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Arithmetisches Mittel, Median und Modus | Lerncoach
MG 7.4
Arithmetisches Mittel, Median und Modus Lies die Erklärung in Ruhe durch und nutze anschließend die Schrittlisten, um das Vorgehen sicher anzuwenden.
Passend für
Mathematische Grundlagen 5 Schrittlisten online lernen
Das solltest du können
Arithmetisches Mittel, Median und Modalwert bestimmen, Mittelwert und Median vergleichen und abhängig von Datenart und Fragestellung eine passende Lagekennzahl auswählen können.
Beispiel auswählen
Punkte Einkommen Farben Laufzeiten Schuhgrößen
Punkte bei fünf kurzen Übungen
5 2 6 4 3
Mittelwert
Alle Werte werden zusammengerechnet und anschließend durch die Anzahl der Werte geteilt.
(5 + 2 + 6 + 4 + 3) : 5 = 20 : 5 = 4
Beim Mittelwert werden alle fünf Punktestände berücksichtigt.
Median
Zuerst werden die Werte geordnet.
In der geordneten Liste liegt 4 genau in der Mitte.
Modus
Nicht sinnvoll: Kein Wert kommt häufiger vor als die anderen. Es gibt hier keinen eindeutigen Modus.
Welche Kennzahl passt?
Wie viele Punkte wurden durchschnittlich erreicht? ✓
Mittelwert
Für den durchschnittlichen Punktestand passt der Mittelwert besonders gut. Es gibt außerdem keine auffälligen Extremwerte.
Arithmetisches Mittel, Median und Modus
Kompetenzcode: MG 7.4
Lagekennzahlen helfen dabei, einen Datensatz mit wenigen Zahlen zu beschreiben. Besonders wichtig sind das arithmetische Mittel , der Median und der Modalwert (Modus) .
In diesem Kapitel lernst du,
das arithmetische Mittel zu berechnen,
den Median zu bestimmen,
den Modalwert zu bestimmen,
Mittelwert und Median zu vergleichen,
eine passende Lagekennzahl auszuwählen.
1. Drei verschiedene Ideen für die „Mitte“
Betrachte den Datensatz
2 , 3 , 3 , 4 , 8. 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 8. 2 , 3 , 3 , 4 , 8. Das arithmetische Mittel berücksichtigt
MG 7.4 - Arithmetisches Mittel berechnen Das arithmetische Mittel als Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl berechnen und im Kontext deuten.
1 Datenwerte erfassen Alle numerischen Werte vollständig berücksichtigen.
2 Werte addieren Die Summe aller Datenwerte bilden.
3 Anzahl bestimmen Die Zahl n der Einzelwerte bestimmen.
4 Durch n teilen Das arithmetische Mittel als Summe geteilt durch Anzahl berechnen.
5 Ergebnis prüfen Plausibilität und gegebenenfalls Rundung kontrollieren.
6 Im Kontext deuten Den Mittelwert als durchschnittlichen Wert mit Einheit formulieren.
MG 7.4 - Median bestimmen Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben. Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
alle Werte
Der Median ist die Mitte der geordneten Liste .
Der Modus ist der am häufigsten vorkommende Wert .
Diese Kennzahlen können gleich sein, müssen es aber nicht.
2. Arithmetisches Mittel berechnen Für die Werte x 1 , x 2 , … , x n x_1,x_2,\ldots,x_n x 1 , x 2 , … , x n
x ˉ = x 1 + x 2 + ⋯ + x n n \boxed{\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}} x ˉ = n x 1 + x 2 + ⋯ + x n
Alle Werte addieren und durch die Anzahl der Werte teilen.
4 , 6 , 8 , 10 4,\ 6,\ 8,\ 10 4 , 6 , 8 , 10 4 + 6 + 8 + 10 = 28 4+6+8+10=28 4 + 6 + 8 + 10 = 28 x ˉ = 28 4 = 7. \bar{x}=\frac{28}{4}=7. x ˉ = 4 28 = 7. x ˉ = 7 \boxed{\bar{x}=7} x ˉ = 7
3. Ein Mittelwert muss nicht in der Liste vorkommen 2 , 4 , 5 , 6. 2,\ 4,\ 5,\ 6. 2 , 4 , 5 , 6. x ˉ = 2 + 4 + 5 + 6 4 = 17 4 = 4,25. \bar{x}
=
\frac{2+4+5+6}{4}
=
\frac{17}{4}
=
4{,}25. x ˉ = 4 2 + 4 + 5 + 6 = 4 17 = 4 , 25. Der Wert 4,25 4{,}25 4 , 25
4. Mittelwert mit wiederholten Werten 2 , 2 , 2 , 5 , 5 , 8. 2,\ 2,\ 2,\ 5,\ 5,\ 8. 2 , 2 , 2 , 5 , 5 , 8. x ˉ = 2 + 2 + 2 + 5 + 5 + 8 6 . \bar{x}
=
\frac{2+2+2+5+5+8}{6}. x ˉ = 6 2 + 2 + 2 + 5 + 5 + 8 . Oder kürzer mit den Häufigkeiten:
x ˉ = 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 5 + 1 ⋅ 8 6 = 24 6 = 4. \bar{x}
=
\frac{3\cdot2+2\cdot5+1\cdot8}{6}
=
\frac{24}{6}
=
4. x ˉ = 6 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 5 + 1 ⋅ 8 = 6 24 = 4.
