Zentrales Ziel: Die Gleichung soll in eine geeignete Form gebracht, mit einem passenden Verfahren gelöst und geometrisch als Nullstellenproblem verstanden werden.
1. Quadratische und nichtquadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen
x2−5x+6=0
3(x−2)2=12
2x2+7=5x.
Nichtquadratische Gleichungen
4x+1=9
x3=8
x1=2.
2. Normalform
Die Normalform ist:
ax2+bx+c=0.
Alle werden auf eine Seite gebracht und nach fallenden Potenzen geordnet.
Beispiel:
2x2+5=3x
wird zu:
2x2−3x+5=0.
3. Lösen durch Faktorisieren
Beispiel:
x2−5x+6=0.
Faktorisieren:
(x−2)(x−3)=0.
Mit dem Nullprodukt:
x−2=0oderx−3=0.
Daher:
x1=2,x2=3.
Nullproduktregel: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist.
4. Ausklammern
Beispiel:
x2−4x=0.
Ausklammern:
x(x−4)=0.
Daraus folgt:
x=0oderx=4.
Es darf nicht einfach durch x dividiert werden, weil dadurch die Lösung x=0 verloren gehen würde.
5. Wurzelziehen
Beispiel:
(x−3)2=16.
Wurzelziehen liefert zwei Fälle:
x−3=4oderx−3=−4.
Daher:
x1=7,x2=−1.
Merksatz: Aus u2=k folgt für k>0 immer u=±k.
6. Quadratische Ergänzung
Beispiel:
x2+6x+5=0.
Zunächst:
x2+6x=−5.
Die Hälfte von 6 ist 3. Ergänzt wird 32=9:
x2+6x+9=4.
Damit:
(x+3)2=4.
Also:
x+3=±2.
Daraus:
x1=−1,x2=−5.
7. Lösungsformeln
Allgemeine Lösungsformel
Für
ax2+bx+c=0
mit a=0 gilt:
x1,2=2a−b±b2−4ac.
Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante:
D=b2−4ac.
p-q-Formel
Die p-q-Formel gilt für eine normierte quadratische Gleichung:
x2+px+q=0.
Für die p-q-Formel wird die Diskriminante so berechnet:
D=(2p)2−q.
Dann lautet die p-q-Formel:
x1,2=−2p±D.
Zusammengefasst:
x1,2=−2p±(2p)2−q.
Ist der Koeffizient vor x2 nicht gleich 1, muss zuerst durch a dividiert werden.
Beispiel:
2x2+4x−6=0⟺:2x2+2x−3=0.
Damit sind
p=2undq=−3.
Zuerst wird D berechnet:
D=(22)2−(−3)=1+3=4.
Einsetzen:
x1,2=−1±4=−1±2.
Also:
x1=1,x2=−3.
Merksatz: Die allgemeine Lösungsformel funktioniert in der Form ax2+bx+c=0 mit D=b2−4ac. Die p-q-Formel funktioniert nach dem Normieren auf x2+px+q=0 mit D=(2p)2−q.
8. Die drei Lösungsfälle der Diskriminante
Die Diskriminante wird je nach verwendeter Lösungsformel unterschiedlich berechnet:
Verwendete Formel
Form der Gleichung
Diskriminante
allgemeine Lösungsformel
ax2+bx+c=0
D=b2−4ac
p-q-Formel
x2+px+q=0
D
In beiden Fällen entscheidet das Vorzeichen von D bereits vor dem vollständigen Ausrechnen, wie viele reelle Lösungen existieren.
Fall 1: D>0
Unter der Wurzel steht eine positive Zahl.
Es gibt zwei verschiedene reelle Lo¨sungen.
Die Parabel schneidet die x-Achse in zwei verschiedenen Punkten.
Fall 2: D=0
Unter der Wurzel steht null.
Es gibt genau eine reelle Lo¨sung.
Beide Lösungswerte stimmen überein:
x1=x2=−2a
Man spricht von einer doppelten Nullstelle. Die Parabel berührt die x-Achse.
Fall 3: D<0
Unter der Wurzel steht eine negative Zahl.
