Tangensfunktion

Kompetenzcode: FA 6.8

Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Die Tangensfunktion ist keine weitere Wellenkurve wie Sinus oder Cosinus. Sie besteht aus getrennten, streng steigenden Ästen und besitzt senkrechte Asymptoten. All diese Eigenschaften folgen aus einer einzigen Beziehung:

$$\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \qquad\text{für}\qquad \cos(x)\neq 0.$$

Der Nenner erklärt die Definitionslücken, der Quotient erklärt die Vorzeichen und die gemeinsame Wiederholung von Sinus und Cosinus erklärt die Periodizität.

1. Tangens aus Sinus und Cosinus verstehen

Im Einheitskreis hat der Punkt zum Winkel $x$ die Koordinaten

$$P(\cos(x)\mid\sin(x)).$$

Der Tangens ist das Verhältnis der beiden Koordinaten:

$$\tan(x)=\frac{y}{x}=\frac{\sin(x)}{\cos(x)},$$

sofern die x-Koordinate $\cos(x)$ nicht null ist.

Beispiel 1: Drei charakteristische Werte begründen

Für $x=0$ gilt

$$\tan(0)=\frac{\sin(0)}{\cos(0)}=\frac{0}{1}=0.$$

Für $x=\frac{\pi}{4}$ gilt

$$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} =1.$$

Für $x=-\frac{\pi}{4}$ gilt

$$\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) =\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} =-1.$$

Diese drei Punkte bilden das Grundgerüst des mittleren Kurvenastes:

$$\left(-\frac{\pi}{4},-1\right), \quad (0,0), \quad \left(\frac{\pi}{4},1\right).$$

Beispiel 2: Warum $\tan\left(\frac{\pi}{2}\right)$ nicht existiert

Bei $x=\frac{\pi}{2}$ ist

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 \quad\text{und}\quad \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.$$

Damit würde

$$\tan\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{0}$$

entstehen. Eine Division durch null ist nicht definiert. Deshalb besitzt die Tangensfunktion dort eine Definitionslücke und die Gerade

$$x=\frac{\pi}{2}$$

ist eine senkrechte Asymptote.

2. Definitionsbereich, Nullstellen und Vorzeichen

Der Cosinus ist genau bei

$$x=\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z},$$

gleich null. Diese Stellen müssen aus dem Definitionsbereich entfernt werden:

$$D_{\tan} =\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}.$$

Die Nullstellen des Tangens entstehen hingegen dort, wo der Zähler null und der Nenner nicht null ist:

$$\tan(x)=0 \iff \sin(x)=0 \iff x=k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}.$$

Für das Vorzeichen betrachtet man Sinus und Cosinus gemeinsam:

Beispiel 3: Nullstelle, Definitionslücke oder gewöhnliche Stelle?

Wir ordnen drei Winkel zu:

1. Bei $x=-\pi$ ist $\sin(-\pi)=0$ und $\cos(-\pi)=-1$. Also ist eine Nullstelle.

Beispiel 4: Das Vorzeichen ohne Taschenrechner bestimmen

Der Winkel

$$x=\frac{7\pi}{6}=210^\circ$$

liegt im III. Quadranten. Dort sind Sinus und Cosinus negativ. Somit gilt

$$\tan\left(\frac{7\pi}{6}\right)>0.$$

Genauer ist der Bezugswinkel $\frac{\pi}{6}$, daher

$$\tan\left(\frac{7\pi}{6}\right) =\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) =\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

3. Den Grundgraphen sicher skizzieren

Auf jedem offenen Intervall zwischen zwei benachbarten Definitionslücken besitzt der Graph genau einen Kurvenast. Für den mittleren Ast ist dieses Intervall

$$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).$$

Beim Skizzieren gilt:

1. Senkrechte Asymptoten gestrichelt einzeichnen.
2. Die Nullstelle in der Mitte markieren.
3. Die Punkte mit Funktionswert $-1$ und $1$ eintragen.
4. Einen streng steigenden Ast zeichnen.
5. Weitere Äste um $\pi$ nach links oder rechts verschieben.

Beispiel 5: Den mittleren Ast skizzieren

Für

$$-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$$

verwenden wir die Orientierungspunkte

$$\begin{array}{c|ccc} x&-\frac{\pi}{4}&0&\frac{\pi}{4}\\ \hline \tan(x)&-1&0&1 \end{array}$$

und das Randverhalten

$$\lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^{+}}\tan(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to\frac{\pi}{2}^{-}}\tan(x)=+\infty.$$

Der Ast steigt also von links unten durch die drei Orientierungspunkte nach rechts oben. Er berührt die Asymptoten nicht.

Beispiel 6: Einen Graphen im Intervall $[-\pi,\pi]$ vorbereiten

Die Definitionslücken im Intervall sind

$$x=-\frac{\pi}{2} \quad\text{und}\quad x=\frac{\pi}{2}.$$

Die Nullstellen sind

$$x=-\pi, \quad x=0, \quad x=\pi.$$

Damit entstehen im sichtbaren Bereich drei getrennte Teile. Die Linien bei $x=\pm\frac{\pi}{2}$ dürfen nicht durch einen Kurvenzug überbrückt werden.

Typischer Fehler: Die Tangensfunktion ist keine Sinuskurve mit besonders großer Amplitude. Wegen der unbeschränkten Funktionswerte und der Definitionslücken besitzt sie keine Amplitude.