5. Mittelwert im Kontext deuten Fünf Kinder lesen in den Ferien
1 , 2 , 2 , 3 , 7 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 7 1 , 2 , 2 , 3 , 7 x ˉ = 1 + 2 + 2 + 3 + 7 5 = 3. \bar{x}
=
\frac{1+2+2+3+7}{5}
=
3. x ˉ = 5 1 + 2 + 2 + 3 + 7 = 3. Eine passende Aussage lautet:
Im Durchschnitt wurden 3 3 3
Das bedeutet nicht, dass jedes Kind genau 3 3 3
6. Median bestimmen Der Median ist der mittlere Wert einer geordneten Datenliste.
Deshalb lautet der erste Schritt immer:
Daten sortieren \boxed{\text{Daten sortieren}} Daten sortieren 8 , 3 , 5 , 2 , 7 8,\ 3,\ 5,\ 2,\ 7 8 , 3 , 5 , 2 , 7 2 , 3 , 5 , 7 , 8. 2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 8. 2 , 3 , 5 , 7 , 8. Der mittlere Wert ist 5 5 5
x ~ = 5 \boxed{\tilde{x}=5} x ~ = 5
7. Median bei ungerader Anzahl 1 , 3 , 4 , 6 , 9. 1,\ 3,\ 4,\ 6,\ 9. 1 , 3 , 4 , 6 , 9. Die mittlere Position ist
n + 1 2 = 5 + 1 2 = 3. \frac{n+1}{2}
=
\frac{5+1}{2}
=
3. 2 n + 1 = 2 5 + 1 = 3. x ~ = 4 \boxed{\tilde{x}=4} x ~ = 4
8. Median bei gerader Anzahl 2 , 4 , 6 , 10. 2,\ 4,\ 6,\ 10. 2 , 4 , 6 , 10. Es gibt zwei mittlere Werte:
4 und 6. 4\quad\text{und}\quad6. 4 und 6. Der Median ist deren Mittelwert:
x ~ = 4 + 6 2 = 5. \tilde{x}
=
\frac{4+6}{2}
=
5. x ~ = 2 4 + 6 = 5. x ~ = 5 \boxed{\tilde{x}=5} x ~ = 5
Merke: Bei gerader Datenanzahl wird der Mittelwert der beiden mittleren Werte gebildet.
9. Warum Sortieren unverzichtbar ist 9 , 2 , 7 , 3 , 4. 9,\ 2,\ 7,\ 3,\ 4. 9 , 2 , 7 , 3 , 4. Die mittig hingeschriebene Zahl 7 7 7 nicht automatisch der Median.
2 , 3 , 4 , 7 , 9. 2,\ 3,\ 4,\ 7,\ 9. 2 , 3 , 4 , 7 , 9.
10. Was sagt der Median aus? Der Median teilt eine geordnete Datenliste in zwei Hälften.
ungefähr die Hälfte der Werte liegt nicht über dem Median,
ungefähr die Hälfte liegt nicht unter dem Median.
Das macht den Median besonders nützlich, wenn einzelne Werte sehr groß oder sehr klein sind.
11. Modalwert bestimmen Der Modalwert oder Modus ist der Wert, der am häufigsten vorkommt.
2 , 3 , 3 , 4 , 5 , 3 , 6. 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 5,\ 3,\ 6. 2 , 3 , 3 , 4 , 5 , 3 , 6. Der Wert 3 3 3
Modus = 3 \boxed{\text{Modus}=3} Modus = 3
12. Modus bei Kategorien Der Modus funktioniert auch bei Daten, die keine Zahlen sind.
Blau,
Rot,
Grün,
Blau,
Blau,
Rot.
Am häufigsten kommt „Blau“ vor.
Modus = Blau \boxed{\text{Modus}=\text{Blau}} Modus = Blau Für Kategorien wie Farben kann ein Modus sinnvoll sein, obwohl ein arithmetisches Mittel nicht möglich ist.
