Logarithmische Skalierungen

Kompetenzcode: FA 7.2

Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Eine lineare Skala verteilt Zahlenwerte gleichmäßig. Eine logarithmische Skala verteilt dagegen die Logarithmen der Zahlenwerte gleichmäßig. Dadurch lassen sich Größen darstellen, die sich über mehrere Zehnerpotenzen erstrecken.

Leitidee: Auf einer linearen Achse bedeuten gleiche Abstände gleiche Differenzen. Auf einer logarithmischen Achse bedeuten gleiche Abstände gleiche Faktoren.

Der interaktive Explorer oberhalb der Theorie zeigt diesen Unterschied unmittelbar. Die folgenden Abschnitte liefern die Rechenwege zum sicheren Ablesen, Eintragen und Deuten.

1. Eine logarithmische Achse erkennen

Bei einer logarithmischen Zehnerskala wird die Koordinate eines positiven Wertes $x$ durch

$$u=\lg(x)=\log_{10}(x)$$

bestimmt. Deshalb liegen die Zehnerpotenzen

$$1=10^0,\quad 10=10^1,\quad 100=10^2,\quad 1000=10^3$$

in gleichen Abständen. Die Zahlenunterschiede werden dabei immer größer, der Faktor zwischen benachbarten Hauptmarken bleibt aber stets $10$.

Beispiel 1: Achsentyp erkennen

Auf einer Achse liegen $0{,}1$, $1$, $10$ und $100$ in gleichen Abständen. Es gilt

$$\frac{1}{0{,}1}=\frac{10}{1}=\frac{100}{10}=10.$$

Die Abstände stehen somit für denselben Faktor. Die Achse ist logarithmisch skaliert.

Beispiel 2: Eine lineare Achse abgrenzen

Die Werte $20$, $40$, $60$ und $80$ liegen in gleichen Abständen. Hier sind die Differenzen gleich:

$$40-20=60-40=80-60=20.$$

Die Quotienten sind dagegen nicht konstant. Daher ist die Achse linear und nicht logarithmisch skaliert.

2. Dekaden und Zwischenmarken verstehen

Der Abschnitt von $10^k$ bis $10^{k+1}$ heißt Dekade. Innerhalb jeder Dekade wiederholt sich dasselbe Muster. Die Marke $m\cdot10^k$ mit besitzt innerhalb der Dekade die relative Position

$$p=\lg(m).$$

Wichtige Näherungswerte sind

$$\begin{array}{c|cccccccc} m&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline \lg(m)&0{,}301&0{,}477&0{,}602&0{,}699&0{,}778&0{,}845&0{,}903&0{,}954 \end{array}$$

Die Marke $2\cdot10^k$ liegt daher nicht in der Mitte der Dekade, sondern erst bei ungefähr $30{,}1\,\%$ ihrer Länge. Die Abstände der Zwischenmarken werden nach rechts immer kleiner.

Beispiel 3: Beschriftete Zwischenmarke ablesen

Gesucht ist die dritte Zwischenmarke in der Dekade von $100$ bis $1000$. Die Dekade beginnt bei $10^2$. Daher steht die Marke $3$ für

$$3\cdot10^2=300.$$

Der abgelesene Wert ist $\boxed{300}$, nicht $103$ und nicht $30$.

Beispiel 4: Einen Wert aus einer relativen Position bestimmen

Ein Punkt liegt $40\,\%$ der Dekadenlänge rechts von $10$. Für die logarithmische Koordinate gilt

$$u=1+0{,}40=1{,}40.$$

Somit ist

$$x=10^{1{,}40}\approx25{,}12.$$

Der Wert lautet näherungsweise $\boxed{25{,}1}$. Eine lineare Rechnung würde fälschlich $46$ ergeben.

3. Werte auf einer logarithmischen Achse eintragen

Für einen positiven Wert $x$ wird zuerst die passende Dekade bestimmt. Liegt

$$10^k\le x<10^{k+1},$$

dann ist die relative Position innerhalb dieser Dekade

$$\boxed{p=\lg(x)-k=\lg\left(\frac{x}{10^k}\right)}.$$

Bei einer gezeichneten Dekadenlänge $L$ beträgt der Abstand vom linken Rand $p\cdot L$.

