Die Zeichen $<$ und $>$ heißen streng, weil der Randwert nicht enthalten ist. Die Zeichen $\leq$ und $\geq$ heißen nichtstreng, weil der Randwert enthalten ist.

2. Signalwörter richtig übersetzen

Merksatz: „Höchstens“ und „mindestens“ schließen den genannten Randwert ein.

3. Eine Ungleichung aus einem Kontext aufstellen

Ein Taxi verlangt $5\,€$ Grundgebühr und $2\,€$ pro Kilometer. Es stehen höchstens $29\,€$ zur Verfügung.

Wir setzen:

Die Kosten betragen:

„Höchstens $29\,€$“ bedeutet:

Zusätzlich gilt im Kontext:

4. Äquivalenzumformungen

Bei einer Äquivalenzumformung wird auf beiden Seiten dieselbe zulässige Operation durchgeführt. Die Lösungsmenge bleibt dadurch erhalten.

Addieren und subtrahieren

Für jede reelle Zahl $c$ gilt:

Ebenso:

Das Ungleichheitszeichen bleibt erhalten.

Mit einer positiven Zahl multiplizieren oder dividieren

Für $k>0$ gilt:

und:

Das Ungleichheitszeichen bleibt ebenfalls erhalten.

Mit einer negativen Zahl multiplizieren oder dividieren

Für $k<0$ gilt:

und:

Merksatz: Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl wird das Ungleichheitszeichen umgedreht.

5. Einfache lineare Ungleichungen lösen

Beispiel mit positiver Division

Gegeben:

Lösen:

Die Lösungsmenge lautet:

In Intervallschreibweise:

Beispiel mit negativer Division

Gegeben:

Lösen:

Weil durch eine negative Zahl dividiert wurde, musste das Zeichen von $>$ zu $<$ gedreht werden.

6. Variable auf beiden Seiten

Gegeben:

Lösen:

7. Doppelungleichungen

Bei einer Doppelungleichung wird dieselbe Operation auf allen drei Teilen durchgeführt.

Beispiel:

Lösen:

Damit:

8. Zahlengerade: streng und nichtstreng

Bei der strengen Ungleichung

gehört der Randwert $5$ nicht zur Lösung. Der Punkt bei $5$ bleibt offen.

Bei der nichtstrengen Ungleichung

gehört der Randwert $5$ zur Lösung. Der Punkt bei $5$ wird ausgefüllt.

Der Pfeil zeigt, in welche Richtung sich der Lösungsbereich unbegrenzt fortsetzt.

9. Intervallschreibweise

Runde Klammern bedeuten, dass ein Randwert nicht enthalten ist. Eckige Klammern bedeuten, dass er enthalten ist.

10. Drei mögliche Lösungsfälle

Echter Lösungsbereich

Die Ungleichung besitzt einen echten Lösungsbereich.

Keine Lösung

Die Aussage ist immer falsch. Daher:

Alle reellen Zahlen

Die Aussage ist immer wahr. Daher:

11. Kontextbeispiel: Budget

Aus der Kostenbedingung

folgt:

Mit der Kontextbedingung $x\geq 0$ ergibt sich:

Mit einem Budget von höchstens $29\,€$ können höchstens $12\,\text{km}$ gefahren werden.

12. Diskrete Größen und richtiges Runden

Ein Verein benötigt mindestens $500\,€$. Bereits vorhanden sind $140\,€$. Jede verkaufte Karte bringt $12\,€$.

Mit $n$ als Anzahl der Karten gilt:

Lösen:

Es müssen mindestens $30$ Karten verkauft werden.

Ergibt sich beispielsweise

muss bei einer Mindestanzahl auf die nächste ganze Zahl aufgerundet werden:

Bei einer Höchstanzahl kann entsprechend Abrunden notwendig sein. Entscheidend ist immer die Bedeutung der Ungleichung.

13. Probe mit Testwerten

Für

können drei typische Werte geprüft werden:

• $x=4$ erfüllt die Ungleichung.
• $x=5$ erfüllt sie nicht.
• $x=6$ erfüllt sie nicht.

Besonders wichtig ist die Prüfung des Randwerts. Sie zeigt, ob der Randpunkt offen oder ausgefüllt dargestellt werden muss.

