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Lies die Erklärung in Ruhe durch und nutze anschließend die Schrittlisten, um das Vorgehen sicher anzuwenden.
Statistische Tabellen und Grafiken helfen dabei, viele Daten übersichtlich darzustellen. Damit eine Aussage stimmt, müssen Werte, Achsen, Skalen, Einheiten und der Kontext sorgfältig gelesen werden.
Zentrales Ziel: Daten aus Tabellen und Grafiken korrekt ablesen, Häufigkeiten berechnen, Darstellungen vergleichen und mögliche Verzerrungen erkennen.
So gehst du vor
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
Begriffe, Zeichen, Größen und Voraussetzungen der Kompetenz systematisch klären.
Ordne die Aufgabe dem passenden mathematischen Thema zu.
Notiere Werte, , Einheiten und Bedingungen übersichtlich.
Formuliere die zentralen Begriffe in eigenen Worten.
Kontrolliere Definitionsbereich, Modellannahmen und zulässige Werte.
Schreibe auf, was berechnet, entschieden oder interpretiert werden soll.
Entscheide zwischen Text, Tabelle, Graph, oder Skizze.
Digitales Werkzeug
Wichtige Befehle und ihre Verwendung zu diesem Thema.
GeoGebra wird hier zum Ablesen, Vergleichen und Kontrollieren von Darstellungen eingesetzt. Kennzahlen wie Mittelwert, Median, Varianz und Standardabweichung gehören schwerpunktmäßig zu WS 1.3 und WS 1.4.
In der Tabellenansicht können Kategorien oder Messwerte gemeinsam mit ihren Häufigkeiten eingegeben werden.
Aus einer Häufigkeitstabelle wird eine Darstellung erzeugt. Vor dem Ablesen werden Titel, Achsen, Einheit, Skala und Gesamtanzahl geprüft.
Histogramme werden hinsichtlich Klassen, Breiten und Flächen gelesen. Beim Boxplot werden Minimum, Quartile, Median und Maximum aus der Darstellung abgelesen; die Berechnung der Kennzahlen steht hier nicht im Mittelpunkt.
Das Achsenfenster kann verändert werden, um zu untersuchen, wie abgeschnittene Achsen oder ungeeignete Skalierungen den optischen Eindruck verändern.
Arbeitsregel: Zuerst aus der gegebenen Darstellung ablesen und im Kontext deuten. GeoGebra dient danach zur Kontrolle.
Nächster Schritt
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
| Die untersuchte Eigenschaft, zum Beispiel Verkehrsmittel oder Körpergröße. |
| Merkmalsausprägung | Ein möglicher Wert des Merkmals, zum Beispiel Bus oder Fahrrad. |
| Absolute Häufigkeit | Wie oft eine Ausprägung vorkommt. |
| Relative Häufigkeit | Welcher Anteil aller Beobachtungen zu einer Ausprägung gehört. |
In einer Klasse wurden Personen nach ihrem Schulweg gefragt.
Aus der Tabelle kann man direkt ablesen:
Die relative Häufigkeit wird berechnet mit:
Dabei bedeutet:
Schülernah kann man sich dieselbe Formel so merken:
Dabei bedeutet:
Für das Fahrrad gilt:
Die absoluten Häufigkeiten müssen zusammen den Stichprobenumfang ergeben:
Die relativen Häufigkeiten müssen zusammen beziehungsweise ergeben:
Sind der Anteil und die Gesamtanzahl bekannt, gilt:
Beispiel:
Vor dem Ablesen einer Grafik werden immer diese Fragen geklärt:
Ein Wert wird aus der Anzahl der Skalenschritte und dem Wert pro Schritt bestimmt.
Beispiel: Vier Skalenschritte zu je Einheiten ergeben:
Säulen- und Balkendiagramme eignen sich besonders für Kategorien.
Beim Ablesen können Maximum, Minimum, Unterschied und Anteil bestimmt werden.
