Verhältnisse, Proportionen und Dreisatz

Ein Verhältnis vergleicht zwei Größen durch Division. Ein Dreisatz hilft, von bekannten zusammengehörigen Werten auf einen neuen Wert zu schließen.

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1. Verhältnisse bilden und vereinfachen

Ein Verhältnis wird beispielsweise so geschrieben:

$$12:18.$$

Beide Verhältnisglieder können durch denselben Wert dividiert werden:

$$\begin{aligned} 12:18 &=(12:6):(18:6) \\ &=2:3. \end{aligned}$$

Einheiten zuerst vereinheitlichen

Das Verhältnis von $2\,\mathrm{m}$ zu $50\,\mathrm{cm}$ darf nicht sofort als $2:50$ geschrieben werden.

Zuerst:

$$2\,\mathrm{m}=200\,\mathrm{cm}.$$

Dann:

$$\begin{aligned} 200:50 &=(200:50):(50:50) \\ &=4:1. \end{aligned}$$

Das bedeutet: Die erste Länge ist viermal so groß wie die zweite.

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2. Proportionale Zuordnungen

Eine Zuordnung ist proportional, wenn sich beide Größen mit demselben Faktor verändern.

• doppelte Menge $\rightarrow$ doppelter Preis,
• halbe Menge $\rightarrow$ halber Preis.

Der Quotient bleibt gleich:

$$\frac{\text{Preis}}{\text{Menge}}=\text{konstant}.$$

Ausführliches Beispiel

$4$ Hefte kosten $10\,€$. Wie viel kosten $7$ Hefte bei gleichem Stückpreis?

Die Rechnungen dazu:

$$\begin{aligned} 10\,€:4 &=2{,}50\,€, \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} 2{,}50\,€\cdot7 &=17{,}50\,€. \end{aligned}$$

Antwort: $7$ Hefte kosten $17{,}50\,€$.

Kontrolle:

$$17{,}50\,€:7=2{,}50\,€$$

ist derselbe Stückpreis wie bei der Ausgangsangabe.

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3. Proportionalität erkennen

Die Verdopplungsprobe ist ein erster Hinweis:

• Verdoppelt sich die eine Größe und verdoppelt sich die andere ebenfalls, kann die Zuordnung proportional sein.
• Bleibt der Quotient aus zugeordneten Werten konstant, ist die Zuordnung proportional.

Eine Taxifahrt mit Grundgebühr ist nicht proportional. Bei $0$ Kilometern entsteht bereits ein Preis. Der Graph würde daher nicht durch den Ursprung gehen.

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4. Antiproportionale Zuordnungen

Eine Zuordnung ist antiproportional, wenn eine Größe größer und die andere im passenden Verhältnis kleiner wird.

• doppelte Anzahl an gleich schnellen Arbeitskräften $\rightarrow$ halbe Arbeitszeit,
• dreifache Geschwindigkeit bei gleicher Strecke $\rightarrow$ ein Drittel der Zeit.

Das Produkt bleibt gleich:

$$\text{erste Größe}\cdot\text{zweite Größe}=\text{konstant}.$$

Ausführliches Beispiel

$6$ Personen benötigen für eine gleichmäßig aufteilbare Arbeit $8$ Stunden. Wie lange benötigen $4$ gleich schnelle Personen?

Zuerst wird die gesamte Arbeitsmenge in Personenstunden bestimmt:

$$\begin{aligned} 6\cdot8\,\mathrm{h} &=48\,\text{Personenstunden}. \end{aligned}$$

Dann wird durch die neue Personenzahl dividiert:

$$\begin{aligned} 48\,\text{Personenstunden}:4 &=12\,\mathrm{h}. \end{aligned}$$

Antwort: $4$ Personen benötigen $12$ Stunden.

Die Richtung ist plausibel: Weniger Personen brauchen mehr Zeit.

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5. Proportional oder antiproportional?

Nicht jede Zuordnung gehört zu einer dieser beiden Arten. Eine Grundgebühr, eine Mindestmenge oder eine feste Wartezeit können den einfachen Zusammenhang verändern.

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6. Dreisatzergebnisse prüfen

Eine vollständige Kontrolle umfasst:

1. Einheit: Passt die Ergebniseinheit zur Frage?
2. Richtung: Muss das Ergebnis größer oder kleiner werden?
3. Überschlag: Liegt der Wert in einer vernünftigen Größenordnung?
4. Rückrechnung: Wird der Ausgangswert wieder erreicht?
5. Kontext: Gilt das Modell überhaupt für den betrachteten Bereich?

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7. Typische Fehler

• Einheiten werden vor dem Verhältnis nicht vereinheitlicht.
• Beim proportionalen Dreisatz werden die Spalten mit verschiedenen Faktoren verändert.
• Eine antiproportionale Aufgabe wird wie eine proportionale behandelt.
• Ein fester Grundbetrag wird übersehen.
• Der Rechenschritt zur Einerzeile fehlt.
• Das Ergebnis wird ohne Einheit oder Antwortsatz notiert.

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8. Zusammenfassung

• Verhältnis: zwei Größen durch Division vergleichen.
• Proportional: gleicher Faktor, konstanter Quotient.
• Antiproportional: entgegengesetzte Veränderung, konstantes Produkt.
• Dreisatz: übersichtliche Tabelle, sichtbare Rechenschritte, Antwortsatz und Kontrolle.