Merkmalstypen und weitere statistische Kennzahlen

Kompetenzcode: WS 1.5

Bereich: Wahrscheinlichkeit und Statistik

Bevor Daten ausgewertet werden, muss klar sein, welche Art von Merkmal vorliegt. Der Merkmalstyp entscheidet, welche Ordnung, Kennzahl und Grafik sinnvoll ist. Eine Zahl ist nicht automatisch ein quantitatives Merkmal: Postleitzahlen sind Zahlen, dienen aber nur als Bezeichnungen.

1. Qualitative und quantitative Merkmale

Ein qualitatives Merkmal beschreibt Kategorien. Ein quantitatives Merkmal nimmt zählbare oder messbare Zahlenwerte an. Quantitative Merkmale können diskret oder stetig sein.

Beispiel 1: Qualitatives Merkmal erkennen

Die Augenfarbe mit den Ausprägungen braun, blau, grün und grau besteht aus Kategorien. Die Ausprägungen sind qualitativ; Rechenoperationen wie ein Mittelwert sind nicht sinnvoll.

Beispiel 2: Quantitatives Merkmal erkennen

Die Körpergröße in Zentimetern ist messbar. Differenzen wie $178-171=7\,\text{cm}$ haben eine sachliche Bedeutung. Das Merkmal ist quantitativ und metrisch.

Beispiel 3: Diskret und stetig unterscheiden

Die Anzahl der Geschwister ist quantitativ und diskret, weil nur Werte $0,1,2,\ldots$ möglich sind. Die Wartezeit ist quantitativ und stetig, weil prinzipiell jeder Wert in einem Intervall auftreten kann.

2. Nominal-, Ordinal- und metrische Skala

Beispiel 4: Nominalskalierte Daten

Das Verkehrsmittel zur Schule ist nominalskaliert. Zwischen Bus, Fahrrad und Fußweg besteht keine allgemeingültige Rangfolge. Ein Säulen- oder Kreisdiagramm und der Modus sind geeignet.

Beispiel 5: Ordinalskalierte Daten

Eine Zufriedenheitsskala mit „sehr unzufrieden“, „unzufrieden“, „neutral“, „zufrieden“, „sehr zufrieden“ besitzt eine natürliche Ordnung. Die Abstände zwischen den Stufen müssen aber nicht gleich groß sein. Median und Rangvergleiche sind zulässig; ein arithmetisches Mittel ist nur mit zusätzlicher Modellannahme zu deuten.

Beispiel 6: Numerischer Code ist nicht automatisch metrisch

Die Postleitzahlen $1010$ und $8010$ sind Bezeichnungen. Die Differenz $8010-1010$ beschreibt keine sinnvolle räumliche Entfernung. Das Merkmal ist trotz Ziffern nominalskaliert.

Beispiel 7: Datentyp begründet auswählen

Für Schulnoten gilt: Die Zahlen $1$ bis $5$ haben eine Rangfolge, aber der Leistungsabstand von $1$ zu $2$ muss nicht gleich groß sein wie von $4$ zu $5$. Schulnoten werden daher ordinalskaliert behandelt.

3. Geometrisches Mittel

Für positive Werte $x_1,\ldots,x_n$ lautet das geometrische Mittel

$$\bar x_{\mathrm{geo}}=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}.$$

Es ist besonders geeignet, wenn sich Größen multiplikativ verändern, etwa durch Wachstumsfaktoren.

Beispiel 8: Geometrisches Mittel positiver Werte

Für $2$ und $8$ gilt

$$\bar x_{\mathrm{geo}}=\sqrt{2\cdot8}=4.$$

Das arithmetische Mittel wäre $5$. Beide Kennzahlen beantworten unterschiedliche Fragen: $4$ ist der gemeinsame multiplikative Faktor-Mittelwert, $5$ der additive Ausgleichswert.

Beispiel 9: Mittlerer Wachstumsfaktor

Eine Größe verändert sich in drei Jahren mit den Faktoren $1{,}10$, $0{,}90$ und $1{,}20$. Der mittlere Faktor ist

$$q_{\mathrm{geo}}=\sqrt[3]{1{,}10\cdot0{,}90\cdot1{,}20} =\sqrt[3]{1{,}188}\approx1{,}0591.$$

Das entspricht einem mittleren Änderungssatz von etwa $5{,}91\,\%$ pro Jahr.

Beispiel 10: Gesamtänderung kontrollieren

Mit dem mittleren Faktor aus Beispiel 9 entsteht über drei Perioden

$$1{,}0591^3\approx1{,}188.$$

Damit bleibt dieselbe Gesamtänderung von $18{,}8\,\%$ erhalten. Das arithmetische Mittel der Prozentsätze $(10-10+20)/3$ würde diesen multiplikativen Zusammenhang nicht exakt bewahren.

Beispiel 11: Anwendungsgrenze

Das übliche reelle geometrische Mittel setzt positive Werte voraus. Bei Null oder negativen Messwerten ist die Standardformel für Wachstumsfaktoren nicht sachgerecht. Dann muss zuerst geklärt werden, ob eine andere Kennzahl oder eine fachlich begründete Transformation sinnvoll ist.

Typische Fehler

• Numerische Bezeichnungen werden fälschlich als metrische Daten behandelt.
• Eine Rangfolge allein macht Abstände noch nicht messbar.
• Der Mittelwert wird auf nominale Kategorien angewendet.
• Beim geometrischen Mittel werden Prozentsätze statt Änderungsfaktoren multipliziert.
• Der mittlere Faktor $q$ wird mit dem mittleren Änderungssatz $q-1$ verwechselt.

Merksätze

• Erst Merkmalstyp und Skala, dann Kennzahl und Grafik.
• Nominal bedeutet keine Ordnung, ordinal bedeutet Rangordnung, metrisch bedeutet sinnvolle Abstände.
• Qualitative Merkmale liefern Kategorien; quantitative Merkmale liefern zähl- oder messbare Werte.
• Das geometrische Mittel erhält die Gesamtwirkung multiplikativer Faktoren.