13. Mehrere Modalwerte 1 , 1 , 2 , 2 , 3. 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3. 1 , 1 , 2 , 2 , 3. Die Werte 1 1 1 2 2 2
Damit gibt es zwei Modalwerte:
1 und 2 \boxed{1\text{ und }2} 1 und 2 Wenn alle Werte gleich häufig vorkommen, gibt es keinen eindeutigen Modalwert.
14. Modus ist nicht der größte Wert 2 , 2 , 2 , 5 , 9. 2,\ 2,\ 2,\ 5,\ 9. 2 , 2 , 2 , 5 , 9. Der häufigste Wert ist aber 2 2 2
Modus = 2 \boxed{\text{Modus}=2} Modus = 2
15. Mittelwert und Median vergleichen 2 , 3 , 4 , 5 , 6. 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6. 2 , 3 , 4 , 5 , 6. x ˉ = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 5 = 4. \bar{x}
=
\frac{2+3+4+5+6}{5}
=
4. x ˉ = 5 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 4. Hier stimmen beide Lagekennzahlen überein.
16. Ein Ausreißer verändert den Mittelwert 2 , 3 , 4 , 5 , 36. 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 36. 2 , 3 , 4 , 5 , 36. Der Median ist weiterhin:
x ~ = 4 \boxed{\tilde{x}=4} x ~ = 4 Das arithmetische Mittel ist:
x ˉ = 2 + 3 + 4 + 5 + 36 5 = 50 5 = 10. \bar{x}
=
\frac{2+3+4+5+36}{5}
=
\frac{50}{5}
=
10. x ˉ = 5 2 + 3 + 4 + 5 + 36 = 5 50 = 10. x ˉ = 10 \boxed{\bar{x}=10} x ˉ = 10 Der Wert 36 36 36
17. Was ist ein Ausreißer? Ein Ausreißer ist ein Wert, der deutlich von den meisten anderen Werten entfernt liegt.
3 , 4 , 4 , 5 , 5 , 40. 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 40. 3 , 4 , 4 , 5 , 5 , 40. Der Wert 40 40 40
Solche Werte beeinflussen das arithmetische Mittel oft stark.
Der Median ist gegenüber einzelnen Ausreißern meist robuster.
18. Passende Lagekennzahl auswählen Welche Lagekennzahl geeignet ist, hängt von den Daten und von der Frage ab.
Arithmetisches Mittel
die Daten Zahlen sind,
alle Werte berücksichtigt werden sollen,
starke Ausreißer die Aussage nicht verzerren.
Median
die Daten geordnet werden können,
einzelne extreme Werte vorkommen,
die mittlere Position besonders wichtig ist.
Modus
der häufigste Wert gesucht ist,
Kategorien untersucht werden,
die häufigste Ausprägung wichtig ist.
19. Beispiel: Einkommen 1500 , 1600 , 1700 , 1800 , 12000. 1500,\ 1600,\ 1700,\ 1800,\ 12000. 1500 , 1600 , 1700 , 1800 , 12000. x ~ = 1700 \boxed{\tilde{x}=1700} x ~ = 1700 x ˉ = 1500 + 1600 + 1700 + 1800 + 12000 5 = 3720. \bar{x}
=
\frac{1500+1600+1700+1800+12000}{5}
=
3720. x ˉ = 5 1500 + 1600 + 1700 + 1800 + 12000 = 3720. Der sehr hohe Wert 12000 12000 12000
Wenn die typische Mitte der Einkommen beschrieben werden soll, ist der Median hier oft aussagekräftiger.
20. Beispiel: T-Shirt-Größen S , M , M , L , M , S . S,\ M,\ M,\ L,\ M,\ S. S , M , M , L , M , S . Ein arithmetisches Mittel ist hier nicht sinnvoll.
Wenn gefragt wird, welche Größe am häufigsten benötigt wird, ist der Modus die passende Lagekennzahl.
21. Ungeordnete Kategorien ist ein arithmetisches Mittel nicht sinnvoll.
Auch ein Median ist nicht sinnvoll, weil es keine natürliche Reihenfolge von Augenfarben gibt.
Braun . \boxed{\text{Braun}}. Braun .
22. Alle drei Kennzahlen gemeinsam 1 , 2 , 2 , 3 , 12. 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 12. 1 , 2 , 2 , 3 , 12. x ˉ = 1 + 2 + 2 + 3 + 12 5 = 4. \bar{x}
=
\frac{1+2+2+3+12}{5}
=
4. x ˉ = 5 1 + 2 + 2 + 3 + 12 = 4. x ˉ = 4 , x ~ = 2 , Modus = 2 \boxed{
\bar{x}=4,\qquad
\tilde{x}=2,\qquad
\text{Modus}=2
} x ˉ = 4 , x ~ = 2 , Modus = 2 Die drei Kennzahlen beschreiben unterschiedliche Eigenschaften des Datensatzes.