Beispiel 5: Den Wert $40$ eintragen

Der Wert $40$ liegt in der Dekade von $10=10^1$ bis $100=10^2$. Daher ist $$. Es folgt

$$p=\lg(40)-1\approx1{,}60206-1=0{,}60206.$$

Der Punkt liegt also ungefähr $60{,}2\,\%$ der Dekadenlänge rechts von $10$, genau an derselben relativen Stelle wie $4$ zwischen $1$ und $10$.

Beispiel 6: Position auf einer gezeichneten Achse

Die Dekade von $1000$ bis $10000$ ist $12\,\mathrm{cm}$ lang. Der Wert $2500$ soll eingetragen werden.

$$\begin{aligned} p&=\lg(2500)-3\\ &\approx3{,}39794-3=0{,}39794,\\ s&=0{,}39794\cdot12\,\mathrm{cm}\approx4{,}78\,\mathrm{cm}. \end{aligned}$$

Der Punkt liegt etwa $\boxed{4{,}78\,\mathrm{cm}}$ rechts von $1000$.

Definitionsgrenze: Eine reelle logarithmische Achse enthält nur positive Werte. Für $x=0$ und $x<0$ ist $\lg(x)$ im Reellen nicht definiert.

Beispiel 7: Warum $0$ nicht eingetragen werden kann

Für immer kleinere positive Zahlen gilt

$$\lg(0{,}1)=-1,\quad \lg(0{,}01)=-2,\quad \lg(0{,}001)=-3.$$

Die logarithmische Koordinate wandert unbegrenzt nach links. Es gibt daher keine endliche Achsenposition für $0$.

4. Abstände als Verhältnisse deuten

Für zwei positive Werte $x_1,x_2$ ist ihr logarithmischer Abstand

$$\Delta u=\lg(x_2)-\lg(x_1) =\lg\left(\frac{x_2}{x_1}\right).$$

Der Abstand hängt also vom Quotienten und nicht von der Differenz ab. Derselbe Abstand nach rechts bedeutet Multiplikation mit demselben Faktor; derselbe Abstand nach links bedeutet Division durch diesen Faktor.

Beispiel 8: Gleiche Abstände fortsetzen

Die Werte $3$ und $12$ besitzen den Faktor

$$q=\frac{12}{3}=4.$$

Ein weiterer gleich großer Schritt nach rechts führt daher zu

$$12\cdot4=48.$$

Die Folge gleich weit entfernter Punkte lautet $\boxed{3,12,48}$.

Beispiel 9: Mittelpunkt einer logarithmischen Strecke

Der Mittelpunkt zwischen $10$ und $100$ besitzt die mittlere logarithmische Koordinate:

$$\begin{aligned} \lg(x_M) &=\frac{\lg(10)+\lg(100)}{2} =\frac{1+2}{2}=1{,}5,\\ x_M&=10^{1{,}5}=\sqrt{1000}\approx31{,}62. \end{aligned}$$

Allgemein ist die logarithmische Mitte zweier positiver Werte das geometrische Mittel

$$\boxed{x_M=\sqrt{x_1x_2}}.$$

Tatsächlich gilt $\frac{31{,}62}{10}\approx\frac{100}{31{,}62}\approx3{,}162$. Der lineare Mittelwert liegt nicht in der logarithmischen Mitte.

5. Einfach- und doppeltlogarithmische Darstellungen

Eine Darstellung heißt einfachlogarithmisch, wenn genau eine Achse logarithmisch skaliert ist. Sind beide Achsen logarithmisch skaliert, heißt sie doppeltlogarithmisch.

Welche Achse bei einer einfachlogarithmischen Darstellung logarithmisch ist, muss immer an den Achsenmarken geprüft werden.

