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Abhängigkeiten zwischen Größen | Lerncoach
MG 5.2
Abhängigkeiten zwischen Größen Lies die Erklärung in Ruhe durch und nutze anschließend die Schrittlisten, um das Vorgehen sicher anzuwenden.
Passend für
Mathematische Grundlagen 4 Schrittlisten online lernen
Das solltest du können
Abhängige und unabhängige Größen unterscheiden, Abhängigkeiten zwischen Größen beschreiben, zugehörige Wertepaare angeben und diese im Sachzusammenhang interpretieren können.
Wasserbehälter Quadrat Fahrt
Situation
Ein Behälter wird gleichmäßig mit Wasser gefüllt.
Welche Größe kannst du hier selbst verändern?
Zeit Wassermenge
Die beiden Rollen
Unabhängige Größe
?
Diese Größe wird ausgewählt oder verändert.
↓
Abhängige Größe
?
Diese Größe reagiert auf die Veränderung.
Entscheide zuerst links, welche Größe du selbst verändern würdest.
Merke: „Abhängig“ bedeutet nicht, dass beide Größen immer auf dieselbe Art zusammenhängen. Entscheidend ist zuerst: Welche Größe hängt von welcher ab?
Abhängigkeiten zwischen Größen
Kompetenzcode: MG 5.2
In vielen Alltagssituationen hängen zwei Größen miteinander zusammen.
Zum Beispiel:
Je länger du mit gleichbleibender Geschwindigkeit gehst, desto weiter kommst du.
Je mehr Hefte du kaufst, desto höher wird der Gesamtpreis.
Je länger ein Wasserhahn geöffnet ist, desto mehr Wasser kann in ein Gefäß fließen.
Dabei verändert sich eine Größe und eine andere Größe hängt davon ab.
In diesem Kapitel lernst du,
abhängige und unabhängige Größen zu unterscheiden,
eine Abhängigkeit zwischen zwei Größen zu beschreiben,
Wertepaare einer Abhängigkeit anzugeben,
eine Abhängigkeit im Sachzusammenhang zu interpretieren.
1. Zwei Größen in einer Situation erkennen
Bevor du über eine Abhängigkeit nachdenkst, musst du zuerst die beteiligten Größen erkennen.
Beispiel
Ein Heft kostet
2 € . 2\,€. 2 €. Du kaufst unterschiedlich viele Hefte.
Dann sind zwei Größen wichtig:
Anzahl der Hefte,
Gesamtpreis.
Wenn du mehr Hefte kaufst, verändert sich der Gesamtpreis.
MG 5.2 - Abhängige und unabhängige Größe unterscheiden In einer Sachsituation die unabhängige Größe als vorgegebene beziehungsweise veränderte Größe und die abhängige Größe als daraus resultierende Größe unterscheiden.
1 Beteiligte Größen erkennen Die zwei für die Situation wichtigen Größen ausdrücklich benennen.
2 Unabhängige Größe finden Bestimmen, welche Größe vorgegeben, ausgewählt oder verändert wird.
3 Abhängige Größe finden Bestimmen, welche Größe sich aus der unabhängigen Größe ergibt.
4 Richtung der Abhängigkeit formulieren Zum Beispiel Zeit → Strecke oder Anzahl → Gesamtpreis notieren.
5 Variablen zuordnen Bei Bedarf die unabhängige Größe mit x und die abhängige Größe mit y bezeichnen.
6 Zuordnung kontrollieren Mit der Frage prüfen, ob die abhängige Größe tatsächlich vom gewählten Wert der unabhängigen Größe abhängt.
Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben. Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
Der Gesamtpreis hängt von der Anzahl der Hefte ab.
2. Unabhängige Größe Die unabhängige Größe ist jene Größe, deren Wert wir vorgeben, auswählen oder verändern.
Im Heft-Beispiel ist das:
Anzahl der Hefte \boxed{\text{Anzahl der Hefte}} Anzahl der Hefte Denn wir entscheiden, ob wir zum Beispiel
1 , 2 , 3 , 4 1,\ 2,\ 3,\ 4 1 , 2 , 3 , 4 Häufig wird die unabhängige Größe mit
Das ist aber nur eine Bezeichnung.
In einer Sachaufgabe ist es oft hilfreicher, zuerst mit dem echten Namen der Größe zu arbeiten.
3. Abhängige Größe Die abhängige Größe verändert sich als Folge der unabhängigen Größe.
Im Heft-Beispiel ist das:
Gesamtpreis \boxed{\text{Gesamtpreis}} Gesamtpreis Denn der Preis ergibt sich daraus, wie viele Hefte gekauft werden.
