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Einfache Regeln des Differenzierens | Lerncoach
AN 2.1
Einfache Regeln des Differenzierens Lies die Erklärung in Ruhe durch und nutze anschließend die Schrittlisten, um das Vorgehen sicher anzuwenden.
Analysis 18 Schrittlisten PDF verfügbar
Das solltest du können
Einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel sowie Regeln für ( k ⋅ f ( x ) ) ′ \left(k\cdot f(x)\right)' ( k ⋅ f ( x ) ) ′ ( f ( k x ) ) ′ \left(f(kx)\right)' ( f ( k x ) ) ′
Interaktive Visualisierung
Regeln des Differenzierens Wähle eine Ableitungsregel und verfolge, wie aus der Funktion Schritt für Schritt ihre Ableitung entsteht.
Potenzregel Faktorregel Summenregel Polynom
Vom Funktionsterm zur Ableitung
Ableitung
f ′ ( x ) = 4 x 3 f'(x)=4x^{3} f ′ ( x ) = 4 x 3
Verwendete Regel
( x n ) ′ = n x n − 1 \left(x^n\right)'=n\,x^{n-1} ( x n ) ′ = n x n − 1
Der Exponent wird zum Faktor und anschließend um 1 vermindert.
Ergebnis
f ′ ( x ) = 4 x 3 f'(x)=4x^{3} f ′ ( x ) = 4 x 3
Lineare Funktion
( m x + b ) ′ = m (mx+b)'=m ( m x + b ) ′ = m
Kontrolle
Nach dem Ableiten sollte der Grad eines Polynoms um 1 kleiner sein.
Merke: Zerlege kompliziertere Polynome zuerst in einzelne Summanden. Wende dann Potenz- und Faktorregel auf jedes Glied an und fasse erst am Ende zusammen.
Einfache Regeln des Differenzierens
Kompetenzcode: AN 2.1Bereich: Analysis
Einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel sowie Regeln für ( k ⋅ f ( x ) ) ′ \left(k\cdot f(x)\right)' ( k ⋅ f ( x ) ) ′ ( f ( k x ) ) ′ \left(f(kx)\right)'
AN 2.1 – Grundbegriffe und Voraussetzungen sichern Begriffe, Zeichen, Größen und Voraussetzungen der Kompetenz systematisch klären.
1 Aufgabenart erkennen Ordne die Aufgabe dem passenden mathematischen Thema zu.
2 Gegebene Größen markieren Notiere Werte, Variablen
3 Begriffe erklären Formuliere die zentralen Begriffe in eigenen Worten.
4 Voraussetzungen prüfen Kontrolliere Definitionsbereich, Modellannahmen und zulässige Werte.
5 Zielgröße festlegen Schreibe auf, was berechnet, entschieden oder interpretiert werden soll.
6 Passende Darstellung wählen Entscheide zwischen Text, Tabelle, Graph, Gleichung
7
Start kontrollieren GeoGebra-Übersicht: AN 2.1 – Einfache Regeln des Differenzierens
Diese Übersicht ist von der Tutor-Zusammenfassung getrennt. Die Befehle dienen zur Darstellung, Kontrolle und Untersuchung; die mathematische Entscheidung muss vorher nachvollzogen werden.
1. Befehlsübersicht Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben. Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
( f ( k x ) )
′
Leitidee: Beim Differenzieren wird zuerst die Struktur des Terms erkannt. Danach wird für jeden Summanden die passende Regel angewendet.
1. Durchgehend dieselbe Schreibweise In diesem Thema verwenden wir für Ableitungen
f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) Ableitungsfunktion ,f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f ′ ( x 0 ) Ableitungswert an der Stelle x 0 x_0 x 0 . Andere Schreibweisen für Ableitungen werden in dieser Theorie und in den Musterlösungen nicht verwendet.
