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Lies die Erklärung in Ruhe durch und nutze anschließend die Schrittlisten, um das Vorgehen sicher anzuwenden.
Bei einem Laplace-Experiment sind alle Ergebnisse des Grundraums gleich wahrscheinlich. Dann kann eine Wahrscheinlichkeit durch Zählen bestimmt werden.
Zentrales Ziel: Zuerst die Gleichwahrscheinlichkeit prüfen, danach passende und alle Ergebnisse zählen und schließlich die richtige Rechenregel anwenden.
Aus den vorigen Themen werden verwendet:
So gehst du vor
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
Begriffe, Zeichen, Größen und Voraussetzungen der Kompetenz systematisch klären.
Ordne die Aufgabe dem passenden mathematischen Thema zu.
Notiere Werte, , Einheiten und Bedingungen übersichtlich.
Formuliere die zentralen Begriffe in eigenen Worten.
Kontrolliere Definitionsbereich, Modellannahmen und zulässige Werte.
Schreibe auf, was berechnet, entschieden oder interpretiert werden soll.
Entscheide zwischen Text, Tabelle, Graph, oder Skizze.
Digitales Werkzeug
Wichtige Befehle und ihre Verwendung zu diesem Thema.
Diese Übersicht ist von der Tutor-Zusammenfassung getrennt. Die Befehle dienen zur Darstellung, Kontrolle und Untersuchung; die mathematische Entscheidung muss vorher nachvollzogen werden.
Nächster Schritt
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
In diesem Thema werden theoretische Wahrscheinlichkeiten für gleich wahrscheinliche Ergebnisse berechnet.
Ein Zufallsexperiment heißt Laplace-Experiment, wenn alle Ergebnisse des Grundraums gleich wahrscheinlich sind.
Beispiele:
Kein Laplace-Experiment liegt vor, wenn einzelne Ergebnisse unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten besitzen.
Prüffrage: Sind wirklich alle Ergebnisse aus gleich wahrscheinlich?
Für ein Ereignis gilt bei einem Laplace-Experiment:
Dabei bedeutet:
Der Fachbegriff für passende Ergebnisse lautet günstige Ergebnisse.
Merksatz: Erst Gleichwahrscheinlichkeit prüfen, dann „Passend durch Alle“ rechnen.
Beim fairen Würfel gilt:
Sei:
Dann:
und:
Somit:
Das sichere Ereignis ist der gesamte Grundraum:
Das unmögliche Ereignis enthält kein Ergebnis:
Für jede Wahrscheinlichkeit gilt:
Eine Wahrscheinlichkeit kann auch als Prozentwert angegeben werden:
Dieselben Wahrscheinlichkeiten können unterschiedlich dargestellt werden:
Bei einem periodischen Wert wird erst am Ende gerundet:
Alle sechs Augenzahlen sind gleich wahrscheinlich.
Die Laplace-Formel ist anwendbar.
Jeder Sektor ist gleich wahrscheinlich.
Die Laplace-Formel ist anwendbar, wenn die einzelnen Sektoren als Ergebnisse betrachtet werden.
Die Sektoren sind nicht gleich wahrscheinlich.
Bloßes Zählen der Beschriftungen reicht nicht.
Die Augenzahlen sind nicht gleich wahrscheinlich.
Die Laplace-Formel ist nicht anwendbar.
Das Gegenereignis enthält alle Ergebnisse aus , die nicht zu gehören.
Beim fairen Würfel gilt:
Sei:
Dann:
Das Gegenereignis lautet:
Somit:
Kontrolle:
Ebenso gilt allgemein:
Beim Würfeln gilt:
Sei:
Das Gegenereignis lautet vollständig:
Dann:
und:
Falsch wäre:
Dabei würde die fehlen.
Die Gegenereignisregel ist praktisch, wenn das Gegenereignis leichter zu beschreiben oder zu zählen ist.
Beispiel mit Karten bis :
Sei:
Das Gegenereignis lautet:
Dann:
Das Ereignis
tritt ein, wenn , oder beide Ereignisse eintreten.
Beim mathematischen „oder“ ist der gemeinsame Fall eingeschlossen.
Für zwei Ereignisse gilt:
Der Schnitt wird abgezogen, weil die gemeinsamen Ergebnisse in
zweimal enthalten sind.
