.
Dieser Wert ist das dritte Quartil Q3.
Q3 darf nicht kleiner als der Median des Gesamtdatensatzes sein.
Die Spannweite als Maximum minus Minimum berechnen.
Suche den kleinsten Datenwert.
Suche den größten Datenwert.
Berechne Maximum minus Minimum.
Die erhaltene Differenz ist die Spannweite.
Die Spannweite besitzt dieselbe Einheit wie die Datenwerte.
Die Spannweite ist nie negativ und ist 0, wenn alle Werte gleich sind.
Die empirische Varianz eines einfachen Datensatzes berechnen.
Berechne zuerst den Mittelwert des Datensatzes.
Bestimme für jeden Datenwert die Differenz zum Mittelwert.
Quadriere jede dieser Differenzen.
Addiere alle quadrierten Abweichungen.
Teile diese Summe bei der hier verwendeten empirischen Varianz durch die Anzahl n der Beobachtungen.
Die empirische Varianz ist nicht negativ und hat die quadrierte Einheit der Daten.
Die empirische Standardabweichung eines einfachen Datensatzes berechnen.
Berechne oder übernimm die empirische Varianz des Datensatzes.
Eine Varianz darf nicht negativ sein.
Die empirische Standardabweichung ist die Quadratwurzel der empirischen Varianz.
Bestimme den nichtnegativen Wurzelwert.
Die Standardabweichung besitzt wieder dieselbe Einheit wie die ursprünglichen Daten.
Ein kleiner Wert bedeutet geringe, ein größerer Wert stärkere Streuung um den Mittelwert.
Arithmetisches Mittel, Median oder Modus im Sachkontext interpretieren.
Kläre, ob arithmetisches Mittel, Median oder Modus interpretiert werden soll.
Ordne der Kennzahl die untersuchte Größe und ihre Einheit zu.
Das Mittel beschreibt einen rechnerischen Durchschnitt, der Median die mittlere Lage und der Modus den häufigsten Wert.
Verbinde die Kennzahl mit der konkreten Gruppe oder Untersuchung.
Eine Kennzahl muss nicht selbst als beobachteter Einzelwert vorkommen.
Erkläre verständlich, was die Kennzahl für den Datensatz aussagt.
Spannweite, Varianz oder Standardabweichung im Sachkontext interpretieren.
Kläre, ob Spannweite, Varianz oder Standardabweichung interpretiert wird.
Die Spannweite und Standardabweichung beziehen sich auf die Einheit der Daten; die Varianz auf deren Quadrat.
Kleinere Werte sprechen für engere, größere für stärkere Streuung.
Beschreibe, wie unterschiedlich die beobachteten Werte insgesamt beziehungsweise um das Zentrum liegen.
Ein Streuungsmaß beschreibt die Größe der Unterschiede, nicht ob Werte eher zu groß oder zu klein sind.
Erkläre die Streuung mit Bezug auf die untersuchte Größe.
Zwei Datensätze anhand von Zentral- und Streuungsmaßen vergleichen.
Vergleiche zunächst Mittelwert, Median oder andere vorgegebene Lagemaße beider Datensätze.
Vergleiche Spannweite, Varianz oder Standardabweichung.
Bestimme, welcher Datensatz typischerweise höhere beziehungsweise niedrigere Werte besitzt.
Bestimme, welcher Datensatz homogener beziehungsweise stärker verteilt ist.
Gleiche Mittelwerte bedeuten nicht automatisch gleiche Verteilungen.
Fasse Lage und Streuung beider Datensätze in einer begründeten Aussage zusammen.
Eine statistische Kennzahl aus einer geeigneten grafischen Darstellung ermitteln.
Bestimme, welche statistische Grafik vorliegt.
Kläre, welche Bestandteile der Grafik die gesuchte Kennzahl direkt oder indirekt darstellen.
Bestimme Achseneinteilung und Einheit.
Lies genau jene Punkte, Grenzen oder Häufigkeiten ab, die zur Kennzahl gehören.
Übernimm den direkt dargestellten Wert oder führe die notwendige einfache Rechnung aus.
Kontrolliere den Kennwert anhand von Minimum, Maximum, Lage oder Verteilung der Grafik.
Die Größenordnung einer berechneten statistischen Kennzahl kontrollieren.
Kläre, welche statistische Kennzahl kontrolliert werden soll.
Ein Mittelwert oder Median muss zwischen Minimum und Maximum liegen; Streuungsmaße sind nicht negativ.
Kontrolliere, ob die Einheit zur Kennzahl passt.
Vergleiche den Kennwert mit typischen Werten des Datensatzes.
Bei identischen Datenwerten sind Spannweite, Varianz und Standardabweichung 0.
Begründe, ob der berechnete Wert möglich und zur Datenlage passend erscheint.
| Median(Liste) |
| Median bestimmen |
| Median({2,3,3,4,30}) |
| Algebra/CAS |
| Geordnete oder ungeordnete Liste |
| Q1 | Q1(Liste) | unteres Quartil | Q1({1,2,3,4,5,6,7}) | Algebra/CAS | Zahlenliste |
| Q3 | Q3(Liste) | oberes Quartil | Q3({1,2,3,4,5,6,7}) | Algebra/CAS | Zahlenliste |
| Standardabweichung | Standardabweichung(Liste) | Streuung bestimmen | Standardabweichung({2,3,3,4,30}) | Algebra/CAS | Zahlenliste |
| Boxplot | Boxplot(yOffset,ySkalierung,Liste) | Boxplot zeichnen | Boxplot(0,1,{1,2,3,4,5,6,7}) | Grafik | Zahlenliste |
| Histogramm | Histogramm(Klassengrenzen,Daten) | klassierte Daten darstellen | Histogramm({0,10,20,30},{4,12,18,22,25}) | Grafik | Grenzen und Rohdaten |
Mittelwert({2,3,3,4,30})
Verwendung: arithmetisches Mittel
Benötigte Ansicht: Algebra/CAS
Mathematische Voraussetzung: Zahlenliste
Median({2,3,3,4,30})
Verwendung: Median bestimmen
Benötigte Ansicht: Algebra/CAS
Mathematische Voraussetzung: Geordnete oder ungeordnete Liste
Q1({1,2,3,4,5,6,7})
Verwendung: unteres Quartil
Benötigte Ansicht: Algebra/CAS
Mathematische Voraussetzung: Zahlenliste
Q3({1,2,3,4,5,6,7})
Verwendung: oberes Quartil
Benötigte Ansicht: Algebra/CAS
Mathematische Voraussetzung: Zahlenliste
Standardabweichung({2,3,3,4,30})
Verwendung: Streuung bestimmen
Benötigte Ansicht: Algebra/CAS
Mathematische Voraussetzung: Zahlenliste
Boxplot(0,1,{1,2,3,4,5,6,7})
Verwendung: Boxplot zeichnen
Benötigte Ansicht: Grafik
Mathematische Voraussetzung: Zahlenliste
Histogramm({0,10,20,30},{4,12,18,22,25})
Verwendung: klassierte Daten darstellen
Benötigte Ansicht: Grafik
Mathematische Voraussetzung: Grenzen und Rohdaten
Wichtig: Eine grafische oder numerische Ausgabe ersetzt weder die Begründung noch die Kontextdeutung.