Es gibt keine reelle Lo¨sung.
Die Parabel besitzt keinen Schnittpunkt mit der x-Achse. In den komplexen Zahlen existieren dennoch Lösungen.
Diskriminante
Reelle Lösungen
Geometrische Bedeutung
D>0
zwei
zwei Schnittpunkte mit der x-Achse
D=0
eine doppelte
Berührung der x-Achse
D<0
keine
kein Schnittpunkt mit der x-Achse
9. Geometrische Deutung
Zur Gleichung
ax2+bx+c=0
gehört die Parabel
f(x)=ax2+bx+c.
Die Lösungen der Gleichung sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.
Zwei verschiedene Nullstellen
Beispiel:
f(x)=x2−1.
Die Parabel schneidet die x-Achse bei x1=−1 und x2=1.
Eine doppelte Nullstelle
Beispiel:
f(x)=x2.
Die Parabel berührt die x-Achse im Scheitelpunkt. Es gilt x1=x2=0.
Keine reelle Nullstelle
Beispiel:
f(x)=x2+1.
Die Parabel liegt vollständig oberhalb der x-Achse und besitzt keine reelle Nullstelle.
10. Scheitelpunkt und Lösungsfall
Für a>0 ist die Parabel nach oben geöffnet.
Liegt der Scheitel unter der x-Achse, gibt es zwei Nullstellen.
Liegt der Scheitel auf der x-Achse, gibt es eine doppelte Nullstelle.
Liegt der Scheitel über der x-Achse, gibt es keine reelle Nullstelle.
Für a<0 gelten die entsprechenden Aussagen spiegelbildlich.
11. Geeignetes Lösungsverfahren wählen
Form der Gleichung
Geeignetes Verfahren
x2=k
Wurzelziehen
(x−d)2=k
Wurzelziehen
Produkt gleich null
Nullproduktregel
gemeinsamer Faktor
Ausklammern
leicht faktorisierbar
Faktorisieren
allgemeine Normalform
Lösungsformel
Scheitelpunktform gesucht
quadratische Ergänzung
12. Beispiel mit Lösungsformel
Gegeben:
2x2−3x−2=0.
Hier gilt:
a=2,b=−3,c=−2.
Diskriminante:
D=(−3)2−4⋅2⋅(−2)=25.
Damit:
x1,2=43±5.
Also:
x1=2,x2=−21.
13. Beispiel ohne reelle Lösung
Gegeben:
x2+2x+5=0.
Diskriminante:
D=22−4⋅1⋅5=−16.
Da
D<0,
gibt es keine reelle Lösung:
L=∅in R.
Geometrisch liegt die Parabel vollständig oberhalb der x-Achse.
14. Quadratische Gleichung im Kontext
Ein rechteckiger Garten besitzt die Fläche
60m2.
Die Länge ist um 7m größer als die Breite.
Wir setzen:
x=Breite in Metern.
Dann ist die Länge:
x+7.
Flächengleichung:
x(x+7)=60.
Normalform:
x2+7x−60=0.
Faktorisieren:
(x+12)(x−5)=0.
Mathematische Lösungen:
x=−12oderx=5.
Im Kontext ist eine negative Länge nicht zulässig.
Daher:
Der Garten ist 5m breit und 12m lang.
15. Probe
Jede Lösung wird in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt.
Für
x=5
gilt:
5(5+7)=60.
Für
x=−12
gilt rechnerisch ebenfalls:
(−12)(−5)=60.
Die zweite Lösung ist algebraisch korrekt, aber geometrisch nicht sinnvoll.
16. Typische Fehler
Gleichung nicht auf null gebracht
Die allgemeine Lösungsformel wird auf
ax2+bx+c=0
angewendet.
Vorzeichen von b falsch eingesetzt
Bei
2x2−3x−2=0
ist
b=−3.
Plus-Minus vergessen
Beim Wurzelziehen müssen beide Vorzeichen berücksichtigt werden.
Durch die Variable dividiert
Bei
x(x−4)=0
würde die Division durch x eine Lösung verlieren.