Beispiel:
Der Bus wurde von zwei Personen mehr gewählt als das Fahrrad.
Liniendiagramme eignen sich vor allem für zeitliche oder geordnete Entwicklungen.
Beim Lesen wird geprüft:
Wichtig: Werden ungeordnete Kategorien verbunden, kann die Linie einen Zusammenhang vortäuschen, der nicht existiert.
Ein Kreisdiagramm zeigt Anteile eines Ganzen.
Für einen Anteil gilt:
Beispiel für :
Alle Anteile müssen zusammen und alle Winkel zusammen ergeben.
Bei unterschiedlich breiten Klassen kann die Häufigkeitsdichte verwendet werden:
Dadurch bleibt die Balkenfläche proportional zur Häufigkeit.
Ein Boxplot zeigt fünf wichtige Werte:
Die mittleren der Daten liegen zwischen und .
Die Spannweite lautet:
Der Interquartilsabstand lautet:
Ein Punktdiagramm zeigt Wertepaare .
Beim Lesen wird untersucht, ob:
Ein sichtbarer Zusammenhang beweist nicht automatisch eine Ursache.
Ein Stängel-Blatt-Diagramm ordnet Zahlen und lässt gleichzeitig die ursprünglichen Werte erkennen.
Die Legende
zeigt, wie Stängel und Blatt zusammengesetzt werden. Im Beispiel sind die Stängel die Zehnerstellen und die Blätter die Einerstellen.
Beim Lesen wird geprüft:
Ein Prozentstreifen stellt ein Ganzes als Strecke von bis dar.
Die Länge jedes Abschnitts entspricht seinem Anteil. Beim Lesen werden Abschnittsgrenzen und Beschriftungen kontrolliert. Alle Anteile müssen zusammen ergeben.
Je nach Frage werden unterschiedliche Vergleiche benötigt.
Steigt ein Anteil von auf , beträgt die Zunahme:
Die relative Zunahme beträgt dagegen:
Prozent und Prozentpunkte dürfen nicht verwechselt werden.
Eine Grafik kann rechnerisch richtige Werte zeigen und trotzdem einen falschen Eindruck erzeugen.
Typische Warnzeichen sind:
Beispiel: Die Werte und unterscheiden sich nur um:
Beginnt die Achse erst bei , wirkt dieser kleine Unterschied optisch sehr groß.
Dieselben Daten können als Tabelle, Säulendiagramm, Kreisdiagramm oder Text dargestellt werden.
Eine vollständige Auswertung verbindet mindestens zwei Darstellungen:
ist eine Anzahl. ist ein Anteil.
Alle absoluten Häufigkeiten müssen addiert werden:
Ein Teilstrich bedeutet nicht automatisch eine Einheit.
Von auf sind es Prozentpunkte, nicht relative Zunahme.
Eine Verbindungslinie kann eine Reihenfolge oder Entwicklung vortäuschen.
Eine Grafik zeigt nur die enthaltenen Daten. Ursache, Zukunft oder nicht erhobene Gruppen dürfen nicht ohne Begründung ergänzt werden.
Prüfe, ob alle Angaben korrekt übertragen wurden.
Text, Tabelle, Graph und Formel miteinander verbinden und ihre jeweilige Aussage deuten.
Beschreibe zunächst nur, was direkt gegeben ist.
Ordne Achsen, Spalten, und Einheiten eindeutig zu.
Lies charakteristische Werte oder Beziehungen ab.
Bestimme, welche Darstellung hergestellt werden soll.
Übertrage die Informationen schrittweise und vollständig.
Begründe, warum beide Darstellungen dasselbe beschreiben.
Prüfe ausgewählte Werte in beiden Darstellungen.
Ein passendes Rechen- oder Analyseverfahren auswählen, durchführen und dokumentieren.
Nutze ein Verfahren, das besonders zu „Listen, Häufigkeitstabellen und Diagrammtypen unterscheiden“ passt.
Setze Zahlen und mit korrekten Vorzeichen und Klammern ein.
