Bewege dieselbe Stelle x durch alle drei Graphen. So wird sichtbar, wie Steigung, Ableitungswert und Verlauf der Stammfunktion zusammenhängen.
Stelle x
aktueller Wert0
−303
Funktion f
f(x) = 0
f fällt
Ableitung f′
f′(x) = -1
Ableitung ist negativ.
Stammfunktion F
F(x) = 0
F hat hier eine waagrechte Tangente
Stammfunktionen verschieben
Konstante C0
Die Form von F bleibt gleich. Nur die vertikale Lage ändert sich.
Zusammenhang
f′ > 0: f steigt. f′ < 0: f fällt. f′ = 0: f hat eine waagrechte Tangente. f > 0: F steigt. f < 0: F fällt.
Graphischer Zusammenhang von , und Stammfunktion
Kompetenzcode: AN 3.2 Bereich: Analysis
Leitidee: Ein Graph kann oder Steigungen darstellen. Entscheidend ist immer, welche Rolle der Graph gerade spielt.
1. Zuerst die Rollen klären
In diesem Thema kommen drei Funktionen vor:
Zeichen
Rolle
f
betrachtete Funktion
So gehst du vor
Schrittlisten
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
AN 3.2 – Grundbegriffe und Voraussetzungen sichern
Begriffe, Zeichen, Größen und Voraussetzungen der Kompetenz systematisch klären.
1
Aufgabenart erkennen
Ordne die Aufgabe dem passenden mathematischen Thema zu.
2
Gegebene Größen markieren
Notiere Werte, , Einheiten und Bedingungen übersichtlich.
3
Begriffe erklären
Formuliere die zentralen Begriffe in eigenen Worten.
4
Voraussetzungen prüfen
Kontrolliere Definitionsbereich, Modellannahmen und zulässige Werte.
5
Zielgröße festlegen
Schreibe auf, was berechnet, entschieden oder interpretiert werden soll.
6
Passende Darstellung wählen
Entscheide zwischen Text, Tabelle, Graph, oder Skizze.
Digitales Werkzeug
GeoGebra
Wichtige Befehle und ihre Verwendung zu diesem Thema.
GeoGebra-Übersicht: AN 3.2 – Graphischer Zusammenhang von , und Stammfunktion
Diese Übersicht ist von der Tutor-Zusammenfassung getrennt. Die Befehle dienen zur Darstellung, Kontrolle und Untersuchung; die mathematische Entscheidung muss vorher nachvollzogen werden.
1. Befehlsübersicht
Befehl
Syntax
Verwendung
Beispiel
Ansicht
Voraussetzung
Ableitung
Ableitung(f)
Ableitungsgraph erzeugen
Ableitung(f)
CAS/Grafik
Differenzierbare Funktion
Integral
Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben.
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
Ableitungsfunktion von f; ihre Höhe ist die Steigung von f
F
eine Stammfunktion von f; es gilt F′(x)=f(x)
Für Ableitungen verwenden wir ausschließlich die Strichschreibweise f′(x), F′(x) und f′(x0).
Wichtig: Die Höhe eines Graphen und seine Steigung sind verschiedene Informationen.
Ein Graph kann unterhalb der x-Achse liegen und trotzdem steigen. Dann gilt gleichzeitig f(x)<0 und f′(x)>0.
2. Vom Graphen von f zum Graphen von f′
Der Wert f′(x) ist die Tangentensteigung des Graphen von f an der Stelle x.
Verhalten von f
Aussage über f′
f steigt
f′(x)>0
f fällt
f′(x)<0
f hat eine waagrechte Tangente
f′(x)=0
f steigt immer steiler
f′ ist positiv und wird größer
f steigt immer flacher
f′ ist positiv und wird kleiner
f fällt immer steiler
f′ wird negativer
Beispiel: lokales Maximum
Steigt f links von x=2 und fällt f rechts von x=2, dann gilt:
f′(x)>0 fu¨r x<2,f′(2)=0,f′(x)<0 fu¨r x>2.
Der Graph von f′ schneidet bei x=2 die x-Achse von oben nach unten.
Beispiel: Gerade
Ist f eine Gerade mit Steigung 3, dann ist
f′(x)=3.
Der Ableitungsgraph ist eine waagrechte Gerade bei y=3.
