Beim Gleichsetzungsverfahren werden beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst. Anschließend werden die beiden Ausdrücke gleichgesetzt.
Gegeben:
yy=2x+1=−x+7.
Da beide rechten Seiten denselben Wert y beschreiben, gilt:
2x+1=−x+7.
Nun wird schrittweise gelöst:
2x+1=−x+7⟺+x3x+1=7⟺−13x=6⟺:3x=2.
Rückeinsetzen in eine der beiden Gleichungen:
y=2x+1⟺x=2y=2⋅2+1⟺ausrechneny=5.
Lösung:
L={(2,5)}.
Merksatz: Das Gleichsetzungsverfahren ist besonders günstig, wenn beide Gleichungen bereits nach derselben Variablen aufgelöst sind oder leicht so umgeformt werden können.
5. Additionsverfahren
Beim Additionsverfahren werden die Gleichungen so addiert oder subtrahiert, dass eine Variable wegfällt.
Gegeben:
2x+y3x−y=9=6.
Die Gleichungen werden addiert:
2x+y3x−y=9=6⟹addieren5x=15.
Nun wird gelöst:
5x=15⟺:5x=3.
Rückeinsetzen:
2x+y=9⟺x=32⋅3+y=9⟺ausrechnen6+y=9⟺−6y=3.
Lösung:
L={(3,3)}.
passend machen
Gegeben:
2x+3y4x+y=12=10.
Die zweite Gleichung wird mit −3 multipliziert:
4x+y=10⟺⋅(−3)−12x−3y=−30.
Danach können die Gleichungen addiert werden:
2x+3y−12x−3y=12=−30⟹addieren−10x=−18.
Somit:
−10x=−18⟺:(−10)x=59.
6. Verfahren auswählen
Struktur
Geeignetes Verfahren
eine Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst
Einsetzungsverfahren
beide Gleichungen leicht nach derselben Variablen auflösbar
Gleichsetzungsverfahren
Koeffizienten sind Gegenzahlen
Additionsverfahren
Koeffizienten lassen sich leicht passend machen
erweitertes Additionsverfahren
Alle drei Verfahren führen bei korrekter Anwendung zum selben Lösungsfall.
7. Genau eine Lösung
Beispiel:
yy=x+1=−x+5.
Gleichsetzen:
x+1=−x+5⟺+x2x+1=5⟺−12x=4⟺:2x=2.
Dann gilt:
y=3.
Das System besitzt genau ein Lösungspaar:
L={(2,3)}.
Geometrisch schneiden sich die beiden Geraden in genau einem Punkt.
8. Keine Lösung
Beispiel:
yy=2x+1=2x+4.
Gleichsetzen:
2x+1=2x+4⟺−2x1=4.
Die Aussage ist falsch. Daher:
L=∅.
Geometrisch sind die Geraden parallel und verschieden.
9. Unendlich viele Lösungen
Beispiel:
y2y=2x+1=4x+2.
Die zweite Gleichung wird durch 2 dividiert:
2y=4x+2⟺:2y=2x+1.
Damit beschreiben beide Gleichungen dieselbe Gerade.
Beim Gleichsetzen entsteht:
2x+1=2x+1⟺−2x1=1.
Die Aussage ist immer wahr. Daher gibt es unendlich viele Lösungspaare:
L={(x,y)∈R2∣y=2x+1}.
10. Geometrische Deutung
Jede lineare Gleichung in zwei Variablen beschreibt eine Gerade.
Ein Gleichungssystem fragt nach gemeinsamen Punkten.
Lage der Geraden
Lösungsfall
Geraden schneiden sich
genau eine Lösung
Geraden sind parallel und verschieden
keine Lösung
Geraden sind identisch
unendlich viele Lösungen
11. Steigung und Achsenabschnitt
Eine lineare Gleichung kann in die Form
y=kx+d
gebracht werden.
Dabei ist:
k die Steigung,
d der y-Achsenabschnitt.
Verschiedene Steigungen
Für
k1=k2
schneiden sich die Geraden. Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung.
