Lorenzkurve und Gini-Koeffizient

Kompetenzcode: WS 5.2

Bereich: Wahrscheinlichkeit und Statistik

Eine Lorenzkurve zeigt, wie sich eine nichtnegative Größe auf eine Grundgesamtheit verteilt. Auf der waagrechten Achse steht der kumulierte Anteil der Einheiten, auf der senkrechten Achse ihr kumulierter Anteil an der Gesamtgröße.

1. Lorenzkurve erstellen

Die Werte werden aufsteigend sortiert. Danach bildet man

$$X_i=\frac{\text{Anzahl der ersten }i\text{ Einheiten}}n, \qquad Y_i=\frac{\text{Summe der ersten }i\text{ Werte}}{\text{Gesamtsumme}}.$$

Die Kurve beginnt bei $(0,0)$ und endet bei $(1,1)$.

Beispiel 1: Daten sortieren

Die Werte $6,1,2,1$ werden als $1,1,2,6$ geordnet. Ihre Summe ist $10$. Ohne Sortierung würde die entstehende Linie keine Lorenzkurve dieser Verteilung darstellen.

Beispiel 2: Kumulierte Anteile berechnen

Für $1,1,2,6$ ergeben sich

Diese Punkte werden geradlinig verbunden.

Beispiel 3: Lorenzkurve interpretieren

Beim Punkt $(0{,}75,0{,}40)$ besitzen die unteren $75\,\%$ der Einheiten zusammen $40\,\%$ der betrachteten Gesamtgröße. Entsprechend entfallen auf die oberen $25\,\%$ die restlichen .

2. Gleichverteilung und Konzentration

Die Gerade $Y=X$ beschreibt perfekte Gleichverteilung. Je weiter eine Lorenzkurve darunter liegt, desto stärker ist die Konzentration.

Beispiel 4: Vollständige Gleichverteilung

Für $2,2,2,2$ sind die kumulierten Wertanteile $0{,}25,0{,}50,0{,}75,1$. Die Lorenzkurve liegt genau auf der Gleichverteilungslinie.

Beispiel 5: Starke Konzentration

Für $0,0,0,8$ bleibt der kumulierte Wertanteil bis $X=0{,}75$ gleich $0$ und springt erst beim letzten Viertel auf $1$. Die Gesamtgröße liegt vollständig bei einer Einheit; die Konzentration ist sehr stark.

3. Gini-Koeffizient berechnen

Der Gini-Koeffizient ist das Verhältnis der Fläche zwischen Gleichverteilungslinie und Lorenzkurve zur gesamten Dreiecksfläche unter der Gleichverteilungslinie. Für stückweise lineare Lorenzpunkte gilt

$$G=1-\sum_{i=1}^{m}(Y_i+Y_{i-1})(X_i-X_{i-1}).$$

Im üblichen Modell mit nichtnegativen Werten liegt $G$ zwischen $0$ und $1$. $G=0$ bedeutet Gleichverteilung; größere Werte bedeuten stärkere Konzentration.

Beispiel 6: Gini aus Lorenzpunkten

Für die Punkte aus Beispiel 2 ist

$$\begin{aligned} &\sum_{i=1}^{4}(Y_i+Y_{i-1})(X_i-X_{i-1})\\ &=0{,}25[(0+0{,}10)+(0{,}10+0{,}20)+(0{,}20+0{,}40)+(0{,}40+1)]\\ &=0{,}25\cdot2{,}40=0{,}60. \end{aligned}$$

Daher

$$G=1-0{,}60=0{,}40.$$

Beispiel 7: Gleichverteilung prüfen

Für $2,2,2,2$ ist die Fläche unter der Lorenzkurve gleich $1/2$, daher $G=0$. Das bestätigt die vollständige Gleichverteilung.

Beispiel 8: Alternative Datenformel

Für nichtnegative Einzelwerte $x_1,\ldots,x_n$ kann auch

$$G=\frac{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}|x_i-x_j|} {2n\sum_{i=1}^{n}x_i}$$

verwendet werden. Die Formel mittelt alle paarweisen absoluten Unterschiede und normiert sie an der Gesamtgröße.

4. Vergleichen und Grenzen beachten

Beispiel 9: Zwei Verteilungen vergleichen

Hat Region A $G=0{,}24$ und Region B $G=0{,}41$, ist die betrachtete Größe in B stärker konzentriert - vorausgesetzt, Grundgesamtheit, Merkmalsdefinition, Zeitraum und Datenaufbereitung sind vergleichbar.

Beispiel 10: Was der Gini nicht sagt

Zwei Verteilungen können denselben Gini-Wert, aber unterschiedliche Lorenzkurven und völlig verschiedene Durchschnittsniveaus besitzen. Der Gini beschreibt relative Konzentration, nicht Wohlstand, Ursache oder absolute Höhe.

Beispiel 11: Gruppierte Daten

Werden nur Gruppenanteile veröffentlicht, wird die Lorenzkurve zwischen den Gruppenpunkten linear verbunden. Der daraus berechnete Gini ist eine Näherung, weil die Verteilung innerhalb jeder Gruppe unbekannt bleibt.

Beispiel 12: Anwendungsgrenzen

Die Standard-Lorenzkurve setzt nichtnegative Werte und eine positive Gesamtsumme voraus. Bei negativen Einkommen, Schulden oder wechselnden Definitionen kann die übliche Interpretation scheitern; dann ist eine fachlich angepasste Konzentrationsanalyse nötig.

Typische Fehler

• Werte werden nicht aufsteigend sortiert.
• Einzelanteile werden statt kumulierter Anteile eingezeichnet.
• Achsen werden vertauscht oder Prozentwerte nicht bei $(1,1)$ abgeschlossen.
• Größerer Gini wird pauschal als „schlechter“ statt als stärkere Konzentration beschrieben.
• Nicht vergleichbare Grundgesamtheiten oder Zeiträume werden gegenübergestellt.
• Gruppierte Daten werden als exakte Einzelverteilung behandelt.

Merksätze

• Lorenzkurven verwenden sortierte und kumulierte Anteile.
• Die Diagonale steht für Gleichverteilung.
• Je größer die Fläche zwischen Kurve und Diagonale, desto größer der Gini.
• Gini-Vergleiche brauchen gleiche Definitionen und denselben Kontext.