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Lies die Erklärung in Ruhe durch und nutze anschließend die Schrittlisten, um das Vorgehen sicher anzuwenden.
Ein Vektor fasst mehrere zusammengehörige Zahlen in einer festen Reihenfolge zusammen. Jede Zahl heißt Komponente. Im Kontext muss klar sein, wofür jede Komponente steht.
Arbeitsplan: Reihenfolge klären → Komponenten lesen → Vorzeichen und Einheit beachten → Bedeutung in einem vollständigen Satz angeben.
Ein Tupel ist eine geordnete Zusammenstellung von Zahlen.
Wenn ein Tupel Koordinaten beschreibt, können die Positionen so gekennzeichnet werden:
So gehst du vor
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
Komponenten eines Änderungsvektors aus zwei Zuständen oder Punkten berechnen.
Kennzeichne den Ausgangszustand oder Anfangspunkt.
Kennzeichne den Zielzustand oder Endpunkt.
Stelle sicher, dass entsprechende Größen an derselben Position stehen.
Berechne jeweils Endwert minus Anfangswert.
Schreibe die Ergebnisse in der korrekten Reihenfolge als Spaltenvektor.
Erkläre Zu- und Abnahmen beziehungsweise Richtungen.
Addiere die Änderung zum Anfangswert und kontrolliere den Endwert.
Digitales Werkzeug
Wichtige Befehle und ihre Verwendung zu diesem Thema.
GeoGebra kann Vektoren eingeben, anzeigen und ihre Komponenten geometrisch sichtbar machen. Die sachliche Bedeutung eines Tupels muss weiterhin aus dem Kontext erklärt werden.
Vektor(<Punkt>)
u = Vektor((3, -2))
Erzeugt den Ortsvektor vom Ursprung zum Punkt .
Grafik-Ansicht; für drei Komponenten 3D-Grafik-Ansicht.
Nächster Schritt
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
Die erste Zahl ist die -Koordinate, die zweite Zahl ist die -Koordinate. Daher gilt:
Die Reihenfolge ist entscheidend:
Merke: Die Buchstaben über den Zahlen benennen die Koordinatenpositionen. Sie werden nicht mit den Zahlen multipliziert.
Ein Vektor in der Ebene besitzt zwei Komponenten:
Ein Vektor im Raum besitzt drei Komponenten:
Merke: Die Dimension ist die Anzahl der Komponenten.
Gegeben ist:
In einem Koordinatensystem kann das bedeuten:
Bei der üblichen Orientierung beschreibt der Vektor also eine Bewegung um Einheiten nach rechts und Einheiten nach unten.
Das Vorzeichen gehört zur Bedeutung:
Ein Vektor ist nur dann eindeutig interpretierbar, wenn die Reihenfolge der Größen bekannt ist.
Die Reihenfolge sei:
Dann beschreibt
mit
Für
lautet die Deutung:
Es wurden Brötchen und Brezeln verkauft.
Würde man die Komponenten vertauschen, entstünde eine andere Aussage.
Vektoren können mehrere Änderungen gleichzeitig beschreiben.
Die Reihenfolge sei:
Gegeben ist:
Das bedeutet:
Wichtig: Eine Nullkomponente bedeutet nur, dass sich diese eine Größe nicht verändert.
Zwei Vektoren sind genau dann gleich, wenn sie dieselbe Anzahl an Komponenten besitzen und alle entsprechenden Komponenten übereinstimmen.
Die Komponenten werden an derselben Position verglichen:
Beim Nullvektor sind alle Komponenten null:
Im Kontext beschreibt er beispielsweise keine Veränderung oder keine Verschiebung.
Ein Vektor mit nur einer Nullkomponente ist nicht automatisch der Nullvektor:
Eine Drohne fliegt
Die Reihenfolge lautet:
Süden entspricht einer negativen Nord-Komponente. Daher gilt:
Durch das Vertauschen ändert sich die Bedeutung.
beschreibt nicht dasselbe wie . Das Minuszeichen kann eine Abnahme oder die entgegengesetzte Richtung bedeuten.
Nur wenn alle Komponenten null sind, liegt der Nullvektor vor.
Die Antwort
ist ohne festgelegte Reihenfolge und Einheit nicht vollständig interpretiert.
Dimension, Komponenten, Reihenfolge und Vorzeichen eines Vektors sicher erfassen.
Zähle die Komponenten und ordne den Vektor oder zu.
Bezeichne die Einträge der Reihe nach als erste, zweite und gegebenenfalls dritte Komponente.
Ordne jede Komponente genau der vorgesehenen Größe oder Koordinatenrichtung zu.
Erkläre positive, negative und nullwertige Komponenten passend zum Kontext.
Notiere die zugehörige Einheit, sofern eine Sachgröße beschrieben wird.
Beschreibe den Vektor in einem vollständigen Satz.
Kontrolliere, ob Dimension, Reihenfolge und Größenordnung zur Aufgabe passen.
Ein Zahlentupel als Bestands-, Änderungs- oder Bewegungsinformation interpretieren.
Bestimme, welche Größen oder Richtungen beschrieben werden.
Entscheide, ob der Vektor einen Zustand, eine Änderung oder eine Verschiebung darstellt.
Halte fest, wofür jede Stelle des Tupels steht.
Formuliere Zunahme, Abnahme oder Bewegungsrichtung.
Beschreibe, bei welcher Größe keine Änderung vorliegt.
Verbinde jede Aussage mit der korrekten Einheit.
Fasse die Bedeutung aller Komponenten verständlich zusammen.
Eine Vektorangabe auf Dimension, Reihenfolge, Einheiten und sachliche Plausibilität prüfen.
