Verändere Anfangswert, Wachstumsrate und Sättigungsgrenze. Die typische S-Kurve zeigt zuerst Beschleunigung und später Abbremsung.
N(t)=1+(N0K−N0)⋅e−rtK
Logistisches Wachstum55,1
Ohne Begrenzung110,2
Sättigungsgrenze100
Bei N = K/2 ist die Kurve am steilsten. Danach wird der noch freie Anteil kleiner und das Wachstum verlangsamt sich.
Beschränktes und logistisches Wachstum
Kompetenzcode: FA 5.7
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten
Viele reale Bestände wachsen nicht unbegrenzt. Ein Behälter wird voll, eine Population stößt auf eine Kapazitätsgrenze und die Wirkung einer Maßnahme nähert sich einem Grenzwert. Dafür gibt es zwei wichtige Modelle:
beschränktes Wachstum: Der Bestand nähert sich von Anfang an immer langsamer einer Grenze.
logistisches Wachstum: Der Bestand wächst zuerst langsam, dann immer schneller und nach einem Wendepunkt wieder langsamer. Der Graph ist S-förmig.
Beide Modelle besitzen einen Sättigungswert S. Ihr Änderungsverhalten ist aber verschieden.
Die wichtigste Frage lautet nicht nur „Gibt es eine Grenze?“, sondern auch: „Wie verändert sich die Zunahme auf dem Weg zu dieser Grenze?“
1. Beschränktes Wachstum: Der Abstand zur Grenze schrumpft
Für beschränktes Wachstum wird häufig die Form
So gehst du vor
Schrittlisten
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
FA 5.7 - Beschränktes Modell erkennen und deuten
Ein beschränktes Wachstums- oder Abnahmemodell an seinem endlichen Grenzwert und dem exponentiell schrumpfenden Abstand zu dieser Grenze erkennen.
1
Anfangswert und Grenze bestimmen
N0 und einen endlichen Grenzwert S aus Formel, Graph oder Kontext mit Einheiten notieren.
2
Annäherungsrichtung prüfen
Entscheiden, ob der Bestand von unten wächst oder von oben gegen S abnimmt.
3
Abstand zur Grenze bilden
D(t)=|S-N(t)| berechnen und damit die tatsächlich exponentiell veränderte Größe sichtbar machen.
4
Abstandsfaktor untersuchen
Prüfen, ob D(t+1)/D(t) bei gleichen Zeitschritten konstant ist.
5
Parameter deuten
S als Grenze, b als Anfangsabstand und a als verbleibenden Anteil des Abstandes formulieren.
6
Graphverlauf beschreiben
Anfangspunkt, Monotonie, Abflachung und waagrechte Asymptote im Kontext deuten.
Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben.
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
a: , mit dem der verbleibende Abstand pro Zeiteinheit multipliziert wird,
N0=N(0): Anfangsbestand.
Setzt man t=0, erhält man wegen a0=1
N(0)=S−b=N0.
Noch aufschlussreicher ist der Abstand
D(t)=S−N(t).
Für das beschränkte Modell gilt
D(t)=b⋅atund damitD(t+1)=a⋅D(t).
Nicht der Bestand selbst, sondern der noch fehlende Abstand zur Grenze verändert sich exponentiell.
Beispiel 1: Formel und deuten
N(t)=120−100⋅0,8t.
Der Sättigungswert ist S=120. Der Anfangswert lautet
N(0)=120−100=20.
Der anfängliche Abstand zur Grenze ist b=100. Pro Zeiteinheit bleiben 80% des bisherigen Abstandes übrig, weil a=0,8. Der Abstand sinkt also pro Schritt um 20%.
Beispiel 2: Einen berechnen
Für dasselbe Modell berechnen wir den Bestand nach drei Zeiteinheiten:
N(3)=120−100⋅0,83=120−100⋅0,512=68,8.
