Theorie wird geladen …
Lies die Erklärung in Ruhe durch und nutze anschließend die Schrittlisten, um das Vorgehen sicher anzuwenden.
Ein Verhältnis vergleicht zwei Größen durch Division. Ein Dreisatz hilft, von bekannten zusammengehörigen Werten auf einen neuen Wert zu schließen.
Ein Verhältnis wird beispielsweise so geschrieben:
Beide Verhältnisglieder können durch denselben Wert dividiert werden:
So gehst du vor
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
Diese Schrittliste führt beim Thema Verhältnisse, Proportionen und Dreisatz durch „Verhältnisse vereinfachen“. Jeder Schritt wird einzeln ausgeführt, vollständig notiert und vor dem Weiterrechnen geprüft.
Beide Größen notieren: Schreibe diesen Bestandteil vollständig und in der vereinbarten mathematischen Form auf. Vorzeichen, Klammern und Einheiten dürfen nicht verloren gehen.
Gleiche Einheit herstellen: Notiere Zahl und Einheit gemeinsam, vereinheitliche nötigenfalls die Einheiten und prüfe, ob die Ergebniseinheit zur gesuchten Größe passt.
Gemeinsamen Teiler suchen: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Verhältnisse vereinfachen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
Beide Verhältnisglieder dividieren: Führe genau diese Rechenoperation in einer eigenen Zeile aus, notiere das Zwischenergebnis vollständig und vereinfache erst danach weiter.
Nächster Schritt
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
Das Verhältnis von zu darf nicht sofort als geschrieben werden.
Zuerst:
Dann:
Das bedeutet: Die erste Länge ist viermal so groß wie die zweite.
Eine Zuordnung ist proportional, wenn sich beide Größen mit demselben verändern.
Der Quotient bleibt gleich:
Bitte was? „Konstant“ heißt hier: Rechne Preis durch Menge. Für jedes gleich teure Stück kommt immer derselbe Wert heraus – der Stückpreis.
Hefte kosten . Wie viel kosten Hefte bei gleichem Stückpreis?
Die Rechnungen dazu:
Antwort: Hefte kosten .
Kontrolle:
ist derselbe Stückpreis wie bei der Ausgangsangabe.
Die Verdopplungsprobe ist ein erster Hinweis:
Eine Taxifahrt mit Grundgebühr ist nicht proportional. Bei Kilometern entsteht bereits ein Preis. Der Graph würde daher nicht durch den Ursprung gehen.
Eine Zuordnung ist antiproportional, wenn eine Größe größer und die andere im passenden Verhältnis kleiner wird.
Das Produkt bleibt gleich:
Merke: Proportional: Beide Größen gehen in dieselbe Richtung. Antiproportional: Eine Größe wird größer, die andere kleiner.
Personen benötigen für eine gleichmäßig aufteilbare Arbeit Stunden. Wie lange benötigen gleich schnelle Personen?
Zuerst wird die gesamte Arbeitsmenge in Personenstunden bestimmt:
Dann wird durch die neue Personenzahl dividiert:
Antwort: Personen benötigen Stunden.
Die Richtung ist plausibel: Weniger Personen brauchen mehr Zeit.
Nicht jede Zuordnung gehört zu einer dieser beiden Arten. Eine Grundgebühr, eine Mindestmenge oder eine feste Wartezeit können den einfachen Zusammenhang verändern.
Eine vollständige Kontrolle umfasst:
Vereinfachtes Verhältnis notieren: Schreibe diesen Bestandteil vollständig und in der vereinbarten mathematischen Form auf. Vorzeichen, Klammern und Einheiten dürfen nicht verloren gehen.
Wert als Quotient prüfen: Vergleiche den Schritt mit Ausgangsangabe, Größenordnung und Rechenrichtung. Formuliere kurz, warum das Ergebnis möglich oder fehlerhaft ist.
Im Kontext deuten: Formuliere eine vollständige Aussage mit Bezug zur Aufgabe. Nenne dabei Zahl, Einheit und die mathematische Bedeutung des Ergebnisses.
Diese Schrittliste führt beim Thema Verhältnisse, Proportionen und Dreisatz durch „Proportionalen Dreisatz lösen“. Jeder Schritt wird einzeln ausgeführt, vollständig notiert und vor dem Weiterrechnen geprüft.
Größenüberschriften notieren: Schreibe diesen Bestandteil vollständig und in der vereinbarten mathematischen Form auf. Vorzeichen, Klammern und Einheiten dürfen nicht verloren gehen.