Beispiel: Aus f ( x ) = x 3 f(x)=x^3 f ( x ) = x 3 f ′ ( x ) = 3 x 2 f'(x)=3x^2 f ′ ( x ) = 3 x 2 x = 2 x=2 x = 2 f ′ ( 2 ) = 12 f'(2)=12 f ′ ( 2 ) = 12
2. Welche Regel passt? Bei einem längeren Term
3. Konstantenregel und Potenzregel
Konstantenregel Für eine konstante Funktion f ( x ) = c f(x)=c f ( x ) = c
Der Graph einer konstanten Funktion ist waagrecht und hat daher überall die Steigung 0 0 0
f ( x ) = 7 ⟹ f ′ ( x ) = 0. f(x)=7
\qquad\Longrightarrow\qquad
f'(x)=0. f ( x ) = 7 ⟹ f ′ ( x ) = 0.
Potenzregel Für f ( x ) = x n f(x)=x^n f ( x ) = x n
f ′ ( x ) = n ⋅ x n − 1 . f'(x)=n\cdot x^{n-1}. f ′ ( x ) = n ⋅ x n − 1 . Die Regel besteht immer aus zwei Schritten:
Der Exponent wird als Faktor nach vorne geschrieben.
Der Exponent wird um 1 1 1
Beispiel 1: positive ganze Hochzahl
f ′ ( x ) = 5 x 4 . f'(x)=5x^4. f ′ ( x ) = 5 x 4 . Beispiel 2: negative Hochzahl
f ( x ) = x − 2 f(x)=x^{-2} f ( x ) = x − 2 f ′ ( x ) = − 2 x − 3 . f'(x)=-2x^{-3}. f ′ ( x ) = − 2 x − 3 . Beispiel 3: Wurzel zuerst als Potenz schreiben
f ( x ) = x = x 1 2 f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac12} f ( x ) = x = x 2 1 f ′ ( x ) = 1 2 x − 1 2 = 1 2 x . f'(x)=\frac12x^{-\frac12}
=
\frac{1}{2\sqrt{x}}. f ′ ( x ) = 2 1 x − 2 1 = 2 x 1 . Beispiel 4: Bruch zuerst als Potenz schreiben
f ( x ) = 3 x = 3 x − 1 f(x)=\frac{3}{x}=3x^{-1} f ( x ) = x 3 = 3 x − 1 f ′ ( x ) = 3 ⋅ ( − 1 ) x − 2 = − 3 x 2 . f'(x)=3\cdot(-1)x^{-2}
=
-\frac{3}{x^2}. f ′ ( x ) = 3 ⋅ ( − 1 ) x − 2 = − x 2 3 .
Merke: Wurzeln und einfache Brüche werden vor dem Differenzieren zweckmäßig als Potenzen geschrieben.
4. Faktorregel und Summenregel
Faktorregel Ist k k k g ( x ) = k ⋅ f ( x ) g(x)=k\cdot f(x) g ( x ) = k ⋅ f ( x )
g ′ ( x ) = k ⋅ f ′ ( x ) . g'(x)=k\cdot f'(x). g ′ ( x ) = k ⋅ f ′ ( x ) . Der konstante Faktor bleibt erhalten.
g ( x ) = − 4 x 3 g(x)=-4x^3 g ( x ) = − 4 x 3 g ′ ( x ) = − 4 ⋅ 3 x 2 = − 12 x 2 . g'(x)=-4\cdot 3x^2=-12x^2. g ′ ( x ) = − 4 ⋅ 3 x 2 = − 12 x 2 .
Summenregel Ist h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) h(x)=f(x)+g(x) h ( x ) = f ( x ) + g ( x )
h ′ ( x ) = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) . h'(x)=f'(x)+g'(x). h ′ ( x ) = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) . Auch eine Differenz wird gliedweise abgeleitet.
h ( x ) = 3 x 4 − 2 x 2 + 7. h(x)=3x^4-2x^2+7. h ( x ) = 3 x 4 − 2 x 2 + 7. Jeder Summand wird getrennt betrachtet:
( 3 x 4 ) ′ = 12 x 3 , (3x^4)'=12x^3, ( 3 x 4 ) ′ = 12 x 3 , ( − 2 x 2 ) ′ = − 4 x , (-2x^2)'=-4x, ( − 2 x 2 ) ′ = − 4 x , h ′ ( x ) = 12 x 3 − 4 x . h'(x)=12x^3-4x. h ′ ( x ) = 12 x 3 − 4 x .
