Beschränktes und logistisches Wachstum

Kompetenzcode: FA 5.7

Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Viele reale Bestände wachsen nicht unbegrenzt. Ein Behälter wird voll, eine Population stößt auf eine Kapazitätsgrenze und die Wirkung einer Maßnahme nähert sich einem Grenzwert. Dafür gibt es zwei wichtige Modelle:

• beschränktes Wachstum: Der Bestand nähert sich von Anfang an immer langsamer einer Grenze.
• logistisches Wachstum: Der Bestand wächst zuerst langsam, dann immer schneller und nach einem Wendepunkt wieder langsamer. Der Graph ist S-förmig.

Beide Modelle besitzen einen Sättigungswert $S$. Ihr Änderungsverhalten ist aber verschieden.

Die wichtigste Frage lautet nicht nur „Gibt es eine Grenze?“, sondern auch: „Wie verändert sich die Zunahme auf dem Weg zu dieser Grenze?“

1. Beschränktes Wachstum: Der Abstand zur Grenze schrumpft

Für beschränktes Wachstum wird häufig die Form

$$N(t)=S-b\cdot a^t, \qquad 0<a<1$$

verwendet. Dabei bedeuten:

• $t$: Zeit,
• $N(t)$: Bestand zur Zeit $t$,
• $S$: Sättigungswert oder Kapazitätsgrenze,
• $b=S-N_0$: anfänglicher Abstand zur Grenze,

Setzt man $t=0$, erhält man wegen $a^0=1$

$$N(0)=S-b=N_0.$$

Noch aufschlussreicher ist der Abstand

$$D(t)=S-N(t).$$

Für das beschränkte Modell gilt

$$D(t)=b\cdot a^t \quad\text{und damit}\quad D(t+1)=a\cdot D(t).$$

Nicht der Bestand selbst, sondern der noch fehlende Abstand zur Grenze verändert sich exponentiell.

Beispiel 1: Formel und Parameter deuten

$$N(t)=120-100\cdot0{,}8^t.$$

Der Sättigungswert ist $S=120$. Der Anfangswert lautet

$$N(0)=120-100=20.$$

Der anfängliche Abstand zur Grenze ist $b=100$. Pro Zeiteinheit bleiben $80\,\%$ des bisherigen Abstandes übrig, weil $a=0{,}8$. Der Abstand sinkt also pro Schritt um $20\,\%$.

Beispiel 2: Einen Funktionswert berechnen

Für dasselbe Modell berechnen wir den Bestand nach drei Zeiteinheiten:

$$\begin{aligned} N(3) &=120-100\cdot0{,}8^3\\ &=120-100\cdot0{,}512\\ &=68{,}8. \end{aligned}$$

Die Einheit des Ergebnisses ist dieselbe wie die Einheit des Bestandes. Die Kontrolle über den Kontext lautet:

$$20=N(0)<N(3)=68{,}8<120=S.$$

Beispiel 3: Ein beschränktes Modell aufstellen

Ein Bestand startet bei $N_0=30$ und nähert sich $S=150$. Pro Stunde verringert sich der noch fehlende Abstand um $25\,\%$.

Damit bleiben pro Stunde $75\,\%$ des Abstandes übrig:

$$a=0{,}75.$$

Der Anfangsabstand ist

$$b=S-N_0=150-30=120.$$

Also lautet das Modell

$$N(t)=150-120\cdot0{,}75^t.$$

Nach zwei Stunden ergibt sich

$$N(2)=150-120\cdot0{,}75^2 =150-67{,}5 =82{,}5.$$

2. Beschränkte Abnahme

Ein Bestand kann sich auch von oben einer unteren Grenze $S$ nähern. Dann ist eine passende Form

$$N(t)=S+b\cdot a^t, \qquad b=N_0-S>0, \qquad 0<a<1.$$

Der Abstand $N(t)-S$ wird pro Zeiteinheit mit $a$ multipliziert.

