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Lies die Erklärung in Ruhe durch und nutze anschließend die Schrittlisten, um das Vorgehen sicher anzuwenden.
Mathematische und Formeln übersetzen reale Situationen in eine kurze, eindeutige Sprache.
Arbeitsplan: Größen festlegen → erklären → Zusammenhang in Worten klären → Term, Formel oder aufstellen → Ergebnis mit Einheit und Situation prüfen.
Stefan ist um größer als Amelie.
Wir setzen:
So gehst du vor
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
Eine Sachsituation analysieren, definieren und daraus einen passenden bilden.
Liste alle vorkommenden Größen auf und notiere die zugehörigen Einheiten.
Wähle ein passendes Zeichen und formuliere eindeutig, wofür die steht.
Suche nach Grundgebühren, Anfangswerten oder anderen Größen, die nicht von der abhängen.
Bestimme, welcher Wert pro Stück, Person, Stunde oder anderer Einheit mit der multipliziert wird.
Übersetze Formulierungen wie Summe, Differenz, Vielfaches, Anteil oder Prozentänderung in Rechenoperationen.
Digitales Werkzeug
Wichtige Befehle und ihre Verwendung zu diesem Thema.
GeoGebra kann beim Kontrollieren, Vereinfachen, Einsetzen und Umstellen helfen.
Die mathematische Modellierung muss trotzdem selbst durchgeführt werden:
Vereinfache(<Ausdruck>)
Vereinfache(3x + 5x - 2)
Ergebnis:
Nächster Schritt
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
Stefan ist die größere Person. Deshalb muss Amelies Größe um erhöht werden, damit beide Seiten gleich groß sind:
Die Gleichung
wäre falsch. Sie würde bedeuten, dass Amelie um größer als Stefan ist.
Merksatz: Frage zuerst: Welche Größe ist größer? Der Zusatz wird bei der kleineren Größe ergänzt.
Aus
kann man durch eine Äquivalenzumformung Amelies Größe ausdrücken:
Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Situation.
Vor dem Aufstellen eines Terms oder einer Gleichung werden die Größen festgelegt.
In einem Stadion sind Erwachsene mehr als Kinder.
Wir setzen:
Die Anzahl der Erwachsenen ist größer. Daher gilt:
Umgekehrt kann man schreiben:
Achtung: Signalwörter helfen, ersetzen aber nicht das Nachdenken über die Richtung des Zusammenhangs.
Ein Term ist ein Rechenausdruck ohne Gleichheitszeichen:
Eine Formel beschreibt einen allgemeinen Zusammenhang zwischen Größen:
Eine Gleichung setzt zwei Terme gleich. Häufig ist eine Größe gesucht:
Merksatz: Ein Term wird berechnet oder vereinfacht. Eine Formel beschreibt einen Zusammenhang. Eine Gleichung kann gelöst oder umgeformt werden.
Eine Taxifahrt kostet Grundgebühr und zusätzlich pro Kilometer.
Wir setzen:
Dann gilt:
Dabei ist der feste Anteil und der veränderliche Anteil.
Die Klammer ist im letzten Beispiel notwendig:
Eine Erwachsenenkarte kostet , eine Kinderkarte .
Mit
lautet der Einnahmenterm:
Wenn zusätzlich gilt, kann dieser Zusammenhang später in den Einnahmenterm eingesetzt werden.
Für
und gilt:
Die Fahrt kostet .
Ein Rechteck hat die Länge Meter und die Breite Meter.
Umfang:
Flächeninhalt:
Für gilt:
Plausibilitätskontrolle: Ein Flächeninhalt wird in Quadrateinheiten angegeben. wäre deshalb keine passende Einheit.
Nur gleiche Variablen mit gleichen Exponenten dürfen zusammengefasst werden.
Beim Vereinfachen bleibt der Wert des Terms unverändert.
Eine Formel beschreibt einen allgemeinen Zusammenhang zwischen mehreren Größen.
Bei
wird gewählt. Die Kosten hängen davon ab.
Variablen müssen im Kontext immer erklärt werden.
Beim Umstellen wird auf beiden Seiten dieselbe zulässige Operation durchgeführt.
Nicht über das Gleichheitszeichen schieben: Rechenzeichen ändern sich nicht von selbst. Die Änderung entsteht durch dieselbe Gegenoperation auf beiden Seiten.