Gleiche Steigung, verschiedene Achsenabschnitte
Für
k1=k2undd1=d2
sind die Geraden parallel und verschieden. Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung.
Gleiche Steigung und gleicher Achsenabschnitt
Für
k1=k2undd1=d2
sind die Geraden identisch. Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.
Es wurden 60 Erwachsenentickets und 60 Jugendtickets verkauft.
13. Probe
Die Lösung wird in beide Ausgangsgleichungen eingesetzt.
Anzahl:
60+60=120.
Einnahmen:
10⋅60+6⋅60=960.
Beide Bedingungen sind erfüllt.
14. Kontextbedingungen
Bei Ticketzahlen gilt:
x,y∈N0.
Negative oder nicht ganzzahlige Lösungen wären im Kontext unzulässig.
Bei Längen gilt normalerweise:
x>0,y>0.
Die algebraische Lösung muss daher immer sachlich geprüft werden.
15. Typische Fehler
Variablen nicht definiert
Es muss klar sein, welche Größe x und welche Größe y beschreibt.
Nur eine Bedingung verwendet
Für zwei unbekannte Größen werden normalerweise zwei unabhängige Gleichungen benötigt.
Falsche Zuordnung von Preis und Anzahl
Der Preis eines Tickettyps muss mit der zugehörigen Anzahl multipliziert werden.
Ganze Gleichung nicht multipliziert
Beim Additionsverfahren muss jeder Term einer Gleichung mit demselben Faktor multipliziert werden.
Rückeinsetzen vergessen
Nach der ersten Variable muss auch die zweite Variable bestimmt werden.
Lösungsfall falsch gedeutet
Eine wahre Aussage wie
0=0
bedeutet unendlich viele gemeinsame Punkte.
Eine falsche Aussage wie
0=2
bedeutet keine Lösung.
16. Arbeitsablauf
Schritt
Leitfrage
1. Variablen definieren
Welche zwei Größen werden gesucht?
2. Zwei Bedingungen formulieren
Welche unabhängigen Informationen sind gegeben?
3. Gleichungen aufstellen
Wie werden die Bedingungen mathematisch beschrieben?
4. Verfahren wählen
Einsetzen, Gleichsetzen oder Addieren?
5. Eine Variable eliminieren
Welche Umformung ist am einfachsten?
6. Rückeinsetzen
Wie erhält man die zweite Variable?
7. Probe
Erfüllt das Paar beide Gleichungen?
8. Lösungsfall deuten
Schnittpunkt, parallel oder identisch?
9. Kontext prüfen
Sind beide Werte sachlich zulässig?
Zusammenfassung
Ein lineares Gleichungssystem beschreibt mehrere gleichzeitig geltende Bedingungen.
Eine Lösung ist ein geordnetes Zahlenpaar.
Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren sind gleichwertige Lösungswege.
Jeder Umformungsschritt wird explizit angegeben.
Es gibt genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen.
Geometrisch entsprechen diese Fälle sich schneidenden, parallelen oder identischen Geraden.
Die Lösung muss in beiden Gleichungen geprüft und im Kontext gedeutet werden.
7
Einheiten kontrollieren
Prüfe jede getrennt auf passende Größen und Einheiten.
8
Unabhängigkeit prüfen
Kontrolliere, ob die zweite tatsächlich zusätzliche Information liefert.
AG 2.5 – Lösungsverfahren für ein lineares Gleichungssystem wählen
Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren passend zur Gleichungsstruktur auswählen.
1
Gleichungen vereinfachen
Löse Klammern auf und ordne beide übersichtlich.
2
Isolierte Variable suchen
Ist eine bereits allein, bietet sich das Einsetzungsverfahren an.
3
Leicht auflösbare Gleichungen prüfen
Sind beide leicht nach derselben auflösbar, ist Gleichsetzen möglich.
4
Koeffizienten vergleichen
Sind gleich oder Gegenzahlen, ist Addieren besonders günstig.
5
Geeignete Erweiterung suchen
Prüfe, ob eine oder beide einfach multipliziert werden können, um eine zu eliminieren.