Die Einheit des Ergebnisses ist dieselbe wie die Einheit des Bestandes. Die Kontrolle über den Kontext lautet:
20=N(0)<N(3)=68,8<120=S.
Beispiel 3: Ein beschränktes Modell aufstellen
Ein Bestand startet bei N0=30 und nähert sich S=150. Pro Stunde verringert sich der noch fehlende Abstand um 25%.
Damit bleiben pro Stunde 75% des Abstandes übrig:
a=0,75.
Der Anfangsabstand ist
b=S−N0=150−30=120.
Also lautet das Modell
N(t)=150−120⋅0,75t.
Nach zwei Stunden ergibt sich
N(2)=150−120⋅0,752=150−67,5=82,5.
2. Beschränkte Abnahme
Ein Bestand kann sich auch von oben einer unteren Grenze S nähern. Dann ist eine passende Form
N(t)=S+b⋅at,b=N0−S>0,0<a<1.
Der Abstand N(t)−S wird pro Zeiteinheit mit a multipliziert.
Beispiel 4: Abkühlung gegen die Umgebungstemperatur
Ein Körper mit 80∘C kühlt in einem Raum mit 18∘C ab. Pro Zeiteinheit bleiben 70% des Temperaturunterschieds erhalten.
N(t)=18+62⋅0,7t.
Nach zwei Zeiteinheiten gilt
N(2)=18+62⋅0,72=18+62⋅0,49=48,38.
Der Wert liegt wie erwartet zwischen Anfangstemperatur und Umgebungstemperatur:
18<48,38<80.
3. Graph eines beschränkten Modells
Für N0<S besitzt beschränktes Wachstum folgende Merkmale:
Der Graph beginnt bei (0,N0).
Er steigt monoton.
Er wird von Anfang an flacher.
Die Gerade N=S ist eine waagrechte Asymptote.
Der Wert S wird im Modell für endliche t nicht erreicht.
Für die Form mit e
N(t)=S−b⋅e−λt,λ>0,
gilt derselbe Verlauf. Die beiden Schreibweisen hängen durch
a=e−λbeziehungsweiseλ=−ln(a)
zusammen.
Beispiel 5: Graphisch argumentieren
Ein Graph beginnt bei 40, steigt, ist überall nach unten gekrümmt und nähert sich der Geraden y=200. Dann sind
N0=40undS=200.
Der Verlauf passt zu beschränktem Wachstum. Ein logistisches Modell wäre nur dann naheliegend, wenn im betrachteten Bereich zusätzlich eine S-Form mit Krümmungswechsel erkennbar wäre.
4. Logistisches Wachstum: erst beschleunigt, dann gebremst
Eine gebräuchliche Form des logistischen Modells lautet
N(t)=1+c⋅atS,0<a<1,c=N0S−N0.
Die Parameter bedeuten:
S: Sättigungswert,
N0: Anfangsbestand,
c: Verhältnis des anfänglich noch freien Anteils zum Anfangsbestand,
a: Änderungsparameter; je kleiner a, desto rascher verläuft die Entwicklung.
Die Anfangswertkontrolle ist besonders wichtig:
N(0)=1+cS=N0.
In der äquivalenten e-Form schreibt man
N(t)=1+c⋅e−λtS,λ>0.
Beispiel 6: Parameter eines logistischen Modells deuten
N(t)=1+9⋅0,6t500.
Hier ist S=500, c=9 und a=0,6. Der Anfangswert ist
N(0)=1+9500=50.
Der Bestand startet somit bei 50, wächst S-förmig und nähert sich langfristig 500.
Beispiel 7: Logistischen Funktionswert berechnen
N(4)=1+9⋅0,64500=1+9
Das Ergebnis liegt zwischen N0=50 und S=500, wie es der Kontext verlangt.
Beispiel 8: Logistisches Modell aus S, N0 und a bilden
Gegeben sind S=800, N0=100 und a=0,75. Zuerst bestimmen wir
c=N0S−N0=100800−100=7.
Damit lautet das Modell
N(t)=1+7⋅0,75t800.
