Algebra und Geometrie16 SchrittlistenPDF verfügbar
Interaktive Visualisierung
Einheitskreis erkunden
Bewege den Regler. Der Gradbogen zeigt den Winkel α. Der Punkt auf dem Kreis besitzt die Koordinaten P(cos α | sin α). Optional zeigt die Tangente bei x = 1 den Wert tan(α).
Cosinus
-0,500
x-Koordinate
Sinus
0,866
y-Koordinate
Tangens
-1,732
tan(α) = sin(α) / cos(α)
Lage
Quadrant II
Bezugswinkel
60°
Der Punkt T liegt außerhalb des sichtbaren Ausschnitts; der Pfeil zeigt seine Richtung.
P(-0,500 | 0,866)
Sinus und Cosinus lassen sich im rechtwinkeligen Dreieck zunächst nur für spitze Winkel erklären. Für größere Winkel verwenden wir den Einheitskreis. Dort werden Sinus und Cosinus als Koordinaten eines Punktes verstanden.
Arbeitsplan: Quadrant bestimmen → Vorzeichen festlegen → Bezugswinkel oder Taschenrechner verwenden → Ergebnis am Kreis prüfen.
Warum brauchen wir den Einheitskreis?
In einem rechtwinkeligen Dreieck sind die beiden spitzen Winkel kleiner als 90∘. Für Winkel über 90∘, für negative Winkel und für Winkel mit mehreren Umdrehungen benötigen wir eine allgemeinere Definition.
Der hat:
So gehst du vor
Schrittlisten
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
AG 4.2 – Darstellungen lesen und wechseln
Text, Tabelle, Graph und Formel miteinander verbinden und ihre jeweilige Aussage deuten.
1
Ausgangsdarstellung lesen
Beschreibe zunächst nur, was direkt gegeben ist.
2
Größen zuordnen
Ordne Achsen, Spalten, und Einheiten eindeutig zu.
3
Kennwerte entnehmen
Lies charakteristische Werte oder Beziehungen ab.
4
Zielform festlegen
Bestimme, welche Darstellung hergestellt werden soll.
5
Darstellung erzeugen
Übertrage die Informationen schrittweise und vollständig.
6
Zusammenhang erklären
Begründe, warum beide Darstellungen dasselbe beschreiben.
7
Rückkontrolle
Digitales Werkzeug
GeoGebra
Wichtige Befehle und ihre Verwendung zu diesem Thema.
GeoGebra-Übersicht: AG 4.2 – Sinus und Cosinus für Winkel über 90°
Diese Übersicht ist von der Tutor-Zusammenfassung getrennt. Die Befehle dienen zur Darstellung, Kontrolle und Untersuchung; die mathematische Entscheidung muss vorher nachvollzogen werden.
1. Befehlsübersicht
Befehl
Syntax
Verwendung
Beispiel
Ansicht
Voraussetzung
Kreis
Kreis((0,0),1)
Einheitskreis zeichnen
Kreis((0,0),1)
Geometrie
Mittelpunkt und Radius
Punkt
Punkt(Kreis)
Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben.
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
Der Punkt liegt links von der y-Achse und oberhalb der x-Achse. Deshalb ist die x-Koordinate negativ und die y-Koordinate positiv:
cos(120∘)<0,sin(120∘)>0
Vorzeichen in den vier Quadranten
Das Vorzeichen von Sinus und Cosinus hängt davon ab, in welchem Quadranten der Kreispunkt liegt.
Quadrant
Winkelbereich
sin(α)
cos(α)
I
0∘<α<90∘
positiv
positiv
II
90∘<α<180∘
positiv
negativ
III
180∘<α<270∘
negativ
negativ
IV
270∘<α<360∘
negativ
positiv
Warum stimmen diese Vorzeichen?
Rechts vom Ursprung ist die x-Koordinate positiv.
Links vom Ursprung ist die x-Koordinate negativ.
Oberhalb des Ursprungs ist die y-Koordinate positiv.
Unterhalb des Ursprungs ist die y-Koordinate negativ.
Da der Cosinus die x-Koordinate und der Sinus die y-Koordinate ist, lassen sich die Vorzeichen direkt am Kreis ablesen.
Zuerst den Quadranten bestimmen: Der Bezugswinkel liefert später den Betrag. Das Vorzeichen kommt aus dem Quadranten.