Gegebene Zeile eintragen: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Proportionalen Dreisatz lösen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
Auf 1 herunterrechnen: Führe genau diese Rechenoperation in einer eigenen Zeile aus, notiere das Zwischenergebnis vollständig und vereinfache erst danach weiter.
Beide Seiten gleich dividieren: Führe genau diese Rechenoperation in einer eigenen Zeile aus, notiere das Zwischenergebnis vollständig und vereinfache erst danach weiter.
Auf Zielwert hochrechnen: Führe genau diese Rechenoperation in einer eigenen Zeile aus, notiere das Zwischenergebnis vollständig und vereinfache erst danach weiter.
Beide Seiten gleich multiplizieren: Führe genau diese Rechenoperation in einer eigenen Zeile aus, notiere das Zwischenergebnis vollständig und vereinfache erst danach weiter.
Antwortsatz bilden: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Proportionalen Dreisatz lösen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
Diese Schrittliste führt beim Thema Verhältnisse, Proportionen und Dreisatz durch „Antiproportionalen Dreisatz lösen“. Jeder Schritt wird einzeln ausgeführt, vollständig notiert und vor dem Weiterrechnen geprüft.
Gegenläufigkeit erkennen: Kennzeichne den gesuchten Bestandteil direkt in der Aufgabe und begründe die Zuordnung mit einem mathematischen Merkmal aus dem Thema „Antiproportionalen Dreisatz lösen“.
Tabelle anlegen: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Antiproportionalen Dreisatz lösen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
Multipliziere die beiden zugeordneten Werte jeder Zeile. Bei einer antiproportionalen Zuordnung muss dasselbe Produkt entstehen.
Erste Größe verändern: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Antiproportionalen Dreisatz lösen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
Zweite Größe entgegengesetzt verändern: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Antiproportionalen Dreisatz lösen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
Zielwert berechnen: Führe genau diese Rechenoperation in einer eigenen Zeile aus, notiere das Zwischenergebnis vollständig und vereinfache erst danach weiter.
Plausibilität erklären: Vergleiche den Schritt mit Ausgangsangabe, Größenordnung und Rechenrichtung. Formuliere kurz, warum das Ergebnis möglich oder fehlerhaft ist.
Diese Schrittliste führt beim Thema Verhältnisse, Proportionen und Dreisatz durch „Zuordnungsart erkennen“. Jeder Schritt wird einzeln ausgeführt, vollständig notiert und vor dem Weiterrechnen geprüft.
Situation lesen: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Zuordnungsart erkennen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
Grundgebühr oder festen Anteil suchen: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Zuordnungsart erkennen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
Verdopplungsprobe durchführen: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Zuordnungsart erkennen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
Multipliziere die beiden zugeordneten Werte jeder Zeile. Bei einer antiproportionalen Zuordnung muss dasselbe Produkt entstehen.
Zuordnungsart nennen: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Zuordnungsart erkennen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
Begründung formulieren: Formuliere eine vollständige Aussage mit Bezug zur Aufgabe. Nenne dabei Zahl, Einheit und die mathematische Bedeutung des Ergebnisses.
Passendes Verfahren wählen: Triff die Auswahl anhand der gegebenen Struktur und halte sie sichtbar fest, bevor gerechnet wird. Prüfe, ob sie zum weiteren Vorgehen passt.
Diese Schrittliste führt beim Thema Verhältnisse, Proportionen und Dreisatz durch „Dreisatzergebnis prüfen“. Jeder Schritt wird einzeln ausgeführt, vollständig notiert und vor dem Weiterrechnen geprüft.
Einheiten kontrollieren: Notiere Zahl und Einheit gemeinsam, vereinheitliche nötigenfalls die Einheiten und prüfe, ob die Ergebniseinheit zur gesuchten Größe passt.
Richtung der Veränderung prüfen: Vergleiche den Schritt mit Ausgangsangabe, Größenordnung und Rechenrichtung. Formuliere kurz, warum das Ergebnis möglich oder fehlerhaft ist.
Überschlag bilden: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Dreisatzergebnis prüfen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
Tabellenfaktoren vergleichen: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Dreisatzergebnis prüfen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
Rückrechnung durchführen: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Dreisatzergebnis prüfen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
Kontextgrenze beachten: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Dreisatzergebnis prüfen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
Antwortsatz formulieren: Formuliere eine vollständige Aussage mit Bezug zur Aufgabe. Nenne dabei Zahl, Einheit und die mathematische Bedeutung des Ergebnisses.
Ein Verhältnis zweier Größen korrekt angeben und kürzen.