Nach fünf Zeiteinheiten gilt
N(5)=1+7⋅0,755800≈300,6.
5. Der Wendepunkt des logistischen Modells
Der Wendepunkt liegt bei
N=2S.
Dort ist die momentane Wachstumsrate maximal. Vor dem Wendepunkt werden die Zuwächse größer, danach werden sie kleiner.
Für die e-Form
N(t)=1+c⋅e−λtS
erhält man die Wendestelle aus
c⋅e−λtW=1.
Damit gilt
tW=λln(c).
Beispiel 9: Wendepunkt bestimmen und deuten
N(t)=1+19⋅e−0,4t1000.
Die Wendestelle lautet
tW=0,4ln(19)≈7,36.
Am Wendepunkt beträgt der Bestand
N(tW)=21000=500.
Bis etwa t=7,36 nimmt die Steigung zu; danach wächst der Bestand weiter, aber immer langsamer.
„Maximales Wachstum“ bedeutet am Wendepunkt die größte momentane Zunahme, nicht den größten Bestand.
6. Beschränkt oder logistisch?
Beide Modelle nähern sich S, aber ihre Graphen unterscheiden sich:
Merkmal
Beschränktes Wachstum
Logistisches Wachstum
Form
von Anfang an abflachend
S-förmig
Zuwächse
werden von Anfang an kleiner
werden zuerst größer, dann kleiner
Krümmungswechsel
nein
ja, bei N=S/2
Exponentiell veränderliche Größe
Abstand S−N(t)
Verhältnis in der logistischen Struktur
Typischer Kontext
Füllen, Erwärmen, Annäherung
Population, Verbreitung, Marktdurchdringung
Beispiel 10: Daten mit bekannter Grenze untersuchen
Ein Bestand hat die Werte
20;40;55;66,25
und die Grenze S=100. Die Abstände zur Grenze sind
80;60;45;33,75.
Die Quotienten der aufeinanderfolgenden Abstände sind
8060=6045=4533,75=0,75.
Darum passt ein beschränktes Modell:
N(t)=100−80⋅0,75t.
Beispiel 11: Eine S-förmige Datenreihe erkennen
Die Werte
10;18;31;48;67;82;91
haben die Zuwächse
8;13;17;19;15;9.
Die Zuwächse werden zunächst größer und danach kleiner. Zusammen mit einer plausiblen Sättigungsgrenze nahe (100) spricht dieses Muster für logistisches Wachstum.
7. Vier stetige Wachstumsmodelle vergleichen
Modell
Typische Formel
Kennzeichen bei gleichen Zeitschritten
linear
N(t)=N0+kt
konstante absolute Differenzen
exponentiell
N(t)=N0⋅at
konstante Quotienten bzw. relative Änderungen
beschränkt
N(t)=S−b⋅at
konstante Quotienten der Abstände zu S
logistisch
N(t)=1+c⋅atS
Beispiel 12: Das passende Modell auswählen
Ein Tank wird mit konstant 4L/min gefüllt: linear, solange der Zufluss unverändert bleibt und der Tank nicht voll ist.
Ein Kapital wächst jährlich um 3%: exponentiell, solange derselbe relative Faktor gilt.
Eine Temperatur nähert sich der Raumtemperatur und der Temperaturunterschied sinkt pro Minute um 12%: beschränkt.
Eine Population wächst bei kleiner Dichte langsam, in der mittleren Phase rasch und nahe der Kapazitätsgrenze wieder langsam: logistisch.
Die Schlüsselwörter allein reichen nicht. Entscheidend sind Datenmuster, Änderungsverhalten und Kontext gemeinsam.
8. Modelle begründet beurteilen
Ein Modell ist eine vereinfachte Beschreibung für einen bestimmten Bereich. Bei der Beurteilung sind mindestens diese Fragen zu klären:
Passen Einheiten, Anfangswert und Parameter zum Sachverhalt?