Beispiel 4: Abkühlung gegen die Umgebungstemperatur

Ein Körper mit $80\,{}^\circ\mathrm{C}$ kühlt in einem Raum mit $18\,{}^\circ\mathrm{C}$ ab. Pro Zeiteinheit bleiben $70\,\%$ des Temperaturunterschieds erhalten.

$$N(t)=18+62\cdot0{,}7^t.$$

Nach zwei Zeiteinheiten gilt

$$\begin{aligned} N(2) &=18+62\cdot0{,}7^2\\ &=18+62\cdot0{,}49\\ &=48{,}38. \end{aligned}$$

Der Wert liegt wie erwartet zwischen Anfangstemperatur und Umgebungstemperatur:

$$18<48{,}38<80.$$

3. Graph eines beschränkten Modells

Für $N_0<S$ besitzt beschränktes Wachstum folgende Merkmale:

• Der Graph beginnt bei $(0,N_0)$.
• Er steigt monoton.
• Er wird von Anfang an flacher.
• Die Gerade $N=S$ ist eine waagrechte Asymptote.
• Der Wert $S$ wird im Modell für endliche nicht erreicht.

Für die Form mit $e$

$$N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda t}, \qquad \lambda>0,$$

gilt derselbe Verlauf. Die beiden Schreibweisen hängen durch

$$a=e^{-\lambda} \quad\text{beziehungsweise}\quad \lambda=-\ln(a)$$

zusammen.

Beispiel 5: Graphisch argumentieren

Ein Graph beginnt bei $40$, steigt, ist überall nach unten gekrümmt und nähert sich der Geraden $y=200$. Dann sind

$$N_0=40 \quad\text{und}\quad S=200.$$

Der Verlauf passt zu beschränktem Wachstum. Ein logistisches Modell wäre nur dann naheliegend, wenn im betrachteten Bereich zusätzlich eine S-Form mit Krümmungswechsel erkennbar wäre.

4. Logistisches Wachstum: erst beschleunigt, dann gebremst

Eine gebräuchliche Form des logistischen Modells lautet

$$N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t}, \qquad 0<a<1, \qquad c=\frac{S-N_0}{N_0}.$$

Die Parameter bedeuten:

• $S$: Sättigungswert,
• $N_0$: Anfangsbestand,
• $c$: Verhältnis des anfänglich noch freien Anteils zum Anfangsbestand,
• $a$: Änderungsparameter; je kleiner $a$, desto rascher verläuft die Entwicklung.

Die Anfangswertkontrolle ist besonders wichtig:

$$N(0)=\frac{S}{1+c}=N_0.$$

In der äquivalenten $e$-Form schreibt man

$$N(t)=\frac{S}{1+c\cdot e^{-\lambda t}}, \qquad \lambda>0.$$

Beispiel 6: Parameter eines logistischen Modells deuten

$$N(t)=\frac{500}{1+9\cdot0{,}6^t}.$$

Hier ist $S=500$, $c=9$ und $a=0{,}6$. Der Anfangswert ist

$$N(0)=\frac{500}{1+9}=50.$$

Der Bestand startet somit bei $50$, wächst S-förmig und nähert sich langfristig $500$.

Beispiel 7: Logistischen Funktionswert berechnen

$$\begin{aligned} N(4) &=\frac{500}{1+9\cdot0{,}6^4}\\ &=\frac{500}{1+9\cdot0{,}1296}\\ &=\frac{500}{2{,}1664}\\ &\approx230{,}8. \end{aligned}$$

Das Ergebnis liegt zwischen $N_0=50$ und $S=500$, wie es der Kontext verlangt.

Beispiel 8: Logistisches Modell aus $S$, $N_0$ und $a$ bilden

Gegeben sind $S=800$, $N_0=100$ und $a=0{,}75$. Zuerst bestimmen wir

$$c=\frac{S-N_0}{N_0} =\frac{800-100}{100} =7.$$

Damit lautet das Modell

$$N(t)=\frac{800}{1+7\cdot0{,}75^t}.$$

Nach fünf Zeiteinheiten gilt

$$N(5)=\frac{800}{1+7\cdot0{,}75^5} \approx300{,}6.$$

5. Der Wendepunkt des logistischen Modells

Der Wendepunkt liegt bei

$$N=\frac{S}{2}.$$

Dort ist die momentane Wachstumsrate maximal. Vor dem Wendepunkt werden die Zuwächse größer, danach werden sie kleiner.