Dokumentiere äquivalente oder begründete Rechenschritte.
Berechne sorgfältig und vermeide vorzeitiges Runden.
Kontrolliere Größenordnung, Vorzeichen und Definitionsbereich.
Gib exakte und gegebenenfalls sinnvoll gerundete Werte an.
Setze das Ergebnis ein oder verwende ein unabhängiges Kriterium.
Mathematische Ergebnisse in vollständigen Sätzen mit Einheiten, Bezugsgrößen und Gültigkeitsbereich erklären.
Benenne, welche mathematische Größe berechnet wurde.
Ordne die sachlich passende Einheit zu.
Erkläre, auf welche Ausgangsgröße, Zeit oder Situation sich das Ergebnis bezieht.
Formuliere Zunahme, Abnahme, Richtung oder Lage.
Prüfe, für welche Werte und Bedingungen die Aussage gilt.
Formuliere eine klare Antwort auf die Ausgangsfrage.
Vergleiche die Aussage mit Alltag, Skizze oder Datenlage.
Ergebnisse durch Probe, Gegenrechnung, Graph, Einheit und Modellkritik absichern.
Kontrolliere , oder Wahrscheinlichkeiten rechnerisch.
Vergleiche mit Tabelle, Graph oder Skizze.
Prüfe, ob Einheit und Dimension zum Ergebnis passen.
Schließe unzulässige Werte und Scheinlösungen aus.
Teste einen einfachen oder extremen Fall.
Vergleiche den Rechenweg mit bekannten Fehlerquellen.
Gib Rechnung, Ergebnis und Deutung übersichtlich an.
Einzelwerte aus einer ungeordneten Datenliste ablesen und im Kontext zuordnen.
Bestimme, welche Information aus der ungeordneten Datenliste gesucht wird.
Gehe die Liste Wert für Wert durch, ohne die ursprüngliche Reihenfolge zu verändern.
Suche den passenden Datenwert beziehungsweise alle geforderten Werte.
Verbinde den abgelesenen Wert mit der im Text genannten Person, Zeit, Kategorie oder Messgröße.
Übernimm eine vorhandene Einheit korrekt.
Kontrolliere, dass du keinen benachbarten Wert oder eine falsche Zuordnung übernommen hast.
Werte und ihre Position aus einer geordneten Datenliste ablesen.
Prüfe, ob die Daten aufsteigend oder absteigend geordnet sind.
Bestimme, an welcher Stelle der gesuchte Wert beziehungsweise welches Folgenglied der Liste steht.
Lies den Datenwert an dieser Position ab.
Mehrfach vorkommende Werte können mehrere aufeinanderfolgende Positionen einnehmen.
Der erste und letzte Wert liefern je nach Ordnung Minimum beziehungsweise Maximum.
Kontrolliere sowohl die Stelle als auch den dazugehörigen Datenwert.
Absolute Häufigkeiten aus einer Strichliste bestimmen.
Bestimme, zu welchem Merkmalswert die Häufigkeit gesucht ist.
Erkenne vollständige Fünfergruppen und einzelne zusätzliche Striche.
Multipliziere die Anzahl vollständiger Gruppen mit 5.
Addiere die übrigen Striche derselben Kategorie.
Notiere die Gesamtzahl der Beobachtungen für diese Kategorie.
Falls die Gesamtzahl der Daten bekannt ist, vergleiche sie mit der Summe aller Strichhäufigkeiten.
Werte und Häufigkeiten aus einer statistischen Tabelle ablesen.
Bestimme, welche Spalte oder Zeile Merkmalswerte und welche Häufigkeiten enthält.
Suche die passende Tabellenzeile beziehungsweise Spalte.
Lies den Wert in derselben Zeile oder Spalte ab.
Unterscheide absolute Häufigkeit, relative Häufigkeit und Prozenthäufigkeit.
Notiere den Wert in der vorgesehenen Darstellungsform.
Kontrolliere, dass Merkmalswert und Häufigkeit wirklich aus derselben Tabellenposition stammen.