Arbeitsweise: Summanden markieren, jeden Summanden ableiten, Ergebnisse wieder zusammensetzen.
5. Die Regel für f ( k x ) f(kx) f ( k x ) Ist im Inneren einer Funktion nur ein konstanter Faktor k k k
g ( x ) = f ( k x ) ⟹ g ′ ( x ) = k ⋅ f ′ ( k x ) . g(x)=f(kx)
\qquad\Longrightarrow\qquad
g'(x)=k\cdot f'(kx). g ( x ) = f ( k x ) ⟹ g ′ ( x ) = k ⋅ f ′ ( k x ) . Der Faktor k k k
Beispiel 1: Sinus g ( x ) = sin ( 3 x ) . g(x)=\sin(3x). g ( x ) = sin ( 3 x ) . Für f ( x ) = sin ( x ) f(x)=\sin(x) f ( x ) = sin ( x ) f ′ ( x ) = cos ( x ) f'(x)=\cos(x) f ′ ( x ) = cos ( x ) k = 3 k=3 k = 3
g ′ ( x ) = 3 cos ( 3 x ) . g'(x)=3\cos(3x). g ′ ( x ) = 3 cos ( 3 x ) .
Beispiel 2: Cosinus h ( x ) = cos ( 2 x ) . h(x)=\cos(2x). h ( x ) = cos ( 2 x ) . Für f ( x ) = cos ( x ) f(x)=\cos(x) f ( x ) = cos ( x ) f ′ ( x ) = − sin ( x ) f'(x)=-\sin(x) f ′ ( x ) = − sin ( x )
h ′ ( x ) = − 2 sin ( 2 x ) . h'(x)=-2\sin(2x). h ′ ( x ) = − 2 sin ( 2 x ) .
Beispiel 3: Exponentialfunktion p ( x ) = e 4 x . p(x)=e^{4x}. p ( x ) = e 4 x . Da für f ( x ) = e x f(x)=e^x f ( x ) = e x f ′ ( x ) = e x f'(x)=e^x f ′ ( x ) = e x
p ′ ( x ) = 4 e 4 x . p'(x)=4e^{4x}. p ′ ( x ) = 4 e 4 x .
Beispiel 4: Potenz mit linearem Inneren q ( x ) = ( 5 x ) 3 . q(x)=(5x)^3. q ( x ) = ( 5 x ) 3 . Die äußere Funktion ist eine dritte Potenz, der innere Faktor ist 5 5 5
q ′ ( x ) = 5 ⋅ 3 ( 5 x ) 2 = 15 ( 5 x ) 2 = 375 x 2 . q'(x)=5\cdot 3(5x)^2
=
15(5x)^2
=
375x^2. q ′ ( x ) = 5 ⋅ 3 ( 5 x ) 2 = 15 ( 5 x ) 2 = 375 x 2 . Beispiel 5: Exponentialfunktion mit Basis 2 2 2 r ( x ) = 2 3 x . r(x)=2^{3x}. r ( x ) = 2 3 x . Für f ( x ) = 2 x f(x)=2^x f ( x ) = 2 x f ′ ( x ) = ln ( 2 ) ⋅ 2 x f'(x)=\ln(2)\cdot 2^x f ′ ( x ) = ln ( 2 ) ⋅ 2 x k = 3 k=3 k = 3
r ′ ( x ) = 3 ln ( 2 ) ⋅ 2 3 x . r'(x)=3\ln(2)\cdot 2^{3x}. r ′ ( x ) = 3 ln ( 2 ) ⋅ 2 3 x .