Beim Würfeln sei:
und:
Der Schnitt lautet:
Die Vereinigung lautet:
Direkt durch Zählen:
Mit der Additionsregel:
Falsch:
Die Ergebnisse und wurden doppelt gezählt.
Richtig:
Zwei Ereignisse sind disjunkt, wenn sie kein gemeinsames Ergebnis besitzen:
Dann vereinfacht sich die Additionsregel zu:
Beispiel beim Würfeln:
und:
Da:
gilt:
Merksatz: Einfach addieren darf man nur, wenn kein Ergebnis in beiden Ereignissen liegt.
Bei einem kleinen Grundraum kann die Rechenregel direkt kontrolliert werden.
Beispiel:
Direktes Zählen:
Additionsregel:
Beide Wege müssen dasselbe Ergebnis liefern.
Die Laplace-Formel darf nur bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen verwendet werden.
Fehlende Ergebnisse verändern den Nenner.
Richtig:
Ohne Menge werden passende Ergebnisse leicht übersehen.
Zu:
gehört:
Bei muss der Schnitt abgezogen werden.
Ein Ergebnis kleiner als oder größer als zeigt einen Fehler.
Brüche möglichst zuerst exakt berechnen und erst am Ende runden.
Bei einem mehrstufigen Zufallsversuch wird ein Zufallsexperiment mehrmals hintereinander durchgeführt.
Ein Baumdiagramm zeigt
Leitidee: Entlang eines Pfades wird multipliziert. Verschiedene günstige Pfade werden addiert.
Jede Versuchsstufe bildet eine neue Verzweigung.
An jedem Knoten müssen sich die Wahrscheinlichkeiten aller ausgehenden Äste zu ergänzen.
Beispiel:
Ein vollständiger Pfad beschreibt eine vollständige Ergebnisfolge, zum Beispiel
Die Wahrscheinlichkeit eines vollständigen Pfades erhält man durch Multiplikation der Astwahrscheinlichkeiten.
Beispiel:
Kann ein Ereignis über mehrere verschiedene Pfade eintreten, werden deren Wahrscheinlichkeiten addiert.
Das Ereignis „genau einmal rot“ besteht bei zwei Ziehungen aus den Pfaden
und
Daher:
Eine Urne enthält rote und blaue Kugeln. Es wird zweimal gezogen. Nach der ersten Ziehung wird die Kugel zurückgelegt.
Dadurch bleibt die Zusammensetzung der Urne unverändert.
In jeder Stufe gilt:
und
Für zweimal rot:
Für genau einmal rot:
Nun wird die zuerst gezogene Kugel nicht zurückgelegt.
Nach der ersten Ziehung befinden sich nur noch Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe ändern sich.
Nach einer roten Kugel gilt:
Nach einer blauen Kugel gilt:
Die Schreibweise beschreibt hier nur den jeweiligen Ast im Baumdiagramm. Die formale bedingte Wahrscheinlichkeit wird in diesem Thema noch nicht systematisch behandelt.
Für zweimal rot:
Für genau einmal rot:
Kontrollfrage: Wurde nach der ersten Ziehung die Kugel zurückgelegt?
Das Ereignis „mindestens einmal rot“ besitzt mehrere günstige Pfade.
Oft ist das Gegenereignis einfacher:
Daher:
Beim Ziehen mit Zurücklegen:
Ein korrektes Baumdiagramm erfüllt mehrere Bedingungen:
Für mehrstufige Zufallsversuche gilt:
Mit Zurücklegen bleiben die Astwahrscheinlichkeiten gleich. Ohne Zurücklegen ändern sie sich nach der ersten Ziehung.
Merksatz: Im Baum wird längs multipliziert und quer addiert.
Prüfe, ob alle Angaben korrekt übertragen wurden.
Text, Tabelle, Graph und Formel miteinander verbinden und ihre jeweilige Aussage deuten.
Beschreibe zunächst nur, was direkt gegeben ist.
Ordne Achsen, Spalten, und Einheiten eindeutig zu.
Lies charakteristische Werte oder Beziehungen ab.
Bestimme, welche Darstellung hergestellt werden soll.
Übertrage die Informationen schrittweise und vollständig.
Begründe, warum beide Darstellungen dasselbe beschreiben.
Prüfe ausgewählte Werte in beiden Darstellungen.
Ein passendes Rechen- oder Analyseverfahren auswählen, durchführen und dokumentieren.
