Gleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen

Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind. Gesucht sind jene Werte der Variablen, für die beide Seiten denselben Wert haben.

Das Ziel ist meistens, die Variable allein auf eine Seite zu bringen.

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1. Was bedeutet eine Äquivalenzumformung?

Eine Gleichung bleibt gleichwertig, wenn auf beiden Seiten dieselbe zulässige Operation ausgeführt wird.

Die Operation wird nach einem Schrägstrich notiert:

$$\begin{aligned} x+5&=12 && /\,-5 \\ x&=7. \end{aligned}$$

Die Schreibweise

$$/\,-5$$

bedeutet: Auf beiden Seiten wird $5$ subtrahiert. Der Schrägstrich ist hier nur ein Hinweis auf den nächsten Rechenschritt; er ist kein Bruchstrich.

Merksatz: Nach dem Schrägstrich steht genau eine Rechenoperation. Diese wird auf beiden Seiten ausgeführt.

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2. Addition und Subtraktion rückgängig machen

Beispiel 1: Addition entfernen

$$\begin{aligned} x+7&=12 && /\,-7 \\ x+7-7&=12-7 \\ x&=5. \end{aligned}$$

Die Zwischenzeile zeigt ausdrücklich, was auf beiden Seiten geschieht. Später kann sie weggelassen werden, wenn der Vorgang sicher beherrscht wird:

$$\begin{aligned} x+7&=12 && /\,-7 \\ x&=5. \end{aligned}$$

Beispiel 2: Subtraktion entfernen

$$\begin{aligned} x-4&=9 && /\,+4 \\ x-4+4&=9+4 \\ x&=13. \end{aligned}$$

Die Gegenoperation zur Subtraktion von $4$ ist die Addition von $4$.

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3. Multiplikation und Division rückgängig machen

Beispiel 1: Faktor entfernen

$$\begin{aligned} 3x&=18 && /\,:3 \\ \frac{3x}{3}&=\frac{18}{3} \\ x&=6. \end{aligned}$$

Beispiel 2: Division entfernen

$$\begin{aligned} \frac{x}{5}&=7 && /\,\cdot5 \\ \frac{x}{5}\cdot5&=7\cdot5 \\ x&=35. \end{aligned}$$

Durch null darf niemals dividiert werden.

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4. Mehrstufige Gleichungen

Gegeben ist

$$4x+7=19.$$

Die Variable wird in zwei Schritten isoliert.

Schritt 1: $+7$ rückgängig machen.

$$\begin{aligned} 4x+7&=19 && /\,-7 \\ 4x&=12. \end{aligned}$$

Schritt 2: Multiplikation mit $4$ rückgängig machen.

$$\begin{aligned} 4x&=12 && /\,:4 \\ x&=3. \end{aligned}$$

Der vollständige Rechenweg:

$$\begin{aligned} 4x+7&=19 && /\,-7 \\ 4x&=12 && /\,:4 \\ x&=3. \end{aligned}$$

Es werden nicht zwei Operationen in einer Zeile zusammengefasst. Dadurch bleibt jeder Schritt kontrollierbar.

Beispiel mit negativem Koeffizienten

$$\begin{aligned} -3x+5&=17 && /\,-5 \\ -3x&=12 && /\,:(-3) \\ x&=-4. \end{aligned}$$

Die Division erfolgt durch $-3$, nicht durch $3$.

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5. Variablen auf beiden Seiten

Gegeben ist

$$5x+2=2x+14.$$

Zuerst werden die Variablenterme auf einer Seite gesammelt.

$$\begin{aligned} 5x+2&=2x+14 && /\,-2x \\ 3x+2&=14 && /\,-2 \\ 3x&=12 && /\,:3 \\ x&=4. \end{aligned}$$

Nach jeder Zeile wird vollständig vereinfacht. Es wäre auch möglich, zuerst $5x$ zu subtrahieren. Der gewählte Weg vermeidet hier einen negativen Koeffizienten.

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6. Gleichungen mit Klammern

Gegeben ist

$$3(x+2)=18.$$

Es gibt zwei zulässige Wege.

Weg A: Zuerst ausmultiplizieren

$$\begin{aligned} 3(x+2)&=18 \\ 3x+6&=18 && /\,-6 \\ 3x&=12 && /\,:3 \\ x&=4. \end{aligned}$$

Weg B: Zuerst durch den äußeren Faktor dividieren

$$\begin{aligned} 3(x+2)&=18 && /\,:3 \\ x+2&=6 && /\,-2 \\ x&=4. \end{aligned}$$

Weg B ist kürzer. Beide Wege liefern dieselbe Lösung.

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7. Einfache Bruchgleichungen

Gegeben ist

$$\frac{x}{5}+2=8.$$ $$\begin{aligned} \frac{x}{5}+2&=8 && /\,-2 \\ \frac{x}{5}&=6 && /\,\cdot5 \\ x&=30. \end{aligned}$$

Die Multiplikation mit $5$ hebt die Division durch $5$ auf.

Ein zweites Beispiel:

$$\begin{aligned} \frac{x+1}{4}&=3 && /\,\cdot4 \\ x+1&=12 && /\,-1 \\ x&=11. \end{aligned}$$

Die Klammer im Zähler wird als gemeinsamer Ausdruck behandelt.

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8. Probe

Die Lösung $x=4$ wird in die Ausgangsgleichung

$$5x+2=2x+14$$

eingesetzt.

Linke Seite:

$$\begin{aligned} 5\cdot4+2 &=20+2 \\ &=22. \end{aligned}$$

Rechte Seite:

$$\begin{aligned} 2\cdot4+14 &=8+14 \\ &=22. \end{aligned}$$

Da

$$22=22,$$

ist $x=4$ eine Lösung.

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9. Sonderfälle

Keine Lösung

$$\begin{aligned} 2x+3&=2x+7 && /\,-2x \\ 3&=7. \end{aligned}$$

Die Aussage $3=7$ ist falsch. Daher gibt es keinen Wert für $x$, der die Gleichung erfüllt.

$$L=\varnothing.$$

Alle Zahlen als Lösung

$$\begin{aligned} 2(x+3)&=2x+6 \\ 2x+6&=2x+6 && /\,-2x \\ 6&=6. \end{aligned}$$

Die Aussage $6=6$ ist immer wahr. Jeder zulässige Wert erfüllt die Ausgangsgleichung.

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10. Typische Fehler

• Eine Operation wird nur auf einer Seite ausgeführt.
• Die Operation nach dem Schrägstrich wird zwar notiert, aber nicht richtig angewendet.
• Mehrere Umformungen werden in eine einzige Zeile gepackt.
• Ein Vorzeichen geht beim Vereinfachen verloren.
• Durch null wird dividiert.
• Eine gefundene Lösung wird nicht geprüft.

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11. Zusammenfassung

$$\text{vereinfachen} \longrightarrow \text{eine Gegenoperation }/\ldots \longrightarrow \text{beide Seiten vereinfachen} \longrightarrow \text{wiederholen} \longrightarrow \text{Probe}$$

Jede Zeile soll aus der vorherigen Zeile durch genau eine nachvollziehbare Äquivalenzumformung entstehen.