Werte in Terme und Funktionen einsetzen

Beim Einsetzen wird eine Variable überall durch einen vorgegebenen Wert ersetzt. Danach wird der entstandene Zahlenterm Schritt für Schritt ausgerechnet.

Merksatz: Erst vollständig einsetzen, dann rechnen.

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1. Einen Wert in einen Term einsetzen

Gegeben ist der Term

$$T(x)=3x+5$$

und der Wert

$$x=4.$$

Schritt 1: Jedes $x$ durch $4$ ersetzen.

$$T(4)=3\cdot4+5.$$

Schritt 2: Multiplikation berechnen.

$$3\cdot4=12.$$

Schritt 3: Addition berechnen.

$$12+5=17.$$

Der vollständige Rechenweg lautet:

$$\begin{aligned} T(4) &=3\cdot4+5 \\ &=12+5 \\ &=17. \end{aligned}$$

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2. Negative Werte immer einklammern

Gegeben ist

$$f(x)=x^2-3x$$

und

$$x=-2.$$

Der negative Wert wird bei jedem Einsetzen eingeklammert:

$$\begin{aligned} f(-2) &=(-2)^2-3\cdot(-2) \\ &=4-(-6) \\ &=4+6 \\ &=10. \end{aligned}$$

Warum sind die Klammern wichtig?

$$(-2)^2=(-2)\cdot(-2)=4,$$

aber

$$-2^2=-(2^2)=-4.$$

Die beiden Schreibweisen bedeuten nicht dasselbe.

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3. Mehrfach vorkommende Variablen vollständig ersetzen

Gegeben ist

$$g(a)=2a^2+a-1$$

und

$$a=3.$$

Die Variable $a$ kommt zweimal vor. Beide Vorkommen werden ersetzt:

$$\begin{aligned} g(3) &=2\cdot3^2+3-1 \\ &=2\cdot9+3-1 \\ &=18+3-1 \\ &=21-1 \\ &=20. \end{aligned}$$

Ein häufiges Fehlermuster wäre, nur das erste $a$ zu ersetzen. Deshalb wird vor dem Rechnen gezählt, wie oft die Variable im Term vorkommt.

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4. Brüche einsetzen

Gegeben ist

$$h(x)=2x+1$$

und

$$x=\frac34.$$

Der Bruch wird eingeklammert:

$$\begin{aligned} h\left(\frac34\right) &=2\cdot\left(\frac34\right)+1 \\ &=\frac{6}{4}+1 \\ &=\frac32+1 \\ &=\frac32+\frac22 \\ &=\frac52. \end{aligned}$$

Jede Umformung ist sichtbar: multiplizieren, kürzen, gleichnamig machen und addieren.

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5. Mehrere Variablen einsetzen

Gegeben ist die Flächenformel

$$A=a\cdot b$$

mit

$$a=5\,\mathrm{cm}, \qquad b=3\,\mathrm{cm}.$$

Schritt 1: Werte mit Einheiten einsetzen.

$$A=5\,\mathrm{cm}\cdot3\,\mathrm{cm}.$$

Schritt 2: Zahlen multiplizieren.

$$5\cdot3=15.$$

Schritt 3: Einheiten multiplizieren.

$$\mathrm{cm}\cdot\mathrm{cm}=\mathrm{cm}^2.$$

Damit:

$$\begin{aligned} A &=5\,\mathrm{cm}\cdot3\,\mathrm{cm} \\ &=15\,\mathrm{cm}^2. \end{aligned}$$

Beispiel mit Vorzeichen

$$K(x,y)=2x+3y, \qquad x=4, \qquad y=-1.$$ $$\begin{aligned} K(4,-1) &=2\cdot4+3\cdot(-1) \\ &=8+(-3) \\ &=8-3 \\ &=5. \end{aligned}$$

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6. Funktionsschreibweise lesen

Bei

$$T(x)=2x+1$$

bedeutet:

• $T$ ist der Name der Funktion,
• $x$ ist die allgemeine Eingabe,
• $T(3)$ ist die Ausgabe zur Eingabe $3$.

$T(3)$ bedeutet nicht $T\cdot3$.

$$\begin{aligned} T(3) &=2\cdot3+1 \\ &=6+1 \\ &=7. \end{aligned}$$

Das zugehörige Wertepaar lautet

$$(3\mid7).$$

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7. Eine Wertetabelle erstellen

Für

$$T(x)=2x-1$$

sollen die Werte für $x=-1$, $0$ und $2$ berechnet werden.

Für $x=-1$:

$$\begin{aligned} T(-1) &=2\cdot(-1)-1 \\ &=-2-1 \\ &=-3. \end{aligned}$$

Für $x=0$:

$$\begin{aligned} T(0) &=2\cdot0-1 \\ &=0-1 \\ &=-1. \end{aligned}$$

Für $x=2$:

$$\begin{aligned} T(2) &=2\cdot2-1 \\ &=4-1 \\ &=3. \end{aligned}$$

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8. Einsetzfehler kontrollieren

Vor dem Abschluss werden vier Fragen gestellt:

1. Wurde jedes Variablenvorkommen ersetzt?
2. Wurden negative Zahlen und Brüche eingeklammert?
3. Wurde die Rechenreihenfolge eingehalten?
4. Passt die Einheit des Ergebnisses?

Bei einer Flächenformel muss beispielsweise eine Quadrateinheit entstehen. Eine bloße Längeneinheit wäre ein Warnzeichen.

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9. Typische Fehler

• Nur ein Teil der Variablenvorkommen wird ersetzt.
• Ein negativer Wert wird ohne Klammer eingesetzt.
• $T(4)$ wird als Produkt gelesen.
• Potenzen werden nach der Multiplikation berechnet.
• Einheiten werden weggelassen oder falsch potenziert.
• Zwischenschritte werden übersprungen, sodass Vorzeichenfehler schwer erkennbar sind.

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10. Zusammenfassung

1. Variable und gegebenen Wert notieren.
2. Jedes Vorkommen der Variable ersetzen.
3. Negative Zahlen und Brüche einklammern.
4. Potenzen, Punktrechnung und Strichrechnung in dieser Reihenfolge ausführen.
5. Einheiten mitrechnen.
6. Ergebnis durch Größenordnung oder zweiten Rechenweg prüfen.