Eine umgestellte Formel kann durch Einsetzen geprüft werden.
Aus
wurde
Setzt man , und , erhält man zunächst:
Probe:
Das Ergebnis stimmt.
Das solltest du können: Situationen in Terme, Formeln und Gleichungen übersetzen, Variablen erklären, Termwerte berechnen, Terme vereinfachen und Formeln mit sichtbaren Äquivalenzumformungen nach einer Größe umstellen.
Prüfe, ob mehrere Bestandteile gemeinsam vervielfacht, vermindert oder erhöht werden und deshalb eine Klammer benötigen.
Schreibe den vollständigen mit einer klar bezeichneten abhängigen Größe auf.
Teste einen einfachen Wert wie null oder eins und kontrolliere, ob der zum beschriebenen Kontext passt.
Zwischen mehreren Größen einen allgemeinen Zusammenhang mit korrekten Einheiten formulieren.
Lege fest, welche Größe durch die Formel beschrieben werden soll.
Bestimme alle Größen, von denen die gesuchte Größe abhängt.
Entscheide, ob Größen addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert oder prozentual verändert werden.
Schreibe die abhängige Größe auf die linke Seite und den vollständigen Zusammenhang auf die rechte Seite.
Prüfe, ob die Einheiten der rechten Seite zur Einheit der gesuchten Größe passen.
Notiere, welche Werte im Kontext zulässig sind, zum Beispiel positive Längen oder nichtnegative ganze Personenzahlen.
Setze einfache Werte ein und kontrolliere, ob das Ergebnis fachlich und rechnerisch sinnvoll ist.
Einfache vereinfachen und Formeln schrittweise nach einer gewünschten Größe auflösen.
Bestimme, ob ein vereinfacht oder eine Formel nach einer bestimmten Größe aufgelöst werden soll.
Markiere Klammern, gleichartige , gemeinsame und Brüche.
Nutze Distributivgesetz, Zusammenfassen oder Ausklammern passend zur Struktur.
Bringe bei einer Formel alle mit der Zielvariable auf eine geeignete Seite und fasse sie zusammen.
Führe auf beiden Seiten passende inverse Operationen durch, bis die Zielvariable allein steht.
Halte insbesondere fest, welche Größen bei einer Division nicht null sein dürfen.
Setze die umgestellte Formel probeweise zurück oder überprüfe die Einheiten.
, Konstanten, und berechnete Werte verständlich im Sachzusammenhang erklären.
Erkläre für jedes verwendete Zeichen die zugehörige Größe und Einheit.
Beschreibe feste Werte als Anfangswert, Grundgebühr oder andere konstante Größe.
Erkläre einen vor der als Änderung oder Betrag pro Einheit.
Formuliere, welcher konkrete Kontextwert eingesetzt wurde.
Ergänze die passende Einheit und vermeide eine bedeutungslose reine Zahl.
Schreibe einen vollständigen Satz, der das Ergebnis eindeutig auf die Sachsituation bezieht.
Prüfe, ob das Ergebnis im Kontext zulässig ist, etwa ganzzahlig, nichtnegativ oder positiv.
Ein mathematisches Modell mit Einheiten, Testwerten, Wertebereich und Kontextbedingungen überprüfen.
Setze einfache Werte wie null oder eins ein und prüfe, ob die Formel das erwartete Verhalten zeigt.
Kontrolliere, ob alle addierten Größen kompatible Einheiten besitzen und die Ergebniseinheit stimmt.
Beurteile, ob das Ergebnis realistisch groß oder klein ist.
Vergleiche mathematisch mögliche Werte mit den im Kontext zulässigen Werten.
Untersuche, ob eine Vergrößerung der Eingangsgröße die abhängige Größe wie erwartet verändert.
Halte fest, unter welchen Bedingungen feste Preise, konstante Geschwindigkeiten oder lineare Änderungen angenommen werden.
Beschreibe, für welche Werte und Situationen das Modell sinnvoll verwendet werden kann.
Summanden, , oder eines Terms sachbezogen interpretieren.
Markiere Summanden, , und gegebenenfalls des Terms.
Verbinde jeden algebraischen Bestandteil mit der Größe oder Bedeutung aus dem Sachkontext.