Nutze ein Verfahren, das besonders zu „Gleichwahrscheinlichkeit prüfen“ passt.
Setze Zahlen und mit korrekten Vorzeichen und Klammern ein.
Dokumentiere äquivalente oder begründete Rechenschritte.
Berechne sorgfältig und vermeide vorzeitiges Runden.
Kontrolliere Größenordnung, Vorzeichen und Definitionsbereich.
Gib exakte und gegebenenfalls sinnvoll gerundete Werte an.
Setze das Ergebnis ein oder verwende ein unabhängiges Kriterium.
Mathematische Ergebnisse in vollständigen Sätzen mit Einheiten, Bezugsgrößen und Gültigkeitsbereich erklären.
Benenne, welche mathematische Größe berechnet wurde.
Ordne die sachlich passende Einheit zu.
Erkläre, auf welche Ausgangsgröße, Zeit oder Situation sich das Ergebnis bezieht.
Formuliere Zunahme, Abnahme, Richtung oder Lage.
Prüfe, für welche Werte und Bedingungen die Aussage gilt.
Formuliere eine klare Antwort auf die Ausgangsfrage.
Vergleiche die Aussage mit Alltag, Skizze oder Datenlage.
Ergebnisse durch Probe, Gegenrechnung, Graph, Einheit und Modellkritik absichern.
Kontrolliere , oder Wahrscheinlichkeiten rechnerisch.
Vergleiche mit Tabelle, Graph oder Skizze.
Prüfe, ob Einheit und Dimension zum Ergebnis passen.
Schließe unzulässige Werte und Scheinlösungen aus.
Teste einen einfachen oder extremen Fall.
Vergleiche den Rechenweg mit bekannten Fehlerquellen.
Gib Rechnung, Ergebnis und Deutung übersichtlich an.
Prüfen, ob alle Elementarereignisse eines Zufallsversuchs als gleich wahrscheinlich modelliert werden.
Kläre, welche einzelnen Versuchsausgänge das Modell besitzt.
Prüfe, ob alle Elementarereignisse als gleich wahrscheinlich angenommen werden.
Begründe die Gleichwahrscheinlichkeit etwa durch einen idealen Würfel, eine faire Münze oder eine ausdrücklich genannte Annahme.
Sind einzelne Ausgänge unterschiedlich wahrscheinlich, liegt keine Laplace-Situation vor.
Eine Laplace-Situation liegt genau dann vor, wenn alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich modelliert werden.
Nenne als Begründung ausdrücklich die Gleich- oder Ungleichwahrscheinlichkeit der möglichen Ausgänge.
Die Anzahl der für ein Ereignis günstigen Ausgänge bestimmen.
Bestimme genau, welche Versuchsausgänge zum Ereignis gehören.
Stelle die möglichen Ausgänge übersichtlich dar.
Entscheide für jeden möglichen Ausgang, ob er die Ereignisbedingung erfüllt.
Kennzeichne alle passenden Ausgänge.
Zähle die günstigen Ausgänge.
Kontrolliere, dass kein günstiger Ausgang fehlt und kein ungünstiger mitgezählt wurde.
Die Gesamtanzahl aller möglichen Ausgänge bestimmen.
Bestimme genau, was bei einer Durchführung beobachtet wird.
Liste oder strukturiere alle verschiedenen Versuchsausgänge.
Bei mehreren Stufen müssen vollständige Ergebnisfolgen beziehungsweise geordnete Ergebnisse unterschieden werden.
Jeder mögliche Ausgang wird genau einmal gezählt.
Zähle alle möglichen Ausgänge.
Kontrolliere, dass alle im Versuch möglichen Ergebnisse berücksichtigt sind.
Eine Wahrscheinlichkeit als günstige durch mögliche Ausgänge berechnen.
Stelle zuerst sicher, dass alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind.
Bestimme die Anzahl g der zum Ereignis gehörenden Ausgänge.
Bestimme die Gesamtanzahl m aller möglichen Ausgänge.
Berechne P(A)=g/m.
Kürze den Bruch oder gib einen passenden Dezimal- beziehungsweise Prozentwert an.
Eine Wahrscheinlichkeit muss zwischen 0 und 1 liegen.
Eine berechnete Laplace-Wahrscheinlichkeit im Kontext deuten.