14. Lineare Ungleichungen in der Form $y\lessgtr kx+d$

Eine lineare Ungleichung mit zwei Variablen beschreibt eine Halbebene.

Mögliche Formen sind:

Die zugehörige Randgerade lautet immer:

Strenge lineare Ungleichung

Beispiel:

Die Randgerade gehört nicht zur Lösung und wird daher gestrichelt gezeichnet.

Nichtstrenge lineare Ungleichung

Beispiel:

Die Randgerade gehört zur Lösung und wird daher durchgehend gezeichnet.

Testpunkt verwenden

Ist unklar, welche Seite der Randgeraden zur Lösung gehört, kann ein Punkt eingesetzt werden, der nicht auf der Geraden liegt.

Für den Testpunkt $P(0\mid 0)$ gilt beim Beispiel $y<0{,}5x+1$:

Die Aussage ist wahr. Daher gehört die Seite mit dem Ursprung zur Lösungsmenge.

15. Zwei Geraden vergleichen

Gesucht sind jene $x$-Werte, für die

unter der Geraden

liegt.

Dazu werden die Funktionsterme verglichen:

Die erste Gerade liegt für $x<2$ unter der zweiten Geraden. Bei $x=2$ schneiden sich die Geraden.

16. Typische Fehler

„Höchstens“ wird streng übersetzt

„Höchstens“ bedeutet $\leq$, nicht $<$.

Zeichen wird bei negativer Division nicht gedreht

Richtig ist:

Randpunkt auf der Zahlengeraden falsch dargestellt

Bei $<$ oder $>$ ist der Randpunkt offen. Bei $\leq$ oder $\geq$ ist er ausgefüllt.

Randgerade in der Ebene falsch gezeichnet

Bei einer strengen Ungleichung wird die Randgerade gestrichelt. Bei einer nichtstrengen Ungleichung wird sie durchgehend gezeichnet.

Falsche Halbebene markiert

Bei $y<kx+d$ liegt die Lösung unterhalb, bei $y>kx+d$ oberhalb der Randgeraden. Ein Testpunkt kann die Auswahl kontrollieren.

Kontextbedingung fehlt

Entfernungen, Stückzahlen oder Zeiten können zusätzliche Bedingungen wie $x\geq 0$ oder $x\in\mathbb{N}$ erfordern.

Falsch gerundet

Bei Mindestmengen muss häufig aufgerundet, bei Höchstmengen häufig abgerundet werden.

17. Arbeitsablauf

Zusammenfassung

• Lineare Ungleichungen beschreiben ganze Lösungsbereiche.
• Signalwörter bestimmen das richtige Ungleichheitszeichen.
• Jeder Umformungsschritt muss auf beiden Seiten durchgeführt werden.
• Bei Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl wird das Zeichen umgedreht.
• Strenge Ungleichungen schließen den Rand aus, nichtstrenge schließen ihn ein.
• Auf der Zahlengeraden zeigt ein offener oder ausgefüllter Punkt die Randzugehörigkeit.
• In der Ebene beschreibt $y\lessgtr kx+d$ eine Halbebene.
• Strenge lineare Ungleichungen besitzen eine gestrichelte, nichtstrenge eine durchgehende Randgerade.
• Kontextbedingungen und sinnvolles Runden müssen berücksichtigt werden.

f(x) = 2x + 1
g(x) = 7

Anschließend:

Schnittpunkt(f, g)

Der Schnittpunkt liefert den Randwert. Danach wird geprüft, auf welcher Seite $f(x)<g(x)$ oder $f(x)>g(x)$ gilt.

5. Randwert kontrollieren

Für

Löse(2x + 1 <= 7, x)

kann der Randwert durch Einsetzen geprüft werden:

Ersetze(2x + 1, x, 3)

Ergebnis:

7

Da Gleichheit erlaubt ist, gehört $x=3$ zur Lösungsmenge.

Übersicht

Wichtig: GeoGebra zeigt den mathematischen Lösungsbereich. Ob nur ganze, nichtnegative oder anderweitig eingeschränkte Werte im Kontext zulässig sind, muss selbst entschieden werden.