Für die $e$-Form

$$N(t)=\frac{S}{1+c\cdot e^{-\lambda t}}$$

erhält man die Wendestelle aus

$$c\cdot e^{-\lambda t_W}=1.$$

Damit gilt

$$t_W=\frac{\ln(c)}{\lambda}.$$

Beispiel 9: Wendepunkt bestimmen und deuten

$$N(t)=\frac{1000}{1+19\cdot e^{-0{,}4t}}.$$

Die Wendestelle lautet

$$t_W=\frac{\ln(19)}{0{,}4}\approx7{,}36.$$

Am Wendepunkt beträgt der Bestand

$$N(t_W)=\frac{1000}{2}=500.$$

Bis etwa $t=7{,}36$ nimmt die Steigung zu; danach wächst der Bestand weiter, aber immer langsamer.

„Maximales Wachstum“ bedeutet am Wendepunkt die größte momentane Zunahme, nicht den größten Bestand.

6. Beschränkt oder logistisch?

Beide Modelle nähern sich $S$, aber ihre Graphen unterscheiden sich:

Beispiel 10: Daten mit bekannter Grenze untersuchen

Ein Bestand hat die Werte

$$20;\ 40;\ 55;\ 66{,}25$$

und die Grenze $S=100$. Die Abstände zur Grenze sind

$$80;\ 60;\ 45;\ 33{,}75.$$

Die Quotienten der aufeinanderfolgenden Abstände sind

$$\frac{60}{80} =\frac{45}{60} =\frac{33{,}75}{45} =0{,}75.$$

Darum passt ein beschränktes Modell:

$$N(t)=100-80\cdot0{,}75^t.$$

Beispiel 11: Eine S-förmige Datenreihe erkennen

Die Werte

$$10;\ 18;\ 31;\ 48;\ 67;\ 82;\ 91$$

haben die Zuwächse

$$8;\ 13;\ 17;\ 19;\ 15;\ 9.$$

Die Zuwächse werden zunächst größer und danach kleiner. Zusammen mit einer plausiblen Sättigungsgrenze nahe (100) spricht dieses Muster für logistisches Wachstum.

7. Vier stetige Wachstumsmodelle vergleichen

Beispiel 12: Das passende Modell auswählen

• Ein Tank wird mit konstant $4\,\mathrm{L/min}$ gefüllt: linear, solange der Zufluss unverändert bleibt und der Tank nicht voll ist.
• Ein Kapital wächst jährlich um $3\,\%$: exponentiell, solange derselbe relative Faktor gilt.
• Eine Temperatur nähert sich der Raumtemperatur und der Temperaturunterschied sinkt pro Minute um $12\,\%$: beschränkt.
• Eine Population wächst bei kleiner Dichte langsam, in der mittleren Phase rasch und nahe der Kapazitätsgrenze wieder langsam: logistisch.

Die Schlüsselwörter allein reichen nicht. Entscheidend sind Datenmuster, Änderungsverhalten und Kontext gemeinsam.

8. Modelle begründet beurteilen

Ein Modell ist eine vereinfachte Beschreibung für einen bestimmten Bereich. Bei der Beurteilung sind mindestens diese Fragen zu klären:

1. Passen Einheiten, Anfangswert und Parameter zum Sachverhalt?
2. Ist eine Sättigungsgrenze fachlich plausibel und annähernd konstant?
3. Passt das beobachtete Änderungsverhalten zum Modell?
4. Liegen die Daten im beobachteten Bereich oder wird weit extrapoliert?
5. Welche äußeren Bedingungen können sich ändern?

Beispiel 13: Ein logistisches Modell kritisch bewerten

Ein logistisches Modell beschreibt eine Tierpopulation mit $S=2400$. Für wenige Jahre passt der Graph gut zu den Messwerten.

Ein begründetes Urteil lautet:

Das Modell ist für den beobachteten Zeitraum plausibel, wenn Lebensraum und Ressourcen annähernd stabil bleiben und die Daten eine S-förmige Entwicklung zeigen. Eine langfristige Vorhersage ist unsicher, weil sich die Kapazitätsgrenze durch Klima, Nahrung, Krankheiten oder Eingriffe verändern kann.

Eine gute rechnerische Anpassung beweist daher nicht, dass $S$ dauerhaft konstant bleibt.

Beispiel 14: Eine ungeeignete Extrapolation erkennen

Ein linearer Trend beschreibt die ersten drei Messwerte eines begrenzten Marktes gut. Nach diesem Trend würde die Zahl der Kundinnen und Kunden später die gesamte Zielgruppe übersteigen.