Bezugswinkel verwenden
Der Bezugswinkelβ ist der spitze Winkel zwischen dem Schenkel des Winkels und der x-Achse. Er hilft dabei, bekannte Sinus- und Cosinuswerte aus dem ersten Quadranten zu verwenden.
Zweiter Quadrant
Für 90∘<α<180∘ gilt:
β=180∘−α
sin(α)=sin(β),cos(α)=−cos(β)
Dritter Quadrant
Für 180∘<α<270∘ gilt:
β=α−180∘
sin(α)=−sin(β),cos(α)=−cos(β)
Vierter Quadrant
Für 270∘<α<360∘ gilt:
β=360∘−α
sin(α)=−sin(β),cos(α)=cos(β)
Beispiel: α=150∘
Der Winkel liegt im zweiten Quadranten. Dort ist Sinus positiv und Cosinus negativ.
β=180∘−150∘=30∘
sin(150∘)=sin(30∘)=21
cos(150∘)=−cos(30∘)=−23
Wichtige exakte Werte
α
sin(α)
cos(α)
0∘
0
1
30∘
21
45∘
22
60∘
23
90∘
1
0
120∘
23
135∘
22
150∘
21
180∘
0
−1
210∘
−21
270∘
−1
0
330∘
−21
360∘
0
1
Nicht nur auswendig lernen: Bestimme zuerst Quadrant und Bezugswinkel. So kannst du viele Werte aus den bekannten Winkeln 30∘, 45∘ und 60∘ herleiten.
Symmetrien verstehen
Der Einheitskreis zeigt wichtige Zusammenhänge:
sin(180∘−α)=sin(α)
cos(180∘−α)=−cos(α)
sin(180∘+α)=−sin(α)
cos(180∘+α)=−cos(α)
Beispiel
Für α=40∘ gilt:
sin(140∘)=sin(40∘)
cos(140∘)=−cos(40∘)
Die beiden Punkte liegen spiegelbildlich zur y-Achse. Deshalb bleibt die y-Koordinate gleich, während sich das Vorzeichen der x-Koordinate ändert.
Mit dem Taschenrechner arbeiten
Für beliebige Winkel kann der Taschenrechner direkt verwendet werden. Stelle ihn dabei auf DEG, wenn die Winkel in Grad angegeben sind.
Koordinaten eines Kreispunktes
Für α=125∘ gilt:
P=(cos(125∘)∣sin(125∘))
P≈(−0,574∣0,819)
Der Punkt liegt im zweiten Quadranten. Deshalb muss die x-Koordinate negativ und die y-Koordinate positiv sein.
Winkel aus einer Koordinate bestimmen
Gegeben ist:
sin(α)=0,6,90∘<α<180∘
Zuerst berechnen wir den spitzen Bezugswinkel:
β=arcsin(0,6)≈36,87∘
Der gesuchte Winkel liegt im zweiten Quadranten:
α=180∘−β≈143,13∘
Mehrere Lösungen sind möglich: Zwischen 0∘ und 360∘ kann derselbe Sinus- oder Cosinuswert zu zwei Winkeln gehören. Der angegebene Quadrant oder Winkelbereich entscheidet.
Periodizität
Nach einer vollen Umdrehung liegt der Kreispunkt wieder an derselben Stelle. Deshalb wiederholen sich Sinus und Cosinus nach 360∘:
sin(α+360∘)=sin(α)
cos(α+360∘)=cos(α)
Beispiel: cos(750∘)
750∘−720∘=30∘
Daher:
cos(750∘)=cos(30∘)=23
Auch negative Winkel lassen sich am Kreis darstellen. Ein negativer Winkel wird im Uhrzeigersinn gemessen.
Anwendungen
Punkt auf einem Kreis mit Radius r
Bei einem Kreis mit Radius r und Mittelpunkt im Ursprung gilt:
P=(rcos(α)∣rsin(α))
Für r=5 und α=140∘ erhält man:
P≈(5⋅(−0,766)∣5⋅0,643)
P≈(−3,83∣3,21)
Richtung eines Vektors
Ein Vektor mit Länge 12 zeigt in Richtung 220∘. Seine Komponenten sind:
v=(12cos(220∘)12sin(220∘))≈(−9,19−7,71)
Beide Komponenten sind negativ, weil der Winkel im dritten Quadranten liegt.
