Höhere Ableitungen und lokale Linearisierung

Kompetenzcode: AN 3.4

Die erste Ableitung

$$f'(x)$$

beschreibt die momentane Änderungsrate einer Funktion.

Man kann aber auch die Ableitung selbst wieder ableiten.

So entstehen höhere Ableitungen.

Außerdem kann die Tangente verwendet werden, um eine Funktion in der Nähe eines bekannten Punktes näherungsweise durch eine Gerade zu ersetzen.

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1. Zweite Ableitung

Die zweite Ableitung entsteht, indem man die erste Ableitung nochmals ableitet:

$$\boxed{ f''(x)=\left(f'(x)\right)'. }$$

Beispiel:

$$f(x)=x^3-2x^2+5x.$$

Zuerst:

$$f'(x)=3x^2-4x+5.$$

Nochmals ableiten:

$$\boxed{ f''(x)=6x-4. }$$

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2. Bedeutung der zweiten Ableitung

Die erste Ableitung beschreibt die Steigung.

Die zweite Ableitung beschreibt, wie sich diese Steigung verändert.

Ist

$$f''(x)>0,$$

nimmt die Steigung lokal zu.

Ist

$$f''(x)<0,$$

nimmt die Steigung lokal ab.

Die zweite Ableitung spielt daher unter anderem bei Krümmung und Extremwertuntersuchungen eine wichtige Rolle.

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3. Höhere Ableitungen

Man kann weiter differenzieren:

$$f'''(x)=\left(f''(x)\right)',$$ $$f^{(4)}(x)=\left(f'''(x)\right)'.$$

Allgemein spricht man von der $n$-ten Ableitung:

$$\boxed{ f^{(n)}(x). }$$

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4. Beispiel für höhere Ableitungen

Gegeben:

$$f(x)=2x^4-3x^3+x.$$

Dann:

$$f'(x)=8x^3-9x^2+1,$$ $$f''(x)=24x^2-18x,$$ $$f'''(x)=48x-18,$$ $$f^{(4)}(x)=48,$$ $$f^{(5)}(x)=0.$$

Bei einem Polynom verschwinden ausreichend hohe Ableitungen schließlich.

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5. Tangente an einer Stelle

Gesucht ist die Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x_0$.

Dazu benötigt man:

$$f(x_0)$$

und

$$f'(x_0).$$

Der Punkt auf dem Graphen lautet:

$$P(x_0|f(x_0)).$$

Die Tangentensteigung ist:

$$\boxed{ m=f'(x_0). }$$

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6. Tangentengleichung

Die Tangente kann besonders praktisch geschrieben werden als:

$$\boxed{ t(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0). }$$

Diese Form verwendet direkt den Berührpunkt und die Steigung.

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7. Beispiel Tangentengleichung

Gegeben:

$$f(x)=x^2+1$$

und

$$x_0=2.$$

Zuerst:

$$f(2)=5.$$

Dann:

$$f'(x)=2x$$

und damit:

$$f'(2)=4.$$

Die Tangente lautet:

$$t(x)=5+4(x-2).$$

Ausmultipliziert:

$$\boxed{ t(x)=4x-3. }$$

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8. Tangente kontrollieren

Eine Tangente muss bei $x_0$ denselben Funktionswert wie $f$ besitzen:

$$t(x_0)=f(x_0).$$

Außerdem besitzt sie dort dieselbe Steigung:

$$t'(x_0)=f'(x_0).$$

Beim Beispiel:

$$t(2)=4\cdot2-3=5=f(2).$$

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9. Steigungswinkel

Eine Geradensteigung $m$ kann in einen Steigungswinkel $\alpha$ umgerechnet werden.

Es gilt:

$$\boxed{ m=\tan(\alpha). }$$

Daher:

$$\boxed{ \alpha=\arctan(m). }$$

Bei einer Funktion an der Stelle $x_0$:

$$\boxed{ \alpha=\arctan\left(f'(x_0)\right). }$$

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10. Beispiel Steigungswinkel

Ist

$$f'(3)=2,$$

dann:

$$\alpha=\arctan(2).$$

Im Gradmaß:

$$\boxed{ \alpha\approx63{,}43^\circ. }$$

Vor der Berechnung muss der Taschenrechner bei einer Gradangabe auf DEG gestellt sein.