Kläre, welches Ereignis durch die berechnete Wahrscheinlichkeit beschrieben wird.
Notiere den berechneten Dezimal-, Bruch- oder Prozentwert.
Formuliere den Wert als Chance für das Ereignis bei einer Durchführung des Zufallsversuchs.
Zum Beispiel bedeutet 0,25 eine Wahrscheinlichkeit von 25 %.
Eine Wahrscheinlichkeit beschreibt keine Garantie für den nächsten Versuch.
Verbinde Ereignis und Wahrscheinlichkeitswert eindeutig in einem vollständigen Satz.
Die Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses mit 1 − P(A) berechnen.
Kläre, für welches Ereignis die Wahrscheinlichkeit P(A) gegeben ist.
Formuliere das Ereignis 'A tritt nicht ein'.
Ereignis und Gegenereignis decken gemeinsam alle Möglichkeiten ab.
Berechne P(Aᶜ)=1−P(A).
Das Ergebnis muss zwischen 0 und 1 liegen.
P(A) und P(Aᶜ) müssen zusammen 1 ergeben.
Wahrscheinlichkeiten disjunkter Ereignisse addieren.
Bestimme die Ereignisse A und B, deren Vereinigung betrachtet wird.
Stelle sicher, dass A und B nicht gleichzeitig eintreten können.
Schreibe P(A) und P(B) auf.
Für disjunkte Ereignisse gilt P(A∪B)=P(A)+P(B).
Führe die Addition aus.
Das Ergebnis darf höchstens 1 sein und muss mindestens so groß wie jede Einzelwahrscheinlichkeit sein.
Die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung unter Berücksichtigung des Schnitts berechnen.
Kläre die Ereignisse A und B.
Bestimme, ob beide Ereignisse gleichzeitig eintreten können.
Schreibe P(A), P(B) und P(A∩B) auf.
Berechne P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B).
Der Schnitt wird einmal abgezogen, weil er in P(A)+P(B) doppelt enthalten ist.
Die Vereinigung muss zwischen der größeren Einzelwahrscheinlichkeit und 1 liegen.
Wahrscheinlichkeiten aufeinanderfolgender Teilschritte entlang eines Baumdiagrammpfads multiplizieren.
Markiere im Baumdiagramm genau die Folge von Teilergebnissen, deren Wahrscheinlichkeit gesucht ist.
Notiere die Wahrscheinlichkeiten aller Äste auf diesem Pfad.
Gehe vom Start bis zum Endpunkt des Pfads.
Multipliziere die Astwahrscheinlichkeiten entlang des Pfads miteinander.
Vereinfache das Ergebnis als Bruch, Dezimalzahl oder Prozentwert.
Kontrolliere, dass nur Äste desselben vollständigen Pfads miteinander multipliziert wurden.
Die Wahrscheinlichkeiten mehrerer zum selben Ereignis gehörender Pfade addieren.
Identifiziere alle vollständigen Pfade, die zum gesuchten Ereignis gehören.
Bestimme für jeden passenden Pfad das Produkt seiner Astwahrscheinlichkeiten.
Kein zum Ereignis gehörender Pfad darf fehlen.
Addiere die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen passenden Pfade.
Das Ergebnis ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.
Die berechnete Ereigniswahrscheinlichkeit muss zwischen 0 und 1 liegen.
Ein mit dem Satz von Bayes berechnetes Ergebnis im Kontext deuten.
Kläre, welches Ereignis A durch das berechnete Bayes-Ergebnis beschrieben wird.
Bestimme das bereits bekannte beziehungsweise beobachtete Ereignis B.
Notiere den berechneten Wert P(A|B).
Die Aussage gilt nur unter der Voraussetzung, dass B eingetreten ist.
Deute die Wahrscheinlichkeit von A gegeben B und nicht versehentlich B gegeben A.
Formuliere verständlich, wie wahrscheinlich A unter der bekannten Information B ist.
Einen einfachen mehrstufigen Zufallsversuch als Baumdiagramm darstellen.
Kläre, wie viele aufeinanderfolgende Zufallsschritte der Versuch besitzt.
Zeichne vom Startpunkt für jeden möglichen Ausgang der ersten Stufe einen eigenen Ast.
Setze an jedem entstandenen Endpunkt die möglichen Ausgänge der nächsten Stufe fort.