Grundidentität und Kontrolle
Für jeden Punkt auf dem Einheitskreis gilt:
x2+y2=1
Mit x=cos(α) und y=sin(α) folgt:
cos2(α)+sin2(α)=1
Diese eignet sich zur Kontrolle und zur Berechnung einer fehlenden Koordinate.
Beispiel
Gegeben ist:
cos(α)=−0,6
Dann:
sin2(α)=1−(−0,6)2=0,64
sin(α)=±0,8
Ohne weitere Angabe sind beide Vorzeichen möglich. Liegt der Winkel im zweiten Quadranten, ist der Sinus positiv:
sin(α)=0,8
Typische Fehler vermeiden
Sinus und Cosinus vertauscht: Cosinus ist die x-Koordinate, Sinus die y-Koordinate.
Vorzeichen vergessen: Der Bezugswinkel bestimmt nur den Betrag.
Falscher Taschenrechnermodus: Bei Gradangaben muss der Rechner auf DEG stehen.
Nur eine mögliche Lösung genannt: Quadrant oder Winkelbereich beachten.
Unmöglicher Wert: Sinus und Cosinus liegen immer zwischen −1 und 1.
Winkelrichtung verwechselt: Positive Winkel werden normalerweise gegen den Uhrzeigersinn gemessen.
Das solltest du können: Du kannst Sinus und Cosinus am Einheitskreis deuten, Vorzeichen über die Quadranten bestimmen, Bezugswinkel einsetzen und Koordinaten beziehungsweise Winkel berechnen.
Prüfe ausgewählte Werte in beiden Darstellungen.
AG 4.2 – Ergebnis im Kontext deuten
Mathematische Ergebnisse in vollständigen Sätzen mit Einheiten, Bezugsgrößen und Gültigkeitsbereich erklären.
1
Ergebnis identifizieren
Benenne, welche mathematische Größe berechnet wurde.
2
Einheit ergänzen
Ordne die sachlich passende Einheit zu.
3
Bezug nennen
Erkläre, auf welche Ausgangsgröße, Zeit oder Situation sich das Ergebnis bezieht.
4
Vorzeichen deuten
Formuliere Zunahme, Abnahme, Richtung oder Lage.
5
Gültigkeitsbereich beachten
Prüfe, für welche Werte und Bedingungen die Aussage gilt.
6
Antwortsatz schreiben
Formuliere eine klare Antwort auf die Ausgangsfrage.
7
Plausibilität bewerten
Vergleiche die Aussage mit Alltag, Skizze oder Datenlage.
AG 4.2 – Grundbegriffe und Voraussetzungen sichern
Begriffe, Zeichen, Größen und Voraussetzungen der Kompetenz systematisch klären.
1
Aufgabenart erkennen
Ordne die Aufgabe dem passenden mathematischen Thema zu.
2
Gegebene Größen markieren
Notiere Werte, , Einheiten und Bedingungen übersichtlich.
3
Begriffe erklären
Formuliere die zentralen Begriffe in eigenen Worten.
4
Voraussetzungen prüfen
Kontrolliere Definitionsbereich, Modellannahmen und zulässige Werte.
5
Zielgröße festlegen
Schreibe auf, was berechnet, entschieden oder interpretiert werden soll.
6
Passende Darstellung wählen
Entscheide zwischen Text, Tabelle, Graph, oder Skizze.
7
Start kontrollieren
Prüfe, ob alle Angaben korrekt übertragen wurden.
AG 4.2 – Lösung kontrollieren und Fehler vermeiden
Ergebnisse durch Probe, Gegenrechnung, Graph, Einheit und Modellkritik absichern.
1
Formale Probe
Kontrolliere , oder Wahrscheinlichkeiten rechnerisch.
2
Darstellungsprobe
Vergleiche mit Tabelle, Graph oder Skizze.
3
Einheitenprobe
Prüfe, ob Einheit und Dimension zum Ergebnis passen.
4
Definitionsprobe
Schließe unzulässige Werte und Scheinlösungen aus.
5
Grenzfall prüfen
Teste einen einfachen oder extremen Fall.
6
Typischen Fehler suchen
Vergleiche den Rechenweg mit bekannten Fehlerquellen.