Kontext nicht geprüft
Negative Längen oder nicht ganzzahlige Stückzahlen können mathematisch entstehen, aber sachlich unzulässig sein.
17. Arbeitsablauf
Schritt
Leitfrage
1. Umformen
Ist die Gleichung in einer geeigneten Form?
2. Verfahren wählen
Faktorisieren, Wurzelziehen, Ergänzen oder Lösungsformel?
3. Lösen
Wurden alle möglichen Vorzeichen berücksichtigt?
4. Lösungsfall bestimmen
Was sagt die Diskriminante?
5. Probe
Erfüllen die Werte die Ausgangsgleichung?
6. Geometrisch deuten
Wie schneidet die Parabel die x-Achse?
7. Kontext deuten
Welche Lösungen sind sachlich zulässig?
Zusammenfassung
Quadratische Gleichungen besitzen die Form ax2+bx+c=0 mit a=0.
Mögliche Verfahren sind Faktorisieren, Nullprodukt, Wurzelziehen, quadratische Ergänzung und Lösungsformel.
Die Diskriminante bestimmt die Anzahl reeller Lösungen.
Lösungen sind geometrisch die Nullstellen einer Parabel.
Algebraisch gültige Lösungen müssen im Kontext auf Zulässigkeit geprüft werden.
x2
x
6
Geeignete Form erkennen
Prüfe, ob Faktorisieren, Ausklammern oder eine Quadratform möglich ist.
7
Koeffizienten bestimmen
Lies für die Normalform die Werte a, b und c mit ihren Vorzeichen ab.
AG 2.3 – Passendes Lösungsverfahren auswählen
Abhängig von der Form der quadratischen ein effizientes Verfahren auswählen.
1
Quadratform prüfen
Bei u2=k ist Wurzelziehen besonders geeignet.
2
Gemeinsamen Faktor prüfen
Bei fehlendem konstantem kann häufig x ausgeklammert werden.
3
Produktform prüfen
Bei einem Produkt gleich null wird die Nullproduktregel verwendet.
4
Faktorisierbarkeit prüfen
Suche , deren Produkt ac und deren Summe b ergibt.
5
Quadratische Ergänzung erwägen
Nutze sie, wenn eine Scheitelpunktform oder ein strukturelles Verständnis hilfreich ist.
6
Lösungsformel wählen
Die allgemeine Formel ist für jede quadratische in Normalform geeignet.
7
Verfahren begründen
Erkläre kurz, warum das gewählte Verfahren zur vorliegenden Form passt.
AG 2.3 – Quadratische Gleichung mit Lösungsformel lösen
Eine quadratische mit und allgemeiner Lösungsformel lösen.
1
Normalform herstellen
Bringe die in die Form ax2+bx+c=0.
2
Koeffizienten ablesen
Bestimme a, b und c einschließlich ihrer Vorzeichen.
3
Diskriminante berechnen
Berechne Δ=b2−4ac.
4
Lösungsfall bestimmen
Ordne Δ>0, Δ=0 oder Δ<0 dem passenden reellen Lösungsfall zu.
5
Formel einsetzen
Setze in x1,2=2a−b± ein.
6
Beide Vorzeichen berechnen
Berechne bei positiver die Plus- und Minuslösung getrennt.
7
Lösungsmenge angeben
Notiere alle reellen Lösungen oder die leere Menge.
8
Probe durchführen
Setze jede Lösung in die ursprüngliche ein.
AG 2.3 – Lösungsfälle quadratischer Gleichungen geometrisch deuten
Die Anzahl der Lösungen als Schnittverhalten einer Parabel mit der x-Achse erklären.
1
Funktion zuordnen
Ordne der ax2+bx+c=0 die f(x)=ax2+bx+c zu.
2
Öffnung bestimmen
Das Vorzeichen von a entscheidet, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.
3
Nullstellen interpretieren
Jede reelle Lösung ist die x-Koordinate eines Schnittpunkts mit der x-Achse.
4
Zwei Lösungen deuten
Bei Δ>0 schneidet die Parabel die x-Achse zweimal.