6
Verfahren auswählen
Wähle den Weg mit möglichst wenigen und einfachen Umformungen.
7
Wahl begründen
Erkläre kurz, welche Struktur das gewählte Verfahren günstig macht.
AG 2.5 – Lineares Gleichungssystem händisch lösen
Eine eliminieren, die andere bestimmen und durch Rückeinsetzen das Lösungspaar erhalten.
1
Verfahren vorbereiten
Löse eine auf oder passe für das Additionsverfahren an.
2
Eine Variable eliminieren
Setze ein, setze gleich oder addiere die so, dass eine wegfällt.
3
Entstandene Gleichung lösen
Bestimme den Wert der verbleibenden .
4
Rückeinsetzen
Setze den gefundenen Wert in eine geeignete Ausgangsgleichung ein.
5
Zweite Variable berechnen
Löse die entstehende lineare .
6
Geordnetes Paar notieren
Schreibe die Lösung als (x,y) beziehungsweise als Lösungsmenge.
7
Beide Gleichungen prüfen
Setze das Paar in beide ursprünglichen ein.
8
Rechenweg kontrollieren
Prüfe Vorzeichen und vollständige Multiplikation aller Gleichungsterme.
AG 2.5 – Lösungsfälle eines linearen Gleichungssystems beurteilen
Zwischen genau einer, keiner und unendlich vielen Lösungen algebraisch und geometrisch unterscheiden.
1
Elimination durchführen
Beseitige eine mit einem geeigneten Verfahren.
2
Eindeutige Variable erkennen
Entsteht ein konkreter Wert, gibt es genau eine Lösung.
3
Widerspruch erkennen
Eine falsche Aussage wie 0=3 bedeutet keine Lösung.
4
Identität erkennen
Eine wahre Aussage wie 0=0 bedeutet bei abhängigen unendlich viele Lösungen.
5
Geometrischen Fall zuordnen
Schnittpunkt, parallele Geraden oder identische Geraden.
6
Lösungsmenge angeben
Notiere ein Paar, die leere Menge oder eine parametrisierte beziehungsweise beschreibende Lösungsmenge.
7
Koeffizienten vergleichen
Prüfe, ob und rechte Seiten proportional sind.
AG 2.5 – Lösung eines Gleichungssystems im Kontext deuten
Beide Werte eines Lösungspaars mit Einheit, Wertebereich und Sachbedeutung interpretieren.
1
Variablenzuordnung wiederholen
Erkläre, welche Größe x und welche Größe y beschreibt.
2
Einheiten ergänzen
Ordne beiden Werten die passenden Einheiten zu.
3
Wertebereich prüfen
Kontrolliere Nichtnegativität, Ganzzahligkeit oder positive Längen.
4
Beide Bedingungen prüfen
Verifiziere das Paar in beiden Ausgangsgleichungen.
5
Plausibilität beurteilen
Prüfe Gesamtmengen, Einnahmen oder andere Größenordnungen.
6
Beide Werte deuten
Beschreibe jede Komponente des Paars ausdrücklich im Kontext.
7
Antwortsatz formulieren
Gib beide gesuchten Größen in einem vollständigen Satz an.
AG 2.5 – Lineares Gleichungssystem erkennen
Ein System aus zwei linearen in zwei erkennen.
1
System erkennen
Prüfe, ob mindestens zwei gemeinsam betrachtet werden.
2
Variablen bestimmen
Identifiziere die beiden unbekannten Größen.
3
Linearität prüfen
Jede darf nur in erster Potenz vorkommen und Variablen dürfen nicht miteinander multipliziert werden.
4
Gleichungen getrennt prüfen
Kontrolliere jede einzeln auf lineare Form.
5
Gemeinsame Lösungsidee erkennen
Gesucht ist ein Wertepaar, das alle gleichzeitig erfüllt.
6
Urteil begründen
Bezeichne die Aufgabe als lineares Gleichungssystem in zwei , wenn alle Kriterien erfüllt sind.
AG 2.5 – Variablen im Kontext definieren
Die beiden eines linearen Gleichungssystems sachbezogen definieren.