Werte aus einem Piktogramm unter Beachtung des Symbolwerts ablesen.
Bestimme zuerst, welchen Wert ein vollständiges Symbol darstellt.
Zähle die vollständigen Bildsymbole beim gesuchten Merkmal.
Berücksichtige halbe oder andere Teil-Symbole entsprechend der Legende.
Multipliziere die Anzahl der Symbole mit dem Wert pro Symbol.
Notiere den dargestellten Datenwert beziehungsweise die Häufigkeit.
Kontrolliere, dass ein Symbol nicht fälschlich als genau eine Beobachtung gezählt wurde.
Werte und Häufigkeiten aus einem Säulendiagramm ablesen.
Bestimme, welche Merkmale auf der waagrechten Achse und welche Häufigkeiten auf der senkrechten Achse dargestellt sind.
Prüfe den Wertabstand zwischen benachbarten Teilstrichen.
Ordne die Säule der richtigen Kategorie beziehungsweise dem richtigen Wert zu.
Lies die Höhe an der Häufigkeitsachse ab.
Liegt die Säulenhöhe zwischen Teilstrichen, gib nur eine zur Grafik passende Genauigkeit an.
Kontrolliere Kategorie, Skalierung und Häufigkeitsart.
Werte und Häufigkeiten aus einem Balkendiagramm ablesen.
Bestimme, welche Kategorien und welche Häufigkeiten dargestellt sind.
Prüfe den Wertabstand der numerischen Achse.
Ordne den waagrechten Balken der richtigen Kategorie zu.
Lies den zugehörigen Wert an der numerischen Achse ab.
Schätze nur so genau, wie es die Skalierung erlaubt.
Kontrolliere, dass Balken und Zahlenwert richtig zugeordnet sind.
Werte und Entwicklungen aus einem Liniendiagramm ablesen.
Bestimme die Bedeutung von x- und y-Achse.
Suche den geforderten Zeitpunkt oder die gegebene Eingabe auf der x-Achse.
Gehe senkrecht bis zur Linie beziehungsweise zum markierten Datenpunkt.
Lies den zugehörigen Wert an der y-Achse ab.
Für eine Veränderung vergleiche mehrere Punkte hinsichtlich Anstieg, Abfall oder Konstanz.
Nenne Wert oder Entwicklung immer für den richtigen Zeitpunkt beziehungsweise Abschnitt.
Einzelwerte aus einem Stängel-Blatt-Diagramm rekonstruieren.
Prüfe, welche Stellenwerte Stängel und Blätter darstellen.
Finde die Zeile des gesuchten Stängels.
Jedes Blatt bildet zusammen mit dem Stängel einen Datenwert.
Kombiniere Stängel und Blatt gemäß dem angegebenen Schlüssel.
Gleiche Blätter stehen für mehrfach vorkommende gleiche Datenwerte.
Kontrolliere an einem Beispielwert, ob Stellenwert und Dezimalstelle richtig verstanden wurden.
Wertepaare und erkennbare Zusammenhänge aus einem Punktwolkendiagramm ablesen.
Kläre, welche Größe auf der x- und welche auf der y-Achse liegt.
Lies die x- und y-Koordinate eines Punktes als Wertepaar ab.
Beurteile, wie sich y typischerweise verändert, wenn x größer wird.
Eine ansteigende Punktwolke deutet auf einen positiven, eine fallende auf einen negativen Zusammenhang hin.
Je stärker die Punkte um einen gedachten Trend streuen, desto schwächer erscheint der Zusammenhang.
Beschreibe Wertepaare oder Tendenz, ohne daraus automatisch eine Ursache abzuleiten.
Häufigkeiten beziehungsweise Häufigkeitsdichten aus einem Histogramm ablesen.
Bestimme die Grenzen der Klasse, deren Häufigkeit betrachtet wird.
Kläre, ob die Höhe absolute Häufigkeit, relative Häufigkeit oder Häufigkeitsdichte darstellt.