Ist eine Sättigungsgrenze fachlich plausibel und annähernd konstant?
Passt das beobachtete Änderungsverhalten zum Modell?
Liegen die Daten im beobachteten Bereich oder wird weit extrapoliert?
Welche äußeren Bedingungen können sich ändern?
Beispiel 13: Ein logistisches Modell kritisch bewerten
Ein logistisches Modell beschreibt eine Tierpopulation mit S=2400. Für wenige Jahre passt der Graph gut zu den Messwerten.
Ein begründetes Urteil lautet:
Das Modell ist für den beobachteten Zeitraum plausibel, wenn Lebensraum und Ressourcen annähernd stabil bleiben und die Daten eine S-förmige Entwicklung zeigen. Eine langfristige Vorhersage ist unsicher, weil sich die Kapazitätsgrenze durch Klima, Nahrung, Krankheiten oder Eingriffe verändern kann.
Eine gute rechnerische Anpassung beweist daher nicht, dass S dauerhaft konstant bleibt.
Beispiel 14: Eine ungeeignete Extrapolation erkennen
Ein linearer Trend beschreibt die ersten drei Messwerte eines begrenzten Marktes gut. Nach diesem Trend würde die Zahl der Kundinnen und Kunden später die gesamte Zielgruppe übersteigen.
Das lineare Modell kann kurzfristig zur Interpolation geeignet sein. Für die langfristige Entwicklung ist es ungeeignet, weil es keine Sättigungsgrenze enthält. Je nach Form der weiteren Daten ist ein beschränktes oder logistisches Modell sachlich plausibler.
9. Technologie sinnvoll einsetzen
Mit GeoGebra oder einem CAS können Funktionswerte, Parameter und Schnittpunkte kontrolliert werden. Ein sinnvoller Arbeitsablauf ist:
Formel mit Klammern eindeutig eingeben.
Anfangswert N(0) prüfen.
die Gerade y=S ergänzen.
mehrere Modellwerte in einer Tabelle berechnen.
beim logistischen Modell N(t)=S/2 lösen.
das Ergebnis im Kontext und mit Einheiten deuten.
Technologie ersetzt nicht die Modellentscheidung. Eine Regression kann eine Kurve anpassen, aber weder die Stabilität von S noch den sinnvollen Gültigkeitsbereich beweisen.
Typische Fehler
a=0,8 wird als Zunahme um 80% gedeutet. Beim beschränkten Modell bleiben 80% des Abstandes übrig; er sinkt um 20%.
b wird mit dem Anfangswert verwechselt. Beim beschränkten Wachstum gilt b=S−N0.
Beim logistischen Modell wird c=S−N0 gesetzt. Richtig ist c=.
Jede Kurve mit einer Grenze wird automatisch „logistisch“ genannt. Eine S-Form und ein Wendepunkt müssen begründet sein.
Der Wendepunkt wird mit dem Sättigungswert verwechselt. Am Wendepunkt gilt N=S/2.
Ein berechneter Wert wird ohne Einheit oder ohne Plausibilitätskontrolle angegeben.
Ein kurzfristig passendes Modell wird unbegrenzt extrapoliert.
Arbeitsabläufe
Beschränktes Modell erkennen und deuten
Anfangswert und mögliche Grenze aus Formel, Graph oder Kontext bestimmen.
Prüfen, ob der Bestand sich von unten oder oben an die Grenze annähert.
Den Abstand zur Grenze D(t)=∣S−N(t)∣ bilden.
Prüfen, ob dieser Abstand mit einem konstanten Faktor verändert wird.
a als verbleibenden Anteil des Abstandes deuten.
Monotonie, Asymptote und Gültigkeitsbereich formulieren.
Beschränktes Modell aufstellen und berechnen
S, N0 und die Zeiteinheit mit Einheiten notieren.
b=∣S−N0∣ berechnen.
Aus der prozentuellen Abstandsänderung den Faktor a bestimmen.