Erkläre einen als festen , zum Beispiel Preis pro Stück oder Verbrauch pro Einheit.
Beschreibe jeden Summanden als eigenen Beitrag zur Gesamtgröße.
Erkläre einen nur entsprechend dem Kontext, zum Beispiel als quadratische Abhängigkeit oder Flächenbezug.
Fasse die Bedeutung des gefragten Termbestandteils mit Einheit und Sachbezug zusammen.
, und Rechenoperationen einer Formel sachbezogen interpretieren.
Liste alle und gegebenen der Formel auf.
Trenne veränderliche Größen von festen des betrachteten Modells.
Bestimme, welche Größen addiert, multipliziert, dividiert, potenziert oder anderweitig verknüpft werden.
Prüfe die Einheiten der Größen und welche Einheit das Formelergebnis haben muss.
Erkläre, wie ein größerer oder kleinerer die berechnete Größe beeinflusst, soweit dies unmittelbar aus der Formel folgt.
Übersetze die mathematische Struktur in einen verständlichen Satz zum Kontext.
Gleichartige Termglieder zusammenfassen und die Umformung begründen.
Zerlege den in einzelne Summanden mit ihren Vorzeichen.
Gleichartige Termglieder besitzen denselben Variablenteil mit denselben .
Addiere beziehungsweise subtrahiere nur die gleichartiger Glieder.
Übernimm den gemeinsamen Variablenteil unverändert.
Termglieder mit unterschiedlichem Variablenteil dürfen nicht zusammengefasst werden.
Kontrolliere durch Einsetzen eines einfachen Werts, ob ursprünglicher und vereinfachter denselben Wert liefern.
Einen algebraischen mithilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren.
Bestimme den vor oder neben der Klammer.
Multipliziere den äußeren mit jedem Summanden in der Klammer.
Übernimm Plus- und Minuszeichen beim Multiplizieren korrekt.
Berechne Zahlenfaktoren und fasse Potenzen beziehungsweise Variablenfaktoren korrekt zusammen.
Schreibe den vollständig ausmultiplizierten ohne die bearbeitete Klammer.
Setze bei Bedarf einen einfachen Wert ein und vergleiche Ausgangsterm und Ergebnis.
Einen gemeinsamen aus einem algebraischen ausklammern.
Untersuche alle Summanden auf gemeinsame Zahlen- und Variablenfaktoren.
Bestimme einen gemeinsamen , der aus jedem Summanden herausgehoben werden kann.
Teile jeden Summanden durch den ausgeklammerten .
Schreibe die verbleibenden in eine gemeinsame Klammer.
Setze den gemeinsamen vor die Klammer.
Multipliziere die Produktform gedanklich oder schriftlich wieder aus und prüfe den Ausgangsterm.
Einfache Potenzregeln beim Umformen eines Terms korrekt anwenden.
Identifiziere Basis und der vorkommenden Potenzen.
Entscheide zwischen Produkt gleicher Basis, Quotient gleicher Basis, Potenz einer Potenz oder Potenz eines Produkts.
Addiere, subtrahiere oder multipliziere nur entsprechend der gewählten Regel.
Berechne numerische unabhängig von der Potenzregel, sofern nötig.
Schreibe den umgeformten Ausdruck möglichst kompakt.
Kontrolliere, dass die verwendete Potenzregel wirklich zur vorhandenen Struktur passt.
Einfache mit korrekt lesen, einsetzen und umformen.
Bestimme Radikand und gegebenenfalls einen äußeren .
Bei reellen Quadratwurzeln muss der Radikand nichtnegativ sein.
Setze gegebene Werte ein beziehungsweise vereinfache offensichtliche Quadratzahlen unter der .
Zerlege Produkte oder Quotienten unter der nur, wenn die Voraussetzungen erfüllt sind.
Berechne den exakten oder geforderten näherungsweisen Wert.
Kontrolliere Vorzeichen, Definitionsbereich und Größenordnung.
Einfache logarithmische Ausdrücke korrekt lesen und im Kontext deuten.
Erkenne Basis, Argument und gegebenenfalls äußere des logarithmischen Ausdrucks.
log_b(a) bezeichnet den , mit dem b potenziert werden muss, um a zu erhalten.
Für reelle Logarithmen muss die Basis positiv und ungleich 1 sowie das Argument positiv sein.