Häufig wird die abhängige Größe mit
Wir können deshalb schreiben:
x = Anzahl der Hefte x=\text{Anzahl der Hefte} x = Anzahl der Hefte y = Gesamtpreis . y=\text{Gesamtpreis}. y = Gesamtpreis .
Merke:
4. Abhängig oder unabhängig? – Fragemethode Wenn du unsicher bist, stelle zwei Fragen:
Frage 1
Welche Größe kann ich zuerst auswählen oder verändern?
Das ist meist die unabhängige Größe .
Frage 2
Welche Größe ergibt sich daraus?
Das ist meist die abhängige Größe .
Beispiel Ein Fahrrad fährt mit gleichbleibender Geschwindigkeit.
Je länger die Fahrzeit, desto größer die zurückgelegte Strecke.
Fahrzeit ⟶ Strecke . \text{Fahrzeit}
\longrightarrow
\text{Strecke}. Fahrzeit ⟶ Strecke . Die Fahrzeit ist die unabhängige Größe.
Die Strecke ist die abhängige Größe.
5. Eine Abhängigkeit mit Worten beschreiben Eine Abhängigkeit sollte nicht nur mit zwei Variablennamen angegeben werden.
Du solltest auch erklären, wie sich die Größen gemeinsam verändern.
Hilfreiche Formulierungen sind:
Wenn x x x
Je mehr …, desto …
Je länger …, desto …
Für jeden Wert von … ergibt sich …
Die Größe … hängt von … ab.
Beispiel Ein Heft kostet 2 € 2\,€ 2 €
Je mehr Hefte gekauft werden, desto größer ist der Gesamtpreis.
Für jedes zusätzliche Heft steigt der Gesamtpreis um 2 € 2\,€ 2 €
6. Abhängigkeiten müssen nicht immer gleich aussehen Nicht jede Abhängigkeit bedeutet:
Beispiel 1: mehr führt zu mehr Je länger ein Wasserhahn geöffnet ist, desto mehr Wasser befindet sich im Gefäß.
Beispiel 2: mehr führt zu weniger Ein Vorrat wird verbraucht.
Je mehr Zeit vergeht, desto weniger Vorrat ist noch vorhanden.
Beispiel 3: eine Größe kann steigen und fallen Die Außentemperatur verändert sich im Laufe eines Tages.
Am Morgen steigt sie vielleicht, am Abend fällt sie wieder.
Merke: Eine Abhängigkeit beschreibt, wie zwei Größen zusammenhängen. Sie muss nicht immer eine gleichmäßige Zunahme sein.
7. Abhängigkeit durch eine Rechenregel beschreiben Manche Abhängigkeiten können durch eine einfache Rechenregel beschrieben werden.
Ein Heft kostet 2 € 2\,€ 2 €
Für den Gesamtpreis P P P n n n
P = 2 ⋅ 3 = 6. P=2\cdot3=6. P = 2 ⋅ 3 = 6. Die Rechenregel beschreibt, wie aus der unabhängigen Größe die abhängige Größe entsteht.
8. Abhängigkeit durch eine Tabelle darstellen Eine Abhängigkeit kann auch in einer Tabelle dargestellt werden.
Jede Zeile gehört zusammen.
1 Heft ⟷ 2 € 1\text{ Heft}\longleftrightarrow2\,€ 1 Heft ⟷ 2 € 2 Hefte ⟷ 4 € 2\text{ Hefte}\longleftrightarrow4\,€ 2 Hefte ⟷ 4 €
9. Wertepaare einer Abhängigkeit Zwei zusammengehörige Werte nennt man ein Wertepaar .
Aus der Tabelle erhalten wir zum Beispiel:
Dabei steht der erste Wert für die unabhängige Größe und der zweite Wert für die abhängige Größe.
( unabh a ¨ ngige Gr o ¨ ße ∣ abh a ¨ ngige Gr o ¨ ße ) . (\text{unabhängige Größe}\mid\text{abhängige Größe}). ( unabh a ¨ ngige Gr o ¨ ße ∣ abh a ¨ ngige Gr o ¨ ße ) .
10. Warum ist die Reihenfolge beim Wertepaar wichtig? bedeutet im Heft-Beispiel:
3 Hefte ⟶ 6 € . 3\text{ Hefte}
\longrightarrow
6\,€. 3 Hefte ⟶ 6 €. Die vertauschte Schreibweise
würde etwas anderes bedeuten.