Vorzeichen passend zu Wachstum oder Abnahme wählen.
Den Zeitpunkt einsetzen und Potenz vor Multiplikation berechnen.
Ergebnis zwischen Anfangswert und Grenze kontrollieren.
Logistisches Modell erkennen und deuten
Eine sachlich begründete Sättigungsgrenze suchen.
Prüfen, ob der Graph oder die Daten S-förmig verlaufen.
Zuwächse untersuchen: zuerst größer, danach kleiner.
S, N0, c und a aus der Formel zuordnen.
Den Wendepunkt bei N=S/2 als maximale Wachstumsrate deuten.
Prüfen, ob der betrachtete Zeitraum beide Wachstumsphasen zeigt.
Logistischen Wert und Wendepunkt berechnen
Die Formel mit vollständigem Nenner notieren.
Bei Bedarf c=N0S−N0 bestimmen.
Zuerst at beziehungsweise e−λt berechnen.
Den vollständigen Nenner bilden und erst danach dividieren.
Für den Wendepunkt N=S/2 setzen und nach t lösen.
Bestand, Zeit und maximale Wachstumsphase im Kontext deuten.
Wachstumsmodell vergleichen und auswählen
Gleiche Zeitabstände und verlässliche Daten sicherstellen.
Absolute Differenzen, Quotienten und gegebenenfalls Abstände zu S untersuchen.
Graphform und Entwicklung der Zuwächse beschreiben.
Eine Sättigungsgrenze nur mit sachlicher Begründung annehmen.
Das einfachste passende Modell für den betrachteten Bereich wählen.
Die Wahl mit Datenmerkmal und Kontextmerkmal begründen.
Modelleignung beurteilen
Größen, Einheiten und Anfangswert kontrollieren.
Parameter und Sättigungswert sachlich interpretieren.
Datenpassung und systematische Abweichungen prüfen.
Interpolation von Extrapolation unterscheiden.
Gültigkeitsbereich und veränderliche Rahmenbedingungen nennen.
Ein differenziertes Urteil mit Stärke und Grenze des Modells formulieren.
Merksätze
Beim beschränkten Modell verändert sich der Abstand zu S exponentiell.
Für 0<a<1 wird dieser Abstand von Schritt zu Schritt kleiner.
Logistisches Wachstum ist S-förmig und hat bei N=S/2 seine größte momentane Zunahme.
Eine Sättigungsgrenze allein macht ein Modell noch nicht logistisch.
Lineare Differenzen, exponentielle Quotienten und Abstände zur Grenze helfen bei der Modellwahl.
Jedes Wachstumsmodell braucht einen ausdrücklich genannten Gültigkeitsbereich.
FA 5.7 - Beschränktes Modell aufstellen und berechnen
Aus Sättigungswert, Anfangswert und Abstandsänderung ein beschränktes Modell bilden, berechnen und plausibel kontrollieren.
1
Gegebene Größen ordnen
Sättigungswert, Anfangswert, Zeit und prozentuelle Abstandsänderung mit Einheiten notieren.
2
Anfangsabstand berechnen
b=|S-N0| bestimmen und nicht mit N0 verwechseln.
3
Faktor bestimmen
Aus der prozentuellen Verringerung des Abstandes den verbleibenden a bilden.
4
Vorzeichen passend wählen
Für Wachstum von unten S-b*at und für Abnahme von oben S+b*at verwenden.
5
Funktionswert berechnen
Zuerst die Potenz, danach das Produkt und zuletzt die Addition oder Subtraktion berechnen.
6
Ergebnis kontrollieren
Prüfen, ob der Wert zwischen Anfangsbestand und Grenze liegt und die richtige Einheit besitzt.
FA 5.7 - Logistisches Wachstum erkennen und deuten
Ein logistisches Modell an Sättigungsgrenze, S-Form und zunächst steigenden, später sinkenden Zuwächsen erkennen sowie seine deuten.