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11. Negative Steigung

Ist beispielsweise

$$f'(x_0)=-1,$$

dann:

$$\alpha=\arctan(-1)=-45^\circ.$$

Der negative Winkel zeigt eine fallende Tangente an.

Je nach Kontext kann eine andere äquivalente Winkelangabe verwendet werden; entscheidend ist, wie der Steigungswinkel in der Aufgabe definiert ist.

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12. Idee der lokalen Linearisierung

Eine gekrümmte Funktion kann in der Nähe eines Punktes durch ihre Tangente angenähert werden.

Die Tangente ist dort die Gerade, die

• durch denselben Punkt geht,
• dieselbe momentane Steigung besitzt.

Je näher $x$ an $x_0$ liegt, desto besser ist die Tangente häufig als Näherung geeignet.

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13. Lineare Näherungsfunktion

Die lokale lineare Näherung von $f$ bei $x_0$ lautet:

$$\boxed{ L(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0). }$$

Das ist dieselbe Gleichung wie die Tangente.

Der Unterschied liegt in der Verwendung:

• als Tangente beschreibt sie eine Gerade am Graphen,
• als Linearisierung dient sie als Näherung für die Funktion.

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14. Warum funktioniert die Linearisierung?

Am Entwicklungspunkt gilt:

$$L(x_0)=f(x_0).$$

Außerdem:

$$L'(x)=f'(x_0).$$

Damit gilt insbesondere:

$$L'(x_0)=f'(x_0).$$

Funktion und Linearisierung besitzen am Entwicklungspunkt also denselben Wert und dieselbe Steigung.

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15. Beispiel: $\sqrt{x}$ lokal approximieren

Wir wollen

$$\sqrt{4{,}1}$$

näherungsweise berechnen.

Wir wählen:

$$f(x)=\sqrt{x}$$

und den nahe gelegenen Entwicklungspunkt

$$x_0=4.$$

Es gilt:

$$f(4)=2.$$

Die Ableitung lautet:

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

Daher:

$$f'(4)=\frac14.$$

Die Linearisierung lautet:

$$L(x)=2+\frac14(x-4).$$

Für

$$x=4{,}1$$

erhalten wir:

$$L(4{,}1) = 2+\frac14\cdot0{,}1.$$

Also:

$$\boxed{ L(4{,}1)=2{,}025. }$$

Damit:

$$\boxed{ \sqrt{4{,}1}\approx2{,}025. }$$

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16. Entwicklungspunkt geschickt wählen

Eine Linearisierung ist besonders praktisch, wenn $x_0$

• nahe beim gesuchten Wert liegt,
• einen einfach berechenbaren Funktionswert besitzt,
• einen einfach berechenbaren Ableitungswert besitzt.

Für

$$\sqrt{4{,}1}$$

ist daher

$$x_0=4$$

deutlich günstiger als beispielsweise

$$x_0=1.$$

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17. Linearisierung in der Form $x=x_0+h$

Ist

$$x=x_0+h,$$

dann lautet die Näherung:

$$\boxed{ f(x_0+h) \approx f(x_0)+f'(x_0)h. }$$

Dabei ist $h$ die kleine Änderung gegenüber dem Entwicklungspunkt.

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18. Beispiel mit kleiner Änderung

Gegeben:

$$f(x)=x^3, \qquad x_0=2, \qquad h=0{,}02.$$

Dann:

$$f(2)=8$$

und:

$$f'(x)=3x^2.$$

Somit:

$$f'(2)=12.$$

Lineare Näherung:

$$f(2{,}02) \approx 8+12\cdot0{,}02.$$

Also:

$$\boxed{ f(2{,}02)\approx8{,}24. }$$

Der exakte Wert ist:

$$2{,}02^3=8{,}242408.$$

Die Näherung liegt sehr nahe am tatsächlichen Wert.

