Wertpapier- und Rentabilitätsrechnung

Kompetenzcode: FA 9.4

Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Ein festverzinsliches Wertpapier verspricht Kuponzahlungen und die Rückzahlung des Nennwerts. Sein wirtschaftlicher Wert ist der Barwert dieser zukünftigen Zahlungen.

1. Grundbegriffe und Zahlungsstrom

Beispiel 1: Kupon und Rendite unterscheiden

Bei $N=1\,000\,\text{EUR}$ und $c=4\,\%$ beträgt der jährliche Kupon

$$C=1\,000\cdot0{,}04=40\,\text{EUR}.$$

Der Kuponsatz bleibt vertraglich $4\,\%$; die Rendite hängt zusätzlich vom Kaufpreis ab.

Beispiel 2: Zahlungsstrom darstellen

Eine fünfjährige Anleihe zahlt bei $t=1,2,3,4$ jeweils $40\,\text{EUR}$ und bei $t=5$ insgesamt $1040$. Aus Sicht des Käufers steht bei der negative Kaufpreis.

2. Barwert und Kurs am Kupontermin

Unmittelbar nach einer Kuponzahlung sind bei noch $n$ Perioden

$$P=\sum_{t=1}^{n}\frac{C}{(1+y)^t}+\frac{N}{(1+y)^n}.$$

Beispiel 3: Barwert berechnen

Für $N=1\,000\,\text{EUR}$, $C=40\,\text{EUR}$, $n=5$ und geforderte Rendite $$:

$$P=\frac{40}{1{,}05}+\frac{40}{1{,}05^2}+\cdots+\frac{1\,040}{1{,}05^5} \approx956{,}71\,\text{EUR}.$$

Da die Marktrendite größer als der Kuponsatz ist, liegt der Preis unter dem Nennwert.

Beispiel 4: Kurs in Prozent

Ein Preis von $956{,}71\,\text{EUR}$ bei Nennwert $1\,000\,\text{EUR}$ entspricht

$$\text{Kurs}=\frac{956{,}71}{1\,000}\cdot100\approx95{,}67.$$

„Kurs 95,67“ bedeutet $95{,}67\,\%$ des Nennwerts.

Beispiel 5: Plausibilitätsdreieck

Bei sonst gleichen Daten gilt:

Für die Beispielanleihe ergeben $y=3\,\%$ ungefähr $1\,045{,}80\,\text{EUR}$, $y=4\,\%$ genau $$ und ungefähr .

3. Kauf- und Verkaufspreis

Beispiel 6: Kaufpreis am Kupontermin

Wer die Anleihe unmittelbar nach der heutigen Kuponzahlung kauft, bewertet nur die künftig ausstehenden Kupons und die Rückzahlung. Bereits ausgezahlte Kupons gehören nicht mehr zum gekauften Zahlungsstrom.

Beispiel 7: Verkaufspreis nach zwei Jahren

Nach zwei Kuponzahlungen bleiben drei Zahlungen. Bei aktueller Marktrendite $4{,}5\,\%$:

$$P_2=\frac{40}{1{,}045}+\frac{40}{1{,}045^2}+\frac{1\,040}{1{,}045^3} \approx986{,}26\,\text{EUR}.$$

Der Preis wird am Verkaufsstichtag aus den verbleibenden Zahlungen berechnet.

4. Rendite bestimmen und interpretieren

Die Rendite $y$ ist jener Zinssatz, bei dem der Barwert der Zahlungen dem beobachteten Preis entspricht:

$$0=-P+\sum_{t=1}^{n}\frac{C}{(1+y)^t}+\frac{N}{(1+y)^n}.$$

Sie wird in der Regel numerisch bestimmt.

Beispiel 8: Rendite aus dem Preis

Für die fünfjährige $4\,\%$-Anleihe mit Preis $960\,\text{EUR}$ ergibt eine Nullstellensuche

$$y\approx0{,}04922=4{,}92\,\%.$$

Die Rendite liegt über $4\,\%$, weil zusätzlich zu den Kupons ein Kursgewinn bis zur Rückzahlung zu $1\,000\,\text{EUR}$ entsteht.

Beispiel 9: Wertpapiere vergleichen

Zwei Anleihen werden anhand ihrer Rendite bei vergleichbarer Laufzeit, Bonität und Zahlungsstruktur verglichen. Der höhere Kupon allein beweist keine höhere Rendite, weil ein höherer Kaufpreis den Vorteil ausgleichen kann.

Beispiel 10: Rechenergebnis prüfen

Für eine positive Rendite muss der Preis kleiner sein als die un-abgezinste Summe aller künftigen Zahlungen. Steigt die geforderte Rendite, muss der Barwert fallen. Diese beiden Prüfungen erkennen viele Vorzeichen-, Laufzeit- und Solverfehler.

Typische Fehler

• Kuponsatz und Rendite werden nicht gleichgesetzt.
• Im letzten Jahr werden Kupon und Nennwertrückzahlung gemeinsam berücksichtigt.
• Beim Verkauf zählen nur noch zukünftige Zahlungen.
• Kursangaben sind Prozentsätze des Nennwerts, nicht immer Eurobeträge.
• Die hier verwendeten Formeln gelten für Bewertungszeitpunkte am Kupontermin; zwischen Kuponterminen wären Stückzinsen zusätzlich zu behandeln.

Merksätze

• Preis ist Barwert des noch ausstehenden Zahlungsstroms.
• Rendite ist die zum Preis passende effektive Verzinsung.
• Höhere Marktrendite bedeutet bei festem Zahlungsstrom niedrigeren Preis.
• Ein Vergleich braucht neben Rendite auch Laufzeit und Risiko.