23. Typische Fehler
Fehler 1: Beim Mittelwert durch die falsche Zahl teilen Summe aller Werte Anzahl aller Werte . \frac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl aller Werte}}. Anzahl aller Werte Summe aller Werte .
Fehler 2: Median ohne Sortieren bestimmen Der Median wird aus der geordneten Liste bestimmt.
Fehler 3: Bei gerader Anzahl nur einen mittleren Wert nehmen Die beiden mittleren Werte müssen gemittelt werden.
Fehler 4: Modus mit Maximum verwechseln Der Modus ist der häufigste Wert, nicht der größte.
Fehler 5: Ausreißer beim Vergleich ignorieren Ausreißer können den Mittelwert stark verschieben.
Fehler 6: Mittelwert für Kategorien berechnen Für ungeordnete Kategorien ist das arithmetische Mittel nicht sinnvoll.
24. Das Wichtigste auf einen Blick x ˉ = x 1 + x 2 + ⋯ + x n n \boxed{\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}} x ˉ = n x 1 + x 2 + ⋯ + x n
zuerst sortieren,
bei ungerader Anzahl den mittleren Wert nehmen,
bei gerader Anzahl die beiden mittleren Werte mitteln.
am h a ¨ ufigsten vorkommende Auspr a ¨ gung \boxed{\text{am häufigsten vorkommende Ausprägung}} am h a ¨ ufigsten vorkommende Auspr a ¨ gung
Mittelwert berücksichtigt alle Zahlen und reagiert empfindlich auf Ausreißer,
Median beschreibt die Mitte der geordneten Liste und ist robuster gegenüber Ausreißern,
Modus beschreibt die häufigste Ausprägung und funktioniert auch bei Kategorien.
Die passende Kennzahl hängt von Datenart, Ausreißern und Fragestellung ab.
Den Median nach dem Sortieren bei gerader und ungerader Datenanzahl korrekt bestimmen.
1 Daten sortieren Die Werte vollständig von klein nach groß anordnen.
2 Anzahl bestimmen Feststellen, ob n gerade oder ungerade ist.
3 Mitte finden Den mittleren Wert beziehungsweise die zwei mittleren Werte lokalisieren.
4 Median bestimmen Bei gerader Anzahl das Mittel der beiden mittleren Werte bilden.
5 Position kontrollieren Prüfen, ob die Mitte korrekt gewählt wurde.
6 Im Kontext deuten Den Median mit passender Einheit oder Sachbedeutung angeben.
MG 7.4 - Modalwert bestimmen Die am häufigsten vorkommende Ausprägung als Modalwert beziehungsweise Modus bestimmen.
1 Ausprägungen erfassen Die verschiedenen Werte oder Kategorien erkennen.
2 Häufigkeiten zählen Bestimmen, wie oft jede Ausprägung vorkommt.
3 Größte Häufigkeit finden Die maximale Häufigkeit bestimmen.
4 Modalwert zuordnen Die zugehörige Ausprägung als Modus nennen.
5 Mehrere Modi prüfen Erkennen, ob mehrere Ausprägungen gleich häufig am häufigsten sind.
6 Im Kontext deuten Die häufigste Ausprägung sachlich formulieren.
MG 7.4 - Mittelwert und Median vergleichen Mittelwert und Median desselben Datensatzes bestimmen und die Wirkung von Ausreißern vergleichen.
1 Daten sortieren Eine geordnete Grundlage für den Median schaffen.
2 Mittelwert berechnen Alle Werte addieren und durch n teilen.
3 Median bestimmen Die Mitte der geordneten Liste bestimmen.
4 Kennzahlen vergleichen Unterschiede zwischen beiden Werten beschreiben.
5 Ausreißer erkennen Nach deutlich entfernten Einzelwerten suchen.
6 Ausreißerwirkung erklären Begründen, warum der Mittelwert stärker beeinflusst wird.
MG 7.4 - Passende Lagekennzahl auswählen Abhängig von Datenart, Ausreißern und Fragestellung eine geeignete Lagekennzahl auswählen.
1 Datenart prüfen Klären, ob Zahlen oder ungeordnete Kategorien vorliegen.
2 Fragestellung bestimmen Entscheiden, ob Durchschnitt, Mitte oder häufigste Ausprägung gesucht wird.
3 Ausreißer prüfen Bei numerischen Daten ungewöhnlich große oder kleine Werte erkennen.
4 Kennzahl auswählen Passend zwischen Mittelwert, Median und Modus entscheiden.
5 Ungeeignete Kennzahl ausschließen Zum Beispiel keinen Mittelwert für Augenfarben verwenden.
6 Wahl begründen Die Entscheidung mit einer Eigenschaft der Daten oder Kennzahl erklären.