Bestimme, welche Größe durch den Logarithmus beschrieben oder ausgedrückt wird.
Formuliere die Bedeutung des Logarithmus in Worten beziehungsweise über die zugehörige Potenzgleichung.
Kontrolliere bei einfachen Werten durch Rückübersetzung in eine Potenz.
Einfache mit Sinus oder Cosinus korrekt lesen und im Kontext deuten.
Bestimme, ob Sinus oder Cosinus verwendet wird und welches Argument eingesetzt wird.
Erkläre, welcher Winkel oder welche Phase durch das Argument beschrieben wird.
Deute einen vor Sinus oder Cosinus als Skalierung der resultierenden Größe.
Prüfe, ob Winkelmaß und geforderte Einheit zum Kontext passen.
Setze einen gegebenen Winkel ein und berechne den Wert mit passendem Winkelmodus.
Erkläre das Ergebnis beziehungsweise den im ursprünglichen Kontext.
Durch Einsetzen oder Umformen prüfen, ob zwei äquivalent sind.
Betrachte Struktur, Klammern und Rechenoperationen beider .
Vereinfache oder forme einen mit zulässigen Rechenregeln in Richtung des anderen um.
Nutze bei einer Prüfaufgabe geeignete Beispielwerte, um eine vermutete Nichtäquivalenz zu erkennen.
Zwei sind nur dort vergleichbar, wo beide definiert sind.
Sind beide für alle zulässigen Werte gleich, sind sie äquivalent.
Nenne die entscheidende Umformung oder ein Gegenbeispiel als Begründung.
Die Bedeutung einer umgeformten Darstellung im ursprünglichen Sachkontext erklären.
Bestimme, welche Sachgrößen der ursprüngliche beschreibt.
Erkenne, welche , Summanden oder Klammern in der neuen Darstellung hervortreten.
Behalte im Blick, dass die Umformung denselben Gesamtzusammenhang beschreibt.
Erkläre, welche Sachinformation in der umgeformten Darstellung leichter erkennbar ist.
Prüfe, dass die sachliche Einheit des gesamten Terms unverändert bleibt.
Beschreibe die Bedeutung der umgeformten Darstellung ohne den ursprünglichen Sachbezug zu verlieren.
Multipliziere(<Ausdruck>)
Multipliziere(3(x + 4))
Ergebnis:
Faktorisiere(<Ausdruck>)
Faktorisiere(6x + 9)
Ergebnis:
Ersetze(<Ausdruck>, <Variable>, <Wert>)
Ersetze(4 + 7n, n, 5)
Ergebnis:
Im Kontext muss ergänzt werden:
Für fünf Personen betragen die Gesamtkosten .
Eine Formel kann direkt als Funktion eingegeben werden.
K(n) = 4 + 7n
Danach kann ein konkreter Wert berechnet werden:
K(5)
Ergebnis:
Löse(<Gleichung>, <Variable>)
Löse(s = v t, t)
Ergebnis:
Die notwendige Voraussetzung
muss mathematisch selbst beachtet werden.
Löse(K = G + p n, n)
Ergebnis:
Voraussetzung:
Nach der Definition
K(n) = 4 + 7n
können Werte direkt berechnet werden:
K(0)
K(1)
K(2)
K(5)
So kann überprüft werden, ob Anfangswert und Änderung pro Einheit zum Kontext passen.
Nach der Eingabe
K(x) = 4 + 7x
zeichnet GeoGebra den Graphen.
Bei diskreten Größen wie Personen sind im Kontext oft nur ganzzahlige Werte sinnvoll, auch wenn GeoGebra eine durchgehende Gerade zeichnet.
Mit Parametern können unterschiedliche Modelle verglichen werden.
K(x) = G + p x
GeoGebra kann für und Schieberegler erzeugen.
A(x) = 5 + 2x
B(x) = 11 + 1.5x
Die beiden Graphen zeigen, welches Modell bei verschiedenen Werten günstiger ist.
Der Schnittpunkt kann bestimmt werden mit:
Schnittpunkt(A, B)
Alternativ im CAS:
Löse(A(x) = B(x), x)
Wichtig: GeoGebra kann eine Formel umformen oder darstellen, aber nicht entscheiden, ob das gewählte Modell im Sachzusammenhang sinnvoll ist.