3. Vom Graphen von f′ zurück zum Graphen von f
Ist der Graph von f′ gegeben, liest du aus seiner Höhe die Steigung von f ab.
Liegt f′ über der x-Achse, steigt f.
Liegt f′ unter der x-Achse, fällt f.
Schneidet f′ die x-Achse von + nach −, besitzt f dort ein lokales Maximum.
Schneidet f′ die x-Achse von − nach +, besitzt f dort ein lokales Minimum.
Berührt f′ nur die x-Achse, muss f dort kein Extremum besitzen.
Prüfregel: Eine Nullstelle von f′ ist zunächst nur eine Stelle mit waagrechter Tangente. Für ein Extremum muss das Vorzeichen von f′ wechseln.
4. Von f zu einer Stammfunktion F
Für jede Stammfunktion F gilt:
F′(x)=f(x).
Damit beschreibt die Höhe von f die Steigung von F.
Lage oder Verhalten von f
Aussage über jede Stammfunktion F
f(x)>0
F steigt
f(x)<0
F fällt
f(x)=0
F hat eine waagrechte Tangente
f wechselt von + nach −
F hat ein lokales Maximum
f wechselt von − nach +
F hat ein lokales Minimum
Alle Stammfunktionen unterscheiden sich nur durch eine vertikale Verschiebung:
FC(x)=F(x)+C.
Die Konstante C verändert die Höhe des Stammfunktionsgraphen, aber nicht seine Steigungen.
5. Die NEW-Regel
NEW steht für:
Nullstelle,
Extremstelle,
Wendestelle.
Die NEW-Regel wird treppenförmig aufgeschrieben:
f(x) N E W
f'(x) N E W
f''(x) N E W
Spaltenweise lesen
Die Einträge, die senkrecht untereinander stehen, gehören zur gleichen x-Stelle:
Die Extremstelle E von f steht in derselben Spalte wie die Nullstelle N von f′.
Die Wendestelle W von f steht in derselben Spalte wie die Extremstelle E von f′ und die Nullstelle N von f′′.
Entsprechend steht die Wendestelle W von f′ in derselben Spalte wie die Extremstelle E von f′′.
So sieht man ohne Pfeilregel sofort, welche besonderen Stellen zusammengehören.
Eine Stammfunktion mitdenken
Gilt F′(x)=f(x), kann man gedanklich oberhalb von f noch eine weitere, um eine Stelle nach links versetzte Zeile für F ergänzen. Dann liest man ebenfalls spaltenweise:
Eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel gehört zu einer Extremstelle von F.
Eine Extremstelle von f gehört zu einer Wendestelle von F.
Achtung: Die NEW-Regel ist eine Merkhilfe, kein automatischer Beweis. Eine Nullstelle von f′ liefert nur bei einem passenden Vorzeichenwechsel eine Extremstelle von f. Eine Wendestelle verlangt einen tatsächlichen Krümmungswechsel. Bei den hier betrachteten glatten Funktionen wird außerdem die passende Nullstelle von f′′ geprüft.
6. Ausführliches Beispiel
Gegeben sei
f(x)=x3−3x.
Dann ist
f′(x)=3x2−3.
Schritt 1: Nullstellen von f′
3x2−3=0
liefert x=−1 und x=1.
Schritt 2: Vorzeichen von f′
Für x<−1 ist f′(x)>0: f steigt.
Für −1<x<1 ist f′(x)<0: f fällt.
Für x>1 ist f′(x)>0: f steigt.
Daher besitzt f bei x=−1 ein lokales Maximum und bei x=1 ein lokales Minimum.
Schritt 3: NEW-Regel
Die Extremstellen von f erscheinen als Nullstellen von f′. Das ist der Schritt
E⟶N.
7. Graphen sicher zuordnen
Gehe bei Zuordnungsaufgaben immer in dieser Reihenfolge vor:
Rollen lesen: Welcher Graph ist f, f′ oder F?
Nullstellen markieren: Wo liegt der Graph auf der x-Achse?
Vorzeichenintervalle lesen: Wo liegt er oberhalb oder unterhalb?
Steigen und Fallen vergleichen: Passt das Vorzeichen zur Steigung des anderen Graphen?
Waagrechte Tangenten suchen: Passen sie zu Nullstellen der Steigungsfunktion?
NEW-Regel nutzen: Passen Extrem- und Wendestellen zusammen?