5
Doppelte Lösung deuten
Bei Δ=0 berührt die Parabel die x-Achse im .
6
Keine reelle Lösung deuten
Bei Δ<0 bleibt die Parabel vollständig auf einer Seite der x-Achse.
7
Skizze kontrollieren
Prüfe, ob Öffnung, Scheitelpunktlage und zueinander passen.
AG 2.3 – Lösungen quadratischer Gleichungen im Kontext deuten
Algebraische Lösungen prüfen und sachlich zulässige Ergebnisse auswählen.
1
Variable und Einheit nennen
Erinnere, welche Größe durch x beschrieben wird.
2
Alle algebraischen Lösungen erfassen
Schließe keine Lösung vor der vollständigen Rechnung vorschnell aus.
3
Probe durchführen
Prüfe jede Lösung in der Ausgangsgleichung.
4
Wertebereich anwenden
Beachte Bedingungen wie positive Längen, nichtnegative Zeiten oder ganze Stückzahlen.
5
Unzulässige Lösung begründen
Erkläre ausdrücklich, warum eine algebraische Lösung im Kontext entfällt.
6
Zulässige Lösung deuten
Ordne Zahl und Einheit der gesuchten Größe zu.
7
Antwortsatz formulieren
Gib das Ergebnis in einem vollständigen Satz an.
AG 2.3 – Quadratische Gleichung erkennen
Eine als quadratisch in einer erkennen.
1
Gleichung vereinfachen
Bringe alle auf eine Seite und fasse gleichartige Terme zusammen.
2
Variable festlegen
Bestimme die , hinsichtlich derer die untersucht wird.
3
Höchsten Exponenten prüfen
Nach dem Vereinfachen muss die höchste vorkommende Potenz der genau 2 sein.
4
Quadratischen Koeffizienten prüfen
Der vor x² muss ungleich 0 sein.
5
Normalform erkennen
Eine quadratische lässt sich als ax²+bx+c=0 mit a≠0 schreiben.
6
Urteil begründen
Nenne den quadratischen als entscheidendes Kennzeichen.
AG 2.3 – Reinquadratische Gleichung lösen
Eine der Form ax² = c lösen.
1
Reinquadratische Form herstellen
Bringe die auf die Form ax²=c.
2
Durch a teilen
Teile beide Seiten durch a, sodass x² allein steht.
3
Vorzeichen der rechten Seite prüfen
In ℝ gibt es bei positivem Wert zwei, bei 0 eine und bei negativem Wert keine reelle Lösung.
4
Wurzel ziehen
Ziehe bei nichtnegativer rechter Seite die Quadratwurzel.
5
Beide Vorzeichen beachten
Für einen positiven Wert erhältst du x=+√d und x=−√d.
6
Lösungsmenge angeben
Notiere alle zulässigen reellen Lösungen und prüfe sie kurz durch Quadrieren.
AG 2.3 – Quadratische Gleichung durch Faktorisieren lösen
Eine quadratische mithilfe einer Produktdarstellung lösen.
1
Nullform herstellen
Bringe die quadratische auf die Form =0.
2
Faktorisierbarkeit prüfen
Suche einen gemeinsamen oder eine passende Produktdarstellung.
3
Produktform herstellen
Schreibe die linke Seite als Produkt zweier oder mehrerer .
4
Produkt-Null-Satz anwenden
Setze jeden einzeln gleich 0.
5
Teilgleichungen lösen
Löse die entstehenden einfachen .
6
Lösungsmenge prüfen
Fasse die gefundenen Lösungen zusammen und setze sie bei Bedarf in die Ausgangsgleichung ein.
AG 2.3 – Diskriminante berechnen
Die einer quadratischen berechnen.
1
Normalform herstellen
Bringe die in die Form ax²+bx+c=0.
2
Koeffizienten ablesen
Bestimme a, b und c einschließlich ihrer Vorzeichen.
3
Formel notieren
Verwende für die Δ=b²−4ac.
4
Werte einsetzen
Setze a, b und c mit Klammern in die Formel ein.
5
Diskriminante berechnen
Führe Potenzierung und Multiplikationen vor der Subtraktion aus.