Prüfe die Anzahl der Komponenten.
Vergleiche die Reihenfolge mit der Aufgabenbeschreibung.
Achte besonders auf Abnahmen und negative Richtungen.
Prüfe, ob die Einheiten angegeben und sinnvoll sind.
Entscheide, ob wirklich alle Komponenten null sind.
Kontrolliere gegebenenfalls Anfangswert plus Änderung gleich Endwert.
Vergleiche das Ergebnis mit dem realistischen Wertebereich.
Vektoren komponentenweise vergleichen und fehlende Werte bestimmen.
Prüfe, ob beide Vektoren gleich viele Komponenten besitzen.
Setze die ersten Komponenten gleich oder stelle ihre Abweichung fest.
Arbeite alle Positionen der Reihe nach ab.
Löse entstehende einfache komponentenweise.
Formuliere eindeutig, ob die Vektoren gleich sind.
Nenne bei Ungleichheit die erste oder alle abweichenden Komponenten.
Ein geordnetes Zahlenpaar oder Zahlentripel als Vektor erkennen.
Achte auf eine geordnete Zusammenfassung mehrerer Zahlen in Vektorform.
Bestimme, ob ein Zahlenpaar oder Zahlentripel vorliegt.
Die Position jeder Zahl ist fest und darf nicht beliebig vertauscht werden.
Jeder Eintrag beschreibt eine eigene Koordinate oder Größe.
Erkenne das geordnete Zahlenpaar beziehungsweise Zahlentripel als Vektor.
Ordne zwei Komponenten einem zweidimensionalen und drei Komponenten einem dreidimensionalen Vektor zu.
Die einzelnen Komponenten eines Vektors benennen und ablesen.
Betrachte den Vektor in seiner gegebenen Reihenfolge.
Bestimme den ersten Eintrag des Vektors.
Bestimme den zweiten Eintrag des Vektors.
Bei einem dreidimensionalen Vektor bestimme auch den dritten Eintrag.
Ordne die Einträge den verwendeten Bezeichnungen wie x-, y- und z-Komponente zu.
Übernimm insbesondere negative Komponenten exakt.
Einen zweidimensionalen oder dreidimensionalen Sachverhalt als Vektor darstellen.
Bestimme die zwei oder drei Größen, die gemeinsam den Sachverhalt beschreiben.
Lege fest, welche Sachgröße zur ersten, zweiten und gegebenenfalls dritten Komponente gehört.
Lies oder berechne die zugehörigen Zahlenwerte.
Schreibe die Werte in der festgelegten Reihenfolge als geordnetes Zahlenpaar oder Zahlentripel.
Halte fest, welche Einheit beziehungsweise Bedeutung jede Komponente besitzt.
Kontrolliere, dass keine Komponente vertauscht oder ausgelassen wurde.
Die Komponenten eines Vektors im jeweiligen Sachkontext interpretieren.
Bestimme, welche Sachgrößen durch den Vektor dargestellt werden.
Ordne dem ersten Eintrag seine konkrete Bedeutung und gegebenenfalls Einheit zu.
Wiederhole die Zuordnung für die zweite und gegebenenfalls dritte Komponente.
Erkläre negative oder positive Werte entsprechend der gewählten Richtung oder Sachbedeutung.
Beachte, dass die Bedeutung an die Position der Komponente gebunden ist.
Beschreibe den gesamten Vektor in einem verständlichen Satz.
Den Nullvektor erkennen und seine Bedeutung im Kontext deuten.
Kontrolliere alle Einträge des gegebenen Vektors.
Ein Nullvektor besitzt in jeder Komponente den Wert 0.
Erkenne nur einen Vektor mit ausschließlich Nullkomponenten als Nullvektor.
Der Nullvektor hat je nach Raum zwei oder drei beziehungsweise entsprechend viele Nullkomponenten.
Deute den Nullvektor als keine Veränderung, keine Verschiebung oder verschwindende gerichtete Größe, passend zum Kontext.
Nenne die vollständig verschwindenden Komponenten als Begründung.
Zu einem gegebenen Vektor den Gegenvektor bestimmen.
Bestimme alle Komponenten des gegebenen Vektors.
Multipliziere jede Komponente mit −1.
Lass die Positionen der Komponenten unverändert.
Schreibe den neuen Vektor vollständig auf.
Ausgangsvektor und Gegenvektor müssen bei komponentenweiser Addition den Nullvektor ergeben.
Der Gegenvektor beschreibt dieselbe Größe in exakt entgegengesetzter Richtung.
Vektor(<Anfangspunkt>, <Endpunkt>)
A = (2, 4)
B = (7, 1)
u = Vektor(A, B)
GeoGebra erzeugt den Vektor von nach .
Die Komponenten ergeben sich als Endkoordinate minus Anfangskoordinate.
A = (0, 0, 0)
B = (2, -1, 4)
u = Vektor(A, B)
3D-Grafik-Ansicht.
Länge(<Vektor>)
Länge(u)
Die Länge gehört vor allem zur geometrischen Deutung. Sie ersetzt nicht die komponentenweise Kontextinterpretation.
z = Vektor((0, 0))
Der Nullvektor besitzt keine sichtbare Pfeillänge. Seine Komponenten können dennoch in der Algebra-Ansicht kontrolliert werden.
A = (10, 8)
B = (7, 13)
Änderung = Vektor(A, B)
GeoGebra zeigt die geometrische Änderung. Bei einem reinen Datenvektor müssen die Komponenten selbst inhaltlich zugeordnet werden.
Wichtig: GeoGebra stellt den Vektor dar. Welche reale Größe die erste, zweite oder dritte Komponente beschreibt, muss aus dem Modell hervorgehen.
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