6. Außenfaktor und innerer Faktor unterscheiden
Nur ein Außenfaktor f ( x ) = 5 sin ( x ) f(x)=5\sin(x) f ( x ) = 5 sin ( x ) f ′ ( x ) = 5 cos ( x ) . f'(x)=5\cos(x). f ′ ( x ) = 5 cos ( x ) . Die Zahl 5 5 5
Nur ein innerer Faktor g ( x ) = sin ( 5 x ) g(x)=\sin(5x) g ( x ) = sin ( 5 x ) g ′ ( x ) = 5 cos ( 5 x ) . g'(x)=5\cos(5x). g ′ ( x ) = 5 cos ( 5 x ) . Die Zahl 5 5 5 5 x 5x 5 x
Außen- und innerer Faktor gemeinsam h ( x ) = 4 sin ( 2 x ) h(x)=4\sin(2x) h ( x ) = 4 sin ( 2 x ) h ′ ( x ) = 4 ⋅ 2 cos ( 2 x ) = 8 cos ( 2 x ) . h'(x)=4\cdot 2\cos(2x)
=
8\cos(2x). h ′ ( x ) = 4 ⋅ 2 cos ( 2 x ) = 8 cos ( 2 x ) .
Merke: Außenfaktor stehen lassen, inneren Faktor zusätzlich multiplizieren.
7. Mehrere Regeln gemeinsam anwenden
Beispiel 1: Polynom, Sinus und Exponentialfunktion f ( x ) = 2 x 4 − 3 sin ( 2 x ) + 5 e x . f(x)=2x^4-3\sin(2x)+5e^x. f ( x ) = 2 x 4 − 3 sin ( 2 x ) + 5 e x . ( 2 x 4 ) ′ = 8 x 3 , (2x^4)'=8x^3, ( 2 x 4 ) ′ = 8 x 3 , ( − 3 sin ( 2 x ) ) ′ = − 3 ⋅ 2 cos ( 2 x ) = − 6 cos ( 2 x ) , (-3\sin(2x))'=-3\cdot 2\cos(2x)=-6\cos(2x), ( − 3 sin ( 2 x ) ) ′ = − 3 ⋅ 2 cos ( 2 x ) = − 6 cos ( 2 x ) , ( 5 e x ) ′ = 5 e x . (5e^x)'=5e^x. ( 5 e x ) ′ = 5 e x . f ′ ( x ) = 8 x 3 − 6 cos ( 2 x ) + 5 e x . f'(x)=8x^3-6\cos(2x)+5e^x. f ′ ( x ) = 8 x 3 − 6 cos ( 2 x ) + 5 e x .
Beispiel 2: Wurzel, Bruch und Exponentialfunktion g ( x ) = 4 x − 3 x + 2 x . g(x)=4\sqrt{x}-\frac{3}{x}+2^x. g ( x ) = 4 x − x 3 + 2 x . g ( x ) = 4 x 1 2 − 3 x − 1 + 2 x . g(x)=4x^{\frac12}-3x^{-1}+2^x. g ( x ) = 4 x 2 1 − 3 x − 1 + 2 x . g ′ ( x ) = 4 ⋅ 1 2 x − 1 2 + 3 x − 2 + ln ( 2 ) ⋅ 2 x . g'(x)
=
4\cdot\frac12x^{-\frac12}
+
3x^{-2}
+
\ln(2)\cdot 2^x. g ′ ( x ) = 4 ⋅ 2 1 x − 2 1 + 3 x − 2 + ln ( 2 ) ⋅ 2 x . g ′ ( x ) = 2 x + 3 x 2 + ln ( 2 ) ⋅ 2 x . g'(x)
=
\frac{2}{\sqrt{x}}
+
\frac{3}{x^2}
+
\ln(2)\cdot 2^x. g ′ ( x ) = x 2 + x 2 3 + ln ( 2 ) ⋅ 2 x .
Beispiel 3: Regeln mit unbekannten Funktionen h ( x ) = 3 f ( x ) − 2 g ( 4 x ) . h(x)=3f(x)-2g(4x). h ( x ) = 3 f ( x ) − 2 g ( 4 x ) . Der erste Summand verwendet die Faktorregel. Beim zweiten Summanden kommen Außenfaktor und innerer Faktor zusammen:
h ′ ( x ) = 3 f ′ ( x ) − 2 ⋅ 4 g ′ ( 4 x ) . h'(x)
=
3f'(x)-2\cdot 4g'(4x). h ′ ( x ) = 3 f ′ ( x ) − 2 ⋅ 4 g ′ ( 4 x ) . h ′ ( x ) = 3 f ′ ( x ) − 8 g ′ ( 4 x ) . h'(x)=3f'(x)-8g'(4x). h ′ ( x ) = 3 f ′ ( x ) − 8 g ′ ( 4 x ) .
