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Lies die Erklärung in Ruhe durch und nutze anschließend die Schrittlisten, um das Vorgehen sicher anzuwenden.
Ein Logarithmus beantwortet eine Rückwärtsfrage zu einer Potenz: Welcher führt zum gewünschten Ergebnis?
Merke: Potenzieren und Logarithmieren sind Umkehroperationen. Die folgenden Formeln entsprechen der Formelsammlung.
Für , und gilt laut Formelsammlung:
So gehst du vor
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
Eine Potenzgleichung und die dazu äquivalente Logarithmusschreibweise ineinander überführen und Basis, Argument sowie richtig zuordnen.
Eine Aussage der Form = b lesen und Basis, und Ergebnis unterscheiden.
Fragen, mit welchem die Basis potenziert werden muss, damit das gegebene Ergebnis entsteht.
Die Potenzaussage = b als log_a(b) = x notieren.
Nächster Schritt
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
Der kleine Eintrag bei heißt Basis. Er ist hier mathematisch nötig, weil er angibt, welche Zahl potenziert wird.
Damit gilt
Für positive Zahlen und gilt:
Kontrolle:
Achtung: Die Regel gilt für ein Produkt im Logarithmus, nicht für eine Summe. Im Allgemeinen ist .
Für positive Zahlen und gilt:
Kontrolle:
Für gilt:
Der Exponent vor dem Logarithmus wird zum .
Kontrolle ohne Regel:
Die Logarithmengesetze folgen aus den Potenzgesetzen. Wir begründen die Produktregel Schritt für Schritt.
Setze
Nach der Umkehrbeziehung gilt dann
Nun werden und multipliziert:
Auf beiden Seiten wird der Logarithmus zur Basis angewendet:
Damit ist die Produktregel begründet.
Merke: Die Voraussetzungen , , und gehören zur Begründung dazu.
Eine Logarithmusaussage wieder als gleichbedeutende Potenz schreiben.
Bei reellen Logarithmen Basis a > 0 mit a ungleich 1 und positives Argument kontrollieren.
Den Logarithmus eines Produktes in eine Summe von Logarithmen zerlegen und die Regel auch rückwärts zum Zusammenfassen verwenden.
Prüfen, ob im Logarithmus tatsächlich zwei oder mehrere miteinander multipliziert werden.
log_a(xy) als log_a(x) + log_a(y) schreiben.
Bei mehreren die Produktregel schrittweise weiter anwenden.
Eine Summe von Logarithmen gleicher Basis zu einem Logarithmus eines Produktes zusammenfassen.
Erkennen, dass log_a(x + y) nicht mit der Produktregel aufgeteilt werden darf.
Den Logarithmus eines Quotienten als Differenz von Logarithmen schreiben und die Regel rückwärts anwenden.
Zähler und Nenner des Bruches im Logarithmus eindeutig bestimmen.
log_a(x/y) als log_a(x) - log_a(y) schreiben.
Den Logarithmus des Zählers zuerst und den Logarithmus des Nenners danach schreiben.
Eine Differenz zweier Logarithmen gleicher Basis zu einem Logarithmus eines Quotienten zusammenfassen.
Erkennen, dass log_a(x - y) nicht mit der Quotientenregel aufgeteilt werden darf.
Einen im Argument eines Logarithmus als vor den Logarithmus ziehen und die Regel rückwärts verwenden.
Prüfen, ob das gesamte positive Argument des Logarithmus potenziert wird.
log_a() als r · log_a(x) schreiben.
Bekannte Logarithmuswerte nach Anwendung der Potenzregel einsetzen und berechnen.
Einen vor einem Logarithmus als des Arguments schreiben.
Die umgeformte Darstellung durch eine bekannte Potenz oder einen einfachen Zahlenwert prüfen.
Ein Logarithmengesetz aus der Bedeutung des Logarithmus und einem passenden Potenzgesetz schrittweise herleiten.
Zum Beispiel p = log_a(x) und q = log_a(y) setzen.
Aus p = log_a(x) die Aussage x = und entsprechend y = gewinnen.
Beim Produkt · = a^(p+q), beim Quotienten / = a^(p-q) beziehungsweise bei Potenzen = a^(pr) verwenden.
Die entstandene Potenzaussage wieder als Logarithmusaussage formulieren.
p und q wieder durch die ursprünglichen Logarithmen ersetzen.
Die fertige Logarithmusregel mit dem zugrunde liegenden Potenzgesetz verbinden und nicht nur auswendig wiedergeben.
