Zinsrechnung

Kompetenzcode: FA 9.1

Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Zinsrechnung beschreibt, wie sich Kapital über die Zeit verändert. Vor jeder Rechnung werden die Größen samt Zeitraum festgelegt:

1. Einfache Verzinsung und Zinseszins unterscheiden

Bei einfacher Verzinsung werden Zinsen nur vom Anfangskapital berechnet:

$$K_n=K_0(1+in).$$

Beim Zinseszins werden gutgeschriebene Zinsen mitverzinst:

$$K_n=K_0(1+i)^n=K_0q^n.$$

Beispiel 1: Kenngrößen zuordnen

„$5\,000\,\text{EUR}$ werden vier Jahre zu $3\,\%$ p. a. angelegt.“ Somit sind $K_0=5\,000$, , ; gesucht ist .

Beispiel 2: Einfache Verzinsung

$$K_4=5\,000(1+0{,}03\cdot4)=5\,600\,\text{EUR}.$$

Der jährliche Zinsbetrag bleibt $150\,\text{EUR}$.

Beispiel 3: Zinseszins

$$K_4=5\,000\cdot1{,}03^4\approx5\,627{,}54\,\text{EUR}.$$

Der Unterschied zur einfachen Verzinsung entsteht durch Zinsen auf frühere Zinsen.

2. Unbekannte Größen beim Zinseszins

Beispiel 4: Anfangskapital bestimmen

Nach sechs Jahren sollen bei $4\,\%$ genau $7\,000\,\text{EUR}$ vorhanden sein:

$$K_0=\frac{7\,000}{1{,}04^6}\approx5\,532{,}20\,\text{EUR}.$$

Beispiel 5: Zinssatz bestimmen

$6\,000\,\text{EUR}$ wachsen in fünf Jahren auf $8\,000\,\text{EUR}$:

$$1+i=\sqrt[5]{\frac{8\,000}{6\,000}},\qquad i\approx0{,}05922.$$

Der Jahreszinssatz beträgt ungefähr $5{,}92\,\%$.

Beispiel 6: Laufzeit bestimmen

$7\,000\,\text{EUR}$ sollen bei $4{,}5\,\%$ auf $9\,000\,\text{EUR}$ wachsen:

$$n=\frac{\ln(9\,000/7\,000)}{\ln(1{,}045)}\approx5{,}71.$$

Bei jährlicher Gutschrift wird das Ziel erst nach der sechsten vollständigen Zinsperiode erreicht.

3. Unterjährige Verzinsung

Bei $m$ Zinsperioden pro Jahr und Periodenzinssatz $i_m$ gilt

$$K_n=K_0(1+i_m)^{mn}.$$

Ist ein nomineller Jahreszinssatz angegeben, der gleichmäßig aufgeteilt wird, setzt man häufig $i_m=i_{\mathrm{nom}}/m$. Ein effektiver Jahreszinssatz $i$ ist dazu äquivalent, wenn

$$1+i=(1+i_m)^m.$$

Beispiel 7: Monatliche Verzinsung

$10\,000\,\text{EUR}$ werden drei Jahre zu nominal $4{,}8\,\%$ p. a. mit monatlicher Gutschrift verzinst. Es gilt $i_{12}=0{,}048/12=0{,}004$:

$$K_3=10\,000\cdot1{,}004^{36}\approx11\,545{,}52\,\text{EUR}.$$

Beispiel 8: Effektiven Jahreszinssatz berechnen

Für $i_{12}=0{,}004$ gilt

$$i_{\mathrm{eff}}=1{,}004^{12}-1\approx0{,}04907=4{,}91\,\%.$$

Der Effektivsatz ist wegen der unterjährigen Zinseszinsen größer als $4{,}8\,\%$.

Beispiel 9: Äquivalenten Monatszinssatz bestimmen

Ein effektiver Jahreszinssatz von $5\,\%$ entspricht

$$i_{12}=\sqrt[12]{1{,}05}-1\approx0{,}004074=0{,}4074\,\%\text{ pro Monat}.$$

4. Stetige Verzinsung

Bei stetiger Verzinsung mit kontinuierlicher Rate $r$ gilt

$$K(t)=K_0e^{rt}.$$

Beispiel 10: Stetiges Kapitalwachstum

Für $K_0=10\,000\,\text{EUR}$, $r=0{,}05$ und $t=3$ ergibt sich

$$K(3)=10\,000e^{0{,}15}\approx11\,618{,}34\,\text{EUR}.$$

Der dazu äquivalente effektive Jahreszinssatz ist $e^{0{,}05}-1\approx5{,}127\,\%$.

5. Modelle vergleichen und auswählen

Beispiel 11: Vier Modelle vergleichen

Für dasselbe $K_0$, dieselbe nominelle Rate und dieselbe Laufzeit steigt das Endkapital typischerweise mit der Zahl der Gutschriften: einfache Verzinsung, jährlicher Zinseszins, häufigere unterjährige Verzinsung, stetige Verzinsung. Ein fairer Vergleich verlangt jedoch äquivalente effektive Jahreszinssätze und identische Gebühren.

Beispiel 12: Passendes Modell begründen

• Verzugszinsen ohne Kapitalisierung: einfache Verzinsung.
• Sparkonto mit jährlicher Gutschrift: jährlicher Zinseszins.
• Konto mit monatlicher Gutschrift: unterjährige Verzinsung.
• Theoretisches kontinuierliches Wachstumsmodell: stetige Verzinsung.

Die Vertragsangabe entscheidet; das mathematisch größte Ergebnis ist nicht automatisch das sachlich richtige Modell.

Typische Fehler

• $3\,\%$ wird als $0{,}03$, nicht als $3$ eingesetzt.
• Zinssatz und Laufzeit müssen sich auf dieselbe Periodenlänge beziehen.
• Nominaler und effektiver Jahreszinssatz sind nicht dasselbe.
• Bei einer berechneten Laufzeit wird geprüft, ob nur vollständige Zinsperioden zulässig sind.

Merksätze

• Einfache Verzinsung ist linear, Zinseszins exponentiell.
• Beim Abzinsen wird durch den Aufzinsungsfaktor dividiert.
• Äquivalente Zinssätze erzeugen über denselben Zeitraum denselben Faktor.
• Das Vertragsmodell bestimmt die Formel.