8. Ableitungswerte berechnen Zuerst wird die Ableitungsfunktion bestimmt, danach wird die Stelle eingesetzt.
f ( x ) = x 3 − 3 x . f(x)=x^3-3x. f ( x ) = x 3 − 3 x . f ′ ( x ) = 3 x 2 − 3. f'(x)=3x^2-3. f ′ ( x ) = 3 x 2 − 3. Dann an der Stelle x = 2 x=2 x = 2
f ′ ( 2 ) = 3 ⋅ 2 2 − 3 = 9. f'(2)=3\cdot 2^2-3=9. f ′ ( 2 ) = 3 ⋅ 2 2 − 3 = 9. Die Tangentensteigung des Graphen von f f f x = 2 x=2 x = 2 9 9 9
Achtung: f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) f ′ ( 2 ) f'(2) f ′ ( 2 )
9. Typische Fehler
10. Sichere Vorgehensweise und Kontrolle
Term strukturieren: Wo sind die Summanden?Konstanten markieren: Welche Zahlen sind Außenfaktoren?Potenzen umschreiben: Wurzeln und einfache Brüche als Potenzen notieren.Inneres prüfen: Steht in einer Funktion ein Ausdruck k x kx k x Termweise ableiten: Jede Regel sichtbar anwenden.Vereinfachen: Erst nach dem Ableiten zusammenfassen.Kontrollieren: Ergebnis mit CAS oder Tangentensteigungen vergleichen.
CAS-Kontrolle f ( x ) = 2 x 4 − 3 sin ( 2 x ) + 5 e x f(x)=2x^4-3\sin(2x)+5e^x f ( x ) = 2 x 4 − 3 sin ( 2 x ) + 5 e x kann ein CAS die Ableitungsfunktion berechnen. Die Ausgabe wird anschließend mit dem eigenen Ergebnis
f ′ ( x ) = 8 x 3 − 6 cos ( 2 x ) + 5 e x f'(x)=8x^3-6\cos(2x)+5e^x f ′ ( x ) = 8 x 3 − 6 cos ( 2 x ) + 5 e x
Wichtig: Das elektronische Hilfsmittel kontrolliert das Ergebnis. Die Regelwahl und die nachvollziehbaren Rechenschritte bleiben Teil der Lösung.
11. Das Wichtigste auf einen Blick
Ableitungen werden durchgehend als f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x )
Eine Konstante hat die Ableitung 0 0 0
Bei der Potenzregel kommt der Exponent nach vorne und wird anschließend um 1 1 1
Ein konstanter Außenfaktor bleibt erhalten.
Eine Summe wird gliedweise abgeleitet.
Bei f ( k x ) f(kx) f ( k x ) k k k
Wurzeln und einfache Brüche werden zweckmäßig als Potenzen geschrieben.
Bei längeren Termen werden mehrere Regeln nacheinander kombiniert.
Prüfe, ob alle Angaben korrekt übertragen wurden.
AN 2.1 – Darstellungen lesen und wechseln Text, Tabelle, Graph und Formel miteinander verbinden und ihre jeweilige Aussage deuten.
1 Ausgangsdarstellung lesen Beschreibe zunächst nur, was direkt gegeben ist.
2 Größen zuordnen Ordne Achsen, Spalten, Variablen
3 Kennwerte entnehmen Lies charakteristische Werte oder Beziehungen ab.
4 Zielform festlegen Bestimme, welche Darstellung hergestellt werden soll.
5 Darstellung erzeugen Übertrage die Informationen schrittweise und vollständig.
6 Zusammenhang erklären Begründe, warum beide Darstellungen dasselbe beschreiben.
7 Rückkontrolle Prüfe ausgewählte Werte in beiden Darstellungen.
AN 2.1 – Mathematisches Verfahren anwenden Ein passendes Rechen- oder Analyseverfahren auswählen, durchführen und dokumentieren.