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19. Näherungsfehler

Die Differenz zwischen tatsächlichem und approximiertem Wert kann als Fehler betrachtet werden:

$$\boxed{ \text{Fehler} = f(x)-L(x). }$$

Für Beträge verwendet man häufig:

$$\boxed{ |f(x)-L(x)|. }$$

Je kleiner dieser Wert ist, desto besser war die lineare Approximation.

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20. Warum wird die Näherung weiter entfernt schlechter?

Eine Tangente ist eine lokale Beschreibung.

Sie bildet Wert und Steigung genau am Entwicklungspunkt nach.

Die Krümmung der ursprünglichen Funktion wird durch die Gerade jedoch nicht berücksichtigt.

Je weiter man sich von $x_0$ entfernt, desto stärker kann sich dieser Unterschied bemerkbar machen.

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21. Rolle der zweiten Ableitung

Die zweite Ableitung liefert Informationen darüber, wie stark sich die Steigung verändert.

Ist

$$|f''(x)|$$

in der betrachteten Umgebung groß, kann sich die Steigung rasch ändern.

Dann kann eine lineare Näherung bei gleichem Abstand schneller ungenau werden.

Ist die Krümmung gering und $x$ nahe bei $x_0$, ist die Tangente oft eine gute Näherung.

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22. Lineare Approximation im Sachkontext

Angenommen, $f(t)$ beschreibt eine Größe in Abhängigkeit von der Zeit.

Die Linearisierung bei $t_0$

$$L(t) = f(t_0)+f'(t_0)(t-t_0)$$

bedeutet:

In unmittelbarer Nähe von $t_0$ wird angenommen, dass sich die Größe ungefähr mit der momentanen Änderungsrate $f'(t_0)$ weiterentwickelt.

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23. Beispiel im Kontext

Eine Größe beträgt zum Zeitpunkt

$$t=5$$

genau

$$120$$

Einheiten.

Die momentane Änderungsrate beträgt:

$$f'(5)=3{,}5$$

Einheiten pro Stunde.

Für

$$t=5{,}2$$

ergibt die lineare Näherung:

$$L(5{,}2) = 120+3{,}5(5{,}2-5).$$

Also:

$$L(5{,}2) = 120+0{,}7.$$

Damit:

$$\boxed{ L(5{,}2)=120{,}7. }$$

Interpretation:

Wenn sich die momentane Änderungsrate kurzfristig ungefähr fortsetzt, wird nach $0{,}2$ Stunden ein Wert von ungefähr $120{,}7$ erwartet.

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24. Einheiten beachten

Besitzt $f(t)$ beispielsweise die Einheit Meter und $t$ die Einheit Sekunden, dann besitzt

$$f'(t)$$

die Einheit

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.$$

Im Ausdruck

$$f'(t_0)(t-t_0)$$

ergibt sich:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot\mathrm{s} = \mathrm{m}.$$

Damit stimmt die Einheit wieder mit $f(t)$ überein.

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25. Eignung der Linearisierung beurteilen

Eine lineare Approximation ist besonders plausibel, wenn:

1. der betrachtete Wert nahe bei $x_0$ liegt,
2. die Funktion in diesem Bereich glatt ist,
3. sich die Steigung nur wenig verändert,
4. keine Unstetigkeit oder problematische Stelle dazwischen liegt.

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26. Wann ist Vorsicht nötig?

Eine Näherung kann problematisch werden, wenn:

• $x$ weit von $x_0$ entfernt liegt,
• die Funktion stark gekrümmt ist,
• sich die Ableitung schnell verändert,
• eine Definitionsgrenze nahe liegt,
• ein Pol oder eine andere besondere Stelle in der Nähe liegt.

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27. Zwei Näherungen vergleichen

Soll für denselben Zielwert zwischen zwei Entwicklungspunkten gewählt werden, ist häufig der nähere Entwicklungspunkt besser.

Das ist keine absolute Garantie.

Auch die Krümmung der Funktion spielt eine Rolle.