Das lineare Modell kann kurzfristig zur Interpolation geeignet sein. Für die langfristige Entwicklung ist es ungeeignet, weil es keine Sättigungsgrenze enthält. Je nach Form der weiteren Daten ist ein beschränktes oder logistisches Modell sachlich plausibler.

9. Technologie sinnvoll einsetzen

Mit GeoGebra oder einem CAS können Funktionswerte, Parameter und Schnittpunkte kontrolliert werden. Ein sinnvoller Arbeitsablauf ist:

1. Formel mit Klammern eindeutig eingeben.
2. Anfangswert $N(0)$ prüfen.
3. die Gerade $y=S$ ergänzen.
4. mehrere Modellwerte in einer Tabelle berechnen.
5. beim logistischen Modell $N(t)=S/2$ lösen.
6. das Ergebnis im Kontext und mit Einheiten deuten.

Technologie ersetzt nicht die Modellentscheidung. Eine Regression kann eine Kurve anpassen, aber weder die Stabilität von $S$ noch den sinnvollen Gültigkeitsbereich beweisen.

Typische Fehler

• $a=0{,}8$ wird als Zunahme um $80\,\%$ gedeutet. Beim beschränkten Modell bleiben $80\,\%$ des Abstandes übrig; er sinkt um $20\,\%$.
• $$ wird mit dem Anfangswert verwechselt. Beim beschränkten Wachstum gilt .

Arbeitsabläufe

Beschränktes Modell erkennen und deuten

1. Anfangswert und mögliche Grenze aus Formel, Graph oder Kontext bestimmen.
2. Prüfen, ob der Bestand sich von unten oder oben an die Grenze annähert.
3. Den Abstand zur Grenze $D(t)=|S-N(t)|$ bilden.
4. Prüfen, ob dieser Abstand mit einem konstanten Faktor verändert wird.
5. $a$ als verbleibenden Anteil des Abstandes deuten.
6. Monotonie, Asymptote und Gültigkeitsbereich formulieren.

Beschränktes Modell aufstellen und berechnen

1. $S$, $N_0$ und die Zeiteinheit mit Einheiten notieren.
2. $b=|S-N_0|$ berechnen.

Logistisches Modell erkennen und deuten

1. Eine sachlich begründete Sättigungsgrenze suchen.
2. Prüfen, ob der Graph oder die Daten S-förmig verlaufen.
3. Zuwächse untersuchen: zuerst größer, danach kleiner.
4. $S$, $N_0$, $c$ und $a$ aus der Formel zuordnen.
5. Den Wendepunkt bei $$ als maximale Wachstumsrate deuten.

Logistischen Wert und Wendepunkt berechnen

1. Die Formel mit vollständigem Nenner notieren.
2. Bei Bedarf $c=\frac{S-N_0}{N_0}$ bestimmen.

Wachstumsmodell vergleichen und auswählen

1. Gleiche Zeitabstände und verlässliche Daten sicherstellen.
2. Absolute Differenzen, Quotienten und gegebenenfalls Abstände zu $S$ untersuchen.
3. Graphform und Entwicklung der Zuwächse beschreiben.
4. Eine Sättigungsgrenze nur mit sachlicher Begründung annehmen.
5. Das einfachste passende Modell für den betrachteten Bereich wählen.
6. Die Wahl mit Datenmerkmal und Kontextmerkmal begründen.

Modelleignung beurteilen

1. Größen, Einheiten und Anfangswert kontrollieren.
2. Parameter und Sättigungswert sachlich interpretieren.
3. Datenpassung und systematische Abweichungen prüfen.
4. Interpolation von Extrapolation unterscheiden.
5. Gültigkeitsbereich und veränderliche Rahmenbedingungen nennen.
6. Ein differenziertes Urteil mit Stärke und Grenze des Modells formulieren.

Merksätze

• Beim beschränkten Modell verändert sich der Abstand zu $S$ exponentiell.
• Für $0<a<1$ wird dieser Abstand von Schritt zu Schritt kleiner.
• Logistisches Wachstum ist S-förmig und hat bei $N=S/2$ seine größte momentane Zunahme.
• Eine Sättigungsgrenze allein macht ein Modell noch nicht logistisch.
• Lineare Differenzen, exponentielle Quotienten und Abstände zur Grenze helfen bei der Modellwahl.
• Jedes Wachstumsmodell braucht einen ausdrücklich genannten Gültigkeitsbereich.