1 Modell oder Formel wählen Nutze ein Verfahren, das besonders zu „Terme
2 Werte einsetzen Setze Zahlen und Variablen
3 Schrittweise umformen Dokumentiere äquivalente oder begründete Rechenschritte.
4 Technische Rechnung ausführen Berechne sorgfältig und vermeide vorzeitiges Runden.
5 Zwischenergebnis prüfen Kontrolliere Größenordnung, Vorzeichen und Definitionsbereich.
6 Ergebnis darstellen Gib exakte und gegebenenfalls sinnvoll gerundete Werte an.
7 Rechenweg rückprüfen Setze das Ergebnis ein oder verwende ein unabhängiges Kriterium.
AN 2.1 – Ergebnis im Kontext deuten Mathematische Ergebnisse in vollständigen Sätzen mit Einheiten, Bezugsgrößen und Gültigkeitsbereich erklären.
1 Ergebnis identifizieren Benenne, welche mathematische Größe berechnet wurde.
2 Einheit ergänzen Ordne die sachlich passende Einheit zu.
3 Bezug nennen Erkläre, auf welche Ausgangsgröße, Zeit oder Situation sich das Ergebnis bezieht.
4 Vorzeichen deuten Formuliere Zunahme, Abnahme, Richtung oder Lage.
5 Gültigkeitsbereich beachten Prüfe, für welche Werte und Bedingungen die Aussage gilt.
6 Antwortsatz schreiben Formuliere eine klare Antwort auf die Ausgangsfrage.
7 Plausibilität bewerten Vergleiche die Aussage mit Alltag, Skizze oder Datenlage.
AN 2.1 – Lösung kontrollieren und Fehler vermeiden Ergebnisse durch Probe, Gegenrechnung, Graph, Einheit und Modellkritik absichern.
1 Formale Probe Kontrolliere Gleichungen Funktionswerte
2 Darstellungsprobe Vergleiche mit Tabelle, Graph oder Skizze.
3 Einheitenprobe Prüfe, ob Einheit und Dimension zum Ergebnis passen.
4 Definitionsprobe Schließe unzulässige Werte und Scheinlösungen aus.
5 Grenzfall prüfen Teste einen einfachen oder extremen Fall.
6 Typischen Fehler suchen Vergleiche den Rechenweg mit bekannten Fehlerquellen.
7 Endfassung erstellen Gib Rechnung, Ergebnis und Deutung übersichtlich an.
AN 2.1 – Konstante Funktion ableiten Die Ableitung einer konstanten Funktion bestimmen.
1 Konstante Funktion erkennen Prüfe, dass der Funktionsterm keine Variable
2 Graphische Bedeutung erinnern Eine konstante Funktion
3 Steigung zuordnen Die Steigung
4 Ableitung bilden Setze daher die Ableitung
5 Ableitungsfunktion notieren 6 Plausibilität prüfen Kontrolliere, dass das Ergebnis unabhängig von x bleibt.
AN 2.1 – Lineare Funktion ableiten Eine lineare Funktion ableiten.
1 Lineare Form erkennen Bringe den Term
2 Steigungsparameter bestimmen Der Koeffizient Steigung Funktion
3 Konstantenanteil erkennen Der Term Steigung
4 Ableitung bilden Die Ableitung
5 6 Graphisch prüfen Die Ableitung Steigung
AN 2.1 – Potenzregel mit natürlichem Exponenten anwenden Eine Potenzfunktion x^n mit natürlichem Exponenten ableiten.
1 Potenzterm erkennen Schreibe den Term Exponenten
2 Exponent als Faktor übernehmen Multipliziere mit dem bisherigen Exponenten
3 4 Ableitung notieren Schreibe (x^n)'=n·x^(n−1).
5 Sonderfälle prüfen Für n=1 entsteht die Ableitung Exponenten
6 Ergebnis kontrollieren Prüfe Exponent
AN 2.1 – Potenzregel mit ganzzahligem Exponenten anwenden Eine Potenzfunktion mit negativem ganzzahligem Exponenten ableiten.