Eine gute Beurteilung berücksichtigt daher:

$$\boxed{ \text{Abstand zum Entwicklungspunkt} }$$

und

$$\boxed{ \text{Verhalten der Funktion in der Umgebung}. }$$

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28. Typische Fehler bei höheren Ableitungen

Fehler 1: Zweite Ableitung mit Quadrat verwechseln

$$f''(x)$$

bedeutet nicht:

$$(f'(x))^2.$$

Richtig ist:

$$\boxed{ f''(x)=\left(f'(x)\right)'. }$$

Fehler 2: Zu selten ableiten

Ist die dritte Ableitung gesucht, muss dreimal differenziert werden.

Fehler 3: Ableitungsregeln bei jedem Schritt nicht erneut anwenden

Jede neue Ableitung wird aus der unmittelbar vorhergehenden Funktion gebildet.

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29. Typische Fehler bei Tangenten

Fehler 1: Funktionswert und Ableitungswert verwechseln

$$f(x_0)$$

liefert den Punkt.

$$f'(x_0)$$

liefert die Steigung.

Fehler 2: Nur die Steigung angeben

Gesucht ist bei einer Tangentengleichung die vollständige Gerade:

$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

Fehler 3: Falsche Stelle einsetzen

Sowohl $f$ als auch $f'$ müssen an derselben Stelle $x_0$ ausgewertet werden.

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30. Typische Fehler beim Steigungswinkel

Die Ableitung liefert die Steigung $m$, nicht direkt den Winkel.

Richtig:

$$\alpha=\arctan(m).$$

Außerdem muss der Winkelmodus zum verlangten Winkelmaß passen.

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31. Typische Fehler bei der Linearisierung

Fehler 1: $f'(x)$ statt $f'(x_0)$ verwenden

Die lineare Näherung besitzt die konstante Steigung

$$f'(x_0).$$

Fehler 2: $x-x_0$ vergessen

Richtig:

$$L(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

Fehler 3: Näherungswert als exakten Wert ausgeben

Es sollte deutlich geschrieben werden:

$$\boxed{ f(x)\approx L(x). }$$

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32. Vorgehensplan: höhere Ableitung

1. Ausgangsfunktion notieren.
2. Erste Ableitung bilden.
3. Die erhaltene Funktion erneut ableiten.
4. So lange fortsetzen, bis die verlangte Ordnung erreicht ist.
5. Ergebnis sauber als $f''$, $f'''$ oder $f^{(n)}$ kennzeichnen.

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33. Vorgehensplan: Tangente

1. Stelle $x_0$ bestimmen.
2. $f(x_0)$ berechnen.
3. $f'(x)$ bilden.

$$t(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$

einsetzen.
6. Bei Bedarf vereinfachen.

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34. Vorgehensplan: Steigungswinkel

1. Ableitung bilden.
2. Steigung

$$m=f'(x_0)$$

bestimmen.
3. Winkelmodus kontrollieren.
4. Berechnen:

$$\boxed{ \alpha=\arctan(m). }$$

1. Ergebnis passend interpretieren.

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35. Vorgehensplan: lokale Linearisierung

1. Entwicklungspunkt $x_0$ wählen.
2. $f(x_0)$ berechnen.
3. $f'(x_0)$ berechnen.

$$\boxed{ L(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0). }$$

1. Gewünschten $x$-Wert einsetzen.
2. Näherungswert mit $\approx$ angeben.
3. Plausibilität und Abstand zu $x_0$ beurteilen.

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36. Zusammenfassung

Zweite Ableitung

$$\boxed{ f''(x)=\left(f'(x)\right)'. }$$

Tangentensteigung

$$\boxed{ m=f'(x_0). }$$

Tangente

$$\boxed{ t(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0). }$$

Steigungswinkel

$$\boxed{ \alpha=\arctan\left(f'(x_0)\right). }$$

Lokale Linearisierung

$$\boxed{ L(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0). }$$

und damit:

$$\boxed{ f(x)\approx L(x) }$$

für $x$ ausreichend nahe bei $x_0$.

Merke: Die Tangente ist nicht nur eine geometrische Gerade. In der Nähe des Berührpunkts kann sie als einfache lineare Näherung für eine kompliziertere Funktion dienen.