6
Ergebnis kontrollieren
Prüfe Vorzeichen und Rechenweg; die ist eine einzelne reelle Zahl.
AG 2.3 – Zwei reelle Lösungen erkennen
Anhand der den Fall zweier reeller Lösungen erkennen.
1
Diskriminante bestimmen
Berechne oder übernimm Δ=b²−4ac.
2
Vorzeichen prüfen
Für zwei verschiedene reelle Lösungen muss Δ>0 gelten.
3
Wurzel interpretieren
Bei Δ>0 ist √Δ eine positive reelle Zahl.
4
Lösungsformel einordnen
Das Plus- und Minuszeichen erzeugen zwei verschiedene reelle Werte.
5
Lösungsfall benennen
Formuliere ausdrücklich: zwei verschiedene reelle Lösungen.
6
Plausibilität prüfen
Kontrolliere, dass a≠0 und tatsächlich eine quadratische vorliegt.
AG 2.3 – Eine doppelte Lösung erkennen
Anhand der den Fall einer doppelten reellen Lösung erkennen.
1
Diskriminante bestimmen
Berechne oder übernimm Δ=b²−4ac.
2
Nullfall prüfen
Eine doppelte reelle Lösung liegt genau bei Δ=0 vor.
3
Wurzel auswerten
Dann gilt √Δ=0.
4
Lösungsformel vereinfachen
Beide Vorzeichen liefern denselben Wert x=−b/(2a).
5
Lösungsfall benennen
Formuliere: eine doppelte reelle Lösung.
6
Lösungswert bei Bedarf angeben
Berechne den gemeinsamen Wert und notiere ihn einmal in der Lösungsmenge.
AG 2.3 – Keine reelle Lösung erkennen
Anhand der den Fall ohne reelle Lösung erkennen.
1
Diskriminante bestimmen
Berechne oder übernimm Δ=b²−4ac.
2
Negativität prüfen
Keine reelle Lösung liegt vor, wenn Δ<0 ist.
3
Wurzel im reellen Bereich beurteilen
Die Quadratwurzel einer negativen Zahl ist in ℝ nicht definiert.
4
Reellen Lösungsfall benennen
Formuliere ausdrücklich: keine reelle Lösung.
5
Lösungsmenge in ℝ angeben
Notiere die reelle Lösungsmenge als ∅.
6
Zahlenbereich beachten
Unterscheide diesen reellen Fall von einer möglichen Lösung in ℂ.
AG 2.3 – Lösungen durch Einsetzen prüfen
Gefundene Lösungen durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung überprüfen.
1
Zu prüfende Lösung wählen
Nimm einen gefundenen Lösungswert einzeln.
2
In die Ausgangsgleichung einsetzen
Ersetze jede vorkommende durch den Lösungswert.
3
Linke Seite berechnen
Berechne die linke Gleichungsseite vollständig.
4
Rechte Seite berechnen
Berechne die rechte Gleichungsseite vollständig.
5
Gleichheit prüfen
Der Wert ist nur dann eine Lösung, wenn beide Seiten denselben Wert ergeben.
6
Alle Lösungen kontrollieren
Wiederhole die Probe für jeden weiteren gefundenen Lösungswert.
AG 2.3 – Quadratische Gleichung aus Kontext aufstellen
Aus einem einfachen Kontext eine quadratische aufstellen.
1
Unbekannte Größe festlegen
Definiere die gesuchte Größe mit einer und passender Einheit.
2
Sachbeziehungen erfassen
Übersetze die beschriebenen Längen, Flächen, Produkte oder anderen Beziehungen in .
3
Quadratische Beziehung erkennen
Identifiziere die Stelle, an der ein Produkt variabler Größen oder ein Quadrat der entsteht.
4
Gleichung aufstellen
Setze die beiden im Kontext gleich beschriebenen Größen gleich.
5
Auf quadratische Form prüfen
Vereinfache und kontrolliere, dass tatsächlich eine quadratische entsteht.
6
Kontextbedingungen notieren
Halte Bedingungen wie Positivität, Größenordnung oder geometrische Zulässigkeit für die spätere Lösungsauswahl fest.