7
Endfassung erstellen
Gib Rechnung, Ergebnis und Deutung übersichtlich an.
AG 4.2 – Mathematisches Verfahren anwenden
Ein passendes Rechen- oder Analyseverfahren auswählen, durchführen und dokumentieren.
1
Modell oder Formel wählen
Nutze ein Verfahren, das besonders zu „Einheitskreis als Definition verwenden“ passt.
2
Werte einsetzen
Setze Zahlen und mit korrekten Vorzeichen und Klammern ein.
3
Schrittweise umformen
Dokumentiere äquivalente oder begründete Rechenschritte.
4
Technische Rechnung ausführen
Berechne sorgfältig und vermeide vorzeitiges Runden.
5
Zwischenergebnis prüfen
Kontrolliere Größenordnung, Vorzeichen und Definitionsbereich.
6
Ergebnis darstellen
Gib exakte und gegebenenfalls sinnvoll gerundete Werte an.
7
Rechenweg rückprüfen
Setze das Ergebnis ein oder verwende ein unabhängiges Kriterium.
AG 4.2 – Winkel im Einheitskreis darstellen
Einen Winkel im Einheitskreis geometrisch darstellen.
1
Koordinatensystem zeichnen
Verwende einen Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius 1.
2
Startstrahl festlegen
Der Winkel beginnt auf der positiven x-Achse.
3
Drehrichtung beachten
Positive Winkel werden gegen den Uhrzeigersinn abgetragen.
4
Winkel abtragen
Drehe den Strahl um den gegebenen Winkel α.
5
Kreispunkt markieren
Markiere den Schnittpunkt des Winkelstrahls mit dem Einheitskreis.
6
Quadrant kontrollieren
Prüfe anhand der Winkelgröße, ob der Punkt im richtigen Quadranten liegt.
AG 4.2 – Cosinus als x-Koordinate deuten
Den Cosinus eines Winkels als x-Koordinate am Einheitskreis deuten.
1
Winkelpunkt bestimmen
Markiere den Punkt P des Winkels α auf dem Einheitskreis.
2
Koordinaten lesen
Schreibe P=(x,y).
3
Cosinus zuordnen
Am Einheitskreis gilt x=cos(α).
4
Vorzeichen über Quadrant prüfen
Rechts der y-Achse ist x positiv, links davon negativ.
5
Betrag geometrisch deuten
Der Betrag des Cosinus ist der horizontale Koordinatenabstand des Punktes vom Ursprung.
6
Aussage formulieren
Deute cos(α) als x-Koordinate des zu α gehörenden Einheitskreispunkts.
AG 4.2 – Sinus als y-Koordinate deuten
Den Sinus eines Winkels als y-Koordinate am Einheitskreis deuten.
1
Winkelpunkt bestimmen
Markiere den Punkt P des Winkels α auf dem Einheitskreis.
2
Koordinaten lesen
Schreibe P=(x,y).
3
Sinus zuordnen
Am Einheitskreis gilt y=sin(α).
4
Vorzeichen über Quadrant prüfen
Oberhalb der x-Achse ist y positiv, unterhalb negativ.
5
Betrag geometrisch deuten
Der Betrag des Sinus ist der vertikale Koordinatenabstand des Punktes vom Ursprung.
6
Aussage formulieren
Deute sin(α) als y-Koordinate des zu α gehörenden Einheitskreispunkts.
AG 4.2 – Vorzeichen von Sinus bestimmen
Das Vorzeichen des Sinus anhand des Quadranten bestimmen.
1
Winkel in Quadranten einordnen
Bestimme anhand des Winkels, in welchem Quadranten der Einheitskreispunkt liegt.
2
Sinus als y-Koordinate erinnern
Das Vorzeichen von sin(α) entspricht dem Vorzeichen der y-Koordinate.
3
Obere Halbebene prüfen
Im ersten und zweiten Quadranten ist die y-Koordinate positiv.
4
Untere Halbebene prüfen
Im dritten und vierten Quadranten ist die y-Koordinate negativ.
5
Achsenfälle beachten
Auf der x-Achse ist der Sinus 0.
6
Vorzeichen angeben
Formuliere das Vorzeichen von sin(α) aus der Lage des Punktes.