Falls nötig, wandle beide Größen zuerst in dieselbe Einheit um.
Behalte die im Auftrag vorgegebene Reihenfolge der beiden Größen bei.
Schreibe das Verhältnis als a:b oder als Bruch a/b.
Bestimme einen gemeinsamen Teiler beider Verhältniswerte.
Teile beide Verhältniswerte durch denselben .
Kontrolliere, dass die Reihenfolge erhalten und das Verhältnis vollständig gekürzt ist.
Ein gegebenes Verhältnis in einem Sachkontext interpretieren.
Bestimme, welche beiden Größen miteinander verglichen werden.
Bei a:b bezieht sich a auf die zuerst genannte und b auf die zweite Größe.
Prüfe, ob die Größen gleiche oder unterschiedliche Einheiten besitzen.
Formuliere, wie viele Teile der ersten Größe auf wie viele Teile der zweiten kommen.
Ein gekürztes Verhältnis darf mit demselben erweitert werden, ohne seine Bedeutung zu ändern.
Beschreibe das Verhältnis eindeutig im gegebenen Sachzusammenhang.
Erkennen, ob sich zwei Größen direkt proportional verhalten.
Betrachte mehrere zusammengehörige Wertepaare der beiden Größen.
Berechne jeweils y/x für x ungleich 0.
Bei direkter Proportionalität ist dieser Quotient konstant.
Eine direkte proportionale Zuordnung besitzt in der Grundform y=k·x.
Ein abweichender Quotient genügt, um exakte direkte Proportionalität auszuschließen.
Entscheide anhand des konstanten beziehungsweise nicht konstanten Quotienten.
Erkennen, ob sich zwei Größen indirekt proportional verhalten.
Betrachte mehrere zusammengehörige positive Wertepaare der beiden Größen.
Berechne jeweils x·y.
Bei indirekter Proportionalität ist dieses Produkt konstant.
Wird eine Größe mit einem vervielfacht, wird die andere bei indirekter Proportionalität durch denselben Faktor geteilt.
Ein abweichendes Produkt schließt exakte indirekte Proportionalität aus.
Entscheide anhand des konstanten beziehungsweise nicht konstanten Produkts.
Eine direkt proportionale Zuordnung mit einem Dreisatz berechnen.
Schreibe ein bekanntes Wertepaar der direkt proportionalen Größen auf.
Teile beide zugeordneten Größen so, dass du den Wert für eine Einheit erhältst.
Prüfe, mit welchem du von 1 zum verlangten Wert gelangst.
Multipliziere beide Seiten der Zuordnung mit diesem .
Notiere den gesuchten Wert mit der passenden Einheit.
Wenn die eine Größe größer wird, muss bei direkter Proportionalität auch die andere entsprechend größer werden.
Eine indirekt proportionale Zuordnung mit einem Dreisatz berechnen.
Schreibe ein bekanntes Wertepaar der indirekt proportionalen Größen auf.
Bestimme, mit welchem sich die erste Größe verändert.
Teile die zweite Größe durch denselben beziehungsweise multipliziere mit dessen Kehrwert.
Führe die Rechnung für den verlangten Wert vollständig aus.
Notiere die gesuchte Größe mit passender Einheit.
Wird die eine Größe größer, muss die andere bei indirekter Proportionalität kleiner werden.
Den konstanten Quotienten bei einer direkten Proportionalität bestimmen.
Wähle ein vollständiges Wertepaar einer direkt proportionalen Zuordnung mit x ungleich 0.
Berechne k=y/x.
Der konstante Wert k ist der Proportionalitätsfaktor.
Berechne y/x für ein weiteres Wertepaar.
Bei direkter Proportionalität muss derselbe entstehen.
Beschreibe k als Wert der zweiten Größe pro einer Einheit der ersten Größe.
Die Angemessenheit eines proportionalen Modells in einem Sachkontext beurteilen.
Kläre, welche beiden Größen im Modell miteinander verknüpft werden.
Bestimme, ob eine konstante Vervielfachung der einen Größe eine entsprechende Vervielfachung der anderen voraussetzt.
Suche Grundgebühren, Mindestwerte, Kapazitätsgrenzen oder andere Einflüsse, die die Proportionalität stören könnten.
Prüfe vorhandene Wertepaare auf einen konstanten Quotienten beziehungsweise das passende Proportionalitätsmerkmal.
Ein proportionales Modell kann nur in einem bestimmten Bereich sinnvoll sein.
Bewerte das Modell als passend, eingeschränkt passend oder unpassend und nenne den entscheidenden Grund.