1
Unbekannte Größen finden
Bestimme die beiden Größen, die im Sachkontext gesucht werden.
2
Variablen wählen
Ordne jeder unbekannten Größe ein eindeutiges Variablensymbol zu.
3
Bedeutung formulieren
Schreibe zu jeder einen kurzen Satz, wofür sie steht.
4
Einheit ergänzen
Notiere gegebenenfalls die passende Einheit zur .
5
Variablen unterscheiden
Achte darauf, dass die beiden unterschiedliche Sachgrößen eindeutig repräsentieren.
6
Definitionen prüfen
Kontrolliere, ob die späteren Angaben des Kontexts mit diesen Variablendefinitionen sinnvoll formuliert werden können.
AG 2.5 – Gleichungssystem aus Text aufstellen
Aus einem einfachen Sachkontext zwei lineare aufstellen.
1
Variablen definieren
Lege die beiden unbekannten Größen mit eindeutiger Bedeutung fest.
2
Erste Information übersetzen
Übertrage die erste unabhängige Sachangabe in eine lineare .
3
Zweite Information übersetzen
Übertrage eine zweite unabhängige Sachangabe in eine weitere lineare .
4
Einheiten prüfen
Kontrolliere, dass in jeder nur vergleichbare Größen addiert oder gleichgesetzt werden.
5
System notieren
Schreibe beide gemeinsam als lineares Gleichungssystem.
6
Plausibilität prüfen
Teste, ob beide die Aussagen des Textes tatsächlich wiedergeben.
AG 2.5 – Gleichungssystem durch Einsetzen lösen
Ein lineares Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren lösen.
1
Gleichung auswählen
Wähle eine , aus der sich eine möglichst einfach isolieren lässt.
2
Variable freistellen
Forme diese nach einer um.
3
Ausdruck einsetzen
Setze den erhaltenen Ausdruck in die andere ein.
4
Eine Variable berechnen
Löse die dadurch entstehende mit nur einer .
5
Zweite Variable bestimmen
Setze den berechneten Wert in eine geeignete Ausgangs- oder Umformungsgleichung ein.
6
Lösungspaar prüfen
Setze beide Werte in beide ursprünglichen ein.
AG 2.5 – Gleichungssystem durch Gleichsetzen lösen
Ein lineares Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren lösen.
1
Beide Gleichungen umformen
Stelle in beiden dieselbe frei.
2
Rechte Seiten gleichsetzen
Da beide Ausdrücke dieselbe beschreiben, setze sie gleich.
3
Eine Variable berechnen
Löse die entstandene nach der verbleibenden .
4
Zweite Variable bestimmen
Setze den gefundenen Wert in eine der freigestellten ein.
5
Lösungspaar angeben
Notiere beide Werte geordnet als gemeinsames Lösungspaar.
6
Probe durchführen
Kontrolliere das Wertepaar in beiden Ausgangsgleichungen.
AG 2.5 – Lösung durch Einsetzen prüfen
Ein Lösungspaar in beide Ausgangsgleichungen einsetzen und überprüfen.
1
Lösungspaar übernehmen
Nimm die beiden vorgeschlagenen oder berechneten Werte für die .
2
In erste Gleichung einsetzen
Ersetze beide in der ersten Ausgangsgleichung durch die Werte.
3
Erste Gleichung prüfen
Berechne beide Seiten und kontrolliere ihre Gleichheit.
4
In zweite Gleichung einsetzen
Wiederhole das Einsetzen in der zweiten Ausgangsgleichung.
5
Zweite Gleichung prüfen
Kontrolliere auch dort die Gleichheit beider Seiten.
6
Urteil formulieren
Nur wenn beide erfüllt sind, ist das Wertepaar eine Lösung des Systems.
AG 2.5 – Keine Lösung erkennen
Ein widersprüchliches lineares Gleichungssystem erkennen und begründen.
1
System umformen
Verwende ein geeignetes Lösungsverfahren und vereinfache das System.
2
Widerspruch erkennen
Achte auf eine unmögliche Aussage wie 0=5.