Darum musst du immer wissen:
Welche Größe steht an erster Stelle?
Welche Größe steht an zweiter Stelle?
11. Wertepaare aus einer Rechenregel bestimmen y = 3 ⋅ 4 = 12. y=3\cdot4=12. y = 3 ⋅ 4 = 12. Das zugehörige Wertepaar ist:
( 4 ∣ 12 ) . \boxed{(4\mid12)}. ( 4 ∣ 12 ) . y = 3 ⋅ 7 = 21. y=3\cdot7=21. y = 3 ⋅ 7 = 21. ( 7 ∣ 21 ) . \boxed{(7\mid21)}. ( 7 ∣ 21 ) .
12. Prüfen, ob ein Wertepaar passt 12 = 4 ⋅ 3. 12=4\cdot3. 12 = 4 ⋅ 3. 10 = 4 ⋅ 3. 10=4\cdot3. 10 = 4 ⋅ 3. Dieses Wertepaar passt nicht zur Abhängigkeit.
13. Wertepaare aus einer Sachsituation angeben Ein Radfahrer fährt mit gleichbleibender Geschwindigkeit
15 k m h . 15\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}. 15 h km . 30 k m . 30\,\mathrm{km}. 30 km . 45 k m . 45\,\mathrm{km}. 45 km . Wenn zuerst die Zeit und dann die Strecke notiert wird, entstehen die Wertepaare:
14. Ein Wertepaar im Sachzusammenhang interpretieren Ein Wertepaar ist nicht nur eine Zahlenkombination.
Du musst seine Bedeutung in der Situation erklären können.
Beispiel Im Radfahrer-Beispiel bedeutet
Nach 2 2 2 30 30 30
Eine gute Interpretation nennt:
die Bedeutung des ersten Wertes,
die Bedeutung des zweiten Wertes,
die Einheiten,
den Zusammenhang zwischen beiden.
15. Abhängigkeit im Sachzusammenhang interpretieren Betrachten wir einen Wassertank.
100 l . 100\,\mathrm{l}. 100 l . t = Zeit in Minuten t=\text{Zeit in Minuten} t = Zeit in Minuten Die verbleibende Wassermenge W W W
Nach jeder Minute wird die Wassermenge um
Wir können die Abhängigkeit beschreiben:
Je länger Wasser entnommen wird, desto weniger Wasser befindet sich im Tank.
16. Mehrere Aussagen aus einer Abhängigkeit gewinnen Angenommen, eine Tabelle zeigt:
Daraus kannst du mehrere Aussagen ableiten:
Anfangswert
Veränderung Pro Minute sinkt die Wassermenge um
Wertepaar
Nach 2 2 2 90 l 90\,\mathrm{l} 90 l
17. Nicht nur rechnen – Bedeutung beachten Eine mathematische Abhängigkeit muss zur Sachsituation passen.
Beispiel Ein Parkplatz hat höchstens
Eine Rechenregel könnte für kleine Werte sinnvoll sein.
Wenn eine Rechnung aber plötzlich
belegte Stellplätze liefert, passt dieses Ergebnis nicht zur tatsächlichen Situation.
Darum solltest du nach jeder Rechnung fragen:
Ist dieser Wert im Sachzusammenhang überhaupt möglich?
18. Einheiten gehören zur Interpretation Diese Schreibweise allein sagt noch nicht, was gemeint ist.
Erst der Kontext macht das Wertepaar verständlich.
( 4 h ∣ 12 k m ) (4\,\mathrm{h}\mid12\,\mathrm{km}) ( 4 h ∣ 12 km ) ( 4 St u ¨ ck ∣ 12 € ) . (4\text{ Stück}\mid12\,€). ( 4 St u ¨ ck ∣ 12 € ) . Die Zahlen sind gleich, aber die Bedeutung ist völlig verschieden.
Merke: Werte ohne Einheit und Kontext können leicht falsch interpretiert werden.
19. Unabhängige und abhängige Größe in Tabellen Meist steht die unabhängige Größe
in der ersten Spalte einer Tabelle,
oder später auf der waagrechten Achse eines Graphen.
Die abhängige Größe steht meist
in der zweiten Spalte,
oder später auf der senkrechten Achse.
Das ist eine häufige Konvention.
Trotzdem solltest du immer die Überschriften lesen.
20. Typische Fehler
Fehler 1: Die Größen vertauschen
Welche Größe wird vorgegeben, und welche ergibt sich daraus?