AG 4.2 – Vorzeichen von Cosinus bestimmen
Das Vorzeichen des Cosinus anhand des Quadranten bestimmen.
1
Winkel in Quadranten einordnen
Bestimme anhand des Winkels, in welchem Quadranten der Einheitskreispunkt liegt.
2
Cosinus als x-Koordinate erinnern
Das Vorzeichen von cos(α) entspricht dem Vorzeichen der x-Koordinate.
3
Rechte Halbebene prüfen
Im ersten und vierten Quadranten ist die x-Koordinate positiv.
4
Linke Halbebene prüfen
Im zweiten und dritten Quadranten ist die x-Koordinate negativ.
5
Achsenfälle beachten
Auf der y-Achse ist der Cosinus 0.
6
Vorzeichen angeben
Formuliere das Vorzeichen von cos(α) aus der Lage des Punktes.
AG 4.2 – Sinus für Winkel über 90° berechnen
Den Sinus eines Winkels außerhalb des ersten Quadranten bestimmen.
1
Winkel reduzieren oder einordnen
Bestimme Quadrant und zugehörigen Referenzwinkel des gegebenen Winkels.
2
Sinusbetrag bestimmen
Nutze den Referenzwinkel, um den Betrag des Sinus zu bestimmen.
3
Vorzeichen festlegen
Wähle das Vorzeichen aus der oberen oder unteren Halbebene.
4
Wert zusammensetzen
Verbinde Betrag und Vorzeichen zum Sinuswert.
5
Technologie bei Bedarf verwenden
Berechne sin(α) direkt im korrekten Winkelmodus, wenn kein exakter Standardwert vorliegt.
6
Plausibilität prüfen
Der Sinuswert muss zwischen −1 und 1 liegen und zum Quadranten passen.
AG 4.2 – Cosinus für Winkel über 90° berechnen
Den Cosinus eines Winkels außerhalb des ersten Quadranten bestimmen.
1
Winkel reduzieren oder einordnen
Bestimme Quadrant und zugehörigen Referenzwinkel des gegebenen Winkels.
2
Cosinusbetrag bestimmen
Nutze den Referenzwinkel, um den Betrag des Cosinus zu bestimmen.
3
Vorzeichen festlegen
Wähle das Vorzeichen aus der linken oder rechten Halbebene.
4
Wert zusammensetzen
Verbinde Betrag und Vorzeichen zum Cosinuswert.
5
Technologie bei Bedarf verwenden
Berechne cos(α) direkt im korrekten Winkelmodus, wenn kein exakter Standardwert vorliegt.
6
Plausibilität prüfen
Der Cosinuswert muss zwischen −1 und 1 liegen und zum Quadranten passen.
AG 4.2 – Gleiche Sinuswerte erkennen
Winkel mit gleichem Sinuswert am Einheitskreis erkennen.
1
Sinus als y-Koordinate nutzen
Winkel haben denselben Sinuswert, wenn ihre Einheitskreispunkte dieselbe y-Koordinate besitzen.
2
Horizontale Spiegelung betrachten
Spiegle einen Einheitskreispunkt an der y-Achse.
3
Zweiten Winkel erkennen
Die gespiegelten Punkte besitzen denselben Sinuswert.
4
Winkelbeziehung im Vollkreis nutzen
Für einen Winkel α ergibt sich im Vollkreis typischerweise der zweite Winkel 180°−α, passend normiert.
5
Sonderfälle beachten
An Extrem- oder Achsenpunkten können die beiden Darstellungen zusammenfallen.
6
Ergebnis geometrisch prüfen
Kontrolliere, dass beide Punkte tatsächlich auf gleicher Höhe liegen.
AG 4.2 – Gleiche Cosinuswerte erkennen
Winkel mit gleichem Cosinuswert am Einheitskreis erkennen.
1
Cosinus als x-Koordinate nutzen
Winkel haben denselben Cosinuswert, wenn ihre Einheitskreispunkte dieselbe x-Koordinate besitzen.
2
Vertikale Spiegelung betrachten
Spiegle einen Einheitskreispunkt an der x-Achse.
3
Zweiten Winkel erkennen
Die gespiegelten Punkte besitzen denselben Cosinuswert.
4
Winkelbeziehung im Vollkreis nutzen
Für einen Winkel α ergibt sich im Vollkreis typischerweise der zweite Winkel 360°−α, passend normiert.