3
Geradenbezug herstellen
Ein widersprüchliches lineares System beschreibt zwei verschiedene parallele Geraden.
4
Lösungsfall benennen
Formuliere ausdrücklich, dass keine gemeinsame Lösung existiert.
5
Lösungsmenge angeben
Notiere die Lösungsmenge als leere Menge.
6
Begründung angeben
Nenne den algebraischen Widerspruch oder die Parallelität als Grund.
AG 2.5 – Lösung grafisch ermitteln
Die Lösung eines linearen Gleichungssystems als Schnittpunkt zweier Geraden ermitteln.
1
Beide Gleichungen als Geraden lesen
Forme die bei Bedarf so um, dass ihre Geraden leicht gezeichnet oder technologisch dargestellt werden können.
2
Geraden darstellen
Zeichne beziehungsweise erzeuge beide Geraden im selben Koordinatensystem.
3
Schnittpunkt suchen
Bestimme den gemeinsamen Punkt der beiden Geraden.
4
Koordinaten ablesen
Lies x- und y-Koordinate des Schnittpunkts möglichst genau ab.
5
Lösungspaar zuordnen
Interpretiere die Schnittpunktkoordinaten als Lösung des Gleichungssystems.
6
Ergebnis prüfen
Setze das abgelesene Wertepaar bei Bedarf in beide ein.
AG 2.5 – Lösungsfälle grafisch deuten
Die drei Lösungsfälle über schneidende, parallele oder identische Geraden deuten.
1
Geraden vergleichen
Betrachte Lage und Richtung der beiden zugehörigen Geraden.
2
Schnittpunktfall erkennen
Schneiden sich die Geraden einmal, besitzt das System genau eine Lösung.
3
Parallelfall erkennen
Sind die Geraden verschieden und parallel, besitzt das System keine Lösung.
4
Identischen Fall erkennen
Fallen beide Geraden zusammen, besitzt das System unendlich viele Lösungen.
5
Algebraischen Fall zuordnen
Verbinde Schnittpunkt, Widerspruch beziehungsweise Identität mit dem passenden Lösungsfall.
6
Urteil formulieren
Nenne den Lösungsfall und begründe ihn mit der Geradenlage.
AG 2.5 – Kontextzulässigkeit prüfen
Prüfen, ob ein mathematisches Lösungspaar im Sachkontext zulässig ist.
1
Mathematische Lösung übernehmen
Starte mit dem berechneten Lösungspaar.
2
Variablenbedeutung erinnern
Ordne jedem Wert wieder seine Sachgröße und Einheit zu.
3
Sachbedingungen sammeln
Prüfe Bedingungen wie Nichtnegativität, Ganzzahligkeit, Mindest- oder Höchstwerte.
4
Beide Werte einzeln prüfen
Kontrolliere jede Komponente des Lösungspaars gegen die Kontextbedingungen.
5
Gemeinsame Zulässigkeit entscheiden
Das Lösungspaar ist nur zulässig, wenn beide Werte alle Bedingungen erfüllen.
6
Kontextsatz formulieren
Gib die akzeptierte Lösung verständlich mit Größenbezeichnungen und Einheiten an oder begründe den Ausschluss.
AG 2.5 – Lineares Gleichungssystem in Matrizenform angeben
Ein gegebenes lineares Gleichungssystem in eine passende Matrizen- bzw. Koeffizientendarstellung übertragen.
1
Variablenreihenfolge festlegen
Lege eine feste Reihenfolge der fest, zum Beispiel x und y.
2
Koeffizienten ablesen
Lies aus jeder die der in genau dieser Reihenfolge ab.
3
Konstanten ablesen
Bestimme die rechte Seite jeder .
4
Koeffizientenmatrix bilden
Ordne die Variablenkoeffizienten zeilenweise in einer Matrix an.
5
Variablen- und Konstantenvektor bilden
Schreibe die und rechten Seiten als passende Spaltenvektoren.
6
Matrizenform prüfen
Kontrolliere, dass die Matrixgleichung beim zeilenweisen Ausmultiplizieren wieder das ursprüngliche Gleichungssystem ergibt.
