Im Alltag verwenden wir das Zehnersystem. Computer arbeiten meist mit dem Zweiersystem. Das Grundprinzip ist immer gleich: Der Platz einer Ziffer bestimmt ihren Wert.
Merke: Zuerst klärst du die Basis des Zahlensystems. Danach liest du die Stellenwerte von rechts nach links.
Das Stellenwertprinzip erklären
Ein Zahlensystem hat eine Basis. Die Stellenwerte sind Potenzen dieser Basis.
Im Zehnersystem ist die Basis 10:
…,103
So gehst du vor
Schrittlisten
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
MG 1.6 - Stellenwertprinzip eines Zahlensystems erklären
Den Wert einer Ziffer aus Basis und Position in einem Stellenwertsystem erklären.
1
Basis bestimmen
Feststellen, welche Basis das Zahlensystem verwendet und welche Ziffern erlaubt sind.
2
Stellenwerte zuordnen
Von rechts beginnend die Stellen b0, b, und weitere Potenzen zuordnen.
Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben.
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
Da 20=1, beginnt die rechte Stelle immer mit dem Wert 1.
Merke: Eine Ziffer bedeutet nicht an jeder Stelle dasselbe. Ihr Wert entsteht aus „Ziffer mal Stellenwert“.
Eine Zahl in ihrem Stellenwertsystem lesen
Die Schreibweise
Zahl 1011 zur Basis 2(1011)2
zeigt: Die Ziffern 1011 gehören zum Zweiersystem. Der kleine Basis-Hinweis ist hier nötig, damit das Zahlensystem eindeutig ist.
Zahl Schritt für Schritt lesen
(1011)2=1⋅23+0⋅22+1⋅21+1⋅2
Die Ziffern im Zweiersystem sind nur 0 und 1.
Zahlen zwischen Stellenwertsystemen umwandeln
Vom Zweiersystem ins Zehnersystem verwendest du die Stellenwerte. Für den umgekehrten Weg zerlegst du die Zahl in Zweierpotenzen.
Beispiel: 13 ins Zweiersystem
Größte passende Zweierpotenz: 8.
Rest berechnen:
13=−85.
Nächste passende Zweierpotenz: 4.
5=−41.
2 passt nicht, 1 passt.
13=1⋅8+1⋅4+0⋅2+1⋅1.
Damit lautet 13 im Zweiersystem 1101:
13=(1101)2.
Von der Festkomma- zur Gleitkommadarstellung
Bei der Gleitkommadarstellung wird das Komma so verschoben, dass vor dem Komma genau eine Ziffer steht, die nicht 0 ist. Im Zehnersystem wird die Verschiebung mit einer Zehnerpotenz ausgeglichen.
Beispiel: 48300
Das Komma wandert vier Stellen nach links:
48300=Komma 4 Stellen nach links4,83⋅104.
Probe:
4,83⋅104=4,83⋅10000=48300.
Diese Form heißt auch wissenschaftliche Schreibweise.
Von der Gleitkomma- zur Festkommadarstellung
Der zeigt, wie weit das Komma verschoben wird.
positiver Exponent: nach rechts
negativer Exponent: nach links
Beispiel 1
6,27⋅103=6,27⋅1000=6270.
Beispiel 2
3,5⋅10−4=3,5⋅0,0001=0,00035.
Merke: Das Minuszeichen im Exponenten macht nicht die Zahl negativ. Es verschiebt das Komma nach links.
Gleitkommazahlen addieren
Beim Addieren müssen beide Zahlen zuerst dieselbe Zehnerpotenz haben.
Beispiel
3,2⋅104+7,5⋅103
Zweite Zahl auf 104 umschreiben:
7,5⋅103=gleiche Zehnerpotenz0,75⋅104.
Zahlenfaktoren addieren:
3,2⋅104+0,75⋅104=(3,2+0,75)⋅104=3,95⋅104.
Gleitkommazahlen subtrahieren
Auch beim Subtrahieren brauchst du zuerst dieselbe Zehnerpotenz.
Beispiel
5,6⋅105−8⋅104
Zweite Zahl umschreiben:
8⋅104=gleiche Zehnerpotenz0,8⋅105.
Zahlenfaktoren subtrahieren:
5,6⋅105−0,8⋅105=(5,6−0,8)⋅105=4,8⋅105.
Gleitkommazahlen multiplizieren
Beim Multiplizieren werden die Zahlenfaktoren multipliziert und die Exponenten addiert.
Beispiel
(2,5⋅103)⋅(4⋅102)=(2,5⋅4)⋅103+2=10⋅105=1⋅10
Im letzten Schritt wird die Darstellung wieder so geschrieben, dass vor dem Komma genau eine Ziffer steht.