Beschrifte jeden Ast eindeutig mit dem zugehörigen Teilergebnis.
Jeder vollständige Pfad muss genau einen möglichen Gesamtausgang des Versuchs darstellen.
Prüfe, dass an keiner Stufe ein möglicher Ausgang fehlt oder doppelt eingezeichnet wurde.
Äste eines Baumdiagramms vollständig und konsistent mit Wahrscheinlichkeiten beschriften.
Bestimme, welches Teilergebnis jeder Ast des Baumdiagramms beschreibt.
Ordne jedem Ast die Wahrscheinlichkeit dieses Teilergebnisses unter der bisherigen Pfadbedingung zu.
Von jedem Knoten aus müssen die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen nächsten Ausgänge zusammen 1 ergeben.
Nach bereits eingetretenen Ergebnissen können sich spätere Astwahrscheinlichkeiten ändern.
Schreibe Wahrscheinlichkeiten konsequent als Bruch, Dezimalzahl oder Prozentwert.
Prüfe jeden Knoten auf vollständige und widerspruchsfreie Wahrscheinlichkeitsangaben.
Eine fehlende Wahrscheinlichkeit aus der Summe der ausgehenden Astwahrscheinlichkeiten bestimmen.
Suche den Knoten, von dem die fehlende Astwahrscheinlichkeit ausgeht.
Übernimm alle bereits angegebenen Wahrscheinlichkeiten der anderen ausgehenden Äste.
Die Wahrscheinlichkeiten aller ausgehenden Äste eines Knotens ergeben zusammen 1.
Berechne die fehlende Wahrscheinlichkeit als 1 minus die bekannten ausgehenden Wahrscheinlichkeiten.
Beschrifte den fehlenden Ast mit dem berechneten Wert.
Die Astwahrscheinlichkeit muss zwischen 0 und 1 liegen und mit den anderen Ästen zusammen genau 1 ergeben.
Die zu einem Ereignis gehörenden Pfade in einem Baumdiagramm identifizieren.
Formuliere genau, welche vollständigen Versuchsausgänge zum Ereignis gehören.
Gehe jeden vollständigen Pfad des Baumdiagramms durch.
Markiere einen Pfad genau dann, wenn sein Gesamtausgang die Ereignisbedingung erfüllt.
Ein Ereignis kann aus mehreren verschiedenen Pfaden bestehen.
Pfade, die die Bedingung nicht vollständig erfüllen, gehören nicht zum Ereignis.
Kontrolliere, dass alle und nur die zum Ereignis gehörenden Pfade markiert sind.
Entscheiden, ob in einer Wahrscheinlichkeitssituation addiert, multipliziert oder das Gegenereignis verwendet wird.
Achte auf Wörter wie 'und', 'oder', 'nicht' beziehungsweise 'mindestens'.
Treten mehrere Teilergebnisse nacheinander auf demselben Pfad ein, werden ihre Astwahrscheinlichkeiten multipliziert.
Kann ein Ereignis über mehrere alternative, disjunkte Pfade eintreten, werden deren Pfadwahrscheinlichkeiten addiert.
Ist das Gegenereignis einfacher, kann seine Wahrscheinlichkeit von 1 abgezogen werden.
Entscheide erst nach der Ereignisstruktur, welche Rechenregel verwendet wird.
Erkläre kurz, warum Multiplikation, Addition oder Gegenereignis zur konkreten Situation passt.
Eine Rechnung mithilfe von Gegenwahrscheinlichkeit, Gesamtsumme oder Plausibilität kontrollieren.
Jede Wahrscheinlichkeit muss zwischen 0 und 1 liegen.
Für ein Ereignis und sein Gegenereignis müssen die beiden Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben.
Die Wahrscheinlichkeiten aller ausgehenden Äste eines Knotens müssen zusammen 1 ergeben.
Die Wahrscheinlichkeit eines Teilereignisses kann nicht größer als die eines Ereignisses sein, das es vollständig enthält.
Berechne das Ergebnis bei Bedarf über das Gegenereignis oder eine andere gleichwertige Zerlegung.
Stimmen Kontrollen nicht, prüfe zuerst Ereigniszuordnung, Pfade und Rechenregel.
Erkennen, wann bei wiederholten Versuchen mit unveränderten Astwahrscheinlichkeiten modelliert wird.