Größenordnung prüfen: Eine steile Stelle von f verlangt einen betragsmäßig großen Wert von f′.
Merksatz: Die x-Stellen müssen zusammenpassen. Die y-Höhen von f und f′ müssen nicht gleich sein.
8. Typische Fehler
Höhe mit Steigung verwechselt:f(x)>0 bedeutet nicht, dass f steigt.
Nullstelle von f′ automatisch als Extremstelle gedeutet: Der Vorzeichenwechsel fehlt.
Nur einzelne Punkte betrachtet: Entscheidend sind auch die Intervalle dazwischen.
NEW-Regel ohne Bedingungen verwendet: N, E und W müssen tatsächlich nachgewiesen sein.
Stammfunktion falsch gelesen: Die Höhe von f ist die Steigung von F.
Konstante C falsch gedeutet: Sie verschiebt F nur vertikal.
Graphen nicht beschriftet: Ohne klare Rollen ist die Zuordnung mehrdeutig.
9. Kurzcheck
Was bedeutet f′(x)>0 für den Graphen von f?
Wann wird eine Nullstelle von f′ zu einer Extremstelle von f?
Was bedeutet f(x)<0 für jede Stammfunktion F?
Wie verändert C den Graphen von FC(x)=F(x)+C?
Wofür stehen N, E und W?
Welche Einträge stehen in der NEW-Treppe spaltenweise zusammen?
10. Zusammenfassung
f′(x) ist die Tangentensteigung von f an der Stelle x.
Das Vorzeichen von f′ bestimmt, ob f steigt oder fällt.
Nullstellen von f′ zeigen waagrechte Tangenten von f.
Für F′(x)=f(x) beschreibt die Höhe von f die Steigung von F.
Alle Stammfunktionen unterscheiden sich nur durch eine vertikale Verschiebung.
Die treppenförmige NEW-Regel zeigt spaltenweise, welche Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen zusammengehören.
Vorzeichenwechsel und Krümmungswechsel müssen trotz Merkhilfe geprüft werden.
7
Start kontrollieren
Prüfe, ob alle Angaben korrekt übertragen wurden.
AN 3.2 – Darstellungen lesen und wechseln
Text, Tabelle, Graph und Formel miteinander verbinden und ihre jeweilige Aussage deuten.
1
Ausgangsdarstellung lesen
Beschreibe zunächst nur, was direkt gegeben ist.
2
Größen zuordnen
Ordne Achsen, Spalten, und Einheiten eindeutig zu.
3
Kennwerte entnehmen
Lies charakteristische Werte oder Beziehungen ab.
4
Zielform festlegen
Bestimme, welche Darstellung hergestellt werden soll.
5
Darstellung erzeugen
Übertrage die Informationen schrittweise und vollständig.
6
Zusammenhang erklären
Begründe, warum beide Darstellungen dasselbe beschreiben.
7
Rückkontrolle
Prüfe ausgewählte Werte in beiden Darstellungen.
AN 3.2 – Mathematisches Verfahren anwenden
Ein passendes Rechen- oder Analyseverfahren auswählen, durchführen und dokumentieren.
1
Modell oder Formel wählen
Nutze ein Verfahren, das besonders zu „Steigen und Fallen aus dem Ableitungsgraphen lesen“ passt.
2
Werte einsetzen
Setze Zahlen und mit korrekten Vorzeichen und Klammern ein.
3
Schrittweise umformen
Dokumentiere äquivalente oder begründete Rechenschritte.
4
Technische Rechnung ausführen
Berechne sorgfältig und vermeide vorzeitiges Runden.
5
Zwischenergebnis prüfen
Kontrolliere Größenordnung, Vorzeichen und Definitionsbereich.
6
Ergebnis darstellen
Gib exakte und gegebenenfalls sinnvoll gerundete Werte an.
7
Rechenweg rückprüfen
Setze das Ergebnis ein oder verwende ein unabhängiges Kriterium.
AN 3.2 – Ergebnis im Kontext deuten
Mathematische Ergebnisse in vollständigen Sätzen mit Einheiten, Bezugsgrößen und Gültigkeitsbereich erklären.
1
Ergebnis identifizieren
Benenne, welche mathematische Größe berechnet wurde.
2
Einheit ergänzen
Ordne die sachlich passende Einheit zu.
