Polarkoordinaten

Kompetenzcode: AG 4.5

Bereich: Algebra und Geometrie

Ein Punkt in der Ebene kann auf zwei Arten beschrieben werden:

• kartesisch durch seine waagrechte und senkrechte Koordinate $P=(x\mid y)$,
• polar durch seinen Abstand $r$ vom Ursprung und seinen Richtungswinkel $\varphi$: $P=(r;\varphi)$.

In der üblichen Konvention gilt $r\geq0$. Der Winkel wird von der positiven $x$-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Negative Winkel beschreiben eine Drehung im Uhrzeigersinn.

Polarkoordinaten beantworten zwei Fragen: Wie weit? – das ist $r$. In welche Richtung? – das ist $\varphi$.

1. Polarkoordinaten geometrisch verstehen

Verbindet man den Ursprung $O$ mit dem Punkt $P$, entsteht ein rechtwinkeliges Dreieck. Die Hypotenuse hat die Länge $r$, die Katheten sind $x$ und $y$. Daher gilt:

$$\cos(\varphi)=\frac{x}{r}, \qquad \sin(\varphi)=\frac{y}{r}.$$

Nach $x$ und $y$ aufgelöst erhält man:

$$\boxed{x=r\cos(\varphi)}, \qquad \boxed{y=r\sin(\varphi)}.$$

Umgekehrt folgt mit dem Satz des Pythagoras:

$$\boxed{r=\sqrt{x^2+y^2}}.$$

Beispiel 1: Polarkoordinaten in einer Skizze erkennen

Ein Punkt liegt $7\,\mathrm{cm}$ vom Ursprung entfernt. Der Strahl vom Ursprung zum Punkt schließt mit der positiven $x$-Achse einen Winkel von $40^\circ$ ein.

Schritt 1: Abstand ablesen.

$$r=7\,\mathrm{cm}.$$

Schritt 2: Winkel ablesen.

$$\varphi=40^\circ.$$

Ergebnis:

$$P=(7;40^\circ).$$

Die Einheit Zentimeter gehört zum Radius. Der Winkel besitzt die Einheit Grad.

2. Von Polarkoordinaten zu kartesischen Koordinaten

Ist $(r;\varphi)$ gegeben, werden die beiden Komponenten mit Cosinus und Sinus berechnet:

$$x=r\cos(\varphi), \qquad y=r\sin(\varphi).$$

Der Taschenrechner muss zum Winkelmaß passen: DEG bei Grad, RAD bei Bogenmaß.

Beispiel 2: Ein Punkt im ersten Quadranten

Gegeben ist

$$P=(6;30^\circ).$$

Schritt 1: Formeln einsetzen.

$$x=6\cos(30^\circ), \qquad y=6\sin(30^\circ).$$

Schritt 2: Exakte Werte verwenden.

$$\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \sin(30^\circ)=\frac12.$$

Damit:

$$x=6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3, \qquad y=6\cdot\frac12=3.$$

Ergebnis:

$$P=(3\sqrt3\mid3)\approx(5{,}20\mid3{,}00).$$

Kontrolle: Beide Koordinaten sind positiv, also liegt der Punkt wie erwartet im ersten Quadranten.

Beispiel 3: Bogenmaß und zweiter Quadrant

Gegeben ist

$$P=\left(4;\frac{5\pi}{6}\right).$$

Der Winkel $\frac{5\pi}{6}=150^\circ$ liegt im zweiten Quadranten. Dort ist $x<0$ und .

$$x=4\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) =4\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right) =-2\sqrt3,$$ $$y=4\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) =4\cdot\frac12 =2.$$

Ergebnis:

$$P=(-2\sqrt3\mid2)\approx(-3{,}46\mid2{,}00).$$

Beispiel 4: Negativer Winkel auf einer Achse

Gegeben ist

$$P=\left(5;-\frac{\pi}{2}\right).$$

Der Winkel $-\frac{\pi}{2}=-90^\circ$ zeigt entlang der negativen $y$-Achse.

$$x=5\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=5\cdot0=0,$$ $$y=5\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=5\cdot(-1)=-5.$$

Ergebnis:

$$P=(0\mid-5).$$

3. Von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten

Zuerst wird der Radius bestimmt:

$$r=\sqrt{x^2+y^2}.$$

Für den Winkel liefert

$$\tan(\varphi)=\frac{y}{x}$$

zunächst nur einen Winkel mit passendem Tangenswert. Weil der Tangens nach $\pi$ beziehungsweise $180^\circ$ denselben Wert besitzt, muss anschließend der Quadrant aus den Vorzeichen von $x$ und $y$ berücksichtigt werden.

Viele Technologien besitzen dafür die Funktion $\operatorname{atan2}(y,x)$. Sie verarbeitet beide Koordinaten und wählt direkt den richtigen Quadranten.

Beispiel 5: Punkt im ersten Quadranten

Gegeben ist

$$P=(3\mid4).$$

Schritt 1: Radius berechnen.

$$r=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5.$$

Schritt 2: Winkel bestimmen.

$$\tan(\varphi)=\frac43, \qquad \varphi=\arctan\left(\frac43\right)\approx53{,}13^\circ.$$

Da $x>0$ und $y>0$, liegt der Punkt im ersten Quadranten; keine Korrektur ist nötig.

Ergebnis:

$$P\approx(5;53{,}13^\circ).$$

Beispiel 6: Der Quadrant entscheidet

Gegeben ist

$$P=(-\sqrt3\mid1).$$

Schritt 1: Radius berechnen.

$$r=\sqrt{(-\sqrt3)^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2.$$

Schritt 2: Referenzwinkel bestimmen.

$$\left|\frac{y}{x}\right|=\frac{1}{\sqrt3} \quad\Longrightarrow\quad \alpha=30^\circ.$$

Schritt 3: Quadrant berücksichtigen.