Beispiel 10: Exponentialfunktion einfachlogarithmisch darstellen

Für

$$y=3\cdot2^x$$

ergibt das Logarithmieren der y-Werte

$$\lg(y)=\lg(3)+x\lg(2).$$

Zwischen $x$ und $\lg(y)$ besteht ein linearer Zusammenhang. Deshalb erscheinen die Punkte bei linearer x-Achse und logarithmischer y-Achse als Gerade. Ihre Steigung ist $\lg(2)$.

Beispiel 11: Potenzfunktion doppeltlogarithmisch darstellen

Für

$$y=0{,}5x^3$$

gilt

$$\lg(y)=\lg(0{,}5)+3\lg(x).$$

Zwischen $\lg(x)$ und $\lg(y)$ besteht ein linearer Zusammenhang. In einer doppeltlogarithmischen Darstellung entsteht daher eine Gerade mit Steigung $3$.

Beispiel 12: Geeignete Darstellung auswählen

Messwerte reichen bei $x$ von $1$ bis $100000$, während $y$ nur zwischen $2$ und $8$ liegt. Der große Wertebereich betrifft nur die x-Achse. Eine einfachlogarithmische Darstellung mit logarithmischer x-Achse und linearer y-Achse ist daher zweckmäßig. Eine doppeltlogarithmische Darstellung würde die y-Achse unnötig verändern.

6. Logarithmische Achse und Logarithmusfunktion unterscheiden

Eine logarithmische Achse ist eine Darstellungsentscheidung: Der ursprüngliche positive Wert $x$ wird an der Position $\lg(x)$ eingezeichnet, die Achse bleibt aber mit $x$-Werten beschriftet.

Der Graph einer Logarithmusfunktion wie

$$y=\lg(x)$$

ist dagegen ein funktionaler Zusammenhang zwischen $x$ und $y$. Er kann auf gewöhnlichen linearen Achsen gezeichnet werden. Eine logarithmische Achse macht einen Graphen also nicht automatisch zu einer Logarithmusfunktion.

7. Typische Fehler

8. Arbeitsabläufe

Logarithmische Achse erkennen

1. Mehrere gleich weit entfernte Achsenmarken auswählen.
2. Ihre aufeinanderfolgenden Differenzen vergleichen.
3. Ihre aufeinanderfolgenden Quotienten vergleichen.
4. Bei konstanten Differenzen eine lineare Skala erkennen.
5. Bei konstanten positiven Quotienten eine Log-Skala erkennen.
6. Achsentyp und verwendete Basis aus der Beschriftung festhalten.

Wert von einer Log-Achse ablesen

1. Die beiden benachbarten Zehnerpotenzen bestimmen.
2. Den Exponenten $k$ der linken Dekadengrenze notieren.
3. Die Zwischenmarke beziehungsweise relative Position erfassen.
4. Den Mantissenwert $m$ zwischen $1$ und $10$ bestimmen.
5. Den Wert $m\cdot10^k$ bilden.

Wert auf einer Log-Achse eintragen

1. Prüfen, ob der Wert positiv ist.
2. Die Dekade $10^k\le x<10^{k+1}$ bestimmen.
3. $\lg(x)$ berechnen.

Logarithmische Abstände deuten

1. Zwei positive Werte und ihre Richtung erfassen.
2. Den Quotienten $q=x_2/x_1$ berechnen.
3. Den Abstand als $\lg(q)$ deuten.

Darstellung auswählen

1. Wertebereiche von x und y getrennt untersuchen.
2. Additives, exponentielles oder potenzförmiges Muster vermuten.
3. Festlegen, welche Achse einen logarithmischen Maßstab benötigt.
4. Linear, einfachlogarithmisch oder doppeltlogarithmisch wählen.
5. Geradlinigkeit nur als Modellhinweis und nicht als Beweis deuten.
6. Achsenbeschriftung, Einheiten und Definitionsbereich prüfen.

Merksätze

• Auf einer linearen Achse zählen Differenzen, auf einer logarithmischen Achse Faktoren.
• Eine Dekade reicht von $10^k$ bis $10^{k+1}$.
• Innerhalb einer Dekade ist $p=\lg(x)-k$ die relative Position.