AG 2.3 – Komplexen Lösungsfall einer quadratischen Gleichung erkennen
Bei negativer erkennen, dass eine quadratische keine reellen, aber zwei komplexe Lösungen besitzt.
1
Diskriminante bestimmen
Berechne Δ=b²−4ac.
2
Negativen Wert erkennen
Bei Δ<0 existieren keine reellen Lösungen.
3
Komplexen Zahlenbereich zulassen
In ℂ kann die aus einem negativen Wert mithilfe von i verarbeitet werden.
4
Wurzel umschreiben
Schreibe √Δ bei Δ<0 als i·√(−Δ).
5
Lösungsfall benennen
Formuliere: zwei komplexe, nichtreelle Lösungen.
6
Konjugiertheit erwarten
Bei reellen treten die beiden nichtreellen Lösungen als konjugiertes Paar auf.
AG 2.3 – Komplexe Lösungen einer quadratischen Gleichung berechnen
Quadratische mit negativer in der Menge der komplexen Zahlen lösen.
1
Normalform herstellen
Bringe die in die Form ax²+bx+c=0.
2
Diskriminante berechnen
Bestimme Δ=b²−4ac und prüfe, dass Δ<0 ist.
3
Negative Wurzel umschreiben
Setze √Δ=i·√(−Δ).
4
Lösungsformel einsetzen
Verwende x=(-b±√Δ)/(2a).
5
Real- und Imaginärteil vereinfachen
Schreibe die beiden Werte in der Form u+vi und u−vi.
6
Lösungsmenge angeben
Notiere beide komplexen Lösungen und kontrolliere bei Bedarf durch Einsetzen.
AG 2.3 – Komplexe Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung deuten
Die beiden komplexen Lösungen als Lösungsmenge angeben, auf Konjugiertheit prüfen und vom reellen Lösungsfall unterscheiden.
1
Beide Lösungen notieren
Schreibe die zwei komplexen Lösungen übersichtlich in der Form u+vi und u−vi.
2
Reelle Teile vergleichen
Konjugierte Lösungen besitzen denselben Realteil u.
3
Imaginärteile vergleichen
Die Imaginärteile müssen betragsgleich und entgegengesetzt sein.
4
Konjugiertheit feststellen
Bestätige damit, dass die beiden Lösungen zueinander komplex konjugiert sind.
5
Lösungsmenge bilden
Gib beide Lösungen gemeinsam in geschweiften Klammern an.
6
Vom reellen Fall unterscheiden
Erkläre, dass die Lösungsmenge in ℝ leer, in ℂ aber aus diesen beiden Werten besteht.
5. Scheitelpunkt als Extremum
Extremum(f)
Bei einer quadratischen Funktion ist das einzige Extremum der Scheitelpunkt.
6. Faktorisieren
Faktorisiere(x^2 - 5x + 6)
Ergebnis:
(x - 2)(x - 3)
7. Normalform erzeugen
Polynom(2(x - 1)^2 - 8)
GeoGebra gibt die ausmultiplizierte Polynomform aus.
8. Lösungsfälle grafisch erkennen
Zwei Lösungen
Die Parabel schneidet die x-Achse zweimal.
Eine doppelte Lösung
Die Parabel berührt die x-Achse.
Keine reelle Lösung
Die Parabel besitzt keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.
Übersicht
Ziel
GeoGebra-Eingabe
Gleichung exakt lösen
Löse(..., x)
Lösungswerte ausgeben
Lösungen(..., x)
Parabel zeichnen
f(x) = ...
Nullstellen markieren
Nullstelle(f)
mehrere Nullstellen im Intervall
Nullstellen(f, a, b)
Scheitelpunkt finden
Extremum(f)
faktorisieren
Faktorisiere(...)
ausmultiplizieren
Polynom(...)
Wichtig: GeoGebra zeigt algebraische und grafische Ergebnisse. Ob eine negative oder nicht ganzzahlige Lösung im Sachkontext zulässig ist, muss selbst beurteilt werden.