Prüfe, ob derselbe Zufallsschritt mehrfach unter unveränderten Bedingungen wiederholt wird.
Vergleiche Wahrscheinlichkeiten derselben Teilergebnisse an verschiedenen Stufen.
Bleiben die Astwahrscheinlichkeiten trotz früherer Ergebnisse gleich, wird Unabhängigkeit modelliert.
Bei Unabhängigkeit verändert ein früheres Ergebnis die Wahrscheinlichkeit des nächsten nicht.
Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändern sich die Bestände und damit normalerweise die Astwahrscheinlichkeiten.
Beschreibe ausdrücklich, dass die Versuchsstufen im Modell als unabhängig behandelt werden.
Eine bedingte Wahrscheinlichkeit als Wahrscheinlichkeit unter zusätzlicher Information beziehungsweise Bedingung interpretieren.
In P(A|B) ist B die zusätzliche Information beziehungsweise Bedingung.
Betrachte nur noch Fälle, in denen B eingetreten ist.
Innerhalb dieser eingeschränkten Fälle wird geprüft, wie häufig beziehungsweise wahrscheinlich zusätzlich A eintritt.
Relevant sind damit die Fälle, die sowohl A als auch B erfüllen.
P(A|B) beschreibt im Allgemeinen etwas anderes als P(B|A).
Deute die bedingte Wahrscheinlichkeit als Chance für A unter der Voraussetzung, dass B bereits bekannt ist.
Eine bedingte Wahrscheinlichkeit aus geeigneten gegebenen Wahrscheinlichkeiten berechnen.
Bestimme das gesuchte Ereignis A und die Bedingung B.
Für die Berechnung muss P(B)>0 gelten.
Berechne oder übernimm P(A∩B).
Verwende P(A|B)=P(A∩B)/P(B).
Vereinfache das Ergebnis als Bruch, Dezimalzahl oder Prozentwert.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit muss zwischen 0 und 1 liegen.
Eine bedingte Wahrscheinlichkeit aus einem passend beschrifteten Baumdiagramm ablesen oder berechnen.
Bestimme, welcher Knoten beziehungsweise welche Pfadmenge der gegebenen Bedingung entspricht.
Kläre, welches Ereignis unter dieser Bedingung betrachtet wird.
Ist das gesuchte Ereignis unmittelbar ein ausgehender Ast des Bedingungsknotens, lies dessen Wahrscheinlichkeit direkt ab.
Sind mehrere passende Fortsetzungen möglich, berechne ihre Pfadwahrscheinlichkeiten und addiere die disjunkten Möglichkeiten.
Rechne nur innerhalb der unter der Bedingung möglichen Fortsetzungen.
Formuliere die Wahrscheinlichkeit ausdrücklich unter der gegebenen Voraussetzung.
Prüfen, ob zwei Ereignisse anhand einer bedingten Wahrscheinlichkeit unabhängig sind.
Bestimme die beiden Ereignisse, deren Unabhängigkeit geprüft werden soll.
Berechne P(A|B), wobei P(B)>0 gelten muss.
Berechne oder übernimm P(A).
Gilt P(A|B)=P(A), so verändert die Information B die Wahrscheinlichkeit von A nicht.
Bei Gleichheit sind A und B nach diesem Kriterium unabhängig; andernfalls abhängig.
Nenne die beiden verglichenen Wahrscheinlichkeiten ausdrücklich.
Ein mehrstufiges Zufallsexperiment mit Zurücklegen als Baumdiagramm darstellen und die unveränderten Astwahrscheinlichkeiten verwenden.
Notiere die Anzahl aller möglichen Objekte beziehungsweise Kategorien vor dem ersten Zug.
Trage für jede mögliche Kategorie einen Ast mit ihrer anfänglichen Wahrscheinlichkeit ein.
Nach jedem Zug wird das gezogene Objekt wieder in den Bestand zurückgegeben.
Die Zusammensetzung vor jeder weiteren Ziehung ist daher wieder gleich wie zu Beginn.
Beschrifte entsprechende Äste in jeder Stufe mit denselben Wahrscheinlichkeiten.
Kontrolliere an jedem Knoten, dass die ausgehenden Astwahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben.
Ein mehrstufiges Zufallsexperiment ohne Zurücklegen als Baumdiagramm darstellen.
Notiere die Anzahl aller Objekte und Kategorien vor dem ersten Zug.