Wegen $x<0$ und $y>0$ liegt der Punkt im zweiten Quadranten:

$$\varphi=180^\circ-30^\circ=150^\circ=\frac{5\pi}{6}.$$

Ergebnis:

$$P=\left(2;150^\circ\right) =\left(2;\frac{5\pi}{6}\right).$$

Würde man nur $\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)=\arctan\!\left(-\frac1{\sqrt3}\right)=-30^\circ$ übernehmen, erhielte man fälschlich einen Punkt im vierten Quadranten.

Beispiel 7: Achsenpunkt ohne Division durch null

Gegeben ist

$$P=(0\mid-7).$$

Schritt 1: Radius berechnen.

$$r=\sqrt{0^2+(-7)^2}=7.$$

Schritt 2: Richtung direkt erkennen.

Der Punkt liegt auf der negativen $y$-Achse. Daher gilt beispielsweise

$$\varphi=270^\circ=\frac{3\pi}{2}$$

oder gleichwertig

$$\varphi=-90^\circ=-\frac{\pi}{2}.$$

Ergebnis:

$$P=\left(7;\frac{3\pi}{2}\right) =\left(7;-\frac{\pi}{2}\right).$$

Die Formel $\frac{y}{x}$ darf hier nicht verwendet werden, weil $x=0$ ist.

4. Polarkoordinaten geometrisch deuten

In Anwendungen ist $r$ häufig eine Entfernung und $\varphi$ eine Richtung. Die kartesischen Komponenten beschreiben dann die waagrechte und senkrechte Verschiebung.

Beispiel 8: Radarposition deuten

Ein Objekt wird relativ zur Station durch

$$P=(12\,\mathrm{km};210^\circ)$$

beschrieben.

Schritt 1: Richtung deuten.

$210^\circ=180^\circ+30^\circ$ liegt im dritten Quadranten. Beide Komponenten müssen negativ sein.

Schritt 2: Komponenten berechnen.

$$x=12\cos(210^\circ) =12\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right) =-6\sqrt3\,\mathrm{km} \approx-10{,}39\,\mathrm{km},$$ $$y=12\sin(210^\circ) =12\cdot\left(-\frac12\right) =-6\,\mathrm{km}.$$

Deutung: Das Objekt ist $12\,\mathrm{km}$ von der Station entfernt und befindet sich etwa $10{,}39\,\mathrm{km}$ westlich sowie $6\,\mathrm{km}$ südlich von ihr.

5. Mehrdeutigkeit und Sonderfälle

Gleichwertige Winkel

Eine volle Drehung verändert den Punkt nicht. Für jede ganze Zahl $k$ gilt:

$$(r;\varphi) =\left(r;\varphi+2k\pi\right)$$

beziehungsweise im Gradmaß

$$(r;\varphi) =\left(r;\varphi+k\cdot360^\circ\right).$$

Zum Beispiel beschreibt

$$\left(2;\frac{13\pi}{6}\right) =\left(2;\frac{\pi}{6}\right)$$

denselben Punkt, weil $\frac{13\pi}{6}-2\pi=\frac{\pi}{6}$. Seine kartesischen Koordinaten sind

$$x=2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3, \qquad y=2\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=1.$$

Ursprung

Für $r=0$ erhält man unabhängig vom Winkel immer den Ursprung:

$$(0;\varphi)\longleftrightarrow(0\mid0).$$

Am Ursprung ist der Richtungswinkel nicht eindeutig bestimmt.

Negative Radien

Manche Darstellungen erlauben einen negativen Radius. Dann zeigt der Punkt in die entgegengesetzte Richtung:

$$(-r;\varphi)=(r;\varphi+\pi).$$

Auf dieser Seite verwenden wir die übliche eindeutige Grundkonvention $r\geq0$.

6. Ergebnisse sicher kontrollieren

Kontrolle nach polar → kartesisch

1. Stimmen die Vorzeichen von $x$ und $y$ mit dem Quadranten überein?
2. Gilt wegen $|\sin\varphi|\leq1$ und $|\cos\varphi|\leq1$ auch und ?

Kontrolle nach kartesisch → polar

1. Ist $r\geq0$?
2. Passt der Winkel zum Vorzeichenpaar von $x$ und $y$?
3. Liefern $r\cos\varphi$ und $r\sin\varphi$ wieder die Ausgangskoordinaten?

7. Häufige Fehler

• Radius und Winkel vertauschen: In $(r;\varphi)$ steht zuerst der Abstand, dann der Winkel.
• Falscher Rechnermodus: Gradwerte benötigen DEG, Radiantwerte RAD.
• Nur Arkustangens verwenden: $\arctan(y/x)$ unterscheidet gegenüberliegende Quadranten nicht.
• Achsenpunkte dividieren: Bei $x=0$ ist nicht definiert; die Richtung wird geometrisch erkannt.

8. Arbeitsrezept

Polar nach kartesisch

1. $r$ und $\varphi$ identifizieren.
2. Winkelmaß erkennen und DEG oder RAD einstellen.
3. Quadrant und erwartete Vorzeichen bestimmen.
4. $x=r\cos\varphi$ berechnen.
5. $y=r\sin\varphi$ berechnen.

Kartesisch nach polar

1. $x$ und $y$ identifizieren.
2. $r=\sqrt{x^2+y^2}$ berechnen.

Merksätze

• Kartesisch beschreibt Komponenten, polar beschreibt Entfernung und Richtung.
• $x=r\cos\varphi$ und $y=r\sin\varphi$.
• $r=\sqrt{x^2+y^2}$.