Berechne bei Bedarf die Breite des Intervalls.
Lies die Höhe des Histogrammbalkens an der y-Achse ab.
Ist Dichte dargestellt, entspricht die Häufigkeit der Balkenfläche aus Breite mal Höhe.
Verwechsle Histogrammbalken nicht mit frei getrennten Säulen eines Säulendiagramms.
Anteile und Prozentwerte aus einem Prozentstreifen ablesen.
Der gesamte Prozentstreifen entspricht 100 %.
Bestimme den Abschnitt der gesuchten Kategorie.
Nutze Prozentmarken beziehungsweise angegebenen Teilwert.
Bestimme den Prozentwert des Abschnitts.
Fasse nur die ausdrücklich geforderten Teilanteile zusammen.
Die Anteile aller Abschnitte müssen gemeinsam 100 % ergeben.
Minimum, Quartile, Median und Maximum aus einem Boxplot ablesen.
Bestimme zunächst Richtung und Skalierung des Boxplots.
Lies das Minimum am linken beziehungsweise unteren Whisker-Ende ab.
Diese Stelle entspricht dem ersten Quartil Q1.
Die Linie innerhalb der Box kennzeichnet den Median.
Die rechte Boxkante ist Q3, das äußere Ende das Maximum.
Notiere Minimum, Q1, Median, Q3 und Maximum in aufsteigender Reihenfolge.
Aus abgelesenen Daten eine weitere Kennzahl oder Differenz berechnen.
Bestimme, welche Werte aus Tabelle oder Grafik für die gesuchte Rechnung erforderlich sind.
Übernimm die Daten unter Beachtung von Skalierung und Einheit.
Kläre, ob Differenz, Anteil, Quotient oder eine andere einfache Kennzahl gefragt ist.
Setze die Werte in den passenden Rechenschritt ein.
Gib das Ergebnis in der sachlich passenden Form an.
Kontrolliere zuerst die übernommenen Daten und danach die Rechnung.
Eine aus einer Tabelle oder Grafik abgelesene Aussage sachlich interpretieren.
Lies zunächst den relevanten Wert, Vergleich oder Trend aus der Darstellung ab.
Kläre, worauf sich Achsen, Tabellenzeilen oder Diagrammteile beziehen.
Übernimm die sachlich relevanten Einheiten und Zeitangaben.
Formuliere den abgelesenen Befund als verständlichen Satz.
Unterscheide beobachtete Daten von Erklärungen oder Ursachen.
Kontrolliere, dass Zahlenwert, Gruppe und Zeitraum richtig miteinander verknüpft sind.
Achsenbeginn, Schrittweite und Skalierung einer statistischen Grafik prüfen.
Kontrolliere, ob die numerische Achse bei 0 beginnt oder abgeschnitten dargestellt ist.
Lies den Zahlenunterschied zwischen benachbarten Teilstrichen.
Kontrolliere, ob gleiche Abstände auf der Achse gleiche Zahlenunterschiede darstellen.
Prüfe Achsentitel, Einheit und mögliche wie 'in Tausend'.
Nutze die festgestellte Skala für alle Datenwerte.
Erkläre, ob eine ungewöhnliche Skalierung Unterschiede optisch vergrößert oder verkleinert.
Eine irreführende statistische Darstellung erkennen und begründen.
Bestimme, welchen Vergleich oder Trend die Grafik nahelegt.
Suche abgeschnittene Achsen, ungleichmäßige Abstände oder ungewöhnliche Maßstäbe.
Achte darauf, ob Symbole in Höhe und Breite vergrößert werden und dadurch Unterschiede übertrieben wirken.
Prüfe, ob Prozentangaben, Gruppen oder Zeiträume tatsächlich vergleichbar sind.
Überlege, wie dieselben Daten mit neutraler Skalierung wirken würden.
Benenne konkret das grafische Mittel, das einen falschen oder übertriebenen Eindruck erzeugt.