Gleitkommazahlen dividieren
Beim Dividieren werden die Zahlenfaktoren dividiert und die Exponenten subtrahiert.
Beispiel
2,1⋅1038,4⋅107=2,18,4⋅107−3=4⋅10
Probe der Zahlenfaktoren:
2,1⋅4=8,4.
Dualzahlen addieren
Im Zweiersystem gibt es nur 0 und 1. Beim Addieren gilt besonders:
1+1=10im Zweiersystem.
Das bedeutet: 0 anschreiben und 1 übertragen.
Beispiel: 1011+0110 im Zweiersystem
11011+1011010001
Von rechts nach links:
1+0=1
1+1=10: 0 anschreiben, 1 übertragen
0+1+1=10: 0 anschreiben, 1 übertragen
1+0+1=10: 0 anschreiben, 1 übertragen
Den letzten Übertrag 1 vorne anschreiben
Kontrolle im Zehnersystem: 11+6=17.
Dualzahlen subtrahieren
Beim Subtrahieren im Zweiersystem musst du manchmal von der linken Stelle ausborgen. Ausgeborgtes 10 im Zweiersystem hat den Wert 2.
Beispiel: 10110−00101 im Zweiersystem
10110−0010110001
Von rechts nach links:
0−1 geht nicht: ausborgen, dann 10−1=1
Die nächste Stelle wurde dadurch um 1 kleiner: 0−0=0
1−1=0
0−0=0
1−0=1
Kontrolle im Zehnersystem: 22−5=17.
Typische Fehler vermeiden
Die Basis des Zahlensystems wird nicht beachtet.
Stellenwerte werden von links statt von rechts aufgebaut.
Bei Addition oder Subtraktion von Gleitkommazahlen werden ungleiche Zehnerpotenzen direkt verrechnet.
Beim Multiplizieren werden Exponenten multipliziert statt addiert.
Beim Dividieren werden Exponenten dividiert statt subtrahiert.
Beim Rechnen im Zweiersystem werden Regeln des Zehnersystems verwendet.
Das Wichtigste auf einen Blick
Stellenwerte sind Potenzen der jeweiligen Basis.
Ein Basis-Hinweis wird nur verwendet, wenn das Zahlensystem sonst unklar wäre.
Wissenschaftliche Schreibweise hat genau eine von 0 verschiedene Ziffer vor dem Komma.
Addition und Subtraktion brauchen gleiche Zehnerpotenzen.
Bei Multiplikation werden Exponenten addiert, bei Division subtrahiert.
Dualrechnungen verwenden nur 0 und 1.
1
b2
3
Ziffer und Stellenwert verbinden
Erklären, dass der Beitrag einer Ziffer aus Ziffer mal Stellenwert entsteht.
4
Gesamtwert erklären
Die einzelnen Stellenbeiträge zum Wert der Zahl zusammensetzen.
MG 1.6 - Zahl in einem Stellenwertsystem interpretieren
Eine Zahl anhand ihrer Ziffern, Basis und Stellenwerte auswerten.
1
Basis lesen
Den Index beziehungsweise die angegebene Basis erkennen.
2
Ziffern prüfen
Kontrollieren, ob jede Ziffer im betreffenden Zahlensystem erlaubt ist.
3
Stellenwertzerlegung schreiben
Jede Ziffer mit der passenden Potenz der Basis multiplizieren.
4
Wert berechnen
Die Stellenbeiträge ausrechnen und den Zahlenwert angeben.
MG 1.6 - Zahl zwischen Stellenwertsystemen umwandeln
Eine Zahl aus einem vorgegebenen Stellenwertsystem in ein anderes übertragen.
1
Ausgangssystem erkennen
Basis und Stellenwerte der gegebenen Zahl bestimmen.
2
Dezimalwert bestimmen
Die gegebene Zahl über ihre Stellenwerte zunächst sicher auswerten.
3
Zielbasis verwenden
Passende Potenzen der Zielbasis für den Dezimalwert auswählen.
4
Ziffern eintragen
Aus den benötigten Stellen die Darstellung im Zielsystem bilden.
5
Rückkontrolle durchführen
Die neue Darstellung wieder auswerten und mit dem Ausgangswert vergleichen.
MG 1.6 - Festkommadarstellung in Gleitkommadarstellung umwandeln
Eine Dezimalzahl normiert als a · 10n darstellen.
1
Komma positionieren
Das Komma so verschieben, dass genau eine von null verschiedene Ziffer davor steht.
2
Verschiebungen zählen
Bestimmen, um wie viele Stellen das Komma bewegt wurde.
3
Exponent festlegen
Richtung und Anzahl der Verschiebungen in den passenden übertragen.
4
Normierung prüfen
Kontrollieren, ob für den Zahlenfaktor 1 <= |a| < 10 gilt.