1 Negative Potenz erkennen Schreibe den Term Exponenten
2 Definitionsbereich beachten Bei negativem Exponenten
3 Exponent als Faktor übernehmen Multipliziere mit n einschließlich seines Minuszeichens.
4 Exponent um 1 vermindern Bilde n−1; der Exponent
5 Ableitung notieren Schreibe f'(x)=n·x^(n−1).
6 Optional zurück in Bruchform schreiben Wandle negative Exponenten
AN 2.1 – Potenzregel mit rationalem Exponenten anwenden Eine einfache Potenzfunktion mit rationalem Exponenten ableiten.
1 Rationalen Exponenten erkennen Schreibe die Funktion Exponenten
2 Definitionsbereich prüfen Beachte bei Wurzel
3 Exponent als Faktor übernehmen 4 5 Ableitung notieren Schreibe f'(x)=r·x^(r−1).
6 Darstellung prüfen Lass das Ergebnis in Potenzschreibweise oder forme es bei Bedarf wieder in eine Wurzeldarstellung um.
AN 2.1 – Konstantenfaktorregel anwenden Einen konstanten Faktor beim Ableiten beibehalten.
1 Konstanten Faktor erkennen Schreibe den Term
2 Konstante stehen lassen Der Faktor
3 Funktionsteil ableiten Bestimme f'(x) mit der passenden Ableitungsregel.
4 Produkt notieren Schreibe (c·f(x))'=c·f'(x).
5 Zahlenfaktoren vereinfachen Multipliziere vorhandene konstante Faktoren
6 Ergebnis prüfen Kontrolliere, dass nur der variable
AN 2.1 – Summenregel anwenden Eine Summe oder Differenz einfacher Funktionen gliedweise ableiten.
1 Term in Summanden zerlegen Trenne die Funktion Terme
2 Jeden Summanden ableiten Wende auf jeden Teilterm die passende einfache Ableitungsregel an.
3 Vorzeichen beibehalten Ein Minuszeichen vor einem Summanden bleibt beim gliedweisen Ableiten erhalten.
4 Abgeleitete Terme zusammensetzen Verbinde die einzelnen Ableitungen
5 Konstanten entfernen Konstante Summanden liefern den Ableitungsterm 0 und können anschließend weggelassen werden.
6 Ergebnis vereinfachen Fasse gleichartige Terme
AN 2.1 – Funktion der Form f(kx) ableiten Die Regel für eine lineare innere Funktion f(k · x) anwenden.
1 Innere lineare Funktion erkennen Schreibe die Funktion
2 Äußere Ableitung bestimmen Bestimme f' an derselben inneren Stelle k·x.
3 Innere Steigung bestimmen Die Ableitung
4 Mit innerer Steigung multiplizieren Schreibe g'(x)=k·f'(k·x).
5 Konstante Faktoren vereinfachen Multipliziere vorhandene konstante Faktoren
6 Plausibilität prüfen Kontrolliere, dass der zusätzliche Faktor
AN 2.1 – Polynomfunktion ableiten Eine Polynomfunktion durch Kombination von Potenz-, Faktor- und Summenregel ableiten.
1 Polynom in Terme zerlegen Schreibe das Polynom als Folge einzelner Potenzterme mit ihren Vorzeichen.
2 Konstantenfaktoren beibehalten Übernimm bei jedem Potenzterm seinen Zahlenfaktor.
3 Potenzregel anwenden Multipliziere jeden Potenzterm mit seinem Exponenten
4 Konstanten ableiten Konstante Summanden werden zu 0.
5 Ableitungen zusammensetzen Schreibe alle abgeleiteten Terme
6 Polynom vereinfachen Ordne nach fallenden Exponenten Terme
AN 2.1 – Ableitung vereinfachen Eine gebildete Ableitungsfunktion algebraisch sinnvoll vereinfachen.
1 Ableitung vollständig hinschreiben Starte mit der bereits korrekt gebildeten Ableitungsfunktion.
2 Nullterme entfernen Lass Summanden mit Wert 0 weg.
3 Zahlenfaktoren ausrechnen Vereinfache Produkte und Quotienten konstanter Zahlen.
4 Potenzen vereinheitlichen Schreibe Potenzen in einer übersichtlichen und konsistenten Form.
5 Gleichartige Terme zusammenfassen Addiere beziehungsweise subtrahiere nur Terme
6 Äquivalenz prüfen Kontrolliere, dass die Vereinfachung den Wert der Ableitungsfunktion nicht verändert.