AG 2.5 – Lineares Gleichungssystem mit mehreren Variablen aus Kontext aufstellen
Ein Anwendungsproblem mit mehr als zwei unbekannten Größen in ein lineares Gleichungssystem überführen.
1
Unbekannte Größen bestimmen
Identifiziere alle gesuchten Größen des Anwendungsproblems.
2
Variablen definieren
Ordne jeder unbekannten Größe ein eindeutiges Symbol und gegebenenfalls eine Einheit zu.
3
Unabhängige Informationen sammeln
Markiere die Sachangaben, aus denen jeweils eine entstehen kann.
4
Gleichungen aufstellen
Übersetze jede relevante Information in eine lineare der definierten .
5
System vollständig notieren
Schreibe alle gemeinsam und in einheitlicher Variablenreihenfolge auf.
6
Modell prüfen
Kontrolliere Einheiten, Linearität und ob ausreichend unabhängige Informationen für die unbekannten Größen vorhanden sind.
AG 2.5 – Lineares Gleichungssystem mit mehreren Variablen technologieunterstützt lösen
Ein lineares Gleichungssystem mit mehreren mit einem geeigneten technologischen Hilfsmittel lösen.
1
System erfassen
Gib alle linearen vollständig und in konsistenter Variablenreihenfolge ein.
2
Technologiewerkzeug wählen
Verwende ein geeignetes Gleichungssystem-, Matrix- oder CAS-Werkzeug.
3
Variablen festlegen
Gib an, nach welchen das System gelöst werden soll.
4
Berechnung ausführen
Lass das Hilfsmittel das lineare Gleichungssystem lösen.
5
Ausgabe lesen
Ordne jeden ausgegebenen Wert der richtigen zu und beachte besondere Lösungsfälle.
6
Lösung kontrollieren
Setze die erhaltenen Werte stichprobenartig oder vollständig in die Ausgangsgleichungen ein.
AG 2.5 – Lösung eines mehrvariablen linearen Gleichungssystems im Kontext deuten
Die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit mehreren hinsichtlich der Problemstellung interpretieren und auf Plausibilität prüfen.
1
Technologische Lösung übernehmen
Notiere die berechneten Werte mit eindeutiger Variablenzuordnung.
2
Sachbedeutung zuordnen
Übersetze jede wieder in die zugehörige Größe des Problems.
3
Einheiten ergänzen
Gib alle Werte mit den passenden Einheiten an.
4
Kontextbedingungen prüfen
Kontrolliere Vorzeichen, Ganzzahligkeit, Größenordnungen und weitere Sachbedingungen.
5
Plausibilität bewerten
Vergleiche die Lösung mit den ursprünglichen Angaben und erwartbaren Größen.
6
Ergebnis formulieren
Schreibe einen vollständigen Kontextsatz und nenne gegebenenfalls unzulässige mathematische Lösungen ausdrücklich.
7. Lösung kontrollieren
Für das Lösungspaar (4,3):
Ersetze(x + y, {x = 4, y = 3})
Ersetze(2x - y, {x = 4, y = 3})
Die Ergebnisse müssen den jeweiligen rechten Seiten entsprechen.
8. Kontextsystem lösen
Löse({x + y = 120, 10x + 6y = 960}, {x, y})
GeoGebra liefert das Lösungspaar. Die Bedeutung als Ticketzahlen muss anschließend selbst formuliert werden.
Übersicht
Ziel
GeoGebra-Eingabe
System exakt lösen
Löse({...}, {x, y})
Lösungswerte ausgeben
Lösungen({...}, {x, y})
Geraden darstellen
Gleichungen mit Namen eingeben
gemeinsamen Punkt bestimmen
Schnittpunkt(g, h)
Lösung einsetzen
Ersetze(...)
Wichtig: GeoGebra erkennt Schnittpunkte oder parallele Geraden. Ob die erhaltenen Werte als Personen, Mengen oder Längen zulässig sind, muss im Sachkontext geprüft werden.