1
Sättigungsgrenze begründen
Eine endliche Kapazität aus Sachverhalt oder Daten fachlich plausibel machen.
2
S-Form prüfen
Untersuchen, ob der Verlauf zuerst steiler und später wieder flacher wird.
3
Zuwächse vergleichen
Bei gleichen Zeitschritten kontrollieren, ob die Zuwächse zunächst steigen und danach sinken.
4
Parameter zuordnen
In S/(1+c*at) den Sättigungswert S, den Formparameter c und den Änderungsparameter a deuten.
5
Anfangswert prüfen
t=0 einsetzen und N(0)=S/(1+c) mit dem Kontext vergleichen.
6
Wendepunkt deuten
Bei N=S/2 die maximale momentane Zunahme und den Wechsel der Krümmung beschreiben.
FA 5.7 - Logistische Werte und Wendepunkt berechnen
eines logistischen Modells sicher berechnen, aus S und N0 den c bestimmen und den Wendepunkt deuten.
1
Logistische Formel vollständig notieren
Den gesamten Ausdruck 1+c*at beziehungsweise 1+ce^(-lambdat) in den Nenner setzen.
2
Parameter c bestimmen
Bei gegebenem S und N0 den Wert c=(S-N0)/N0 berechnen.
3
Potenzterm berechnen
Zuerst at oder e^(-lambda*t) mit angemessener Genauigkeit bestimmen.
4
Nenner vor Division bilden
Potenzterm mit c multiplizieren, 1 addieren und erst danach S dividieren.
5
Wendestelle berechnen
Für den Wendepunkt N=S/2 setzen und die entstehende Exponentialgleichung lösen.
6
Rechenergebnis deuten
Bestand und Zeitpunkt mit Einheiten sowie der passenden Wachstumsphase angeben.
FA 5.7 - Wachstumsmodelle vergleichen und auswählen
Lineare, exponentielle, beschränkte und logistische Modelle anhand von Änderungsverhalten, Daten, Graph und Kontext unterscheiden und begründet auswählen.
1
Zeitabstände prüfen
Nur Werte mit gleichen Zeitschritten direkt über Differenzen und Quotienten vergleichen.
2
Absolute Differenzen bilden
Konstante Differenzen als Hinweis auf ein lineares Modell untersuchen.
3
Quotienten untersuchen
Konstante Bestandsquotienten als Hinweis auf exponentielles Wachstum prüfen.
4
Abstände zu S vergleichen
Bei begründeter Grenze prüfen, ob die Abstandsquotienten konstant sind und damit ein beschränktes Modell stützen.
5
Zuwachsverlauf beschreiben
Zunächst wachsende und später sinkende Zuwächse als Hinweis auf eine logistische S-Form erfassen.
6
Modellwahl begründen
Das gewählte Modell mit mindestens einem Daten- und einem Kontextargument rechtfertigen.
FA 5.7 - Eignung eines Wachstumsmodells beurteilen
Ein Wachstumsmodell hinsichtlich Datenpassung, , Sachkontext, Sättigungsannahme und Gültigkeitsbereich differenziert bewerten.
1
Größen und Einheiten prüfen
Eingangsgrößen, Zeitbezug, Anfangswert und Ergebnisdimension kontrollieren.
2
Parameter sachlich deuten
Änderungsfaktor und Sättigungswert in verständlichen Kontextaussagen formulieren.
3
Datenpassung beurteilen
Abweichungen und systematische Muster über mehrere Messwerte hinweg untersuchen.
4
Vorhersagebereich klären
Interpolation innerhalb der Daten von unsicherer Extrapolation außerhalb des beobachteten Bereichs trennen.
5
Rahmenbedingungen benennen
Prüfen, ob Ressourcen, Kapazitätsgrenze oder äußere Bedingungen über den Zeitraum stabil bleiben.
6
Differenziertes Urteil formulieren
Eine Stärke, eine Grenze und den sinnvollen Gültigkeitsbereich des Modells ausdrücklich angeben.