Fehler 2: Nur Zahlen nennen sollte im Sachzusammenhang erklärt werden.
Fehler 3: Einheiten vergessen Bei Sachaufgaben gehören Einheiten zur Bedeutung.
Fehler 4: Eine Abhängigkeit zu ungenau beschreiben „Die Größen hängen zusammen“ reicht oft nicht.
Wenn die Zeit um eine Stunde zunimmt, steigt die Strecke um 15 k m 15\,\mathrm{km} 15 km
Fehler 5: Jeden Zusammenhang als „mehr bedeutet mehr“ ansehen Eine abhängige Größe kann auch kleiner werden oder sich ungleichmäßig verändern.
21. Das Wichtigste auf einen Blick wird vorgegeben oder ver a ¨ ndert \boxed{\text{wird vorgegeben oder verändert}} wird vorgegeben oder ver a ¨ ndert ergibt sich daraus \boxed{\text{ergibt sich daraus}} ergibt sich daraus Eine Abhängigkeit kann beschrieben werden durch
Worte,
eine Rechenregel,
eine Tabelle,
Wertepaare.
Ein Wertepaar wird zum Beispiel geschrieben als:
( x ∣ y ) . \boxed{(x\mid y)}. ( x ∣ y ) . Dabei steht zuerst die unabhängige und danach die abhängige Größe.
Beim Interpretieren musst du immer erklären,
was die beiden Werte bedeuten,
welche Einheiten sie besitzen,
und was das Wertepaar im Sachzusammenhang aussagt.
MG 5.2 - Abhängigkeit zwischen zwei Größen beschreiben Mit Worten, Tabellen oder einfachen Rechenregeln beschreiben, wie sich eine Größe in Abhängigkeit von einer anderen verändert.
1 Abhängigkeit in Worten ausdrücken Eine Formulierung wie 'Je mehr ..., desto ...' oder 'Wenn ..., dann ...' verwenden.
2 Veränderungsrichtung erkennen Feststellen, ob die abhängige Größe steigt, fällt oder sich wechselnd verändert.
3 Änderungsbetrag erkennen Falls möglich angeben, um wie viel sich die abhängige Größe bei einer Änderung der unabhängigen Größe verändert.
4 Rechenregel deuten Eine einfache Regel wie P = 2·n als Beschreibung der Abhängigkeit verstehen.
5 Tabelle als Abhängigkeit lesen Zusammengehörige Werte zeilenweise vergleichen.
6 Beschreibung auf den Kontext beziehen Größennamen und Einheiten in die Aussage aufnehmen.
MG 5.2 - Wertepaare einer Abhängigkeit angeben Zusammengehörige Werte einer Abhängigkeit als geordnetes Wertepaar angeben und auf die richtige Reihenfolge achten.
1 Zusammengehörige Werte finden In Tabelle oder Situation erkennen, welche beiden Werte einander zugeordnet sind.
2 Reihenfolge festlegen Zuerst die unabhängige, danach die abhängige Größe notieren.
3 Wertepaar schreiben Zum Beispiel (3|6) korrekt notieren.
4 Wertepaar aus einer Regel berechnen Für einen gegebenen x-Wert den zugehörigen y-Wert bestimmen.
5 Wertepaar prüfen Durch Einsetzen kontrollieren, ob ein gegebenes Wertepaar zur Regel passt.
6 Einheiten im Kontext ergänzen Die Bedeutung eines Wertepaares mit Größen und Einheiten verbinden.
MG 5.2 - Abhängigkeit im Sachzusammenhang interpretieren Wertepaare, Anfangswerte und Veränderungen einer Abhängigkeit sprachlich im jeweiligen Sachzusammenhang deuten.
1 Wertepaar sprachlich deuten Beide Werte mit ihrer Bedeutung und Einheit in einem vollständigen Satz erklären.
2 Anfangswert erkennen Den Wert der abhängigen Größe bei Beginn der Situation interpretieren, falls vorhanden.
3 Veränderung beschreiben Angeben, wie sich die abhängige Größe bei zunehmender unabhängiger Größe verändert.
4 Einheiten einbeziehen Zeit, Strecke, Preis, Liter oder andere Einheiten ausdrücklich nennen.
5 Plausibilität prüfen Kontrollieren, ob der erhaltene Wert im Sachzusammenhang möglich und sinnvoll ist.
6 Gesamtaussage formulieren Die Abhängigkeit als verständliche Aussage über die reale Situation zusammenfassen.