Zeichne die möglichen ersten Ergebnisse mit ihren Anfangswahrscheinlichkeiten.
Nach einem Zug bleibt das gezogene Objekt außerhalb des Bestands.
Für die nächste Stufe hängt die Zusammensetzung davon ab, was zuvor gezogen wurde.
Trage aus jedem Knoten die nun noch möglichen Ergebnisse mit den angepassten Wahrscheinlichkeiten ein.
Prüfe jeden Knoten auf den richtigen Restbestand und auf Astwahrscheinlichkeiten mit Gesamtheit 1.
Beim Ziehen ohne Zurücklegen die bedingten Astwahrscheinlichkeiten nach jedem Zug an den veränderten Bestand anpassen.
Bestimme, welche Objekte beziehungsweise Kategorien auf dem betrachteten Pfad bereits gezogen wurden.
Ziehe die bereits entnommenen Objekte vom ursprünglichen Bestand ab.
Bestimme, wie viele Objekte vor dem nächsten Zug noch vorhanden sind.
Zähle, wie viele Objekte der jeweils betrachteten Kategorie noch vorhanden sind.
Berechne günstiger Restbestand geteilt durch gesamten Restbestand.
Alle aus diesem Knoten ausgehenden bedingten Astwahrscheinlichkeiten müssen zusammen 1 ergeben.
Erkennen, dass eine bedingte Wahrscheinlichkeit in umgekehrter Richtung gesucht ist und der Satz von Bayes geeignet ist.
Bestimme, welche bedingte Wahrscheinlichkeit oder Trefferwahrscheinlichkeit bekannt ist.
Prüfe, ob die Bedingung und das betrachtete Ereignis in umgekehrter Richtung gefragt sind.
P(A|B) ist im Allgemeinen nicht gleich P(B|A).
Für die Umkehr werden Grundwahrscheinlichkeiten und passende bedingte Wahrscheinlichkeiten benötigt.
Ist eine Wahrscheinlichkeit der Ursache unter beobachtetem Ergebnis gesucht, kann der Satz von Bayes passend sein.
Formuliere, dass eine bedingte Wahrscheinlichkeit in umgekehrter Richtung bestimmt werden soll.
Eine bedingte Wahrscheinlichkeit mit dem Satz von Bayes berechnen.
Bestimme klar, welches Ereignis A gesucht und welches Ereignis B bereits beobachtet beziehungsweise vorausgesetzt ist.
Übernimm P(A), P(B|A) und alle Informationen, mit denen P(B) bestimmt werden kann.
Berechne P(B) aus den gegebenen Fällen beziehungsweise dem Baumdiagramm.
Verwende P(A|B)=P(B|A)·P(A)/P(B), wobei P(B)>0 sein muss.
Vereinfache den Quotienten als Bruch, Dezimalzahl oder Prozentwert.
Das Ergebnis muss zwischen 0 und 1 liegen und zur beobachteten Information passen.
| Zufallszahl(a,b) |
| Simulation diskreter Ergebnisse |
| Zufallszahl(1,6) |
| Algebra |
| Ganzzahlige Grenzen |
| Häufigkeit | Häufigkeit(Liste) | Simulation auswerten | Häufigkeit({1,2,2,3,3,3}) | Algebra | Datenliste |
BinomialKoeffizient(8,3)
Verwendung: Anzahl von Auswahlen berechnen
Benötigte Ansicht: CAS
Mathematische Voraussetzung: Ganze Zahlen n,k
Zufallszahl(1,6)
Verwendung: Simulation diskreter Ergebnisse
Benötigte Ansicht: Algebra
Mathematische Voraussetzung: Ganzzahlige Grenzen
Häufigkeit({1,2,2,3,3,3})
Verwendung: Simulation auswerten
Benötigte Ansicht: Algebra
Mathematische Voraussetzung: Datenliste
Wichtig: Eine grafische oder numerische Ausgabe ersetzt weder die Begründung noch die Kontextdeutung.
Baumdiagramme werden in WS 2.3 händisch aufgebaut. Elektronische Hilfsmittel dienen nur zur Kontrolle der Bruchrechnungen.
(3/5)*(3/5)
(3/5)*(2/5)+(2/5)*(3/5)
(3/5)*(2/4)
(3/5)*(2/4)+(2/5)*(3/4)
1-(2/5)*(2/5)