AN 2.1 – Passende Ableitungsregel auswählen Für einen gegebenen Funktionsterm die benötigten einfachen Ableitungsregeln erkennen.
1 Funktionsterm strukturieren Markiere Konstanten, Potenzen, konstante Faktoren
2 Einfachste Teilregeln zuordnen Ordne konstanten Termen Faktoren
3 Summenstruktur erkennen Bei Plus oder Minus zwischen Teilfunktionen wird gliedweise abgeleitet.
4 Innere lineare Funktion erkennen Bei f(k·x) ist zusätzlich der Faktor
5 Regeln in Reihenfolge planen Entscheide zuerst über die äußere Struktur und dann über die einzelnen Teilfunktionen.
6 Auswahl begründen Nenne die konkreten Merkmale des Terms, die die gewählten Ableitungsregeln erforderlich machen.
AN 2.1 – Fehlerhafte Ableitung erkennen Einen typischen Fehler bei Potenz-, Faktor- oder Summenregel erkennen und korrigieren.
1 Gegebene Ableitung mit Funktion vergleichen Ordne jedem Term
2 Exponentenkontrolle durchführen Bei x^n muss der neue Exponent
3 Faktoren kontrollieren Konstante Faktoren
4 Summen- und Vorzeichenkontrolle durchführen Plus- und Minuszeichen müssen termweise korrekt übernommen werden.
5 Konstanten prüfen Ein konstanter Summand muss in der Ableitung
6 Fehler korrigieren Ersetze nur den fehlerhaften Ableitungsschritt und schreibe anschließend die korrekte Ableitungsfunktion.
AN 2.1 – Ableitung durch Beispielwert prüfen Die Plausibilität einer Ableitung anhand einfacher Funktions- oder Steigungswerte kontrollieren.
1 Einfache Stelle wählen Wähle einen Argumentwert, an dem Funktion Steigung
2 Ableitungswert berechnen Setze diesen Wert in die vorgeschlagene Ableitungsfunktion ein.
3 Graphisches Verhalten vergleichen Prüfe, ob Vorzeichen und Größenordnung zur lokalen Steigung
4 Bekannte Sonderstelle nutzen Verwende bei einfachen Funktionen
5 Alternativ Differenzenquotient grob vergleichen Vergleiche den Ableitungswert bei Bedarf mit einer mittleren Steigung Intervall
6 Plausibilitätsurteil formulieren Bestätige die Ableitung
x 4
Differenzierbare Funktion
Ableitung Ableitung(f,2) zweite Ableitung bilden Ableitung(f,2) CAS Zweimal differenzierbare Funktion
Tangente Tangente(x_0,f) Steigung geometrisch prüfen Tangente(2,f) Grafik Funktion und Stelle
2. Befehle als unveränderte Codeblöcke
Ableitung Verwendung: Ableitungsfunktion berechnen
Mathematische Voraussetzung: Differenzierbare Funktion
Ableitung Verwendung: zweite Ableitung bilden
Mathematische Voraussetzung: Zweimal differenzierbare Funktion
Tangente Verwendung: Steigung geometrisch prüfen
Benötigte Ansicht: Grafik
Mathematische Voraussetzung: Funktion und Stelle
3. Sinnvolle Arbeitsweise
Mathematische Größen und Voraussetzungen zuerst händisch bestimmen.
Eingabe exakt mit Klammern, Dezimaltrennzeichen und Variablen prüfen.
Darstellung und berechnete Werte mit dem eigenen Ergebnis vergleichen.
Abweichungen als Anlass für eine Fehleranalyse verwenden.
Wichtig: Eine grafische oder numerische Ausgabe ersetzt weder die Begründung noch die Kontextdeutung.
(
x
)
=
n ⋅
x n − 1
′
(
x
)
=
k ⋅
f ′ ( x )
h ′
(
x
)
=
f ′ ( x ) +
g ′ ( x )
(
x
)
=
k ⋅
f ′ ( k x )
=
x 1/2
)
Funktion und Wert unterscheiden