5
Sonderfälle beachten
An Achsenpunkten können die beiden Darstellungen zusammenfallen.
6
Ergebnis geometrisch prüfen
Kontrolliere, dass beide Punkte tatsächlich dieselbe horizontale Koordinate besitzen.
AG 4.2 – Trigonometrischen Wert geometrisch deuten
Einen Sinus- oder Cosinuswert mithilfe des Einheitskreises interpretieren.
1
Funktionswert identifizieren
Bestimme, ob ein Sinus- oder Cosinuswert gegeben ist.
2
Koordinate zuordnen
Sinus gehört zur y-Koordinate, Cosinus zur x-Koordinate des Einheitskreispunkts.
3
Vorzeichen deuten
Bestimme aus dem Vorzeichen, in welcher Halbebene der Punkt liegen muss.
4
Betrag deuten
Der Betrag beschreibt die Größe der entsprechenden Koordinate zwischen 0 und 1.
5
Mögliche Winkelbereiche einordnen
Leite aus Koordinate und Vorzeichen passende Quadranten beziehungsweise Winkelbereiche ab.
6
Geometrische Aussage formulieren
Beschreibe den gegebenen trigonometrischen Wert als Lageinformation des Punktes am Einheitskreis.
AG 4.2 – Tangens eines allgemeinen Winkels im Einheitskreis deuten
Den Tangens eines Winkels über das Verhältnis sin(α)/cos(α) deuten und sein Vorzeichen im Einheitskreis bestimmen.
1
Sinus und Cosinus zuordnen
Lies sin(α) als y-Koordinate und cos(α) als x-Koordinate des Einheitskreispunkts.
2
Quotient bilden
Für cos(α)≠0 gilt tan(α)=sin(α)/cos(α).
3
Vorzeichen bestimmen
Der Tangens ist positiv, wenn Sinus und Cosinus dasselbe Vorzeichen haben, sonst negativ.
4
Quadrantenregel ableiten
Tangens ist im ersten und dritten Quadranten positiv und im zweiten und vierten negativ.
5
Nichtdefinierte Fälle erkennen
Für cos(α)=0 ist der Quotient und damit der Tangens nicht definiert.
6
Geometrisch deuten
Verknüpfe das Vorzeichen des Tangens mit dem Verhältnis der vertikalen zur horizontalen Koordinate.
beweglichen Kreispunkt erzeugen
Punkt(c)
Geometrie
Kreis c
Winkel
Winkel(A,(0,0),P)
orientierten Winkel darstellen
Winkel((1,0),(0,0),P)
Geometrie
Scheitel und Schenkelpunkte
x
x(P)
Cosinuskoordinate ablesen
x(P)
Algebra
Punkt P
y
y(P)
Sinuskoordinate ablesen
y(P)
Algebra
Punkt P
2. Befehle als unveränderte Codeblöcke
Kreis
Kreis((0,0),1)
Verwendung: Einheitskreis zeichnen
Benötigte Ansicht: Geometrie
Mathematische Voraussetzung: Mittelpunkt und Radius
Punkt
Punkt(c)
Verwendung: beweglichen Kreispunkt erzeugen
Benötigte Ansicht: Geometrie
Mathematische Voraussetzung: Kreis c
Winkel
Winkel((1,0),(0,0),P)
Verwendung: orientierten Winkel darstellen
Benötigte Ansicht: Geometrie
Mathematische Voraussetzung: Scheitel und Schenkelpunkte
x
x(P)
Verwendung: Cosinuskoordinate ablesen
Benötigte Ansicht: Algebra
Mathematische Voraussetzung: Punkt P
y
y(P)
Verwendung: Sinuskoordinate ablesen
Benötigte Ansicht: Algebra
Mathematische Voraussetzung: Punkt P
3. Sinnvolle Arbeitsweise
Mathematische Größen und Voraussetzungen zuerst händisch bestimmen.
Eingabe exakt mit Klammern, Dezimaltrennzeichen und prüfen.
Darstellung und berechnete Werte mit dem eigenen Ergebnis vergleichen.
Abweichungen als Anlass für eine Fehleranalyse verwenden.
Wichtig: Eine grafische oder numerische Ausgabe ersetzt weder die Begründung noch die Kontextdeutung.