3
Bezug nennen
Erkläre, auf welche Ausgangsgröße, Zeit oder Situation sich das Ergebnis bezieht.
4
Vorzeichen deuten
Formuliere Zunahme, Abnahme, Richtung oder Lage.
5
Gültigkeitsbereich beachten
Prüfe, für welche Werte und Bedingungen die Aussage gilt.
6
Antwortsatz schreiben
Formuliere eine klare Antwort auf die Ausgangsfrage.
7
Plausibilität bewerten
Vergleiche die Aussage mit Alltag, Skizze oder Datenlage.
AN 3.2 – Lösung kontrollieren und Fehler vermeiden
Ergebnisse durch Probe, Gegenrechnung, Graph, Einheit und Modellkritik absichern.
1
Formale Probe
Kontrolliere , oder Wahrscheinlichkeiten rechnerisch.
2
Darstellungsprobe
Vergleiche mit Tabelle, Graph oder Skizze.
3
Einheitenprobe
Prüfe, ob Einheit und Dimension zum Ergebnis passen.
4
Definitionsprobe
Schließe unzulässige Werte und Scheinlösungen aus.
5
Grenzfall prüfen
Teste einen einfachen oder extremen Fall.
6
Typischen Fehler suchen
Vergleiche den Rechenweg mit bekannten Fehlerquellen.
7
Endfassung erstellen
Gib Rechnung, Ergebnis und Deutung übersichtlich an.
AN 3.2 – Positive Ableitung grafisch erkennen
Aus einem steigenden Funktionsgraphen auf positive Ableitungswerte schließen.
1
Funktionsgraph betrachten
Suche einen Bereich, in dem der Graph von links nach rechts steigt.
2
Tangentenrichtung deuten
Die in diesem Bereich besitzen positive .
3
Ableitungszeichen zuordnen
Positive Tangentensteigung bedeutet f'(x)>0.
4
Randstellen beachten
An Stellen mit waagrechter kann der Ableitungswert 0 sein.
5
Bereich markieren
Ordne dem steigenden Funktionsabschnitt einen oberhalb der x-Achse liegenden Ableitungsbereich zu.
6
Aussage formulieren
Schließe aus dem steigenden Verlauf auf positive Ableitungswerte.
AN 3.2 – Negative Ableitung grafisch erkennen
Aus einem fallenden Funktionsgraphen auf negative Ableitungswerte schließen.
1
Funktionsgraph betrachten
Suche einen Bereich, in dem der Graph von links nach rechts fällt.
2
Tangentenrichtung deuten
Die in diesem Bereich besitzen negative .
3
Ableitungszeichen zuordnen
Negative Tangentensteigung bedeutet f'(x)<0.
4
Randstellen beachten
An Stellen mit waagrechter kann der Ableitungswert 0 sein.
5
Bereich markieren
Ordne dem fallenden Funktionsabschnitt einen unterhalb der x-Achse liegenden Ableitungsbereich zu.
6
Aussage formulieren
Schließe aus dem fallenden Verlauf auf negative Ableitungswerte.
AN 3.2 – Ableitung null grafisch erkennen
Waagrechte als Stellen mit Ableitungswert null erkennen.
1
Graph auf waagrechte Tangenten prüfen
Suche Stellen, an denen der Funktionsgraph lokal waagrecht verläuft.
2
Tangentensteigung bestimmen
Eine waagrechte besitzt 0.
3
Ableitungswert zuordnen
Daher gilt an einer solchen Stelle f'(x)=0.
4
Ableitungsgraph deuten
Der Graph von f' liegt dort auf der x-Achse.
5
Nicht automatisch Extremum folgern
Eine waagrechte muss nicht zwingend ein Hoch- oder Tiefpunkt sein.
6
Stelle angeben
Nenne die x-Stelle beziehungsweise die Stellen mit Ableitungswert 0.
AN 3.2 – Großen Ableitungsbetrag erkennen
Steile Funktionsabschnitte mit betragsmäßig großen Ableitungswerten verbinden.
1
Steilheit des Funktionsgraphen betrachten
Vergleiche, wie stark der Graph an verschiedenen Stellen steigt oder fällt.
2
Tangenten gedanklich vergleichen
Steile besitzen betragsmäßig große .
3
Ableitungsbetrag zuordnen
Je steiler der Funktionsgraph, desto größer ist typischerweise |f'(x)|.