4. Periodizität: Warum die Periode $\pi$ beträgt

Sinus und Cosinus wechseln bei einer Verschiebung um $\pi$ beide ihr Vorzeichen:

$$\sin(x+\pi)=-\sin(x), \qquad \cos(x+\pi)=-\cos(x).$$

Im Quotienten heben sich die beiden Minuszeichen auf:

$$\tan(x+\pi) =\frac{-\sin(x)}{-\cos(x)} =\tan(x).$$

Deshalb ist

$$T=\pi=180^\circ$$

die kleinste positive Periodenlänge der Tangensfunktion.

Beispiel 7: Einen großen Winkel reduzieren

Gesucht ist

$$\tan\left(\frac{17\pi}{4}\right).$$

Da $\frac{16\pi}{4}=4\pi$ ein ganzzahliges Vielfaches der Periode $\pi$ ist, gilt

$$\tan\left(\frac{17\pi}{4}\right) =\tan\left(\frac{\pi}{4}+4\pi\right) =\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) =1.$$

Beispiel 8: Alle Lösungen einer Tangensgleichung angeben

Aus

$$\tan(x)=1$$

folgt zunächst die Hauptlösung

$$x_0=\frac{\pi}{4}.$$

Wegen der Periodenlänge $\pi$ lautet die allgemeine Lösung

$$x=\frac{\pi}{4}+k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}.$$

Im Intervall $[0,2\pi)$ erhält man

$$x=\frac{\pi}{4} \quad\text{oder}\quad x=\frac{5\pi}{4}.$$

5. Gradmaß und Bogenmaß zuordnen

Die zentrale Umrechnung lautet

$$180^\circ=\pi\text{ rad}.$$

Daraus folgen

$$\alpha_{\mathrm{rad}} =\alpha_{\mathrm{Grad}}\cdot\frac{\pi}{180^\circ}$$

und

$$\alpha_{\mathrm{Grad}} =\alpha_{\mathrm{rad}}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}.$$

Beispiel 9: $225^\circ$ in Bogenmaß umrechnen

$$225^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ} =\frac{225}{180}\pi =\frac{5\pi}{4}.$$

Da $\frac{5\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+\pi$, folgt zugleich

$$\tan(225^\circ) =\tan\left(\frac{5\pi}{4}\right) =\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) =1.$$

Beispiel 10: $-\frac{3\pi}{4}$ in Gradmaß umrechnen

$$-\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{180^\circ}{\pi} =-135^\circ.$$

Der Winkel ist zu $45^\circ$ um $-180^\circ$ verschoben. Wegen der Periode $180^\circ$ gilt daher

$$\tan(-135^\circ)=\tan(45^\circ)=1.$$

Taschenrechnerkontrolle: Vor dem Rechnen prüfen, ob das Gerät auf DEG oder RAD eingestellt ist. Derselbe Zahlenwert wird in beiden Modi als unterschiedlicher Winkel interpretiert.

6. Tangensfunktionen erkennen

Ein Graph gehört zur Tangensfamilie, wenn er die folgenden Merkmale besitzt:

• getrennte monotone Äste,
• regelmäßig wiederkehrende senkrechte Asymptoten,
• unbeschränkte Funktionswerte nach oben und unten,
• eine Nullstelle beziehungsweise Mittellinie in jedem Ast,
• Punktsymmetrie um die Mitte jedes unveränderten Grundastes.

Für den Grundgraphen $f(x)=\tan(x)$ gilt zusätzlich:

$$f(-x)=-f(x).$$

Der Graph ist also punktsymmetrisch zum Ursprung.

Vertiefung: Eine einfache Streckung

Bei

$$g(x)=\tan(2x)$$

läuft das Argument doppelt so schnell. Die Periode halbiert sich:

$$T=\frac{\pi}{2}.$$

Definitionslücken liegen bei

$$2x=\frac{\pi}{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}.$$

Diese Vertiefung hilft beim Erkennen, ändert aber nichts am Grundprinzip: Zuerst wird geprüft, wann der Cosinus des gesamten Arguments null ist.

7. Typische Fehler

8. Arbeitsabläufe

Tangenswert verstehen

1. Winkel und Winkelmaß identifizieren.
2. Sinus und Cosinus bestimmen oder qualitativ einordnen.
3. Prüfen, ob der Cosinus null ist.
4. Den Quotienten $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ bilden.
5. Vorzeichen über den Quadranten kontrollieren.
6. Ergebnis als Wert, Nullstelle oder Definitionslücke deuten.

Tangensgraph skizzieren

1. Gewünschtes Intervall festlegen.
2. Alle Asymptoten $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ im Intervall markieren.
3. Nullstellen $x=k\pi$ eintragen.

Periodizität nutzen

1. Winkel im gegebenen Maß notieren.
2. Ganzzahlige Vielfache von $\pi$ beziehungsweise $180^\circ$ abziehen oder addieren.
3. Einen einfachen gleichwertigen Winkel bestimmen.
4. Dessen Tangenswert berechnen.
5. Bei Gleichungen alle Lösungen mit $+k\pi$ ergänzen.
6. Intervallgrenzen und Definitionslücken kontrollieren.

Grad- und Bogenmaß umrechnen

1. Ausgangsmaß erkennen.
2. Die Beziehung $180^\circ=\pi$ notieren.
3. Den passenden Umrechnungsfaktor wählen.
4. Einheiten und $\pi$ kürzen.
5. Bruch vollständig vereinfachen.
6. Größenordnung mit einem bekannten Winkel prüfen.

Tangensfunktion erkennen

1. Nach getrennten Ästen suchen.
2. Senkrechte Asymptoten identifizieren.
3. Abstände benachbarter Asymptoten vergleichen.
4. Nullstellen oder Mittelpunkte der Äste markieren.
5. Monotonie und unbeschränkte Werte prüfen.
6. Gleichung und Graphmerkmale gemeinsam begründen.

Merksätze

• $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ gilt nur für $$.