MG 1.6 - Gleitkommadarstellung in Festkommadarstellung umwandeln
Eine wissenschaftlich geschriebene Zahl wieder als gewöhnliche Dezimalzahl darstellen.
1
Exponent lesen
Vorzeichen und Betrag des bestimmen.
2
Komma verschieben
Bei positivem nach rechts, bei negativem Exponenten nach links verschieben.
3
Nullen ergänzen
Fehlende Stellen beim Verschieben korrekt mit Nullen auffüllen.
4
Größenordnung prüfen
Kontrollieren, ob das Ergebnis zur ursprünglichen Zehnerpotenz passt.
MG 1.6 - Gleitkommazahlen addieren
Zwei Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise addieren.
1
Zehnerpotenzen vergleichen
Prüfen, ob beide Summanden bereits denselben besitzen.
2
Exponenten angleichen
Einen Zahlenfaktor so verändern, dass dieselbe Zehnerpotenz entsteht.
3
Zahlenfaktoren addieren
Bei gemeinsamer Zehnerpotenz nur die Zahlenfaktoren addieren.
4
Ergebnis normieren
Das Resultat gegebenenfalls wieder in normierte wissenschaftliche Schreibweise bringen.
MG 1.6 - Gleitkommazahlen subtrahieren
Zwei Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise subtrahieren.
1
Zehnerpotenzen vergleichen
Vor der Subtraktion kontrollieren, ob die übereinstimmen.
2
Exponenten angleichen
Eine Zahl bei Bedarf äquivalent mit der gemeinsamen Zehnerpotenz schreiben.
3
Zahlenfaktoren subtrahieren
Die Zahlenfaktoren bei unveränderter gemeinsamer Zehnerpotenz subtrahieren.
4
Ergebnis kontrollieren
Vorzeichen, Größenordnung und Normierung prüfen.
MG 1.6 - Gleitkommazahlen multiplizieren
Zwei Gleitkommazahlen multiplizieren und das Ergebnis normieren.
1
Zahlenfaktoren multiplizieren
Die vor den Zehnerpotenzen miteinander multiplizieren.
2
Zehnerpotenzen multiplizieren
Bei gleicher Basis die der Zehnerpotenzen addieren.
3
Teilergebnisse verbinden
Zahlenfaktor und neue Zehnerpotenz zusammensetzen.
4
Normieren
Falls nötig das Komma verschieben und den entsprechend anpassen.
MG 1.6 - Gleitkommazahlen dividieren
Zwei Gleitkommazahlen dividieren und das Ergebnis normieren.
1
Zahlenfaktoren dividieren
Den ersten Zahlenfaktor durch den zweiten dividieren.
2
Zehnerpotenzen dividieren
Bei gleicher Basis die voneinander subtrahieren.
3
Teilergebnisse verbinden
Quotient der Zahlenfaktoren und neue Zehnerpotenz zusammensetzen.
4
Normieren und prüfen
Das Ergebnis normieren und seine Größenordnung plausibilisieren.
MG 1.6 – Dualzahlen addieren
Zahlen im Dualsystem unter Beachtung von Überträgen addieren.
1
Dualzahlen stellenrichtig schreiben
Schreibe beide Dualzahlen so untereinander, dass gleiche Stellen genau untereinander stehen.
2
Von rechts beginnen
Starte bei der ganz rechten Stelle.
3
Bits addieren
Addiere die beiden Ziffern und einen möglichen Übertrag.
4
Übertrag beachten
Im Dualsystem gilt 1+1=10₂: Schreibe 0 und übertrage 1 zur nächsten Stelle.
5
Stelle für Stelle fortsetzen
Arbeite von rechts nach links, bis alle Stellen und Überträge verarbeitet sind.
6
Ergebnis prüfen
Kontrolliere die Addition bei Bedarf durch Umwandeln in Dezimalzahlen.
MG 1.6 – Dualzahlen subtrahieren
Zahlen im Dualsystem unter Beachtung von Entlehnungen subtrahieren.
1
Dualzahlen stellenrichtig schreiben
Schreibe die kleinere Rechenzahl passend unter die größere, sodass gleiche Stellen untereinander stehen.
2
Von rechts beginnen
Starte bei der ganz rechten Stelle.
3
Bits subtrahieren
Subtrahiere an jeder Stelle die untere Ziffer von der oberen.
4
Bei Bedarf entlehnen
Ist oben 0 und unten 1, entlehne von links; im Dualsystem wird aus der aktuellen 0 dadurch 10₂.
5
Entlehnung weiterführen
Musst du über Nullen hinweg entlehnen, passe alle betroffenen Stellen sorgfältig an.
6
Ergebnis prüfen
Kontrolliere die Subtraktion bei Bedarf durch Umwandeln in Dezimalzahlen.
